„Vater der Wasserstoffbombe“ Ulam: Mein Freund John von Neumann | Gedenken an den 120. Geburtstag von John von Neumann (Teil 1)

Am 28. Dezember 2023 jährt sich der 120. Geburtstag des in Ungarn geborenen Mathematikers, Physikers, Informatikers und Ingenieurs Johannes von Neumann. Er hat im Laufe seines legendären Lebens so viel geleistet, dass es die Fähigkeiten eines normalen Fachmanns übersteigt, seine wichtige Arbeit auch nur aufzulisten und kurz zu erklären. Als von Neumann starb, veröffentlichte das Bulletin of the American Mathematical Society eine Gedenkausgabe, in der der berühmte Mathematiker und „Vater der Wasserstoffbombe“ Ulam einen langen Artikel schrieb, in dem er von Neumanns Leben und Werk in chronologischer Reihenfolge vorstellte. Wir haben den vollständigen Text übersetzt (in zwei Artikeln veröffentlicht). Vielleicht können wir anhand von Ulams Geschichte verstehen, warum von Neumann so viele Beiträge leisten konnte. Ich möchte diesen Artikel dem Gedenken an diesen großen Allround-Gelehrten widmen.

Von Stanisław Ulam

Übersetzung | Yuanyuan

Am 8. Februar 1957 starb John von Neumann. Die mathematische Welt hat einen ihrer originellsten, aufschlussreichsten und vielseitigsten Köpfe verloren; Die wissenschaftliche Welt hat ein Universalgenie und einen einzigartigen Interpreten der Mathematik verloren. Er bringt die neuesten (und potenziellsten) Methoden ein und wendet sie auf Physik, Astronomie, Biologie und neue Technologien an. Viele prominente Persönlichkeiten haben seine Beiträge gewürdigt und gelobt. Ziel dieses Artikels ist es, einen kurzen Überblick über sein Leben und Werk im Kontext unserer 25-jährigen Bekanntschaft zu geben. (Anmerkung des Herausgebers: Bei den in diesem Artikel eingeführten Artikelnummern handelt es sich um die Nummern der vom Autor zusammengestellten Anhangsliste, die wir als Anmerkungen am Ende des Artikels auflisten.)

Kurze Biographie

John von Neumann (Spitzname „Johnny“, ein in den Vereinigten Staaten bekannter Name) wurde am 28. Dezember 1903 in Budapest, Ungarn (damals Teil der österreichisch-ungarischen Monarchie), als ältester von drei Söhnen der Familie geboren. Seine Familie war wohlhabend; sein Vater, Max von Neumann, war Bankier. Johnny erhielt bereits in sehr jungen Jahren eine Privatausbildung. Als 1914 der Erste Weltkrieg ausbrach, war er erst zehn Jahre alt und besuchte eine lutherische High School.

In den beiden Jahrzehnten vor und nach dem Ersten Weltkrieg erwies sich Budapest als fruchtbarer Nährboden für wissenschaftliche Talente. Warum so viele herausragende Talente hier geboren wurden, müssen die Wissenschaftshistoriker herausfinden und erklären (ihre Namen finden sich heute überall in den Annalen der Mathematik und Physik; Anmerkung des Herausgebers: siehe „Dieses unscheinbare kleine Land hat die herausragendste Gruppe von Menschen in der Geschichte der Wissenschaft hervorgebracht“). Johnny ist möglicherweise der hellste Stern dieser Gruppe von Wissenschaftlern. Auf die Frage nach den Ursachen dieses statistisch unwahrscheinlichen Phänomens antwortete er, es handele sich um ein Zusammentreffen kultureller Faktoren, die er nicht genau erklären könne: äußerer Druck auf die gesamte Gesellschaft in der mitteleuropäischen Region, tiefe persönliche Unsicherheit und das Bedürfnis, etwas Außergewöhnliches zu schaffen oder vom Aussterben bedroht zu sein. Der Erste Weltkrieg brachte bestehende wirtschaftliche und soziale Strukturen durcheinander. Budapest, einst die zweite Hauptstadt der österreichisch-ungarischen Monarchie, ist heute die Hauptstadt eines kleinen Landes. Viele Wissenschaftler müssen auswandern und an weniger eingeschränkten und abgelegenen Orten ihren Lebensunterhalt verdienen.

Laut seinem Klassenkameraden Fellner1 erregten Johnnys ungewöhnliche Fähigkeiten die Aufmerksamkeit eines seiner ersten Lehrer, László Rátz. Er erklärte Johnnys Vater, dass es sinnlos sei, Johnny Mathematik auf herkömmliche Weise in der Schule beizubringen und dass er Privatunterricht in Mathematik erhalten sollte. Unter der Anleitung von Professor József Kürschak und mit Tutor Michael Fekete, der damals Assistenzprofessor an der Universität Budapest war, lernte Johnny verschiedene mathematische Probleme.

Als er 1921 die Matura ablegte, war Johnny bereits ein anerkannter Berufsmathematiker. Seine erste Arbeit entstand in Zusammenarbeit mit Fekete und wurde fertiggestellt, als er noch keine 18 Jahre alt war. Die nächsten vier Jahre war Johnny als Mathematikstudent an der Universität Budapest eingeschrieben, die meiste Zeit verbrachte er jedoch in der Schweiz, an der ETH Zürich, wo er seinen Bachelor-Abschluss als „Diplomingenieur in Chemie“ machte, und in Berlin.

Am Ende jedes Semesters kehrte er an die Universität Budapest zurück, um seine Kursprüfungen abzulegen (ohne an den Vorlesungen teilzunehmen, was gewissermaßen gegen die Regeln verstieß). Er schloss sein Chemiestudium in Zürich ab und promovierte in Mathematik in Budapest. Während seiner Zeit in Zürich verbrachte er einen Großteil seiner Freizeit mit mathematischen Problemen, dem Schreiben von Artikeln und der Korrespondenz mit Mathematikern. Zu dieser Zeit waren Hermann Weyl und George Pólya beide in Zürich und Johnny hatte Kontakt zu ihnen. Einmal war Weyl für kurze Zeit nicht in Zürich und Johnny übernahm für diese Zeit seinen Unterricht.

Es ist erwähnenswert, dass es in Europa im Allgemeinen nicht ungewöhnlich ist, dass junge Genies originelle mathematische Arbeiten hervorbringen. Im Vergleich zu den USA scheint es in der Berufsausbildung eine Lücke von mindestens zwei bis drei Jahren zu geben, was möglicherweise auf das intensivere Bildungssystem (Vorbereitungskurse) zwischen High School und College in den USA zurückzuführen ist. Doch selbst unter den Wunderkindern stach Johnny hervor. Er begann mit seiner ursprünglichen Arbeit während seines Studiums. 1927 wurde er Privatdozent an der Universität Berlin und war in dieser Funktion fast drei Jahre lang tätig. Während dieser Zeit wurde er aufgrund seiner Arbeiten zur Mengenlehre, Algebra und Quantentheorie Mathematikern auf der ganzen Welt bekannt. Ich erinnere mich, dass seine Arbeit über die Grundlagen der Mathematik und Mengenlehre bereits bekannt war, als er 1927 nach Lwów (damals Teil Polens) kam, um an einem Mathematikerkongress teilzunehmen. Wir, eine Gruppe von Studierenden, haben seine Arbeit als Beispiel für die Arbeit junger Talente verwendet.

1929 kam er an die Universität Hamburg und war dort weiterhin als Privatdozent tätig. 1930 kam er als Gastdozent an der Princeton University zum ersten Mal in die USA. Ich weiß noch, wie Johnny mir erzählte, dass es an deutschen Universitäten zwar nur wenige offene Stellen gäbe und auch künftig keine gäbe, es aber dennoch vierzig oder sechzig Dozenten gäbe, die in naher Zukunft eine Professur anstreben würden. Johnny rechnete in seiner typisch rationalen Art aus, dass die erwartete Zahl der Professorenernennungen „in drei Jahren“ bei 3 liege, während es 40 (Kandidaten-)Dozenten gebe! Er war auch der Meinung, dass bevorstehende politische Ereignisse die geistige Arbeit sehr erschweren würden.

Im Jahr 1930 nahm er eine Gastprofessur an der Princeton University an, wo er einen Teil des akademischen Jahres Vorlesungen hielt und im Sommer nach Europa zurückkehrte. Im Jahr 1931 wurde er zum Professor an der Princeton University ernannt. Im Jahr 1933 wurde er als Professor an das Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton berufen und war damit das jüngste Mitglied des Instituts mit einer Festanstellung.

