Nehmen Sie einen Bissen vom Pagodengemüse und erfahren Sie, welches fraktale Geheimnis dahinter steckt …

Wenn das Wetter wärmer wird, lege ich meine dicken Baumwollkleidungsstücke weg und ziehe leichte Frühlingskleidung an. Doch ohne die dicke Kleidung trat das Fett, das den ganzen Körper bedeckte und während des chinesischen Neujahrs versehentlich zugenommen hatte, besonders deutlich hervor.

Um den Frühling mit einem neuen Look zu begrüßen, begann der Herausgeber auch mit der „schmerzlosen Beseitigung der gesamten Körperfettschicht“. Doch während ich auf dem Laufband lief, dachte ich an das Pagodengemüse, das ich mittags aß, um abzunehmen, und plötzlich hatte ich das Gefühl, in ein großes Rätsel verwickelt zu sein. Warum wurde die Form dieses Gemüses immer seltsamer, je mehr ich darüber nachdachte? ? ?

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Nach sorgfältiger Überlegung glaubt der Herausgeber, dass durch intensives Nachdenken auch das Ziel der „schmerzlosen Beseitigung von Fett am ganzen Körper“ erreicht werden kann, und dann die tägliche Bewegung durch das tägliche Denken an Pagodengemüse ersetzt werden kann … Unerwarteterweise ist die Geschichte hinter dem kleinen Pagodengemüse so faszinierend …

Vorhersagbarkeit

Im Mathematik- und Physikunterricht, in dem wir von der Kindheit bis zum Erwachsenenalter Wissen erwerben, bekommen wir allmählich das Gefühl, dass die Welt voller Ordnung ist: Die Kurvenrichtung einer Funktion mit bekanntem Ausdruck und Definitionsbereich ist vorhersehbar; das Produkt einer chemischen Reaktion ist vorhersehbar, wenn die Reaktanten und Reaktionsbedingungen bekannt sind; Die Anfangsposition und das Bewegungsgesetz eines bewegten Objekts sind bekannt und die Geschwindigkeit und Position zu jedem nachfolgenden Zeitpunkt sind vorhersehbar ...

Unser Eindruck von dieser „Vorhersagbarkeit“, die die Wissenschaft mit sich bringt, stammt teilweise aus den Studien von Galileo Galilei und Isaac Newton über die Schwingung von Pendeln.

Als Galileo im Jahr 1581 das Schwingen eines Kronleuchters beobachtete, erkannte er, dass das Schwingungsphänomen einem vorhersehbaren Muster folgte. Nach einer gewissen Beobachtungsdauer stellte Galilei fest, dass die zum Hin- und Herschwingen des Kronleuchters benötigte Zeit zwar unterschiedlich war, die Schwingungsamplituden jedoch gleich waren.

Um dieses interessante Phänomen weiter zu erforschen, führte Galileo Experimente mit Pendeln unterschiedlicher Größe, aber gleicher Länge durch, um ihre Schwingungsdauer zu messen, und nutzte seinen eigenen Puls, um die Zeit zu messen.

Schließlich wurde bewiesen, dass die Schwingungsdauer eines Pendels weder von der Größe des Geräts noch von seiner Position abhängt, sondern nur von seiner Länge. Seit Galileis Forschungen wurde der Schwingungsverlauf des Pendels vorhersehbar.

Nach Galileo verwendete Newton Differentialgleichungen, um die genaue mathematische Beziehung zwischen der Länge (l) eines Pendels und seiner Periode (T) zu ermitteln:

Dadurch konnten wir einen größeren Fortschritt in der „Vorhersagbarkeit“ erzielen und die Bewegungsmuster der Pendelschwingung nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ präzise vorhersagen.

Wir wissen, dass Newton die Gesetze hinter vielen Phänomenen entdeckte und mathematische Methoden wie die Infinitesimalrechnung erfand, die uns als wirkungsvolle Werkzeuge zum Verständnis der grundlegenden Gesetze des Universums dienen.

Unter ihnen sind die drei Newtonschen Gesetze, mit denen wir am besten vertraut sind, die Bewegungsgesetze makroskopischer Objekte auf prägnante und elegante Weise beschreiben. Es macht uns auch bewusst, dass die Beschreibung der Gesetze hinter Bewegungsphänomenen mit mathematischen Formeln, insbesondere Differentialgleichungen, die Entwicklung von Bewegungen im Laufe der Zeit genau beschreiben kann, d. h. Vorhersagbarkeit bietet.

