Sind die maximale Zahl und die minimale Obergrenze dasselbe?

Einstein sagte einmal: „Vergiss alles, was du in der Schule gelernt hast, und was bleibt, ist die Bildung.“ Dieser Satz betont, dass der Kernwert der Bildung nicht in spezifischem Wissen liegt, sondern in der Denkfähigkeit, die durch sorgfältiges Nachdenken und Urteilsvermögen erworben wird. Das gute Erlernen mathematischer Konzepte kann uns dabei helfen, unsere Logik zu verfeinern, unseren Blick zu schärfen und in einer turbulenten Welt nüchtern und ruhig zu bleiben.

Dieser Artikel richtet sich an Anfänger. Es verwendet eine einfache Sprache, um die Bedeutung und Erweiterung des wichtigen Konzepts der Infinitesimalrechnung „exakter Grenzwert“ zu erklären, verdeutlicht den Unterschied und die Verbindung zwischen diesem Konzept und der „maximalen Zahl“ und berührt den Eckpfeiler der Grenzwerttheorie – die Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Die maximale Anzahl von "unzuverlässigen"

Liebe Leser, ich gebe Ihnen ein Intervall (0, 1), das die Menge aller positiven reellen Zahlen kleiner als 1 ist. Ich möchte Ihnen eine Frage stellen: Hat diese Menge reeller Zahlen eine größte Zahl? Wenn diese Frage im Moment schwer zu beantworten ist, werde ich die Frage ändern und das Klammerpaar, das das offene Intervall darstellt, in geschweifte Klammern ändern. Das heißt, ich werde Sie zunächst fragen: Gibt es eine maximale Zahl in der Menge {0, 1}?

Sie werden mir bestimmt sofort antworten: Ja, die maximale Zahl ist 1. Diese richtige Antwort zeigt auch, dass Sie die Definition von „größter Zahl“ genau kennen oder zumindest für dieses extrem einfache Beispiel verstehen, was „größte Zahl“ ist. Hier ist die strenge Definition: Sei A eine Menge reeller Zahlen. Wenn eine reelle Zahl M zwei Bedingungen erfüllt: (i) M ist eine Zahl in A; und (ii) für jede Zahl a in A gilt die Ungleichung a≤M, dann heißt M die größte Zahl in A. Wenn Sie das verallgemeinerte Ungleichheitssymbol „≤“ nicht verwenden möchten, können wir Bedingung (ii) in der Definition auch in die äquivalente Bedingung (ii) ändern: für alle anderen Zahlen a in A gilt die strikte Ungleichung a＜M. Ein ähnlicher Ansatz kann verwendet werden, um die Mindestzahl in einer Zahlenmenge zu definieren. In diesem Artikel geht es jedoch hauptsächlich um die Maximalzahl, und alle Schlussfolgerungen dazu können zu entsprechenden Schlussfolgerungen über die Minimalzahl führen, da zwischen der Maximalzahl und der Minimalzahl folgende Beziehung besteht: Die Maximalzahl der Menge A (sofern vorhanden) ist das Gegenteil der Minimalzahl der Menge -A, wobei die Menge -A={-a:a∈A} ist.

Ersetzen Sie die obige Zwei-Zahlen-Menge {0, 1} durch andere endliche Zahlenmengen, beispielsweise eine Menge reeller Zahlen, die so groß ist wie die Bevölkerung Chinas (natürlich kann diese Zahl nicht genau bekannt sein, aber es handelt sich tatsächlich um eine positive Ganzzahl). Es muss eine maximale Anzahl unter ihnen geben, das heißt, diese Zahl ist nicht kleiner als jede andere Zahl unter ihnen. Bitte beachten Sie, dass „nicht kleiner als“ etwas anderes ist als „größer als“: Ersteres ist die Negation des mathematischen Symbols „<“ für „kleiner als“, also „größer als oder gleich“, und das Symbol ist „≥“. das Symbol des letzteren ist „>“. Im weiteren Sinne muss jede Menge, die aus einer endlichen Anzahl reeller Zahlen besteht, eine maximale Zahl haben, die zu der Menge gehört und strikt größer ist als jede andere Zahl in der Menge. Ich glaube, jeder, der diesen Artikel liest, sollte diese intuitive und leicht verständliche Tatsache kennen. Wenn jedoch eine Menge reeller Zahlen eine unendliche Anzahl von Zahlen enthält, hat diese sogenannte „unendliche Zahlenmenge“ dann notwendigerweise eine maximale Anzahl?