Johnny heiratete Marietta Kovesi im Jahr 1930. Ihre Tochter Marina wurde 1935 in Princeton geboren. In den ersten Jahren nach der Gründung des Instituts empfanden die Gastwissenschaftler aus Europa es als äußerst zwanglos, aber mit einer äußerst starken wissenschaftlichen Atmosphäre. Die Professoren des Instituts haben ihre Büros in Fine Hall (Teil der Princeton University) und das Institut und die verschiedenen Abteilungen der Schule sind voller Berühmtheiten. Dies dürfte zu jeder Zeit einer der Orte mit der höchsten Konzentration an Talenten in den Bereichen Mathematik und Physik sein.

Auf Johnnys Einladung kam ich Ende 1935 zum ersten Mal in die Vereinigten Staaten. Professor Oswald Veblen und seine Frau organisierten wunderbare gesellschaftliche Aktivitäten, und ich stellte fest, dass das Haus von Neumanns [und James Waddell Alexanders] fast zum Mittelpunkt verschiedener Partys wurde. Es waren Depressionsjahre, aber dem Institut gelang es, einer beträchtlichen Zahl einheimischer und auswärtiger Mathematiker ein relativ sorgenfreies Leben zu ermöglichen.

Johnnys erste Ehe endete mit einer Scheidung. Im Sommer 1938 heiratete er während einer Reise nach Budapest erneut und brachte seine zweite Frau, Klára Dan, zurück nach Princeton. Sein Haus ist nach wie vor ein Treffpunkt für Wissenschaftler. Seine Freunde werden sich an seine Gastfreundschaft und die Atmosphäre dort erinnern, die voller Weisheit und Witz war. Clara war später eine der ersten Programmiererinnen, die mathematische Probleme für elektronische Computer schrieb, und sie entwickelte einige der frühen Techniken dieser Kunst.

Mit dem Beginn des Krieges in Europa begannen sich Johnnys Aktivitäten außerhalb des Instituts zu vervielfachen. Seine Positionen, Mitgliedschaften in Organisationen usw. sind am Ende dieses Artikels aufgeführt (Anmerkung des Herausgebers: wird im nächsten Artikel veröffentlicht). Allein anhand dieser Liste können wir die umfangreiche Arbeit nachvollziehen, die Johnny für verschiedene wissenschaftliche Projekte innerhalb und außerhalb der Regierung geleistet hat.

Im Oktober 1954 wurde er vom Präsidenten in die US-Atomenergiekommission berufen. Er nahm eine Beurlaubung von der Princeton University und trat von allen Ämtern mit Ausnahme des Vorsitzes des ICBM-Komitees zurück. Admiral Lewis Strauss, Vorsitzender der (Atomenergie-)Kommission und langjähriger Freund von Johnny, empfahl Johnnys Nominierung sofort, als er feststellte, dass in der Kommission eine Stelle vakant war. Über Johnnys kurze Tätigkeit im Komitee schrieb er:

Johnny war von seiner Ernennung bis zum Spätherbst 1955 äußerst hilfreich. Er besaß die unschätzbare Fähigkeit, selbst schwierigste Probleme in ihre Bestandteile zu zerlegen, sodass sie sehr einfach wurden. Alle fragten sich, warum wir die Antwort nicht so klar erkennen konnten wie er. Auf diese Weise erleichterte er die Arbeit der Atomenergiekommission erheblich.

Johnny war immer bei guter Gesundheit gewesen, aber ab 1954 begann er sehr müde auszusehen. Im Sommer 1955 entdeckte er durch Röntgenuntersuchungen die ersten Anzeichen der tödlichen Krankheit. Eine lange und schwere Krankheit setzte all seinen Aktivitäten allmählich ein Ende. Er starb im Alter von 53 Jahren im Walter Reed Hospital in Washington.

John von Neumann in den Augen seiner Freunde

In den Erinnerungen von Johnnys Freunden stand er immer mit seiner einzigartigen Haltung vor der Tafel oder diskutierte Probleme zu Hause. Irgendwie spiegelten seine Gesten, sein Lächeln und der Blick seiner Augen immer seine Gedanken oder den Kern der besprochenen Themen wider. Er war von mittlerer Statur, in jungen Jahren recht schlank, wurde aber zunehmend kräftiger; er ging mit kurzen Schritten, nie sehr schnell, sondern mit eher zufälliger Beschleunigung. Immer wenn ein Problem die Merkmale eines logischen oder mathematischen Paradoxons aufwies, huschte ein Lächeln über sein Gesicht. Neben seiner Vorliebe für abstrakte Weisheit schätzt er auch (und sehnt sich sogar danach) eher bodenständige Komödie und Humor.

Sein Verstand schien eine Ansammlung von Fähigkeiten zu sein, die zwar nicht widersprüchlich, aber zumindest unabhängig voneinander waren – jede erforderte ein so großes Konzentrations- und Gedächtnisvermögen, dass sie selten bei ein und derselben Person anzutreffen waren. Diese Fähigkeiten sind: ein Gespür für mathematische Ideen in mengentheoretischer Weise, formal basierend auf algebraischen Formen; Kenntnisse und Verständnis der wesentlichen Inhalte der klassischen mathematischen Analyse und Geometrie; und ein ausgeprägtes Gespür für die Anwendungsmöglichkeiten moderner mathematischer Methoden auf bestehende und neue Probleme der theoretischen Physik. All dies wird durch seine herausragenden und originellen Arbeiten konkret belegt, die ein sehr breites Feld des zeitgenössischen wissenschaftlichen Denkens abdecken.

Seine Gespräche mit Freunden über wissenschaftliche Themen konnten stundenlang dauern und ihm gingen nie die Themen aus, selbst wenn sie nicht mathematisch waren.

Johnny interessiert sich sehr für Menschen und liebt Klatsch und Tratsch. Man hat oft den Eindruck, er würde aus dem Gedächtnis verschiedene Charakteristika von Menschen sammeln, als würde er eine statistische Studie vorbereiten. Er achtet auch auf die Veränderungen, die der Lauf der Zeit mit sich bringt. Als er jung war, erwähnte er mir gegenüber mehrmals, dass seiner Meinung nach die kreativen mathematischen Fähigkeiten nach etwa 26 Jahren nachließen, dass aber eine gewisse prosaischere Weisheit und Findigkeit, die sich mit der Erfahrung entwickle, diesen allmählichen Verlust zumindest für eine Weile kompensiere. Später erhöhte er die Altersgrenze schrittweise.

In Gesprächen äußert er sich gelegentlich zu anderen Wissenschaftlern und hat im Allgemeinen eine recht tolerante Meinung, macht ihnen aber auch oft Komplimente oder kritisiert sie. Tatsächlich war er sehr zurückhaltend bei der Äußerung seiner Urteile und zögerte, endgültige Meinungen über andere abzugeben: „Lasst Rhadamanthys und Minos … richten …“ Als er einmal danach gefragt wurde, sagte er, dass er Erhard Schmidt und Weyl als Mathematiker betrachte, die ihn stark beeinflusst hätten, insbesondere in Bezug auf die technischen Aspekte seiner frühen Arbeiten.

Johnny wird von vielen als hervorragender Ausschussvorsitzender angesehen (eine besonders moderne Tätigkeit). Er wird seine fachlichen Ansichten energisch vertreten, in persönlichen oder organisatorischen Angelegenheiten jedoch leicht nachgeben.

Obwohl er über große Fähigkeiten verfügt und sich dieser auch bewusst ist, mangelt es ihm an einem gewissen Maß an Selbstvertrauen. Johnny bewunderte mehrere Mathematiker und Physiker sehr und glaubte, dass sie über höchste Qualitäten verfügten, die er selbst nicht erreichen konnte. Ich nehme an, dass die Eigenschaft, die ihm dieses Gefühl gab, eine Intuition für neue Wahrheiten war, eine relativ einfache geistige Fähigkeit; oder vielleicht eine Gabe für die scheinbar irrationale Einsicht in die Aussage oder den Beweis eines neuen Theorems.

Er war sich durchaus bewusst, dass die Wertkriterien für mathematische Arbeiten zu einem gewissen Grad rein ästhetischer Natur waren. Er äußerte die Sorge, dass in unserer heutigen Zivilisation der Wert abstrakter wissenschaftlicher Errungenschaften abnehmen könnte, dass „die menschlichen Interessen sich ändern könnten, dass die gegenwärtige wissenschaftliche Neugier nachlassen könnte, dass das menschliche Denken in Zukunft ganz anders sein könnte.“ An einem Punkt des Gesprächs erweckten die zunehmende Geschwindigkeit des technischen Fortschritts und die Veränderungen in der menschlichen Lebensweise den Eindruck, als näherten wir uns einer fundamentalen Singularität in der Menschheitsgeschichte, jenseits derer die Menschheit in ihrer bekannten Form nicht mehr fortbestehen könne.

