Die mathematische Erkundung eines Ökologen

Eugene Wigners berühmter Artikel „Die erstaunliche Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften“ enthält allein im Titel zwei Ideen: 1. Die Notwendigkeit der Mathematik zum Verständnis der Natur; 2. Die Bedeutung natürlicher Phänomene bei der Gewinnung von Forschungsobjekten zur Bereicherung des mathematischen Denkens. Die Idee der Chaostheorie entstand aus der ständigen Suche verschiedener Experten auf unterschiedlichen Gebieten nach mathematischen Beschreibungen unterschiedlicher Naturphänomene, die letztlich auf unterschiedlichen Wegen zum gleichen Ergebnis kamen und zu einem einheitlichen Verständnis gelangten. Ziel dieses Artikels ist es, die mathematischen Merkmale von Periodenverdoppelungs-Bifurkationen zu beschreiben, die von Ökologen bei der Beschreibung des Populationsdynamikverhaltens mithilfe logistischer Karten entdeckt wurden.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

In meinem vorherigen „Fanpu“-Artikel „Sie werden definitiv verstehen, was Iteration bedeutet“ (im Folgenden als „Iteration“ bezeichnet) habe ich das grundlegendste Phänomen der Funktionsiteration vorgestellt. Mithilfe der einfachen Stütze von Polynomen habe ich geometrische und analytische Methoden kombiniert, um die anziehenden oder abstoßenden Fixpunkte oder periodischen Punkte mit einer Periode von zwei zu demonstrieren. Wenn diese Grundlagen gelegt sind, können wir den Weg der Iteration fortsetzen und dabei bunte Blumen pflücken.

In diesem Artikel werden den Lesern Büschel besonders prächtiger Rosen präsentiert, die an den sich wiederholenden Bäumen blühen, deren durchgehende Äste sich in kleine Zweige verzweigen. Sie bieten außerdem ein Puffergerät, das speziell für die Mitglieder der „Iterative Spring Outing Group“ gebaut wurde, um eine Reise von der Ordnung zur Unordnung zu erleben, bevor sie die chaotische Welt betreten. So können sie tief durchatmen und sich beruhigen, bevor sie schreien, wenn sie plötzlich das chaotische Monster sehen. Die ganze Blume blüht in einem Garten aus einer Reihe quadratischer Polynome mit einem Parameter.

Die Nährstoffe, die die roten Rosen mit der „Periodenverdoppelungsgabel“ herrlich blühen lassen, stammen jedoch aus einem Makrozweig der Biowissenschaften – der Ökologie, die auch als Populationsdynamik bezeichnet wird. Der fleißige Gärtner, der die Rosenbäume düngte, war Robert May (1936–2020), der später als Chefwissenschaftler der britischen Regierung diente und von Königin Elisabeth zum Ritter geschlagen wurde.

Baron May wurde in Sydney, einer Großstadt in Australien, geboren. Er war erst 20 Jahre alt, als er sein Studium der Chemieingenieurwissenschaften und theoretischen Physik an der Universität Sydney mit einem Bachelor abschloss. Drei Jahre später erhielt er einen Ph.D. in theoretischer Physik von derselben Schule und ging dann für zwei Jahre als Postdoktorand an die Harvard University, wo er angewandte Mathematik studierte. Nach seiner Rückkehr an seine Alma Mater kehrte er zu seinem ursprünglichen Beruf zurück und begann mit der Lehrtätigkeit als Senior Lecturer und wurde zum ordentlichen Professor für theoretische Physik befördert. 1971 entdeckte er plötzlich seine Faszination für die Biologie und ging erneut in die USA. Er verbrachte ein Jahr am Institute for Advanced Study in Princeton und freundete sich mit Biologen der Princeton University an. Zwei Jahre später wurde er Professor für Zoologie an dieser renommierten Universität.