Dies ist die Frage, die ich Ihnen zu Beginn des Artikels gestellt habe: Gibt es unter allen positiven Zahlen kleiner als 1 eine größte Zahl? Wenn der Leser einen Moment darüber nachdenkt, wird ihm vielleicht klar, dass die unendliche Menge des offenen Intervalls (0, 1) von 0 bis 1 sicherlich keine größte Zahl hat. Gemäß der Logik der Definition der maximalen Zahl bedeutet das Nichtvorhandensein der maximalen Zahl im Intervall, dass: es in (0, 1) keine Zahl gibt, die größer oder gleich allen Zahlen im Intervall ist; mit anderen Worten, egal welche Zahl wir in diesem offenen Intervall nehmen, zum Beispiel 0,9999, wir können immer eine andere größere Zahl im gleichen Intervall finden, zum Beispiel ist die Zahl 0,99999, die auch im Intervall liegt, größer als die genommene Zahl 0,9999. Beachten Sie, dass 1 hier scheinbar die größte Zahl ist, aber nicht zu (0, 1) gehört und daher nicht der Definition der größten Zahl entspricht.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass eine Menge, die aus unendlich vielen reellen Zahlen besteht, nicht die größte Zahl haben muss. Beispielsweise muss es unter allen positiven Zahlen ungleich 1 eine Maximalzahl geben, nämlich 1, da die Menge dieser Zahlen ein Intervall (0, 1) bildet und die Zahl 1 nicht nur zu diesem Intervall gehört, sondern auch größer ist als alle anderen Zahlen in dieser Menge. Man kann also erkennen, dass eine Menge unendlicher reeller Zahlen eine Maximalzahl haben kann oder nicht. Gerade weil die Maximalzahl manchmal existiert und manchmal nicht, hinterlässt diese Vorstellung bei uns ein leichtes Bedauern. In der Mathematik ist der Vergleich der Größe reeller Zahlen eine grundlegende Operation, aber manchmal kann uns die „unzuverlässige“ Maximalzahl nicht wirklich viel helfen.

Supremum und Vollständigkeit der reellen Zahlen

Was soll ich tun? Mathematiker sind extrem schlau. Sie haben immer Ideen, um die Mängel der „größten Zahl“, einem sehr praktischen Konzept in der elementaren Mathematik, in der höheren Mathematik zu überwinden. Die Idee kommt von der Betrachtung der „Menge der oberen Grenzen“ von Zahlen, die größer oder gleich allen Zahlen in einer gegebenen Menge reeller Zahlen sind.