Johnnys Freunde liebten seinen wunderbaren Sinn für Humor. Unter seinen wissenschaftlichen Kollegen konnte er aufschlussreiche (oft sarkastische) Kommentare zu historischen oder sozialen Phänomenen in der Art eines Mathematikers abgeben und dabei die Art von angeborenem Humor an den Tag legen, die nur in der leeren Menge zutrifft. Diese werden normalerweise nur von Mathematikern geschätzt. Natürlich betrachtete er die Mathematik nicht als unantastbar. Ich erinnere mich an eine Diskussion in Los Alamos über ein physikalisches Problem, bei dem die mathematischen Argumente auf ergodischen Transformationen und der Existenz von Fixpunkten basierten. Plötzlich lächelte er und sagte: „Die moderne Mathematik ist also doch anwendbar! Wir wissen es zwar nicht a priori, aber es könnte sein …“

Sein Hauptinteresse außerhalb der Wissenschaft galt dem Studium der Geschichte und sein Wissen über die antike Geschichte war unglaublich detailliert. Er konnte sich beispielsweise an alle Anekdoten aus Edward Gibbons „Geschichte des Niedergangs und Untergangs des Römischen Reiches“ erinnern und beteiligte sich nach dem Abendessen gern an historischen Diskussionen. Auf einer Reise in den Süden zur Duke University zu einem Treffen der American Mathematical Society (AMS) kamen wir an Schlachtfeldern des Bürgerkriegs vorbei und waren beeindruckt von seiner Vertrautheit mit den kleinsten Einzelheiten der Schlacht. Dieses enzyklopädische Wissen prägte durch eine Art „analytische Erweiterung“ seine Sicht auf den zukünftigen Verlauf der Ereignisse. Ich kann bezeugen, dass die meisten seiner Vermutungen über die politischen Ereignisse im Vorfeld des Zweiten Weltkriegs und die militärischen Ereignisse während des Krieges überraschend richtig waren. Nach dem Krieg ging er jedoch davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit einer unmittelbaren Katastrophe sehr hoch sei, und glücklicherweise erwiesen sich seine Befürchtungen als falsch. Möglicherweise neigt er dazu, historische Ereignisse zu rein rational zu betrachten, eine Tendenz, die auf einen zu formalisierten spieltheoretischen Ansatz zurückzuführen sein könnte.

Johnny war unter anderem ein hervorragender Linguist. Er erinnerte sich sehr gut an das Latein und Griechisch, das er in der Schule gelernt hatte. Neben Englisch spricht er fließend Deutsch und Französisch. Seine Reden in den Vereinigten Staaten waren für ihre literarische Qualität berühmt (nur wenige seiner Freunde hörten gern seine typischen Falschaussprachen, wie etwa „integhers“; Anmerkung des Übersetzers: Integers sollten „integers“ heißen). Während seiner häufigen Reisen zwischen Los Alamos und Santa Fe (New Mexico) waren seine Spanischkenntnisse nicht perfekt und während seiner Reisen in Mexiko versuchte er, sich mithilfe des „Neokastilischen“ auszudrücken, einer Sprache seiner eigenen Schöpfung – englische Wörter mit dem Präfix „el“ und den entsprechenden spanischen Endungen.

Vor dem Krieg verbrachte Johnny seine Sommer in Europa und hielt Vorlesungen (1935 an der Universität Cambridge und 1936 am Institut Henri Poincaré in Paris). Er erwähnte oft, dass es ihm aufgrund der angespannten politischen Atmosphäre fast unmöglich sei, dort wissenschaftlich zu arbeiten. Nach dem Krieg reiste er nur noch, wenn es unbedingt nötig war, ins Ausland.

Seit seiner Ankunft in den Vereinigten Staaten schätzt er die Möglichkeiten hier und setzt große Hoffnungen in die Zukunft der wissenschaftlichen Arbeit hier.

Von Neumanns große Errungenschaften

Unser chronologischer Rückblick auf von Neumanns Interessen und Leistungen ist in hohem Maße auch ein Rückblick auf die Entwicklung der Wissenschaft insgesamt in den letzten 30 Jahren. In seinen frühen Arbeiten konzentrierte er sich nicht nur auf mathematische Logik und axiomatische Mengenlehre, sondern auch auf die Substanz der Mengenlehre selbst und erzielte interessante Ergebnisse in der Maßtheorie und der Theorie der reellen Zahlen.

In dieser Zeit begann er auch mit seinen repräsentativen Arbeiten zur Quantentheorie, insbesondere zur Messung in der Quantenmechanik und den mathematischen Grundlagen der neuen statistischen Mechanik. Auch seine eingehende Untersuchung von Operatoren im Hilbert-Raum lässt sich auf diese Zeit zurückführen. Seine Forschung ging weit über die unmittelbaren Bedürfnisse der physikalischen Theorie hinaus; So war er beispielsweise ein Pionier bei der detaillierten Untersuchung von Operatorringen (Anmerkung des Übersetzers: Von-Neumann-Algebren) mit eigenständiger mathematischer Bedeutung; In dieser Zeit begann auch die Forschung zur kontinuierlichen Geometrie.

Von Neumanns Bewusstsein für die Ergebnisse anderer Mathematiker und das darin enthaltene Potenzial war erstaunlich. In seinen frühen Arbeiten inspirierte ihn Émile Borels Aufsatz über Minimax-Eigenschaften zu seinem Aufsatz „Zur Theorie der Gesellschaftsspiele“2[17], dessen Ideen später in einem seiner originellsten Werke, der Spieltheorie, gipfelten. Bernard Koopmans Idee über die Möglichkeit, Probleme der klassischen Mechanik über Operatoren auf Funktionsräumen zu behandeln, inspirierte ihn zum ersten strengen Beweis des Ergodensatzes in der Mathematik. Alfréd Haars Konstruktion von Maßen in Gruppen lieferte die Inspiration für seine geniale Teillösung von Hilberts fünftem Problem und er demonstrierte die Möglichkeit, analytische Parameter in kompakte Gruppen einzuführen.

Mitte der 1930er Jahre war Johnny fasziniert von Turbulenzproblemen in der Hydrodynamik und er erkannte die Geheimnisse hinter nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Seit dem Zweiten Weltkrieg befasste er sich mit der Untersuchung von Gleichungen der Strömungsdynamik und der Stoßtheorie. Die durch diese nichtlinearen Gleichungen beschriebenen Phänomene können nicht analytisch gelöst werden, und selbst ein qualitatives Verständnis ist mit den derzeitigen Methoden nicht möglich. Aus seiner Sicht schienen numerische Berechnungen der vielversprechendste Ansatz zum Verständnis des Verhaltens solcher Systeme zu sein. Dies führte dazu, dass er von Anfang an neue Möglichkeiten des Rechnens auf „elektronischen Maschinen“ untersuchte. Er begann, die Berechnungstheorie zu studieren und an der Theorie der Automaten zu arbeiten, die noch heute weiterentwickelt wird. Während dieser Studien entwickelte er ein großes Interesse an den Funktionsprinzipien des Nervensystems und der Systematik von Organismen und widmete diesem Ziel viel Energie.

Diese Reise durch die vielen Bereiche der mathematischen Wissenschaft ist nicht das Ergebnis von Rastlosigkeit. Dabei handelt es sich weder um ein Streben nach Neuheit noch um den Wunsch, eine kleine Anzahl allgemeiner Methoden auf viele verschiedene Spezialfälle anzuwenden. Anders als die theoretische Physik ist die Mathematik nicht auf wenige Kernprobleme beschränkt. Von Neumann war der Ansicht, dass das Streben nach Einheit zum Scheitern verurteilt sei, wenn es auf einer rein formalen Grundlage basiere. Diese breite Neugier basiert auf metamathematischen Motiven und ist stark von der physikalischen Welt beeinflusst – physikalischen Phänomenen, die möglicherweise noch lange nicht formalisiert werden. (Anmerkung des Herausgebers: Siehe „Kommentare von Yang Zhenning zur Axiomatisierung der Physik“).

Wenn Mathematiker eine kreative Arbeit beginnen, sind sie oft mit zwei gegensätzlichen Motivationen konfrontiert: Die erste besteht darin, das bestehende Gebäude zu erweitern – man kann schnell Anerkennung gewinnen, indem man bestehende Probleme löst; Der zweite Grund ist der Wunsch, neue Wege zu beschreiten und vorhandenes Wissen zu integrieren, um neue Bereiche zu schaffen. Letzterer Ansatz ist ein weitaus riskanteres Unterfangen und das endgültige Urteil über seinen Wert oder Erfolg wird erst in der Zukunft fallen. In seinen frühen Arbeiten entschied sich Johnny für die erste Option. Und später im Leben fühlte er sich selbstbewusst genug, um frei, aber sorgfältig an der Schaffung einer möglichen neuen mathematischen Disziplin zu arbeiten – der kombinatorischen Theorie von Automaten und Organismen. (Anmerkung des Herausgebers: Siehe „Das Vermächtnis von Turing und von Neumann: Die Architektur des lebenden Computers“) Krankheit und früher Tod ermöglichten ihm jedoch nur einen Anfang.