Hier wurde er theoretischer Ökologe und machte sich mit seinen kreativen Studien zur Populationsdynamik auf der Grundlage von Funktionsiteration einen Namen. Diese Disziplin gehört zu einem Zweig der Biologie, der „Gemeinschaftsökologie“ genannt wird und sich mit der gegenseitigen Abhängigkeit und den Beschränkungen zwischen zwei oder mehreren verschiedenen biologischen Populationen beschäftigt, die im selben geografischen Gebiet oder in derselben Region leben, sowie mit den Schwankungen in der Anzahl biologischer Populationen und mit dem Aufkommen und Vergehen des Lebens. Das Ziel besteht darin, die Gesetze hinter diesen sich ständig ändernden Zahlen zu finden, die Beziehung zwischen der Komplexität und Stabilität natürlicher Gemeinschaften und die mathematische Charakterisierung, die die Gesetze der Veränderung erklären kann.

Wie alle anderen Naturwissenschaftler und Ingenieure sind auch Ökologen natürlich auf die Hilfe der Mathematik angewiesen. Für Geometer oder Topologen wie den Fields-Medaillen-Gewinner Stephen Smale (1930-), die sich zur Untersuchung dynamischer Systeme der tiefgründigen modernen Mathematik bedienen, erscheint die Mathematik, die Mays weltberühmter Forschung zugrunde liegt, jedoch sehr einfach. Tatsächlich verwendete er in seiner bekanntesten Arbeit nur quadratische Polynome, allerdings mit einem zusätzlichen Parameter im Ausdruck. Die unendlichen parabolischen Graphen dieser Funktionenfamilie mit unterschiedlichen Krümmungen warfen seine wissenschaftlichen Arbeiten jedoch wie den Basketball in Jordans Hände in die Zeitschriftenkörbe von Nature und Science.

Übrigens führten Stanislaw Ulam (1909–1984) und John von Neumann (1903–1957), amerikanische Mathematiker polnischer bzw. ungarischer Herkunft, bereits 1947 genaue statistische Untersuchungen zur längsten Parabel bei μ = 4 in der Familie der logistischen Abbildungen durch und gaben das endgültige Verteilungsgesetz der iterativen Punktbahn an, das für fast alle Anfangspunkte gleich ist. Dies wird eine Blume in meinem zukünftigen populärwissenschaftlichen Artikel zur Ergodentheorie sein.

Dieses berühmte mathematische Modell entspricht der Intuition der Ökologen hinsichtlich der Populationsgröße und ist auch für die breite Öffentlichkeit leicht verständlich. In der afrikanischen Savanne zum Beispiel jagen die Starken die Schwachen. Das pflanzenfressende Zebra ist das Schwache, während der fleischfressende Löwe der Starke ist. Die Populationen der beiden schränken sich gegenseitig ein. Wenn der Schwache zu viel vom Starken gefressen wird, verringert sich die Zahl drastisch und der Starke gerät wiederum in eine Überlebenskrise. Die Erfahrung lehrt uns, dass die Bevölkerungszahl sehr schnell ansteigt, wenn sie klein ist. bei einer moderaten Bevölkerungszahl nähert sich die Wachstumsrate Null; wenn die Bevölkerung sehr groß ist, wird sie stark sinken. Dies ist eine Grundannahme, der Ökologen bei ihrer Forschung folgen, und sie spiegelt sich auch im obigen Modell wider: Wenn x steigt, dann fällt 1-x. Umgekehrt gilt: Wenn x abnimmt, nimmt 1-x zu, sodass ihr Produkt Änderungen der Populationsgröße einschränkt. Es scheint, dass dieser funktionale Zusammenhang tatsächlich bis zu einem gewissen Grad das Gesetz der Populationsgrößenänderungen im Lebensumfeld widerspiegeln kann.

Bevor Professor May sich diesem Gebiet zuwandte, stimmten die frühen Ökologen im Allgemeinen mit der Ansicht überein, die der britische theoretische Evolutionsbiologe und Genetiker John Smith (1920-2004) in seinem klassischen Werk „Mathematical Ideas in Biology“ vertrat: Die Populationsgröße ist oft annähernd konstant. Sie alle glaubten mehr oder weniger, dass sich die Bevölkerungszahl in der oben dargestellten logistischen Abbildung nach einigen Jahren auf einer festen Zahl stabilisieren würde, unabhängig davon, wie groß oder klein sie anfänglich war. Gleichzeitig sind sie alle der Meinung, dass nur „stabile Lösungen“ attraktiv seien. Wenn Sie feststellen, dass sich die Bevölkerungsgröße nicht stabilisiert, gehen Sie automatisch davon aus, dass die Ursache ein Fehler in Ihren Berechnungstools ist.