Als gutes Beispiel zur Veranschaulichung dieser schönen Idee schauen wir uns das offene Intervall (0, 1) genauer an, das keine maximale Zahl hat. Diese Menge ist „nach oben beschränkt“, das heißt, es gibt eine reelle Zahl, beispielsweise 2, die immer größer oder gleich jeder Zahl in der Menge ist. 2 wird als „obere Schranke“ dieser Zahlenmenge bezeichnet. Eine offensichtliche Tatsache ist, dass, da die reelle Zahl 2 eine Obergrenze von (0, 1) ist, jede Zahl größer als 2 auch eine Obergrenze derselben Zahlenmenge ist, sodass das Intervall (0, 1) unendliche Obergrenzen hat. Die Frage ist: Gibt es unter all diesen Obergrenzen eine kleinste Zahl? Das heißt, diese Zahl ist nicht nur eine Obergrenze einer gegebenen Zahlenmenge, sondern sie ist darüber hinaus immer kleiner oder gleich allen Obergrenzen derselben Zahlenmenge. Wenn es sie gibt, dann wird diese kleinste Obergrenze als Supremum der gegebenen Zahlenmenge (0, 1) bezeichnet. Dies ist die chinesische Übersetzung des englischen mathematischen Begriffs „Least Upper Bound“ (kleinste Obergrenze), und ich weiß nicht, welcher chinesische Mathematiker darauf gekommen ist. Der Vorteil dieser Übersetzung ist ihre Prägnanz. Es werden nur drei chinesische Schriftzeichen verwendet, um drei englische Wörter, deren Anzahl gleich ist, präzise zu übersetzen. Es gelingt jedoch nicht, die direkte Bedeutung der ursprünglichen Ausdrücke zu übersetzen: „least“ = Minimum, „upper bound“ = Obergrenze. Eine anschaulichere und leichter verständliche chinesische Übersetzung von Supremum lautet „kleinste Obergrenze“. Wie der Name schon sagt, ist die kleinste Obergrenze die kleinste Zahl unter allen Obergrenzen einer gegebenen Zahlenmenge. Es ist offensichtlich, dass das Supremum einer Zahlenmenge eindeutig ist, wenn es existiert. Wenn die reelle Zahl s das Supremum der Zahlenmenge A ist, wird sie als s=lub A oder lub A ohne Punkt geschrieben, oder als s=sup A, wobei lub oder lub die ersten drei Buchstaben der kleinsten oberen Schranke sind und sup die ersten drei Buchstaben des Supremums.

Moment mal, begannen die Leser, die es gewohnt sind, nachzudenken und Fragen zu stellen, im Gegenzug zu fragen: Die obige Aussage impliziert eine willkürliche Prämisse: Es muss eine Mindestzahl unter allen Obergrenzen geben. Da es Beispiele gibt, bei denen die größte Zahl in einer unendlichen Zahlenmenge nicht existiert, gibt es dann kein Beispiel, bei dem die kleinste Zahl in der gesamten Obergrenze nicht existiert? Bei manchen anderen Lesern könnte an dieser Stelle die Verwirrung einsetzen. Es spielt keine Rolle. Als ich im ersten Semester des Kurses „Mathematische Analyse“ an der Fakultät für Mathematik der Universität Nanjing studierte, waren einige von uns auch etwas verwirrt, als wir dem Lehrer Yan Qiju (1936–2011) zuhörten, wie er das „Supremum“ erklärte. Wenn wir vermeiden möchten, durch Verwirrung in die Irre geführt zu werden, ist es das Beste, wenn wir uns von Beispielen leiten lassen und sie uns in den Bereich des Verständnisses führen.

Schauen wir uns zunächst an, welche Art von Menge alle oberen Grenzen des Intervalls (0, 1) bilden. Wir haben gerade ein Beispiel für eine Obergrenze von 2 gegeben. Natürlich sind alle Zahlen größer als 2 auch Obergrenzen. Andererseits ist 1,5 offensichtlich auch eine Obergrenze, ebenso wie 1,1, 1,01 usw. Ist 1 also eine Obergrenze? Wenn Sie genau darüber nachdenken, stimmt das. Wenn man weiter darüber nachdenkt, wäre eine Zahl kleiner als 1, beispielsweise 0,9999, auch eine Obergrenze? Wie bereits erwähnt, ist die Zahl 0,99999 im Intervall (0, 1) größer als diese Zahl, sodass 0,9999 nicht mehr als Obergrenze gilt. Das Ergebnis dieser Analyse ist, dass die Obergrenzen der beschränkten Zahlenmenge (0, 1) alle das unendliche Intervall [1, +∞) sind. Dieses unendliche Intervall, das „links geschlossen und rechts offen“ ist, hat mit Sicherheit einen Minimalwert von 1. Mit anderen Worten, die Menge aller Obergrenzen von (0, 1) hat eine Minimalzahl von 1, d. h. 1 ist die minimale Obergrenze des Intervalls (0, 1).

