Die Analyse eines Mathematikers: Wie genau ist eine „Gerade“ definiert?

In Euklids „Elementen“ gibt es ein Axiom, das sich deutlich von den anderen unterscheidet, nämlich das fünfte Postulat, das heute Parallelenpostulat heißt: Wenn eine Strecke zwei Geraden schneidet und die Summe der Innenwinkel auf einer Seite kleiner ist als die Summe der beiden rechten Winkel, dann schneiden sich die beiden Geraden nach stetiger Verlängerung auf der Seite, wo die Summe der Innenwinkel kleiner ist als die Summe der beiden rechten Winkel. Um dies zu „beweisen“, stellten die Leute fest, dass sogar die Definition einer geraden Linie selbst fehlerhaft war. Nachdem wir uns fast zweitausend Jahre lang mit Mathematikern beschäftigt haben, haben sich die Grundkonzepte von geraden Linien, Raum usw. völlig verändert. Wir haben eine völlig neue Welt erschlossen – die nichteuklidische Geometrie, also die Weisheit, die in diesem komplexen Axiom steckt. In diesem Beitrag wird ein Teil der frühen Geschichte der Erforschung des fünften Postulats vorgestellt, und wir können sehen, wie von da an die Tiefen der Geometrie enthüllt wurden.

Dieser Artikel darf aus Kapitel 6 „Die Welt der nichteuklidischen Geometrie“ von „Screaming Mathematics: The Amazing Beauty of Mathematics“ (Hunan Science and Technology Press) entnommen werden. Der Titel und die Untertitel dieses Artikels wurden vom Herausgeber hinzugefügt. Gehen Sie zum öffentlichen Konto „Fanpu“ und klicken Sie am Ende des Artikels auf „Originaltext lesen“, um dieses Buch zu kaufen. Klicken Sie auf „Lesen“ und posten Sie Ihre Gedanken im Kommentarbereich. Bis zum 2. Januar 2022, 12:00 Uhr, wählen wir 2 Kommentare aus und schenken jedem ein Buch.

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Von Umberto Bottazini

Übersetzt von Yu Tingting

Am 7. November 1919 erschien in der Londoner Times ein Bericht mit dem Titel „Wissenschaftliche Revolution, neue Theorie des Universums, Newtons Ideen völlig auf den Kopf gestellt“. Was genau ist passiert, das so revolutionär war? Im Mai desselben Jahres reisten die Astronomen Sir Arthur Stanley Eddington (1882–1944) und Frank Watson Dyson (1868–1938, der eine wichtige Rolle beim Beweis von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie spielte) auf eine Insel in Guinea bzw. Brasilien, um eine totale Sonnenfinsternis zu beobachten. Am 6. November tauschten sie bei einem historisch bemerkenswerten Treffen der Royal Society ihre Beobachtungsergebnisse aus, die die Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie bestätigten: Die Masse der Sonne bewirkt eine Ablenkung des Lichts in der Luft. Die Nachrichtenmedien auf der ganzen Welt veröffentlichten diese Neuigkeit eine nach der anderen und Einstein wurde über Nacht berühmt. „Ein neuer großer Mann der Weltgeschichte!“ Dies schrieb eine Berliner Zeitung unter Einsteins Foto. Die Times zitierte den Präsidenten der Royal Society mit den Worten: „Die Entdeckung des Neptun im Jahr 1846 bestätigte nachdrücklich die Richtigkeit der Newtonschen Gesetze und der euklidischen Geometrie, und die allgemeine Relativitätstheorie war das bedeutendste Ereignis seit der Entdeckung des Neptun.“

Nun müsse sich „die wissenschaftliche Sicht des Universums als einer großen Fabrik ändern“, um mit „der wichtigsten Aussage oder einer der wichtigsten Aussagen des menschlichen Denkens“ – der Relativitätstheorie – in Einklang zu stehen. Eddington betrachtete die Relativitätstheorie als „eine der besten Illustrationen der Macht des mathematischen Denkens“. Die von einem brillanten Mathematiker in einem schicksalshaften Moment Mitte des 19. Jahrhunderts vorhergesagte Sicht des Raums setzte den Höhepunkt einer mitreißenden Transformation in Gang, die zweitausend Jahre später noch vor Newton erfolgte, indem sie die einzige Theorie der euklidischen Geometrie umstürzte, die Geometer befreite und ihrer kreativen Vorstellungskraft freien Lauf ließ.