Vorhersagbarkeit ist zweifellos faszinierend, aber wenn man genau darüber nachdenkt, können alle Phänomene mit dieser auf „Vorhersagbarkeit“ basierenden wissenschaftlichen Idee beschrieben werden?

Chaos

Ausgehend von der Frage „Ist es vorhersehbar?“ fallen uns viele Beispiele ein, die unserem Alltag sehr nahe kommen: langfristige Wettervorhersagen, die Entwicklung von Tierpopulationen und so weiter. In diesen Beispielen scheint eine noch faszinierendere „Unvorhersehbarkeit“ verborgen zu sein.

Wir können durch Differentialgleichungen keine genauen Informationen über die Bewegung der Atmosphäre erhalten. Wie unterscheiden sich diese Beispiele von Beispielen wie „Pendelschwingen“?

Wenn wir an „Unsicherheit“ denken, ist uns der Begriff möglicherweise ungewohnt und unklar. Aus der Perspektive der wissenschaftlichen Forschung wird Unsicherheit definiert als „eine bestimmte zufällige Beziehung zwischen dem System zu verschiedenen Zeitpunkten davor und danach, und in statistischer Hinsicht manifestiert sie sich hauptsächlich als kausale Beziehung zwischen der Gegenwart und der Zukunft.“

„Unsicherheit“ zog Forscher an und entwickelte sich allmählich zu einer neuen Disziplin – Chaos.

Chaos ist seit den späten 1880er Jahren ein Thema der wissenschaftlichen Forschung, als Henri Poincaré das Dreikörperproblem in der Himmelsmechanik untersuchte.

Erst 1963 zeigte Lorenz, ein Meteorologe am MIT, dass die deterministische Vorhersagbarkeit eine Illusion war, und führte damit zu einem noch heute florierenden Forschungsgebiet: der Chaostheorie.

Die Chaostheorie geht davon aus, dass selbst die einfachste Gleichung (ohne Zufallsfaktoren) bekannt ist und dass das Ergebnis, sobald es bei der Berechnung zu einer geringfügigen Abweichung kommt, stark von der ursprünglichen Idee abweicht.

Der Schmetterlingseffekt – Sensible Abhängigkeit

Damals gab es zwei Möglichkeiten, das Wetter vorherzusagen: Erstens die Verwendung linearer Programme zur Wettervorhersage, wobei davon ausgegangen wird, dass das Wetter von morgen eine wohldefinierte lineare Kombination der heutigen Wettereigenschaften ist; Zweitens werden Gleichungen der Strömungsdynamik verwendet, die die atmosphärische Strömung simulieren, um das Wetter genauer vorherzusagen.

Beim Vergleich der beiden Berechnungsmethoden stellte Lorenz fest, dass die zwei Monate später durch die Computersimulation erhaltenen Wetterdaten sich stark von den vorherigen unterschieden. Lorenz stellte jedoch fest, dass der „Fehler“ bei dieser Berechnung tatsächlich auf die Rundung der Anfangswerte während des Simulationsprozesses zurückzuführen war.

Daraus entdeckte Lorenz eine entscheidende Eigenschaft des Chaos – seine empfindliche Abhängigkeit von Anfangswerten. Dabei stellt die Kugel in der Abbildung unten die Iteration der Lorentzgleichung dar.

Im Jahr 1972 hielt Lorenz auf einer Konferenz einen Vortrag mit dem Titel „Vorhersagbarkeit: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?“

Er verwendete einen Schmetterling als Metapher für eine winzige, scheinbar unbedeutende Störung, die den Verlauf des Wetters verändern kann – den sogenannten „Schmetterlingseffekt“.

Nach der Lektüre dieses Textes haben Sie natürlich möglicherweise eine Frage: Bei Computersimulationen treten normalerweise an einer bestimmten Stelle Rundungsfehler auf, und dieser Fehler wird durch Chaos verstärkt. Kann die Lösung von Lorenz also die tatsächliche chaotische Flugbahn widerspiegeln?

Die Antwort lautet „Ja“, und zwar aufgrund einer Eigenschaft namens Abschattung: Obwohl sich die numerische Trajektorie für jede gegebene Anfangsbedingung von der exakten Trajektorie unterscheidet, gibt es immer eine Anfangsbedingung in der Nähe, deren exakte Trajektorie für einen vorgegebenen Zeitraum durch die numerische Trajektorie angenähert wird.