Aus dieser Perspektive hat die kleinste obere Schranke einer Zahlenmenge die folgenden zwei Eigenschaften: 1. Sie ist eine obere Schranke der Zahlenmenge; 2. Es ist die kleinste Obergrenze der Zahlenmenge. Aus dem vorherigen einfachen Beispiel können wir uns vorstellen, dass eine Menge reeller Zahlen, wenn sie nach oben beschränkt ist, also eine Obergrenze hat, auch ein Supremum haben muss, also die kleinste Zahl unter allen Obergrenzen. Dies ist tatsächlich die wichtigste Eigenschaft des reellen Zahlensystems und wird als „Vollständigkeit der reellen Zahlen“ bezeichnet. Obwohl wir in der Mittelstufe viel mit reellen Zahlen zu tun hatten, wussten wir nichts über sie, weil sie schwer zu verstehen waren und wir sie nicht verwenden mussten, ohne die Infinitesimalrechnung zu lernen. Tatsächlich wird dies in den meisten Arbeiten zur höheren Infinitesimalrechnung nicht bewiesen. Beispielsweise wollte das Lehrbuch „Mathematical Analysis“ von Professor Jiang Zejian (1921–2005) von der Jilin-Universität, das wir im ersten und zweiten Studienjahr verwendeten, die wichtigste Eigenschaft der reellen Zahlen nicht beweisen. Es wurde einfach als „Vollständigkeitsaxiom“ aufgeführt und verwendet, ohne es zu beweisen. Natürlich ist dieses „Axiom“ nicht „unbeweisbar“ wie das berühmte fünfte Postulat der euklidischen Geometrie, aber es kann verifiziert werden. Um dies zu beweisen, ist allerdings die Konstruktionstheorie der reellen Zahlen erforderlich, die schwierigere Konzepte wie den „Dedekind-Schnitt“ oder die „Grundfolge rationaler Zahlen“ beinhaltet. Einige umfangreiche Lehrbücher oder Nachschlagewerke zur höheren Analysis, wie etwa die achtbändige chinesische Übersetzung des „Kurses zur Analysis“ des sowjetischen Mathematikers Grigorii Mikhailovich Fikhtengol’ts (1888-1959), den wir im College außerhalb des Lehrplans studierten, beginnen mit der „Theorie der reellen Zahlen“, die diesen Vollständigkeitssatz der reellen Zahlen beweist.

Zusammenfassend wissen wir, dass eine unendliche Menge von Zahlen mit einer Obergrenze nicht unbedingt eine maximale Zahl hat, aber eine minimale Obergrenze haben muss.

Bisher haben wir die Frage im Titel dieses Artikels beantwortet – die beiden mathematischen Konzepte der maximalen Zahl und der minimalen Obergrenze sind nicht dasselbe. Wenn die Menge nur eine endliche Anzahl reeller Zahlen enthält, hat die Menge natürlich nicht nur eine maximale Anzahl, sondern die maximale Anzahl ist auch die minimale Obergrenze der Menge. Wenn die Menge jedoch unendlich viele Zahlen enthält, ist es möglich, dass sie keine maximale Zahl hat. und es ist auch möglich, dass es kein Supremum hat, es sei denn, es ist nach oben beschränkt. Der Grund ist einfach. Wie kann eine Menge reeller Zahlen, die nicht einmal eine Obergrenze hat, eine minimale Obergrenze haben? Daher kann in der Aussage zur Vollständigkeit der reellen Zahlen „Wenn die nicht leere Menge der reellen Zahlen eine Obergrenze hat, dann hat sie ein Supremum“ nicht jedes Wort ignoriert werden.

Archimedische Eigenschaften

Lassen Sie uns zwei einfache Beispiele geben, um unser Verständnis zu festigen. Eine ist die Menge {1, 2, 3,…, n,…}. Da der aufzählbaren Menge eine obere