In seiner ständigen Suche nach Anwendbarkeit und seinem Instinkt für eine allgemeine Mathematik für alle exakten Wissenschaften erinnert er an Euler, Poincaré oder in jüngerer Zeit vielleicht an Hermann Weyl. Man sollte bedenken, dass die Vielfalt und Komplexität der heutigen Probleme weit über die Probleme hinausgeht, mit denen die ersten beiden Männer konfrontiert waren. In seinem letzten Artikel beklagte Johnny, dass es heute wahrscheinlich kein Gehirn mehr gebe, das in der Lage sei, mehr als ein Drittel des Wissens im Bereich der reinen Mathematik zu erlernen.

Frühe Arbeiten: Mengenlehre und Algebra

Von Neumanns erste Arbeit, die er in Zusammenarbeit mit Fekete verfasste, befasste sich mit den Nullstellen bestimmter Minimalpolynome. Dies ist eine Verallgemeinerung des Theorems von Feyer über die Lage der Nullstellen von Tschebyscheff-Polynomen. Der Artikel wurde 1922 fertiggestellt, als von Neumann noch keine 18 Jahre alt war.

Eine weitere Arbeit aus der Jugend war ein Aufsatz über gleichmäßig dichte Folgen (auf Ungarisch geschrieben, mit einer Zusammenfassung auf Deutsch), in dem gezeigt wurde, dass die Neuanordnung einer dichten Folge eine gleichmäßig dichte Folge ergibt. Die Arbeit lässt noch nicht die ganze Tiefe seiner mathematischen Ideen erkennen und auch nicht die technischen Schwierigkeiten, die sie mit sich bringen werden, aber die Themenwahl und die Einfachheit der in den Beweisen verwendeten Techniken lassen darauf schließen, dass seine künftige Forschung eine Kombination aus mengentheoretischer Intuition und algebraischen Techniken beinhalten wird.

Ein bemerkenswertes Merkmal dieser Ära war die Aufmerksamkeit, die eine große Zahl junger Mathematiker der Mengenlehre widmete. Die großen Ideen von George Cantor fanden ihren Ausdruck in der Theorie der reellen Variablen, in der Topologie und später in der Analysis durch die Arbeiten der großen Franzosen René-Louis Baire, Borel, Henri Lebesgue und anderer. Um die Jahrhundertwende gehörte dies nicht zur Grundintuition junger Mathematiker. Nach dem Ersten Weltkrieg fiel auf, dass diese Ideen für eine neue Generation von Mathematikern instinktiv geworden waren.

Bereits in der Arbeit über transfinite Ordinalzahlen [2]3 wurde von Neumanns einzigartiger Ansatz und Stil bei der algebraischen Behandlung der Mengenlehre demonstriert. Der erste Satz des Artikels stellt unverblümt fest: „Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, Cantors Konzept der Ordinalzahlen konkret und genau zu erklären.“ Wie im Vorwort ausgeführt, können Cantors eigene, zuvor etwas vage Aussagen durch die in Zermelos Axiomensystem gegebenen Definitionen ersetzt werden. Darüber hinaus skizziert er eine strenge Grundlage für die Definition mittels transfiniter Induktion. In der Einleitung des Artikels wurde ein streng formalistischer Ansatz betont, und von Neumann bemerkte sogar mit einigem Stolz, dass die Notation ... [für et cetera] und ähnliche Ausdrücke vorher nie existiert hätten. Diese Behandlung von Ordinalzahlen – die später auch von Kazimierz Kuratowski in Betracht gezogen wurde – ist bei weitem die beste Art, die Idee einzuführen, die für die „Konstruktion“ in der abstrakten Mengenlehre so wichtig ist. Nach von Neumanns Definition ist jede Ordinalzahl die Menge aller kleineren Ordinalzahlen, was die Theorie der Ordinalzahlen sehr elegant macht und das Konzept des Ordnungstyps vermeidet, das etwas vage ist, da die Menge aller Ordnungen in der axiomatischen Mengenlehre, die zu einer gegebenen Ordnung isomorph sind, keine Menge darstellt (nicht existiert).

Seine Arbeit über Prüfers Theorie der idealen algebraischen Zahlen [5]4 deutete auf die Breite seiner zukünftigen Forschungsinteressen hin. In diesem Aufsatz geht es um Probleme der Mengenlehre und die Aufzählung von Zweigen teilerfremder Ideale. Heinz Prüfer führte ideale Zahlen als „ideale Lösungen unendlich erzeugter Kongruenzrelationen“ ein. Die von Neumann in diesem Artikel verwendete Technik ähnelte der Arbeit von Kürschak und Mihály Bauer zu Hensels p-adischen Zahlen. Hier demonstrierte er erneut die Wirksamkeit der Methode der Verallgemeinerung von Konstruktionen auf der Grundlage endlicher Algebren auf den unendlichen Bereich (den Fall unendlich zählbarer Zahlen und des Kontinuums) – etwas, das in den folgenden Jahrzehnten in der mathematischen Forschung sehr verbreitet wurde. Ein weiterer Hinweis auf sein Interesse an Algebra ist eine kurze Anmerkung zu Minkowskis linearer Funktionaltheorie[39]5.

In vielen frühen Arbeiten von Neumanns kommt seine axiomatische Vision zum Ausdruck, und zwar in dem Sinne, dass seine Ideen formaler und präziser waren als jene, die die Logiker zu Beginn des 20. Jahrhunderts ursprünglich konzipiert hatten. In den meisten Arbeiten von Neumanns zwischen 1925 und etwa 1929 ging es ihm darum, den Geist des Axiomatismus auch für physikalische Theorien zu verbreiten. Er war mit der bestehenden Formulierung, nicht einmal der Mengenlehre selbst, nicht zufrieden und brachte dies im ersten Satz seines Aufsatzes über die Axiomatisierung der Mengenlehre [3]6 noch einmal unverblümt zum Ausdruck: „Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine logisch unumstößliche Axiomatisierung der Mengenlehre zu geben“; Der nächste Satz lautet: „Ich werde zunächst einige Schwierigkeiten der Axiomatisierung erörtern, die den Wert dieses Artikels ausmachen.“

Der letzte Satz dieses Dokuments von 1925 ist der interessanteste. Von Neumann wies auf die Grenzen jedes axiomatischen Systemformalismus hin. Hier handelt es sich vielleicht um eine vage Vorwegnahme von Kurt Gödels Beobachtung, dass es in formalen Systemen unentscheidbare Aussagen gibt. Der letzte Satz lautet: „Im Moment können wir nur feststellen, dass es Einwände gegen die Mengenlehre selbst gibt und dass es derzeit keine Möglichkeit gibt, diese Schwierigkeiten zu vermeiden.“ [Vielleicht denken wir hier an eine ähnliche Aussage aus einem ganz anderen Wissenschaftsbereich: Wolfgang Paulis Einschätzung zum Stand der relativistischen Quantentheorie in seinem Artikel im Handbuch der Physik; Unendlichkeiten und Divergenzen spielen in der Feldtheorie immer noch eine mysteriöse Rolle.]

Seine zweite Arbeit zu diesem Thema[18]8 trug den Titel „Die Axiomatisierung der Mengenlehre“ (1925).

Die Einfachheit des Axiomensystems ist erstaunlich. Die Einführung von Objekten erster und zweiter Ordnung entspricht Mengen bzw. Eigenschaften von Mengen in der naiven Mengenlehre; Diese Axiome nehmen gedruckt etwas mehr als eine Seite ein, reichen aber aus, um fast die gesamte naive Mengenlehre und daraus die gesamte moderne Mathematik zu begründen. Dies ist bis heute eine der besten Grundlagen der mengentheoretischen Mathematik. Gödel verwendete in seinem großen Werk über die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese ein von diesem Ansatz inspiriertes System. Bezeichnenderweise erkannte von Neumann in seinem ersten Aufsatz über die Axiomatisierung der Mengenlehre ausdrücklich die beiden grundsätzlich unterschiedlichen Richtungen an, die Mathematiker eingeschlagen hatten, um das Burali-Forti-Paradoxon, das Richard-Paradoxon und das Russell-Paradoxon zu vermeiden. Die radikalere Ansicht einer Gruppe bestehend aus Bertrand Russell, Julius König, L.E. J. Brouwer und Weyl bestand darin, dass die gesamte logische Grundlage der exakten Wissenschaften eingeschränkt werden müsse, um Paradoxien der oben beschriebenen Art zu verhindern. „Der Gesamteindruck ihrer Arbeit ist geradezu niederschmetternd“, sagte von Neumann. Er wandte sich dagegen, dass Russell die gesamte Mathematik auf dem zweifelhaften Axiom der Reduzibilität aufbaute. Er wandte sich auch gegen die Ablehnung vieler seiner Ansicht nach bedeutsamerer Aspekte der Mathematik und Mengenlehre durch Weyl und Brouwer.