Dieser Glaube, der durch wissenschaftliche Experimente nicht bestätigt wurde, ist in den Köpfen vieler Wissenschaftler tief verwurzelt, sodass sie selten bereit sind, sich hinzusetzen und eine mathematische Analyse bestimmter Modelle vorzunehmen, geschweige denn, mit großer Geduld langweilige, sich wiederholende iterative Berechnungen durchzuführen. Im April vor genau zehn Jahren schrieb Edward Wilson (1929–2021), ein berühmter Biologe im Ruhestand von der Harvard University, einen Artikel im Wall Street Journal mit dem Titel „Großartige Wissenschaftler ≠ gut in Mathematik“. Darin versuchte er, anhand seiner eigenen Erfahrungen zu beweisen, dass „viele der erfolgreichsten Wissenschaftler der Welt heute in Mathematik nur halbwegs ungebildet sind“. Dieser Artikel und ein vier Tage später erschienener Gegenartikel eines Mathematikprofessors aus Berkeley mit dem Titel „Don’t Listen to Edward Wilson“ (Hören Sie nicht auf Edward Wilson) wurden im Juli desselben Jahres im Journal of the American Mathematical Society nachgedruckt und lösten hitzige Diskussionen unter vielen Mathematikern und Wissenschaftlern aus.

Als Wissenschaftler mit Erfahrung in mehreren Fachgebieten ist Professor Mei offensichtlich nicht mit der oben genannten repräsentativen Ansicht einverstanden, dass traditionelle Biologen die Mathematik verachten. An der Princeton University begann er mit numerischen Iterationsexperimenten zur logistischen Abbildung. Es war Professor Mei, der sowohl angewandter Mathematiker als auch Ökologe war, der geduldig die Mathematik auf die Familie der logistischen Abbildungen anwandte. Indem er selbst iterative Berechnungen durchführte, entdeckte er eine neue und erstaunliche Szene auf dem Gebiet der Bevölkerungsdynamik.

Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass der Zeitraum ein Jahr beträgt, d. h., wenn x die relative Bevölkerungszahl dieses Jahres darstellt, dann stellt μx(1-x) die relative Bevölkerungszahl des nächsten Jahres dar.

Mei erhöhte schrittweise die Reproduktionsrate μ, in der Hoffnung, die Beziehung zwischen dem endgültigen Trend der Bevölkerungsentwicklung und diesem wichtigen Parameter herauszufinden. Er stellte bald fest, dass alles normal war, wenn μ die Zahl 3 nicht überschritt. Wenn beispielsweise der Parameter μ nicht größer als 1 ist, dann wird die Population, unabhängig von der anfänglichen Populationsgröße, spätestens nach dem zweiten Jahr von Jahr zu Jahr abnehmen und schließlich aussterben. Wenn μ jedoch größer als 1, aber nicht größer als 3 ist, wird sich die Populationsgröße nach Iterationen Jahr für Jahr allmählich stabilisieren und schließlich zu einer festen Zahl tendieren, unabhängig davon, wie viele Populationen es zu Beginn gibt. Diese feste Zahl erhöht sich mit zunehmendem Parameter. Wenn μ beispielsweise 2,7 beträgt, wird die endgültige Populationsgröße auf 0,6296 festgelegt, und wenn μ = 3 ist, erhöht sich die endgültige Populationsgröße auf 0,6667.

Mei erhöhte den Wert des Parameters weiter.

Als μ größer als 3, aber nicht größer als der exakte Wert 1 + √6 war, also ungefähr 3,45, entdeckte er ein neues Phänomen: Die Populationszahl tendierte nicht mehr zu einer festen Zahl, sondern stieg und fiel abwechselnd Jahr für Jahr und sprang schließlich zwischen zwei verschiedenen festen Zahlen hin und her, um schließlich zu einer Umlaufbahn mit Periode 2 zu tendieren, die aus diesen beiden periodischen Punkten bestand, und zwar unabhängig von der Anzahl der Populationen, die zu Beginn der Iteration ausgewählt worden waren.