Die oben verwendete Wahrheit, „es gibt immer eine natürliche Zahl, die größer ist als jede beliebige positive reelle Zahl“, scheint zu offensichtlich. Wenn diese reelle Zahl beispielsweise in Dezimalform geschrieben wird, müssen Sie nur alle Ziffern nach dem Dezimalpunkt entfernen und dann 1 zum positiven ganzzahligen Teil addieren, um eine natürliche Zahl zu erhalten, die etwas größer als die ursprüngliche Zahl ist. So gehen wahrscheinlich die meisten Menschen damit um. Eine gleichwertige Aussage zu dieser Wahrheit ist jedoch: „Nicht jede reelle Zahl stellt die Obergrenze der Menge der natürlichen Zahlen dar“ oder „Die Menge aller natürlichen Zahlen ist in den reellen Zahlen nicht nach oben beschränkt.“ Da es in diesem Artikel um die „Vollständigkeit der reellen Zahlen“ geht, werden wir ihn verwenden, um die archimedische Eigenschaft streng zu beweisen: Wenn die archimedische Eigenschaft

Unvollständige Menge rationaler Zahlen

Wir untersuchen weiterhin die Beziehung zwischen der Maximalzahl und dem Supremum. Obwohl eine unendliche Zahlenmenge nicht unbedingt eine Maximalzahl oder ein Supremum hat, muss die Menge, solange sie eine Maximalzahl enthält, auch ein Supremum haben und die beiden Zahlen müssen gleich sein. Warum ist das so? Wir beweisen diese Behauptung noch gemäß der Definition des Supremums (also seiner beiden oben genannten Eigenschaften). Erstens wird die maximale Zahl einer gegebenen Zahlenmenge automatisch zur Obergrenze der Menge. zweitens gilt für jede Obergrenze einer Menge, dass sie größer oder gleich einer beliebigen Zahl in der Menge ist. Insbesondere ist sie größer oder gleich der maximalen Zahl des Sets. Dies beweist, dass die maximale Zahl der Menge die minimale Zahl unter allen Obergrenzen der Menge ist, d. h., die maximale Zahl der Menge ist gleich der minimalen Obergrenze der Menge. Daraus ist ersichtlich, dass für die Menge der reellen Zahlen mit einer Obergrenze der Begriff des Supremums den Begriff der Maximalzahl direkt verallgemeinert.

Wenn wir jedoch zu faul sind und uns nur darauf beschränken, mit der Infinitesimalrechnung im Bereich der rationalen Zahlen zu spielen, verliert das Konzept des „Supremums“ sofort seinen Glanz, und der mathematische Gigant der Infinitesimalrechnung wird träge, sein Fundament wird gelockert und sein Rahmen fällt auseinander. Die großen Theoreme der Differential- und Integralrechnung, wie etwa der Satz von der monotonen Konvergenz und der Satz von der Verschachtelung geschlossener Intervalle, können mit der Redewendung „Wo bleiben die Haare ohne die Haut?“ beschrieben werden.

In Bezug auf algebraische Struktur und Operationen sind die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen gleichermaßen rühmlich. Sie sind beide gute Zahlenkörper für Additions- und Multiplikationsoperationen und weisen Größenrelationen auf. Darüber hinaus sind Informatiker oder Computerprogrammierer möglicherweise mit rationalen Zahlen vertrauter als mit reellen Zahlen, da irrationale Zahlen in Computern nicht genau dargestellt werden können und nur gerundet werden können, wodurch Fehler entstehen können. Daher möchten Wissenschaftler und Ingenieure, die routinemäßig Computerprogramme zum Berechnen verwenden, wahrscheinlich die Finger von irrationalen Zahlen lassen.

Mathematiker sind jedoch eine andere Spezies. Was rationale Zahlen verlieren, ist ihre „Vollständigkeit“, oder formeller ausgedrückt: In der Menge aller rationalen Zahlen hat eine beschränkte Teilmenge nicht unbedingt eine Obergrenze; mit anderen Worten, es gibt nicht unbedingt eine kleinste Obergrenze. Wir nehmen die bekannteste irrationale Zahl, Pi, um ein Beispiel einer beschränkten Menge ohne Supremum zu konstruieren. Mein Mathelehrer in der High School hat mir beigebracht, wie ich mir die ersten 15 Ziffern von Pi merken kann, sodass ich π = 3,14159265358979… schreiben konnte. Definieren Sie eine rationale Zahlenfolge wie folgt

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,3.14159,3.141592, 3.1415926,3.14159265,….