Chaotischer Attraktor

Durch die Untersuchung chaotischer Systeme schlug Lorenz 1963 offiziell die Lorenz-Gleichung vor. Ihre typische Trajektorie konvergiert oft zu einer nicht ganzzahlig beschränkten Struktur, wie in der Abbildung oben gezeigt, die als chaotischer Attraktor bezeichnet wird.

Die Einführung chaotischer Attraktoren kann uns helfen zu verstehen, wann die Flugbahn eines chaotischen Systems aufgrund seiner empfindlichen Abhängigkeit von Anfangswerten „chaotisch“ wird.

Erstens weist die Flugbahn auf dem Attraktor ein chaotisches Verhalten auf, das sich von dem des linearen Systems unterscheidet. Darüber hinaus erzeugt jeder Punkt innerhalb der Domäne des Attraktors eine chaotische Flugbahn, die zum Attraktor konvergiert.

Aufgrund der Existenz chaotischer Attraktoren gibt es in einem chaotischen System im Gegensatz zur periodischen Flugbahn eines einfachen Pendels keine periodische Flugbahn, oder man kann sagen, dass die periodische Flugbahn divergent ist.

Dies ist auch das wesentliche Merkmal des Chaos: Nichtperiodizität bedeutet sensible Abhängigkeit, und sensible Abhängigkeit ist die Grundursache für Nichtperiodizität.

Sind Sie nach den oben genannten Konzepten bereits ein wenig verwirrt? Egal, das Pagodengemüse kommt bald!

Wenn wir über Chaos sprechen, müssen wir immer ein anderes Konzept erwähnen – Fraktale. Im Vergleich zu den oben genannten abstrakten Konzepten sind Fraktale konkreter und es gibt viele Beispiele dafür im täglichen Leben.

Aus den drei obigen Bildern können wir ersehen, dass sich Fraktale auf die Ähnlichkeit von Grafiken im kleinen und großen Maßstab zu beziehen scheinen. Was ist also die genaue Definition von Fraktalen?

Fraktale Strukturen oder fraktale Prozesse können grob dadurch definiert werden, dass sie eine charakteristische Form aufweisen, die über alle Skalen hinweg konstant bleibt, das heißt, dass sie selbstähnliche Eigenschaften besitzen.

Eine Struktur ist fraktal, wenn ihre kleinräumige Form ihrer großräumigen Form ähnelt.

Wenn wir genau darüber nachdenken, scheint das seltsame Gefühl, das Pagodengemüse in uns hervorruft, von Fraktalen herzurühren. Seine Form unterscheidet sich von den geometrischen Formen, mit denen wir normalerweise in Berührung kommen.

Vom Chaos zu Fraktalen

Oben haben wir Chaos bzw. Fraktale eingeführt. Welche Beziehung besteht zwischen den beiden?

Chaotische Attraktoren sind oft fraktal. Wir können die Flugbahn von Punkten im Phasenraum in der Nähe des chaotischen Attraktors betrachten: Unter dem Einfluss des chaotischen Attraktors zeigen die Punkte im nahegelegenen Phasenraum einen nichtlinearen Trend, d. h., sie werden durch den chaotischen Attraktor in verschiedene Richtungen gestreckt und zusammengezogen.

Unter der kombinierten Wirkung von Dehnung und Kontraktion bilden Punkte im Phasenraum „Filamente“, und da die Flugbahn begrenzt ist, falten sich diese „Filamente“ auf natürliche Weise.

Wenn dieser Effekt eines chaotischen Attraktors unbegrenzt wiederholt wird, ist das Ergebnis ein Fraktal.

Ähnlich wie wir relevante physikalische Informationen durch Bilder erhalten können, kann die geometrische Struktur chaotischer Attraktoren quantitativ mit ihren dynamischen Eigenschaften in Beziehung gesetzt werden.

Konzepte wie Chaos und Fraktale klingen sehr abstrakt. Gibt es im Vergleich zu dem von Lorenz untersuchten meteorologischen System ein anschaulicheres und einfacheres Beispiel, das die Ideen der Chaostheorie widerspiegeln kann?

Chaos in der Biologie

Es stellte sich heraus, dass die Chaostheorie für die Biologie von großer Bedeutung ist. Und auch der Wissenschaftler Alan Mathison Turing, der diese Idee für seine biologische Forschung nutzte, überraschte den Herausgeber.