Wenn der Parameterwert etwas größer als 3,45 gewählt wird, bis er etwa 3,54 erreicht, wird die Bevölkerungszahl alle vier Jahre regelmäßigen Schwankungen unterliegen und schließlich zwischen vier festen Zahlen hin und her springen, um schließlich zu einer Umlaufbahn mit Periode 4 zu tendieren, die aus diesen vier periodischen Punkten besteht, unabhängig davon, wie groß die anfängliche Bevölkerungszahl ist. Auf diese Weise verdoppelt sich der Zweijahreszyklus der Bevölkerungszahlen auf einen Vierjahreszyklus.

Wenn der Parameterwert den winzigen Wert 3,54 überschreitet, springt der Vierjahreszyklus auf einen Achtjahreszyklus. Wenn der Parameterwert dann weiterhin leicht ansteigt, erscheinen nacheinander der Sechzehnjahreszyklus, der Zweiunddreißigjahreszyklus usw. bis ins Unendliche. Dann gibt es innerhalb eines neuen Wertebereichs von μ ein neues Periodenverdopplungsphänomen, dessen Periode keine Zweierpotenz ist. Wenn μ jedoch auf ein bestimmtes Niveau ansteigt, weist die endgültige Populationsgröße keine Periodizität mehr auf und zeigt Anzeichen von „Chaos“.

Lassen Sie uns die obigen Absätze in mathematischer Sprache zusammenfassen.

Diese Grenze ist nach dem amerikanischen mathematischen Physiker Mitchell Feigenbaum (1944–2019) benannt.

Feigenbaum erhielt seinen Ph.D. in Teilchenphysik vom MIT im Jahr 1970 und verbrachte dann jeweils zwei Jahre an der Cornell University und der Virginia Polytechnic Institute and State University. In diesen vier Jahren veröffentlichte er zwar nur eine einzige Arbeit, konnte jedoch eine breite Wissensbasis aufbauen, was als großer Erfolg bezeichnet werden kann. Tatsächlich veröffentlichte er im Laufe seines Lebens lediglich 27 wissenschaftliche Arbeiten, unabhängig oder in Zusammenarbeit mit anderen.

Nachdem er 1974 vom Los Alamos National Laboratory in den Vereinigten Staaten angeworben worden war, um auf seine eigene Art und Weise die Selbstähnlichkeit zwischen großen und kleinen Skalen bei Turbulenzen gründlich zu verstehen und den Kern des Problems zu finden, ignorierte er völlig, ob er den Artikel so schnell wie möglich herausbringen könnte. Stattdessen arbeitete er „fünfundzwanzig“ Stunden am Tag, verließ sich darauf, dass seine Hände am Taschenrechner herumfummelten und sein Gehirn zwischen den Berechnungen ständig nachdachte, und entdeckte neue universelle Konstanten. Sein direkter Vorgesetzter in der Theorieabteilung kommentierte später: „Feigenbaum hatte den richtigen Hintergrund, er hat das Richtige zur richtigen Zeit getan, und er hat es sehr gut gemacht. Er hat nicht nur Teilaspekte berücksichtigt, sondern das Ganze durchschaut.“

Was ist der Grund dafür?

Im Jahr 1974 wurde Professor Mei von der Fakultät für Mathematik der University of Maryland eingeladen, im Rahmen der „Biomathematics Lecture Series“ einen Vortrag zu halten, in dem er über die seltsamen Phänomene berichtete, die er während der numerischen Iteration der logistischen Abbildung entdeckt hatte. Nach der Rede wurde er von einem von ihm eingeladenen Professor zum Flughafen gebracht. Unterwegs überreichte der Professor namens James Yorke (1941-) Mei einen Artikel. Nachdem Professor Mei es gelesen hatte, war er schockiert: Ein Konzept in dem Artikel löste seine Verwirrung.

Dieser Artikel, der damals nur ein Entwurf war, wurde später zu einem der berühmtesten mathematischen Aufsätze in der Geschichte des Chaos. Heute hat der Titel in der chinesischen Welt eine feste Übersetzung: „Periode drei bedeutet Chaos.“ Eine elementare Interpretation dieses achtseitigen Mathematikpapiers, das in der Wissenschaft mehr als 5.650 Mal zitiert wurde, wird Inhalt eines populärwissenschaftlichen Mathematikartikels sein, den ich demnächst schreiben werde.