Kehren wir zur zweiten Eigenschaft des Supremums zurück. Dieses Mal möchten wir eine Definition geben, die dem gleichwertig ist, aber einen eher „mathematischen“ Charakter hat. Die zweite Eigenschaft des Supremums s besagt, dass es die kleinste Zahl unter allen Obergrenzen der Zahlenmenge ist, was gleichbedeutend damit ist, dass Zahlen, die kleiner als s sind, keine Obergrenzen sind. Eine Zahl „kleiner als s“ kann als s-ε geschrieben werden, wobei ε eine positive Zahl ist. „Keine Obergrenze“ bedeutet, dass es in der gegebenen Zahlenmenge eine Zahl gibt, die größer ist als diese Zahl ohne Obergrenze. Auf diese Weise erhalten wir eine neue Definition des Supremums: Eine reelle Zahl s heißt Supremum der reellen Zahlenmenge A, wenn (i) sie eine obere Schranke von A ist; und (ii) für jedes ε>0 existiert eine Zahl a in A, so dass s-ε<a.

Existiert √2?

Ich bin davon überzeugt, dass selbst Leser, die sich bisher nicht mit verwandten Konzepten auseinandergesetzt haben, über ein ausreichendes Verständnis der Grundidee des Supremums und der Vollständigkeit reeller Zahlen verfügen. Nun wollen wir dieses Wissen nutzen, um die Existenz der arithmetischen Quadratwurzel von 2 zu beweisen, d. h., es gibt eine reelle Zahl, die mit √2 bezeichnet wird und deren Quadrat gleich 2 ist. Einige Leute, die in der Schule Algebra gelernt haben, werden vielleicht „protestieren“: Muss diese Tatsache bewiesen werden? Zugegeben, ihre Algebra-Lehrbücher sind bereits voll von √2, aber ebenso wie die strenge Definition der irrationalen Exponentialpotenz in der Schulalgebra den Satz der monotonen Konvergenz zur Untermauerung in der höheren Mathematik erfordert, erfordert auch der strenge Beweis der Existenz von √2 als irrationale Zahl die Hilfe der Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Aufgrund der Entdeckung des Satzes des Pythagoras glaubten die alten Griechen, dass √2 existieren müsse, da dies die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats sei. Kann es sein, dass diese Länge nicht existiert? Sie stellten jedoch überrascht fest, dass die Messung dieser Länge auf die Schwierigkeit der „Inkommensurabilität“ stieß, die zur Quelle der ersten Krise in der Geschichte der Mathematik wurde. Euklid (ca. 330–275 v. Chr.) bewies in seinem brillanten Werk Elemente, dass √2 keine rationale Zahl ist. Dieser Argumentationsprozess ist prägnant, schön und standardmäßig. Godfrey Harold Hardy (1877–1947), ein britischer Mathematiker der ersten Hälfte des letzten Jahrhunderts, führte es in seinem berühmten Essay „A Mathematician’s Apology“ als Beispiel für einen „schönen mathematischen Beweis“ auf.

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: Angenommen, √2 ist eine rationale Zahl, dann gibt es zwei positive ganze Zahlen m und n, von denen keine größer als 1 ist.

Theorem der monotonen Konvergenz

Um zu überprüfen, ob die Leser das Konzept des Supremums verstehen, stelle ich eine Testfrage: Bitte finden Sie das Supremum der folgenden Zahlenmenge. Die Menge besteht aus allen Brüchen der Form (-1)^(mn)/(mn), wobei m und n zwei beliebige ungleiche natürliche Zahlen sind. Dies war die erste Frage, die ich in einer Zwischenprüfung in einem Kurs zur höheren Mathematik stellte, den ich an der Uni an fortgeschrittene Studenten und junge Doktoranden unterrichtete.