Turing beschäftigte sich eingehend mit dem Prozess der Embryonalentwicklung und glaubte, dass dieser komplexe Vorgang durch einfache mathematische Formeln beschrieben werden könne.

Zu Beginn sind die Zellen im Embryo genau gleich und organisieren sich nach einfachen Regeln selbst. Der Prozess der Selbstorganisation wiederholt sich kontinuierlich, bis er ab einem bestimmten Stadium plötzlich ein komplexes Muster aufweist, nach und nach verschiedene Zellen bildet und sich schließlich zu unterschiedlichen Organen entwickelt – dieser Prozess wird Morphogenese genannt.

Turing versuchte, mithilfe der Mathematik zu erklären, wie sich Lebewesen allmählich aus einem natürlichen, einheitlichen Zustand in ungleichmäßige, sich wiederholende Muster entwickeln, also den Prozess von der Selbstorganisation zur Musterentstehung.

Andererseits ist das berühmte Belousov-Oszillationsexperiment auch ein Beispiel für Selbstorganisation, die zur spontanen Musterbildung führt.

Er entdeckte, dass beim Mischen zweier Lösungen eine farbige Flüssigkeit entstand, die dann klar wurde, dann wieder farbig wurde … und der Prozess wiederholte sich immer wieder.

Die zufälligen Wellenmuster, die durch Belousovs Lösung spontan erzeugt werden, zeigen, dass sich das System spontan und unregelmäßig ändern kann, ohne durch äußere Bedingungen gestört zu werden. Dies ist auch ein Beispiel dafür, wie Selbstorganisation zur Musterbildung führt.

Fraktal des Pagodengemüses

Nachdem wir in Mathematik und Biologie so viel über Chaos und Fraktale gelernt haben, müssen wir dennoch unser ursprüngliches Ziel im Auge behalten: Warum wachsen aus dem Pagodengemüse Fraktale?

Zunächst müssen wir verstehen, wie sich Pflanzenorgane entwickeln. Im Laufe der Entwicklung bilden Pflanzenmeristeme regelmäßig Organe in spiralförmiger, gegenständiger oder quirliger Form.

Denken Sie an gewöhnlichen Blumenkohl. Ihre besondere Struktur rührt daher, dass sich die von jedem Meristem gebildeten Primärblütenanlagen nicht irgendwann bis zur Blüte entwickeln, sondern immer wieder weitere identische Primärblütenanlagen hervorbringen, was im Entwicklungsprozess einem „Lawineneffekt“ gleicht.

Die Selbstähnlichkeit der Struktur des Pagodengemüses liegt darin begründet, dass das Meristem zwar letztendlich keine Blüten bilden kann, das primäre Blütenprimordium während des Entwicklungsprozesses jedoch kurzzeitig einen „Seelendurchdringungsprozess“ durchläuft, d. h. es behält kurzzeitig die „Erinnerung“ an die Blüte.

Dieser kurzlebige Prozess beeinflusst das Wachstum des Meristems und führt zu zusätzlichen Mutationen, die die Bildung kegelförmiger Strukturen bewirken und schließlich Kegelstrukturen mit selbstähnlichen Eigenschaften bilden, also Fraktale.

Ich hätte nie gedacht, dass sich hinter einem gewöhnlichen Pagodengericht so viele komplexe Wissenspunkte verbergen. Es stellt sich heraus, dass das fortgeschrittenste Wissen nur auf einfachste Weise gezeigt werden muss.

Heute werden sowohl Chaos als auch Fraktale nach und nach in die Physik, Mathematik, Biologie, Chemie und andere Bereiche integriert und haben viele neue und interessante Ergebnisse hervorgebracht. Welche anderen interessanten Phänomene kennen Sie?

Verweise

[1] Chen Lu. Forschung zur Kontrolle und Synchronisation eines hyperchaotischen Systems mit selbstorganisierender Struktur[D]. Northeast Normal University, 2019.

[2] Wang Xiang. Forschung zur Theorie des verteilten Chaos und ihren Anwendungen[D]. Technische Universität Dalian, 2021.

[3] Physics Today 66, 5, 27 (2013).

[4] Das geheime Leben des Chaos, BBC.

[5] Sean Bailly, L'art fractal du chou romanesco, Pour la Science, 9. September (10-11), (2021).

Herausgeber: Norma

Quelle: Institut für Physik, Chinesische Akademie der Wissenschaften