Was ist eine Gerade?

Diese „kosmische Fabrik“ folgt nicht mehr der euklidischen Geometrie? Ist die Geometrie des Raums nicht mehr dieselbe Geometrie des Raums, die uns Euklid erklärt hat? Ist der Weg des Lichts nicht eine gerade Linie? Wie ist das möglich? Wenn Sie das kaum glauben können, ist das normal, denn Ihre Lebenserfahrung lehrt Sie, dass der Raum den euklidischen Gesetzen folgt und sich Licht geradlinig ausbreitet. Aber was ist Raum? Wir werden später hören, wie Kant es definiert. Bevor Sie versuchen, den Raum zu definieren, sollten Sie wissen, dass nicht einmal Euklid dies getan hat. In seinen Elementen untersuchte Euklid die Eigenschaften fester Körper, gab jedoch keine Definition des Raums. Er sagte einfach, dass ein Festkörper „ein Ding mit Breite, Länge und Tiefe“ sei, was bedeutet, dass er drei Dimensionen hat. In den ersten Theoremen geht es um mehrere Ebenen, die sich in einer Geraden schneiden, oder um eine Senkrechte auf einer Ebene usw. Aus diesen Theoremen können wir intuitiv verstehen, worauf sich der Begriff „Raum“ bezieht. Was also ist eine gerade Linie? Was ist das für eine Frage! Was ist eine Gerade? Wir alle dachten, wir hätten es in der Schule gelernt. Das stimmt.

Versuchen Sie dann, es selbst zu definieren. Etwas Gerades (oder nicht Gebogenes). Wenn Ihre Definition ähnlich ist, besteht keine Notwendigkeit, dies zu erklären. Sie können sich verteidigen, indem Sie sagen, dass Sie kein Mathematiker sind. Sie können sich damit trösten, dass dieses Problem auch Mathematiker seit Hunderten von Jahren beschäftigt. In der Mathematik kommt es häufig vor, dass die Konzepte, die am offensichtlichsten und vertrautesten erscheinen, am schwierigsten streng zu definieren sind. Der herausragende Enzyklopädist und Mathematiker D'Alembert schrieb eine berühmte Aussage. Er schrieb 1795: „Die Definition und die Eigenschaften gerader Linien sind, wie die paralleler Linien, sozusagen ein Hindernis und eine Schande für die Prinzipien der Geometrie.“ Na und! Natürlich, denn die gesamte euklidische Geometrie baut auf diesen Definitionen und Eigenschaften auf. Kein Wunder, dass in d'Alemberts Augen bereits die Definition von geraden und parallelen Linien einen Skandal darstellte.

D'Alembert fügte hinzu, dass die gewöhnliche Definition einer geraden Linie die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten sei. Wenn Sie darüber nachdenken, stimmen Sie seiner Definition vielleicht zu. Doch diese Definition, so der französische Wissenschaftler weiter, gleicht eher einer Eigenschaft einer geraden Linie als einem originellen Konzept. Woher wissen Sie, dass es das kürzeste ist? Wer sagt, dass es nur einen kürzesten Weg von einem Punkt zum anderen gibt? Wir akzeptieren das Konzept einer geraden Linie nur, weil es diese Tatsache impliziert. Wenn wir keine zufriedenstellende Definition einer geraden Linie geben können, können wir auch keine zufriedenstellende Definition paralleler Linien geben. D'Alemberts Vorschlag scheint uns den Weg zu weisen. Er sagte: Eine Parallele zu einer Geraden ist eine Linie, die zwei Punkte auf derselben Seite der Geraden und in gleichem Abstand von der Geraden verbindet und sich in derselben Ebene wie die Gerade befindet. Anzunehmen, dass es ohne Beweis wahr ist, bedeutet, etwas außerhalb der Definition anzunehmen. Wir stehen wieder am Anfang und diskutieren immer noch über das Konzept der Distanz. Kurz gesagt, so schloss d'Alembert, „ist die Theorie der parallelen Linien eine der am schwierigsten zu überwindenden Prinzipien der Geometrie.“