Die ökologische Geschichte des mathematischen Phänomens der „Periodenverdoppelungsbifurkation“ wurde in groben Zügen erzählt. Allerdings ist es so, dass man nur „Anekdoten über wissenschaftliche Entdeckungen“ kennt, ohne ein grundlegendes Verständnis wissenschaftlicher Prinzipien zu haben. Das ist so ähnlich wie die Wahrheit, die in den Worten zum Ausdruck kommt, an die sich der amerikanische theoretische Physiker Richard Feynman (1918–1988) oft erinnerte, als sein Vater seinem Sohn in seiner Kindheit einen besonderen Rat gab: „Wenn du nur den Namen eines Vogels kennst, aber nichts über seine Gewohnheiten weißt, dann ist dein Verständnis für den Vogel nahezu gleich null.“ Feynman war davon überzeugt, dass die schlichte und weise Sichtweise seines Vaters seine wissenschaftliche Laufbahn für sein ganzes Leben beeinflusst hatte. Schon in jungen Jahren hatte er den grundlegenden Unterschied zwischen der bloßen Kenntnis der Namen von Dingen und dem vollständigen Verständnis ihres Wesens verstanden. Daher wende ich mich im letzten Teil dieses Artikels der Mathematik zu und verwende hauptsächlich eine leicht verständliche elementare mathematische Sprache, um die drei oben erwähnten Periodenverdoppelungs-Bifurkationseigenschaften der logistischen Abbildungsfamilie fμ zu erklären, warum plötzlich eine Umlaufbahn mit Periode 2 entsteht, wenn die Reproduktionsrate μ den Schwellenwert von 3 überschreitet, und warum diese Umlaufbahn attraktiv ist, bevor der Wert von μ 1 + √6 überschreitet.

Ich habe in „Iteration“ erwähnt, dass wenn |a| < 1, der einzige Fixpunkt b/(1-a) der linearen Funktion ax + b ist attraktiv, aber wenn |a| > 1, b/(1-a) ist ein abstoßender Fixpunkt. Der Koeffizient a ist hierbei zugleich die Steigung der entsprechenden Geraden. Für jede differenzierbare Funktion y = f(x) ist ihre Ableitung f'(x) an einem Punkt x die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt (x, f(x)). Obwohl der Graph einer nichtlinearen Funktion gekrümmt ist, sehen die Kurve und die Tangente in der Nähe des Berührungspunkts fast gleich aus. Diese Beobachtung ist der Hauptgrund dafür, warum die Infinitesimalrechnung seit Hunderten von Jahren so erfolgreich ist. Da die „Attraktivität“ oder „Abstoßung“ eines Fixpunkts eine „lokale Eigenschaft“ ist, wie das Konzept der „Ableitung einer Funktion“, warum können wir dann nicht anstelle der komplexen Kurve eine einfache gerade Linie verwenden, die den Funktionsgraphen am Fixpunkt tangiert, um mathematische Werkzeuge zu erstellen, mit denen wir bestimmen können, ob der Fixpunkt x* der Funktion f „Attraktivität“ oder „Abstoßung“ besitzt? Diese Idee kann uns zumindest dabei helfen, eine einfache und leicht anzuwendende Beurteilungsmethode zu „entwickeln“, nämlich, wenn der Fixpunkt x* von f |f'(x*)| erfüllt. < 1, dann muss x* attraktiv sein; wenn |f'(x*)| > 1, dann muss x* abstoßend sein. Diese Idee ist absolut richtig.

Warum? Durch Zeichnen einer Funktionskurve, die in der Nähe des Schnittpunkts mit der Diagonalen y = x relativ flach ist, lässt sich die obige Behauptung mithilfe der „Graphi-Iterationsmethode“ leicht geometrisch beweisen. Überzeugender ist jedoch das folgende „analytische Argument“: Unter der Annahme, dass f(x*) = x* und |f'(x*)| < 1, da die Ableitung f'(x*) die Grenze des Verhältnisses der Funktionswertdifferenz f(x) – f(x*) zur Differenz der Werte der unabhängigen Variablen x – x* ist, wenn x sich x* nähert, haben wir Grund zu der Annahme, dass, wenn x nahe x* ist, |f(x) – x*| ≤ δ |x – x*|, wobei die positive Zahl δ nur geringfügig größer als |f'(x*)|, aber immer noch kleiner als 1 ist wie |f'(x*)| (Beispielsweise kann δ als arithmetisches Mittel von |f'(x*)| und 1 angenommen werden, d. h. δ = (|f'(x*)| + 1)/2).