Er hatte ein besseres Verständnis für eine zweite, weniger radikale Gruppe, zu der Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel und Arthur Moritz Schoenflies gehörten. Von Neumann wusste, dass ihre Arbeit (und seine eigene) noch lange nicht abgeschlossen war, und er machte deutlich, dass die Axiome etwas willkürlich erschienen. Er sagte, dass ihre Axiomatisierung nicht beweisen könne, dass das formale System nicht zu Widersprüchen führen könne, aber selbst wenn die naive Mengenlehre in diesem Sinne nicht völlig ernst genommen werden könne, könne zumindest das meiste, was sie enthalte, als Beweise im formalen System neu formuliert werden, und diese „formalen“ Inhalte könnten klar definiert werden.

Von Neumann lieferte die erste endliche Axiomatisierung der Grundlagen der Mengenlehre, die eine einfache logische Struktur wie die Axiome der elementaren Geometrie hatte. Die Einfachheit des Axiomensystems und die formalen Merkmale der Argumentation schienen Hilberts Ziel zu erreichen: die Mathematik als ein endliches Spiel zu behandeln. Hier können wir die Wurzeln von Neumanns späterem Interesse an Computern und der „Mechanisierung“ von Beweisen erkennen.

Ausgehend von diesen Axiomen lassen sich die meisten wichtigen Konzepte der Mengenlehre mit erstaunlicher algebraischer Effizienz ableiten. Diese Sparsamkeit der Behandlung scheint darauf hinzudeuten, dass es eher um die wesentliche Einfachheit geht als um Künstlichkeit um der Einfachheit willen. Dies bildet die Grundlage für die Verwendung des Konzepts „Maschine“ oder „Automat“ zur Untersuchung der Grenzen endlicher formaler Systeme9.

Was mir seltsam vorkommt, ist, dass von Neumanns Denken in vielen mathematischen Diskussionen zu Themen der Mengenlehre und verwandter Gebiete ebenfalls formal zu sein scheint. Die meisten Mathematiker scheinen bei der Diskussion von Problemen in diesen Bereichen einen intuitiven Rahmen im Kopf zu haben – basierend auf Geometrie oder Diagrammen, Pfeilen und dergleichen, die abstrakte Mengen darstellen können. Von Neumann erweckt den Eindruck, als denke er rein formal und sequentiell. Was ich sagen will, ist, dass seine Art von Intuition, die auf Intuitionen basiert, die – wie andere „direktere“ Intuitionen – zu neuen Theoremen und Beweisen führen können, sehr selten zu sein scheint. Wenn man, wie Poincaré sagte, Mathematiker in zwei Kategorien einteilt – visuelle Intuition und auditive Intuition –, könnte Johnny zur letzteren gehören. Für ihn kann „auditive Intuition“ jedoch sehr abstrakt sein. Genauer gesagt geht es dabei um die Verbindung und Transformation zwischen dem Beweisspiel formaler Sprachen und der mathematischen Interpretation dieser Symbole. Es ist ein bisschen wie der Unterschied zwischen dem Aufzeichnen von Schachzügen in algebraischer Notation und dem Vorstellen des tatsächlichen Schachbretts im Kopf.

In einigen neueren Diskussionen über den Stand der Grundlagen der Mathematik scheint von Neumann anzudeuten, dass die Geschichte seiner Ansicht nach noch lange nicht zu Ende ist. Gödels Entdeckung erfordert einen neuen Weg, die Rolle des Formalismus in der Mathematik zu verstehen, statt das Thema gänzlich zu beenden.

Sein Papier [16] 10 liefert eine strenge axiomatische Behandlung der informellen Diskussion in [2]. Der erste Teil des Papiers führt die grundlegenden Operationen in der festgelegten Theorie, die theoretischen Grundlagen der Äquivalenz, des Isomorphismus und der Wohlbefinden ein. Aufgrund der Behandlung von Ordnungszahlen wird schließlich die Möglichkeit von endlichen oder transfiniten induktiven Definitionen bewiesen. Von Neumann wies am Ende der Einführung in sein Papier korrekt darauf hin, dass die transfinitische Induktion in keinem früheren axiomatischen oder nicht axiomatischen System der festgelegten Theorie streng eingeführt worden war.

Die vielleicht interessanteste von von Neumanns Papieren zu den Axiomen der Set -Theorie ist [23] 11. In dem Artikel werden die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für alle Sätze erörtert, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, um einen neuen Satz zu bilden. Die Bedingung ist, dass keine Injektion aus der Klasse aller Sätze in die Klasse von Sätzen vorhanden ist, die diese Eigenschaft erfüllen. Das Existenzprinzip dieses Satzes wurde von von Neumann als Axiom 12 verwendet, und einige Axiome, die in anderen Systemen angenommen wurden, insbesondere das Axiom der Wahl, können daraus abgeleitet werden. Jetzt haben wir auch bewiesen, dass umgekehrt auch diese anderen Axiome zu diesem von Neumann -Axiom führen können. Wenn die üblichen Axiome konsistent sind, ist dieses Axiom auch konsistent.

Sein großes Papier im Mathematischen Zeitschrift [12] 13, „Zur Hilbertsschen Beweitheorie“ (über Hilberts Proof -Theorie), befasste sich speziell mit dem Problem, Widersprüche in der Mathematik zu vermeiden. Diese klassische Studie erklärt die ursprünglichen Ideen hinter dem Formalismus allgemeiner Mathematik. Der ursprüngliche Text betont, dass dieses komplexe Problem, das von Hilbert initiiert und entwickelt wurde und an dem auch andere wie Paul Bernay und Wilhelm Ackermann teilgenommen haben, noch nicht zufriedenstellend gelöst wurden. Insbesondere wies von Neumann darauf hin, dass Ackermanns Konsistenznachweis nicht auf die klassische Analyse angewendet werden kann, und wir können nur eine strenge endliche Methode verwenden, um die Konsistenz eines Subsystems davon zu beweisen. Tatsächlich hat von Neumann (obwohl er dies nicht explizit angab), dass die logische Theorie von Quantifizierern und Propositionalkonnektiven über endliche (d. H. Laut lehnte) Beziehungen konsistent ist. Dies ist nicht weit von der Grenze von dem, was mit Hilberts ursprünglichem Plan erreicht werden könnte, nicht weit davon entfernt. Von Neumann spekulierte jedoch zu der Zeit, dass die Konsistenz aller Analysen auf die gleiche Weise demonstriert werden konnte. Derzeit hat man den Eindruck, dass die Ideen, die durch die Arbeit von Hilbert und seiner Schule, die sich auf so genaue Weise entwickelten, entwickelt und dann vollständig von Gödel revolutioniert wurden, noch nicht zu Ende sind. Vielleicht befinden wir uns inmitten eines weiteren großartigen Prozesses: der „naiven“ Behandlung der festgelegten Theorie und Versuchen, unsere Intuitionen über Unendlichkeit zu formalisieren, in Richtung der „Superset -Theorie“ der Zukunft gehen. Was in der Geschichte der Mathematik nicht ungewöhnlich ist, ist, dass die Intuition von Top -Mathematikern über bestehende wissenschaftliche Probleme oder vielmehr ein gemeinsames vage Gefühl offiziell in ein "Supersystem" einbezogen wird, das die Essenz des ursprünglichen Systems betrifft.

Von Neumanns Interesse an grundlegenden mathematischen Problemen dauerte bis zum letzten Moment seines Lebens. Fünfundzwanzig Jahre nach der Geburt der oben genannten Reihe von Papieren kann man die Markierungen derjenigen in der von ihm konstruierten Computerlogik finden.

