Die Sache mit dem „Handschlag“ kann tatsächlich durch eine Gleichung gelöst werden!

Mathematik ist eine Sprache und Gleichungen sind ihre grundlegende Ausdrucksform. Wir alle wissen, dass das Universum bestimmten Gesetzen folgt. Wir nennen es Wissenschaft und beschreiben diese Gesetze mit der Sprache der Mathematik. Wenn diese Gesetze in der mathematischen Sprache ausgedrückt werden, handelt es sich um Gleichungen. Alles auf der Welt, von der Entstehung der Galaxien bis zum Muster der Sommersprossen auf der Nase eines Kindes, hängt mit diesen Gleichungen zusammen. Ob es Ihnen gefällt oder nicht, ob Sie ein Mensch sind, der instinktiv handelt oder ein Mensch, der auf Ordnung und Details achtet, jeder Aspekt Ihres Lebens wird von Gleichungen bestimmt. Der Gleichung ist es egal, ob Sie sie verstehen oder nicht, sie kontrolliert trotzdem alles um Sie herum. Es ist also an der Zeit, sich mit der Welt der Mathematik vertrauter zu machen. Das Problem des „Handshakes“ kann auch durch eine Gleichung gelöst werden.

Sie sind der offizielle Fotograf des Gipfeltreffens der Staats- und Regierungschefs und ein Experte darin, Ihre Motive optimal einzufangen. Die Veranstalter bitten Sie, möglichst viele Fotos vom Händeschütteln zu machen. Aber hier gibt es ein Problem. Die letzten beiden Staatschefs werden erst in einer Stunde eintreffen. Dies ist ein Clownpaar, das selbstgefällig ist und nach Aufmerksamkeit strebt. Ihre Frisuren sind verwirrend. Noch fragwürdiger ist die politische Haltung. Keiner der anderen 100 Staatschefs war bereit, ihnen die Hand zu schütteln. Sie wissen, dass alle Staatsoberhäupter aufhören werden, sich die Hände zu schütteln, sobald sie ankommen. Hatten Sie vorher Zeit, Fotos von allen möglichen Staats- und Regierungschefpaaren beim Händeschütteln zu machen?

Das Handshake-Problem ist ein viel untersuchtes Gebiet in der Mathematik und bekannt für die verschiedenen und interessanten Methoden, es zu lösen. Um diese Herausforderung zu meistern, ist es hilfreich zu wissen, wie viele Fotos Sie insgesamt aufnehmen müssen. Schauen wir uns die folgenden Personengruppen an und sehen wir, wie oft sie sich die Hand geben müssen.

Anna begrüßt Bob, daher gibt es bisher nur einen Händedruck.

Kara ist hier. Sie muss Anna und Bob die Hand schütteln, daher erhöht sich die Anzahl der Händedrücke um 2.

Diego ist hier. Er muss Anna, Bob und Kara die Hand schütteln, daher erhöht sich die Anzahl der Händedrücke um 3.

Als Edith kam, brauchte sie 4 Händedrücke. Und so weiter. Wenn beispielsweise die 25. Person kommt, muss sie den 24 Personen, die bereits da sind, die Hand schütteln. Die n-te Person muss der n-1. angekommenen Person die Hand schütteln. Um also zu berechnen, wie viele Händedrücke nötig sind, um 100 Personen die Hand zu schütteln, müssen Sie 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 berechnen.

Hier könnten Sie einfach etwas Zeit mit einem Taschenrechner verbringen, aber das Addieren aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist ein weiteres uraltes mathematisches Problem. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, aus Punkten bestehende Dreiecke zu verwenden. Wenn Sie fünf Personen haben und 1 + 2 + 3 + 4 Mal die Hand schütteln müssen, können Sie dies mit einem Dreiecksgitter darstellen:

Sie möchten eine Formel für die Anzahl der Punkte innerhalb eines Dreiecks.

Die Anzahl der Punkte in einem Rechteck lässt sich relativ einfach zählen. Wenn Sie also ein Dreieck mit der gleichen Anzahl Punkte hinzufügen, erhalten Sie ein Rechteck mit einer Breite von 4 Punkten und einer Höhe von 5 Punkten.

Das Rechteck hat 4 × 5 = 20 Punkte, was bedeutet, dass jedes Dreieck 20 ÷ 2 = 10 Punkte haben muss. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein Dreieck mit r Spalten ein Rechteck aus zwei solchen Dreiecken mit r + 1 Zeilen hat. Dies bedeutet, dass sich im Rechteck r × (r + 1) Punkte befinden. Um die Anzahl der Punkte im ursprünglichen Dreieck zu ermitteln, müssen Sie dieses halbieren, wodurch Sie die folgende Formel erhalten:

Mathematiker sind mit der Formel und der Geschichte dahinter sehr vertraut. Ende des 18. Jahrhunderts, als der deutsche Mathematiker Carl Gauß noch zur Schule ging, gab ihm sein Lehrer eine Aufgabe: Er sollte alle Zahlen von 1 bis 100 addieren. Der Legende nach entdeckte Gauß diese Abkürzung und löste das Problem auf der Stelle – sehr zum Ärger und zur Verlegenheit seines faulen Lehrers. Gauß wurde später einer der größten Mathematiker.