Die obige Idee kann auch verwendet werden, um zu beweisen, dass, wenn ein Fixpunkt x* von f |f'(x*)| erfüllt > 1, dann ist x* exklusiv, d. h. es schließt jeden Punkt x in seiner Umgebung aus, der ungleich ihm ist: |f(x) – x*| ≥ Δ |x – x*|, wobei Δ eine Zahl größer als 1 ist.

Der Leser fragt sich natürlich, was die Schlussfolgerung ist, wenn |f'(x*)| = 1. Es gibt keinen Weg, keine allgemeine Schlussfolgerung, wir können nur „spezifische Probleme gezielt analysieren“; Genau wie im Leben gibt es auch in der Mathematik Dinge, die man bereuen kann. Leser, die sich in der höheren Mathematik mit der Theorie unendlicher Reihen beschäftigt haben, werden sich an folgende Tatsache erinnern: Wenn es ein Kriterium dafür gibt, ob eine Reihe konvergiert oder nicht, gibt es immer eine Reihe, bei der das Kriterium nicht erfüllt ist. Daher gibt es keinen „Generalschlüssel“ auf der Welt; Wenn ich Werbeslogans mancher Verlage sehe wie „Die weltweit anerkannte großartigste Lernmethode!“, muss ich lachen, genauso wie wenn ich die Nachrichten über die Erfindung eines Perpetuum mobile sehe.

Das Bifurkationsgesetz dieser Art von einparametriger Funktionsfamilie, das vom Ökologen Dr. Mei zum ersten Mal in der Geschichte numerisch simuliert wurde, wird im Bereich der dynamischen Systeme anschaulich als „Pitchfork-Typ“ bezeichnet. Dies liegt daran, dass das Bifurkationsdiagramm oben, wenn es mit gepunkteten Linien an den abstoßenden periodischen Punkten markiert ist, wie ein in ländlichen Gebieten häufig verwendetes Werkzeug wie eine „Heugabel“ aussieht, die untrennbar mit der „Periodenverdoppelungsbifurkation“ verbunden ist. Es gibt jedoch ein weiteres Bifurkationsphänomen, das als „Tangententyp“ bezeichnet wird und auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass der Graph der Funktion vor und nach dem Überschreiten eines Schwellenwerts durch den Parameter einen Prozess durchläuft, bei dem er die Diagonale y = x an zwei Punkten schneidet, an einem Punkt tangential ist und sich dann voneinander trennt. Daher verringert sich die Anzahl der Fixpunkte von zwei auf eins und dann auf Null. Ein typisches Beispiel hierfür ist die Familie der Exponentialfunktionen {μex}, bei denen der Parameter μ > 0 ist. Wenn μ = 1/e, ist der Graph der Funktion tangential zur Diagonalen am Fixpunkt 1. Wenn μ < 1/e, schneiden sich der Graph und die Diagonale in zwei Punkten. Wenn μ > 1/e, schneidet der Graph der Funktion nie die Diagonale. Als Selbsttest nach der Lektüre dieses Artikels lade ich die Leser ein, die „Graphi-Iterationsmethode“ für diese Familie von Exponentialfunktionen für die drei Fälle 0 < μ < 1/e, μ = 1/e und μ > 1/e zu verwenden und die endgültige Richtung der iterativen Punktbahnen vorherzusagen, die allen Anfangspunkten entsprechen.

Bisher sind wir bei unseren Funktionsiterationen nur auf periodische Punkte gestoßen, deren Perioden nicht-negative ganzzahlige Potenzen von 2 sind, einschließlich Fixpunkten. Unter allen perfekt geordneten natürlichen Zahlen folgt auf die 2 die 3. Dies ist eine außergewöhnliche natürliche Zahl. Dies erzeugt gewaltige Wellen im Ozean der Funktionsiteration und macht den zukünftigen Kurs des Segelschiffs unvorhersehbar!

Danksagung: Der Autor möchte dem Wissenschaftler Yang Yunyang für das Lesen des ersten Entwurfs und die Bereitstellung von Überarbeitungsvorschlägen danken.

Produziert von: Science Popularization China

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