Der Maximalzahl entspricht das Konzept der Minimalzahl. In ähnlicher Weise ist das dem Supremum entsprechende Konzept das Infimum, das im Englischen als größte Untergrenze oder Infimum ausgedrückt wird. Daher wird das Infimum der reellen Zahlenmenge A als glb A, glb A oder inf A bezeichnet. Das Infimum einer Zahlenmenge ist eine reelle Zahl, die erstens eine Untergrenze der gegebenen Zahlenmenge ist, d. h., sie ist kleiner oder gleich allen Zahlen in der Menge; zweitens ist es die größte Zahl unter allen Untergrenzen der Menge, d. h., sie ist größer oder gleich jeder Untergrenze der Menge. Daher ist eine verständlichere Bezeichnung für die Untergrenze „größte Untergrenze“, was eine einfache Übersetzung der englischen Phrase ist. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen besagt über das Infimum: Wenn eine gegebene Zahlenmenge nach unten beschränkt ist, dann hat sie ein Infimum. Ähnlich wie beim Supremum gilt: Wenn eine Menge eine Mindestzahl hat, dann hat sie auch ein Infimum, und die beiden Zahlen sind gleich.

Gauss sagte einmal: „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaft, und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.“ Wenn wir sein Satzmuster anwenden, können wir auch sagen: Die Grenzwerttheorie ist die Grundlage der Infinitesimalrechnung, und der Begriff des Grenzwerts ist der Eckpfeiler der Grenzwerttheorie. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen – die Existenz beschränkter Zahlenmengen – kann zur Ableitung mehrerer wichtiger Theoreme der Grenzwerttheorie führen. Am Ende dieses Artikels listen wir den Satz der monotonen Konvergenz über die Folge auf und würdigen noch einmal den Reiz der Schranke.

„Extremum“ ist das wichtigste Grundkonzept in der „Mathematischen Analyse“, dem wichtigsten Kurs für Studienanfänger im Mathematikbereich chinesischer Universitäten, und in der „Höheren Analysis“ für Studenten im letzten Studienjahr und Doktoranden an amerikanischen Universitäten. Es ist auch eines der schwierigen Konzepte, die Studenten oft Angst machen. Wenn Sie es jedoch wirklich verstehen, können Sie nicht nur problemlos in das Studium der Grenzwerttheorie einsteigen, sondern es ist für jeden gleichbedeutend mit dem erfolgreichen Abschluss eines einwöchigen Trainingskurses in Gehirn-„Aerobic“. Tatsächlich sind viele Konzepte in verschiedenen Kursen der analytischen Mathematik in der Sprache der Extrema geschrieben, wie etwa Riemannsche obere und untere Integrale in der höheren Analysis und das Lebesguesche äußere Maß in der Theorie der Funktionen mit reellen Variablen. Daher bringt das Erlernen dieser Technik auf jeden Fall viele Vorteile.

Das Erlernen anspruchsvoller mathematischer Konzepte dient nicht nur der Erweiterung des mathematischen Wissens, sondern stärkt auch die Denkfähigkeit der Menschen. In der heutigen Welt sind die Informationen, die wir hören, vielfältig und gemischt, was es schwierig macht, zwischen Wahrheit und Lüge sowie zwischen Richtig und Falsch zu unterscheiden. Eine gute Möglichkeit, Ihre Erkennungsfähigkeit zu verbessern, besteht darin, sich selbst dazu zu zwingen, mathematische Konzepte zu verstehen, mit denen Sie noch nie zuvor zu tun hatten oder die Ihnen Ihr Lehrer nicht gut beigebracht hat. Analysieren Sie die logischen Beziehungen innerhalb der Definition eines mathematischen Begriffs und seiner erweiterten Schlussfolgerungen sowie seine Verbindung mit anderen Konzepten. Wenn Sie die Möglichkeit haben, Ihr logisches Urteilsvermögen zu verbessern, wird es nicht lange dauern, bis Ihnen langsam Sun Wukongs flammende Augen wachsen und Sie die wahre Logik hinter den vielen Aussagen um Sie herum erkennen können. Dies ist auch die ursprüngliche Absicht, mit der ich diesen Artikel verfasst habe: das Konzept des „Supremums“ in möglichst einfacher Sprache vorzustellen.

Danksagung: Danke an den Herausgeber Zhou von Fanpu für seine sorgfältige Überprüfung und Korrektur eines Tippfehlers.

Geschrieben am Montag, 22. Januar 2024

Hattiesburg Sommerhaus

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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