Während der Untersuchung der Grundlagen der Mathematik erzielte von Neumann auch einzigartige Fortschritte in der Set -Theorie selbst und in der Theorie realer Variablen und Algebraiken, die von Problemen in der festgelegten Theorie getrieben wurden. Zum Beispiel konstruiert von Neumann eine Untergruppe von reellen Zahlen, die sich mit Continuum -Equipotentials beziehen, so dass ein endliches Element darin algebraisch unabhängig ist. Und dieser Beweis verwendet das Auswahl -Axiom nicht. In einem Papier [14] 14, das im selben Jahr in Mathematicae Fundamenta veröffentlicht wurde, gab er eine Methode, um Intervalle in mehrere disjunkte und kongruente Teilmengen zu zerlegen (Anmerkung des Übersetzers: Zwei Untergruppen einer Reihe von reellen Zahlen sind nur dann kongruent, wenn eines der Teilmengen eine andere Teilmenge durch Übersetzungs- und Symmetrie -Operationen erhalten kann). Diese Methode löst ein Problem mit Hugo Steinhaus - eine spezielle Konstruktion ist erforderlich, um eine solche Zerlegung über Intervalle durchzuführen. Die entsprechende Zersetzung des Kreises durch Felix Hausdorff ist viel einfacher. (Dies liegt daran, dass der Umfang ein Gruppenverteiler ist.)

In dem Papier zur allgemeinen Messtheorie [28] 15 löste von Neumann das Problem der endlichen Zusatzmessungen für Teilmengen von Gruppen. Er erweiterte das Paradox der kugelförmigen Zersetzung von Hausdorf und Theorien der wunderbaren Zersetzung dreidimensionaler Kugeln von Stefan Banach und Alfred Tarski vom euklidischen Raum bis zur allgemeinen Nicht-Abel-Gruppe (Anmerkung des Herausgebers: siehe "Mathematikermagie: Ein und zwei"). Die positiven Ergebnisse von Banachs Addition aller Teilmengen der bestehenden Ebene werden auf die Teilmenge der General Exchange Group verallgemeinert. Johnnys endgültiger Schlussfolgerung ist, dass alle lösbaren Gruppen "messbar" sind (d. H. Solche Maßnahmen können darin eingeführt werden).

Dieses Papier erweitert die Schlussfolgerungen über den euklidischen Raum in der festgelegten Theorie auf die umgesiedelten Topologie- und algebraischen Strukturen. Dies ist eines der ersten Beispiele für ähnliche Probleme und Methoden, und dieser Trend ist seitdem immer signifikanter geworden. Die "Konsistenz" von zwei Sätzen wird unter der Aktion einer bestimmten Transformationsgruppe breiter als Äquivalenz verstanden. Die Maßnahme ist eine generalisierte addbare Funktion. In ähnlicher Weise setzt der Ausdruck dieses Problems Hals Arbeit und die Untersuchung der Zersetzung des Hausdorf-Banach-Tusky-Paradoxes voraus.

Im "Jahr des Wunders" im Jahr 1928 schrieb von Neumann auch einen Artikel über die Spieltheorie. Dies ist seine erste Arbeit in dieser späteren wichtigen Richtung im Bereich der Komposition. Die Spieltheorie boomt derzeit und hat viele Anwendungen. Es ist kaum zu glauben, dass er seit 1927, während er die obigen Arbeiten abgeschlossen hat, auch eine große Anzahl von Arbeiten auf der mathematischen Grundlage der Quantentheorie und der Wahrscheinlichkeitsprobleme in der Quantenstatistik -Theorie veröffentlichen kann und auch wichtige Ergebnisse in der kontinuierlichen Gruppenrepräsentation erzielt hat!

Realvariable Funktionstheorie, Messtheorie, Topologie, kontinuierliche Gruppe

Der Artikel von Professor Paul Halmos beschreibt von Neumanns wichtigem Beitrag zur Messtheorie. Und wir stellen seine Arbeiten in diesem Bereich kurz mit seinen anderen Beiträgen vor.

Das Papier [35] 17 löst ein von HAL angesprochenes Problem in Bezug auf die Auswahl repräsentativer Elemente einer Funktionsklasse unter Berücksichtigung des Produkts der Leistung eines endlichen Systems und des darauf definierten linearen Verteilers; Wenn zwei Funktionen auf einem linearen Verteiler außerhalb eines Nullsatzes gleich sind, werden sie als äquivalent definiert. Dieses Problem wurde auf andere Maßnahmen als Leberg -Messungen verallgemeinert, und ein ähnliches Problem wurde deutlich gelöst.

Das Papier [45] 18 zeigt eine wichtige Schlussfolgerung in der Messtheorie: Die boolesche Kartierung einer garantierten Messung zwischen zwei messbaren Setklassen (von zwei Messräumen) wird durch eine Punktumwandlung einer garantierten Messung erzeugt. Diese Schlussfolgerung ist sehr wichtig, um zu belegen, dass ein allgemeinerer, vollständiger trennbarer Messraum dem euklidischen Raum mit Leberg -Messungen entspricht, sodass wir die Boolesche Algebra vereinfachen können, die aus allen messbaren Mengen in die üblichen Leberg -Messungen für die Studie besteht.

In Papier [51] 19 demonstrierte von Neumann die Einzigartigkeit der von Haal konstruierten Haal-Messung (siehe Ann. Of Math. Bd. 34, S. 147-169), wodurch die (Leberg-Typ) -Messung unter der linken oder rechten Multiplikation der Gruppe unverändert bleibt. Für die enge Gruppe wurde zu dieser Zeit die Einzigartigkeit der HAL -Messung bewiesen. Von Neumann stellte ein Konstrukt in seinem Beweis ein, das sich von HAL unterscheidet. Dieser Artikel ist vor der allgemeinen theoretischen Konstruktion fast periodischer Funktionen in einer trennbaren topologischen Gruppe und ist mit seiner orthogonalen Repräsentationstheorie vereinbar.

In Papier [54] 20 verallgemeinert von Neumann das Konzept der Vollständigkeit, das zuvor nur für den Messraum auf linearem topologischem Raum definiert wurde, während interessante Beispiele für den nicht gemessenen Raum, sondern den vollständigen Raum erhalten wurden. Natürlich beinhaltet diese Situation untrennbarer Raum. Das Papier enthält auch neuartige Konstruktionen von pseudo-metrischen und konvexen Raum.

In einem Papier [59] 21 in Zusammenarbeit mit Pascual Jordan lösten sie das Problem der Repräsentation des verallgemeinerten Hilbert -Raums im linearen Messraum, das von René Maurice Fréchet vorgeschlagen wurde. Dieser Artikel stärkt das Frecher-Ergebnis und erhält einen ausreichenden Zustand: ein linearer metrischer Raum l isomorph für den Hilbert-Raum, wenn und nur dann, wenn jeder 2-dimensionale lineare Unterraum isomorph für den euklidischen Raum ist.

Die Ergebnisse der Arbeit [35] werden in einem Artikel [60] 22 in Zusammenarbeit mit Marshall Harvey Stone populär gemacht. Das Papier [35] befasst sich mit dem folgenden Problem: Nachdem Sie ein bestimmtes bilaterales Ideal aus einer abstrakten Ringform entfernt haben, wählen Sie repräsentative Elemente aus den verbleibenden Klassen aus. Dieses Papier enthält eine Reihe von Ergebnissen zur Repräsentationstheorie, nachdem Boolesche Ringformung herausgenommen wurde.

In der Zeitung [64] 23 des russischen Journals "Sbornik" studierte von Neumann erneut die Einzigartigkeit der Hal -Messung. Der vorherige Beweis der Einzigartigkeit wurde durch einen anderen Ansatz erreicht als die Haal -Konstruktion, die keine Elemente enthält und automatisch die Einzigartigkeit der Messung ableitet. Dieser Artikel bietet eine unabhängige Methode für die Einzigartigkeit der doppelinvarianten externen Messung lokaler eng gruppierbar. [Gleichzeitig gab André Wei einen anderen Beweis. 】

In der Arbeit [69] 24 in Zusammenarbeit mit Kuratovsky erhalten sie einige präzise und leistungsstarke Ergebnisse für die Projektion bestimmter realer Zahlen, die durch die überlimitende Induktion definiert sind. Der berühmte Lebeg -Set 25 wurde zuvor von Kuratovsky als die dritte Projektklasse (Projektive Klasse 3) bewirtschaftet, aber nun ist es der Unterschied zwischen zwei analysierten Sets und gehört daher zur zweiten Projektklasse. Mit einigen universelleren Konstruktionen erhielten sie einen allgemeineren Satz über festgelegte analytische Merkmale (im Sinne von Hausdorff). Dieses Ergebnis scheint von großer Bedeutung für die aktuelle unvollständige projektive Set -Theorie zu sein.