Für n Personen, die sich die Hand geben, benötigen Sie r = n–1 Runden, da die Anzahl der Händedruckrunden um 1 kleiner sein soll als die Gesamtzahl der Personen. Wenn wir in der Formel r durch n–1 ersetzen, erhalten wir:

Das Ergebnis entspricht 4.950 Handshakes. Jedes dieser Fotos soll nur 10 Sekunden dauern, insgesamt jedoch 49.500 Sekunden oder 13 Stunden und 45 Minuten. Es ist also unmöglich, alle Fotos in einer Stunde aufzunehmen. Aber das Konferenzzentrum hat Sie nicht hierher eingeladen, um Ihre Aussage anzuhören, dass Sie nichts tun könnten. Schauen wir uns an, was Sie tun können.

Der Präsident, der einen Weltrekord aufstellte

Am Neujahrstag 1907 veranstaltete Präsident Theodore Roosevelt im Weißen Haus einen Tag der offenen Tür, damit die Öffentlichkeit ihren Führer kennenlernen konnte. Als sich die Türen des Weißen Hauses schlossen, hatte Roosevelt 8.513 Menschen die Hand geschüttelt. Damit wurde ein Weltrekord für die meisten Händedrücke an einem einzigen Tag aufgestellt, ein Rekord, der fast 60 Jahre lang Bestand hatte. Der Rekord für den längsten Händedruck wurde 2011 von zwei Paaren aufgestellt, die als „Handshake-Stamm“ bekannt sind und sich nach 33 Stunden und 3 Minuten die Hände schüttelten.

Nehmen wir an, Sie hätten zu Beginn ein Foto von der ersten Runde des Händeschüttelns zwischen den Staatsoberhäuptern gemacht. Bei 100 Personen sind das 50 Händedrücke, deren Filmen 500 Sekunden dauert. Schauen wir also, von wie vielen Personen Sie in der Ihnen verbleibenden Zeit vollständige Fotos machen können. Die Zeit zum Aufnehmen eines Fotos entspricht der Anzahl der Händeschütteln multipliziert mit 10 Sekunden, also:

Sie haben 1 Stunde, also 60 × 60 = 3.600 Sekunden. Wir haben 500 Sekunden verwendet, um sicherzustellen, dass jeder mindestens ein Foto hat, und es bleiben noch 3.100 Sekunden. Die Gleichung, die Sie lösen müssen, lautet: 3.100 = 5 (n–1)n

Teilen Sie zunächst beide Seiten der Gleichung durch 5:

620 = (n–1)n

Dann erweitern Sie die Klammern:

Diese Art von Gleichung wird als quadratische Gleichung bezeichnet, da die unbekannte Zahl n die Form eines Quadrats hat. Dieser Gleichungstyp ist nicht so einfach zu lösen wie eine lineare Gleichung, aber wenn Sie die Gleichung in eine Form umwandeln können, bei der eine Seite Null ist, können Sie die Formel für die quadratische Wurzel verwenden (siehe Einführung). Damit unsere Gleichung auf einer Seite Null ergibt, subtrahieren wir von beiden Seiten 620:

Das Ergebnis sollte eine positive Zahl sein und auf eine Dezimalstelle gerundet werden, was n = 25,4 ergibt. Dies bedeutet, dass Sie ein Foto von 25 Personen beim Händeschütteln aufnehmen könnten, was 5 × 24 × 25 = 3.000 Sekunden dauern würde. Damit bleiben uns 100 Sekunden, die Sie nutzen können, um 10 weitere Fotos zu machen oder sich den Schweiß von der Stirn zu wischen.

Sie könnten ein Diagramm zeichnen, das alle Male zeigt, bei denen sich Staatsoberhäupter die Hand geben. Wenn man sich 100 Staatsoberhäupter als Punkte auf einem Kreis vorstellt und Linien zwischen den Punkten verwendet, um Händeschütteln darzustellen, erhält man ein kompliziertes Bild. Dieses Bild heißt „Mystische Rose“, vielleicht weil es ein wenig an die runden Rosenglasfenster in alten Kirchen erinnert. Das wirklich Unglaubliche ist, dass die Grafik trotz ihrer vollständigen Zusammensetzung aus geraden Linien konzentrische Kreise und Kurven zu enthalten scheint. Das Folgende ist ein Rosendiagramm von 25 Personen, die sich die Hände schütteln, das von Edward L. Platt mithilfe des Mystic Rose Generator auf seiner persönlichen Website erstellt wurde.

Die Mystic Rose hilft bei Ihrem Problem nicht wirklich, sieht aber auf jeden Fall toll aus.

Der Veranstalter ist mit Ihrer Lösung sehr zufrieden. Ihre Mission ist erfüllt, wenn ein großer, auffälliger Hubschrauber und eine Flotte von Luxusautos vor dem Veranstaltungsort vorfahren.

Weiterführende Literatur: Die Schönheit der Gleichungen: Die mathematischen Formeln hinter allem