Das in Compositio Mathematica [75] 26 veröffentlichte Übersichtspapier "on Infinite Direct Products" enthält die algebraische Theorie der Operatoren und die Messtheorie dieses Systems, die in der modernen abstrakten Analyse sehr wichtig ist. Von Neumann fasste einige frühere Arbeiten zu Algebraik- und Bedienerringen von Funktionsbetreibern zusammen, einschließlich nicht trennbarer Hyper-Hilbert-Räume. Aus methodischer Sicht und praktischer Struktur enthält dieses Papier Pionierinhalte in der Erforschung von ERA -Zahlen und ist auch ein hervorragender Einführungsartikel. Ausgehend von Vector Space verarbeitet der Artikel zuerst sein Produkt, dann die linearen Operatoren auf diesen Strukturen und verarbeitet schließlich die Klassen dieser Operatoren und beginnt erneut von der "ersten Ebene", um die algebraischen Eigenschaften dieser Operatoren als Vektorraum zu untersuchen. Von Neumann beabsichtigt, dieses exquisite System mit Hyperquantisierung in der Quantentheorie zu vergleichen und betrachtet dieses Papier insbesondere als mathematische Vorbereitung für nicht zählbare Produkte.

Das Papier [24] 27 untersucht eine Reihe von Problemen, die aus Hilberts fünftem Problem abgeleitet wurden: Ob die Parameterumwandlung kontinuierlicher Gruppen Gruppenoperationen analytisch machen kann. Meiner Meinung nach ist dieses Papier die erste wichtige Leistung auf diesem Gebiet. Es verarbeitet die Untergruppen linearer Transformationsgruppen im n-dimensionalen Raum und erzielt ein positives Ergebnis: Jede dieser kontinuierlichen Gruppe hat eine regelmäßige Untergruppe, und es gibt eine lokale Analyse-Parameterdarstellung, und eine solche Parameterdarstellung entspricht einzeln den endlichen Parametern.

Diese Theoreme zeigen zum ersten Mal, dass Gruppeneigenschaften die gemeinsame "pathologische" Möglichkeit in der univariaten realen variablen Funktionstheorie verhindern. Dieses Papier zeigt die Struktur dieser Gruppen ausführlich, indem Elemente als Produkte von Exponentialbetreibern dargestellt werden. Das Ergebnis wurde später von Élie Cartan auf die Untergruppen allgemeiner Li -Gruppen verallgemeinert und vereinfacht. Diese Ergebnisse zeigen, dass für einen linearen Verteiler, wenn sie die folgenden Eigenschaften erfüllt: Wenn sie die Matrix u, v enthält, ist es auch Exchange-Subuv-VU, ein solcher linearer Verteiler ist eine unendliche kleine Gruppe der gesamten Gruppe G. Dieses Papier ist sehr wichtig, da es vor jiatang und später als Igor Dmitrivich Ado liegt. Natürlich löste von Neumanns eigener Papier [48] 28 das fünfte Problem von Hilbert in der engen Gruppe.

Dieses schöne Ergebnis basiert auf Hals Papier (veröffentlicht in derselben Ausgabe), in der Hal eine invariante Messfunktion in einer kontinuierlichen Gruppe einführte. Inspiriert von diesem übernahm von Neumann Peter-Weyl-Integral ähnlich der Gruppe und verwendete eine lineare Kombination von endlichen Eigenfunktionen des integralen Operators (dies wurde von Dr. Schmidts These angewendet Omorphed in eine geschlossene Gruppe, die aus einheitlicher Matrix in endlichen Abmessungen besteht.

Der Ansatz dieses Papiers ermöglicht es uns, eine allgemeinere Gruppe (nicht unbedingt n-dimensionaler) als Untergruppe des unendlichen Produkts dieser n-dimensionalen Gruppe darzustellen. Im zweiten Teil des Papiers ist ein Beispiel angegeben: Eine endlich dimensionale nichtdige Gruppe, die aus Transformationen besteht, die auf den euklidischen Raum reagieren, kann diese Transformationen nicht analytisch machen, unabhängig davon, wie die Parameter geändert werden, können diese Transformationen nicht analytisch machen. Dies dauert fast 20 Jahre früher als Hilberts fünfter Problem, einschließlich der Arbeit von Deane Montgomery und Andrew Gleason in "Open" (d. H. Nicht-dicht) n-dimensionale Clustersituationen. Um diese Erfolge zu erzielen, erfordert von Neumann ein tiefgreifendes Wissen über die festgelegte Theorie und die reale variable Technologie, eine Intuition der topologischen Ideen von Browell und ein echtes Verständnis der Fähigkeiten der integralen Gleichung und der Matrixberechnungen.

In einem Artikel, der mit Joeldon und Eugene Wigner [50] 29 zusammenarbeitet, können wir feststellen, dass von Neumann abstrakte algebraische Ideen und analytische Techniken kombiniert, ein Papier über die Formalisierung der Quantenmechanik, die als der Ausgangspunkt für die zukünftige Verallgemeinerung der Quantenmechanik -Theorie angesehen wird, mit ausgewachsenen, aber nicht gebundenen hyperkomplexischen Algebras. Das grundlegende Ergebnis ist, dass alle diese formal endlichen, austauschbaren R-Number-Systeme nur Matrixalgebras sind, mit einer Ausnahme. Diese Ausnahme scheint jedoch zu eng für die für die Quantentheorie erforderliche Verallgemeinerung.

In einer inoffiziellen Zusammenfassung, die dem Gazette der American Mathematical Society (Anhang 2 [14] 30) eingereicht wurde, schlug von Neumann einen einseitigen Satz vor, der die Einheitenzweige aller Homoembryos der dreidimensionalen Kugeln enthielt. Der tatsächliche Satz ist: Bei zwei zwei (keiner von ihnen ist keine Identität zugeordnet) homoembryonaler A und B gibt es eine Konjugation einer endlichen Zahl (23 reicht aus) von a, damit ihr Produkt gleich B.

Hilbert Space, Operator -Theorie und Operatorring

In Hilberts Space, Bedienungstheorie und Bedienerringen finden Sie die grundlegenden und umfassenden Forschungen dieser Themen in seinen Papieren mit den Professoren Francis Joseph Murray und Professor Richard V. Kadison. Sein anfängliches Interesse an dem Thema ergibt sich aus dem strengen mathematischen Ausdruck der Quantentheorie.

1954 sagte von Neumann in einem Fragebogen an der National Academy of Sciences, dass die Arbeit einer seiner drei wichtigsten mathematischen Beiträge sei. Allein in Bezug auf den Raum erklären Papiere zu diesen Themen etwa ein Drittel seiner veröffentlichten Werke. Es enthält eine sehr detaillierte Analyse der Eigenschaften linearer Operatoren sowie eine algebraische Untersuchung von Operatorklassen (Operatorringe) im unendlichen Dimensionsraum. Diese Erfolge erzielten den Zweck, den er im Buch Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik behauptete. Dies zeigte, dass die von Hilbert vorgeschlagene mathematische Idee eine ausreichende Grundlage für die Quantenphysik legen konnte und dass diese physische Theorie kein neues mathematisches System eingeführt wurde.

Von Neumanns Klassifizierung der linearen Eigenschaften des einheitlichen Raums ist unglaublich detailliert und löst viele Probleme mit unbegrenzten Betreibern. Es gibt eine vollständige Theorie hypermaximaler Transformationen und macht den Hilbert -Raum nahezu gleich wie der endlich -dimensionale euklidische Raum, vollständig unter der Beherrschung der Mathematiker.

Von Neumann hat sich während seiner akademischen Karriere für dieses Thema interessiert. Selbst bis zum Ende, während er sich an anderen Forschungsarbeiten beteiligt hatte, erzielte er Ergebnisse zu den Bedienungseigenschaften und der Spektralheorie. Das Papier [106] 31 wurde 1950 veröffentlicht und zu seinem 75. Geburtstag geschrieben, um Schmidt zu gratulieren (es war Schmidt, der ihn dazu veranlasste, den Charme dieses Themas anzuerkennen). Niemand tut mehr als von Neumann, um das Geheimnis der Nicht-Fibrillarität zu erforschen, zumindest im Fall der Einheit und ihrer linearen Transformation. Für eine lange Zeit wird die Arbeit in diese Richtung auf seinen Ergebnissen beruhen. Diese Arbeit wird nun von seinen Mitarbeitern und ehemaligen Studenten (insbesondere Murray) und anderen hart gedrängt, und wir können von ihnen voll und ganz erwarten, dass sie wertvollere Einblicke in die Natur linearer Operatoren erhalten.

Gittertheorie und kontinuierliche Geometrie

Garrett Birkhoffs Artikel "Von Neumann und Gittertheorie" verzeichnet Johnnys Arbeit über Keimtheorie und kontinuierliche Geometrie. Von Neumanns Interesse an diesen Theorien basiert auch auf der potenziellen Anwendung dieser neuen Kombinationen und algebraischen Strukturen in der Quantentheorie.

Um 1935 entwickelte und förderte Burkhoff die Genitalentheorie von Richard Dedekinds ursprünglicher Aussage. Rund um den gleichen Zeitraum leitete Marshall Stone systematisch auf die Eigenschaften der Booleschen Algebra in der algebraischen Theorie und der festgelegten Theorie aus. Ich erinnere mich, dass Berkhoff, Stone und von Neumann im Sommer 1935 auf dem Rückweg von einer mathematischen Konferenz in Moskauer in Warschau stehen und einfache Reden zu neuen Entwicklungen in diesen Bereichen hielten, einschließlich neuer Ausdrücke der Quantentheorie -Logik. Diese nachfolgende Diskussion hat die Menschen dazu gebracht, die potenziellen Anwendungen der Quantentheorie in der Sprache der allgemeinen Booleschen Algebra und der Gittertheorie zu erwarten. Später kehrte von Neumann viele Male zu diesen Versuchen zurück, aber die meisten seiner Ideen in dieser Richtung wurden in unveröffentlichten Notizen32 aufgezeichnet.

Seine Forschung zu kontinuierlicher Geometrie und Geometrien ohne Punkte basiert auf der Überzeugung, dass das ursprüngliche Konzept der Quantentheorie mit solchen Objekten zusammenhängt. Offensichtlich besteht das "Universum der Physik" aus mehreren Klassen oder linearen Verteilern, die aus äquivalenten Punkten in Hilberts Raum bestehen. (Dirac hat dies in seinem Buch klar gemacht.)

Einige dieser verwandten Arbeiten wurden im Symposium eingeführt, und ihr Inhalt wurde in die Vorträge des Princeton Institute aufgenommen. Einige wurden in Form von Manuskripten erhalten. Als ich diese Probleme mit von Neumann diskutierte, war ich beeindruckt, dass er ab 1938 der Ansicht war, dass bestehende Probleme in der Kernphysik völlig unterschiedliche Arten neuer Probleme aus neuen Entdeckungen verursachten, und es wurde weniger wichtig, darauf zu bestehen, die Quantentheorie mit mathematisch makellosen Systemen zu erläutern. Nach dem Krieg drückte er einige Ansichten ähnlich wie Einstein aus und sagte, dass die Häufigkeit der Kern- und Elementarpartikelphysik verwirrend ist, sodass jeder Versuch, eine allgemeine Quantenfeldtheorie zu etablieren, zumindest zu früh ist. (Fortgesetzt werden)

Hinweise

1. Diese Nachricht wurde von Ferner in einem Brief übermittelt, in dem Johnnys frühes Lernen erinnerte.

2. [17] Zur Theorie der Gesellschaftspiele, Math. Ann. Bd. 100 (1928) S. 295-320.

3. [2] Zurstiihrung der Transfiniten Ordnungszahl, Acta Univ. Szeged Vol.1 (1923) S. 199-208.

4. [5] Zuriferschen Theorie der Ideen Zahlen, Acta Univ. Szeged Vol. 2 (1926) S. 193-227.

5. [39] Zumweise des Minkowskischen Satzen über linearformen, Math. Zeit. Bd. 30 (1932) S. 1-2.

6. [3] Ein AxiomatiSierung der Mengenlehre, J. Reine Angew. Mathe. Bd. 154 (1925) S. 219-240.

7. Regarding this article, Professor Fraenkel of the Hebrew University of Jerusalem wrote to me the following: "About 1922-1923, I was a professor at the University of Marlborough, and I received a long manuscript from Professor Ehad Schmidt, Berlin (the editorial department representing Mathematicisierung der Mengenlehre, his final doctoral thesis, but was not published in the Journal of Mathematicsche Zeitschrift (Volume 27) until 1928. I was asked for advice because the article seemed difficult to understand. I did not think I knew everything, but it was enough to see that it was a masterpiece, and I recognized the "little lion's claws" (ex ungue) leonem. To answer these questions, I invited the young scholar to visit Marlborough to discuss with him, and strongly suggested that he prepare an informal paper to explain the highly technical article, emphasizing new ways of solving problems and its basic results. For this purpose, he wrote an article entitled "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre," which I published in 1925 im Journal of Pure Mathematik (154 Bände) als ich der stellvertretende Herausgeber des Magazins war. "

8. [18] Die AxiOMatiSierung der Mengenlehre, Math. Zeit. Bd. 27 (1928) S. 669-752.

9. Natürlich denkt Leibniz.

10. [16] über die Definition der Definition von Trans -Finite -Induktion, und Verwandte Fragen der Allgemeinen Mengenlehre, Math. Ann. Bd. 99 (1928) S. 373-391.

11. [23] über die Fig -Spruchfrei -Freage der Axiomatischen Mengenlehre, J. Reine Angew. Mathe. Bd. 160 (1929) S. 227-241.

12. Götel sagte: "Was an diesem Axiom interessant ist, ist, dass es ein Prinzip der Maximität ist, das dem Hilbert-Axiom der Geometrie etwas ähnlich ist. Vielmehr bedeutet dies, dass ein Satz, solange es nicht zu Widersprüchen führt, zu einem Widerspruchsgespräch führt Kontinuitätsproblem kann mit Hilfe so stärkerer Axiome nur zufriedenstellend gelöst werden.

13. [12] Zur Hilbertsschen BeweiStheorie, Math. Zeit. Bd. 26 (1927) S. 1-46.

14. [14] Zerlegung des Intervalles in Abzâhlbar Viele Kongruente Teilmengen, Fonds. Mathe. Bd. 11 (1928) S. 230-238.

15. [28] Zur Allgemeinen Theorie des Masses, Fonds. Mathe. Bd. 13 (1929) S. 73-116.

16. Kürzlich von RM Robinson in die extremste minimale Form gebracht.

17. [35] Algebraische Refrainentanten der Funktionen „bis aufger Menge vom Uaasse Null“, J. Reine Angew. Mathe. Bd. 161 (1931) S. 109-115.

18. [45] Einige Sâtze Uber Messbars Abbildungen, Ann. der Mathematik. Bd. 33 (1932) S. 574-586.

19. [51] Zum Haarschen Maass in Topologischen Gruppen, Compositio Math. Bd. 1 (1934) S. 106-114.

20. [54] Auf kompletten topologischen Räumen, trans. Amer. Mathe. Soc. Bd. 37 (1935) S. 1-20.

21. [59] auf inneren Produkten in linearen metrischen Räumen. Mit P. jordan. Ann. von Math, Vol. 36 (1935) S. 719-723.

22. [60] Die Bestimmung repräsentativer Elemente in den Restklassen einer Booleschen Algebra. Mit MH Stein. Fonds. Mathe. Bd. 25 (1935) S. 353-378.

23. [64] Die Einzigartigkeit von Haars Maß, Rec. Math (Mat. Sbornik) NS Vol.1 (1936) S. 721-734.

24. [69] Bei einigen analytischen Sätzen, die durch transfinitische Induktion definiert sind. Mit C. Kuratowski. Ann. der Mathematik. Bd. 38 (1937) S. 521-525.

25. Journal de Mathématiques, 1905, Kapitel VIII.

26. [75] über unendliche direkte Produkte, Compositio Math. Bd. 6 (1938) S. 1-77.

27. [24] über die Analytische Eigenschaft von Gruppen Linearer Transformation und Ihrer Darstellungen, Math. Zeit. Bd. 30 (1929) S. 3-42.

28. [48] Die Einfiihrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen, Ann. der Mathematik. Bd. 34 (1933) S. 170-190.

29. [50] über eine algebraische Verallgemeinerung des quantenmechanischen Formalismus. Mit P. Jordan und E. Wigner. Ann. der Mathematik. Bd. 35 (1934) S. 29-64.

30. [14] Zerlegung des Intervalles in Abzâhlbar Viele Kongruente Teilmengen, Fonds. Mathe. Bd. 11 (1928) S. 230-238.

31. [106] Zur Algebra der Funktional Operatoren und Theorie der Normalen Operatoren, Math. Ann. Bd. 102 (1929) S. 370-427.

32. Professor Wallace Givens bereitet ein Handout vor, der in Kürze von Princeton Press veröffentlicht wird. Ein weiteres Papier über kontinuierliche Geometrie, das 1935 geschrieben wurde, wurde in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Dieser Artikel basiert auf der Creative Commons-Lizenz (CC BY-NC 4.0), übersetzt aus S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Mathe. Soc. 64 (1958), 1-49, Original-Link:

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/s0002-9904-1958-10189-5/s0002-9904-1958-10189-5.pdf

Produziert von: Science Popularization China

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