Das problematische fünfte Postulat

Seit etwa 300 v. Chr. haben unzählige Geometer hart daran gearbeitet, dieses Problem zu lösen. Euklid legte in seinen „Elementen“ die Prinzipien der Geometrie fest. In seiner Definition heißt es: „Eine gerade Linie ist eine Linie, die durch die Verbindung aller Punkte gebildet wird, die mit ihr zusammenfallen.“ Möglicherweise ist Ihnen diese Definition unklar. Er hätte nicht verschweigen dürfen, dass eine Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist, doch nur Archimedes stellte dies explizit fest. Was parallele Linien betrifft, glaubte Euklid, dass es sich dabei um gerade Linien handelte, die in derselben Ebene lagen, sich an beiden Enden unendlich weit erstreckten, sich jedoch nie kreuzten.

Die ersten drei Postulate der „Elemente“ (man kann zwischen zwei beliebigen Punkten nur eine Gerade ziehen; die Enden einer Geraden können beliebig verlängert werden; ein Kreis kann mit beliebigem Mittelpunkt und Radius konstruiert werden) gewährleisten die Möglichkeit der Konstruktion geometrischer Grundfiguren. Das vierte Postulat ist, dass alle rechten Winkel gleich sind. Das fünfte Postulat, das sogenannte Parallelenpostulat, sieht auf den ersten Blick ganz anders aus: Wenn zwei Geraden in derselben Ebene eine dritte Gerade schneiden und die Summe der beiden Innenwinkel auf einer Seite kleiner ist als die Summe der beiden rechten Winkel, dann müssen sich die beiden Geraden nach unendlicher Verlängerung auf dieser Seite schneiden. Wenn Sie ein Bild auf Papier zeichnen, wird es deutlich. Sie könnten jedoch meinen, dass dieses Postulat überhaupt nicht so offensichtlich ist und konzeptionell viel komplizierter ist als die vorherigen vier. Was d'Alembert „geometrische Hindernisse und Familienskandale“ nannte, bezieht sich auf dieses Postulat. Es ist jedoch von entscheidender Bedeutung, da die Konstruktion des Quadrats, der Beweis des Satzes des Pythagoras und alle daraus abgeleiteten Theoreme auf diesem Postulat basieren.

Im 5. Jahrhundert n. Chr. sagte Proklos in seinem Kommentar zu den „Elementen der Geometrie“, dass die Gelehrten schon lange geglaubt hätten, das fünfte Postulat könne durch die anderen vier Postulate bewiesen werden, vielleicht plus einer neuen Hypothese, die einfacher und leichter zu verstehen sei als das Postulat von Euklid. In den folgenden Jahrhunderten stellten viele Mathematiker Euklids Postulate in Frage, doch sie zerbrachen sich den Kopf und konnten keinen Beweis vorlegen.

Einige von ihnen dachten, dass das Konzept paralleler Linien intuitiv und leicht verständlich sei, andere glaubten, dass die Ähnlichkeit der Figuren ausgenutzt werden sollte, und wieder andere wollten das fünfte Postulat durch das neue, von Proklos vorgeschlagene Axiom ersetzen, nämlich: „Es ist unmöglich, zwei Linien zu zeichnen, die parallel zu einer bekannten Linie verlaufen und sich nicht durch einen Punkt außerhalb der Linie überschneiden.“ Das entsprechende Axiom haben Sie vielleicht in Ihren Lehrbüchern gelernt: „In einer Ebene gibt es nur eine Linie durch einen Punkt außerhalb der Geraden, die parallel zur bekannten Geraden ist.“ Wenn Sie jedoch sorgfältig darüber nachdenken, werden Sie feststellen, dass dieses von John Playfair (1748-1819) Ende des 18. Jahrhunderts vorgeschlagene Postulat sogar noch komplizierter ist als Euklids Parallelenpostulat. Sie sind gleichwertig, was bedeutet, dass sich das Postulat von Playfair aus dem fünften Postulat ergibt und umgekehrt. Dieses Problem besteht bei den Axiomen, die von vielen „Reformern“ der euklidischen Geometrie vorgeschlagen wurden, von den persischen Mathematikern Omar Khayyam (1048–1122) und Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) bis hin zu John Wallis (1616–1703) im späten 17. Jahrhundert und Adrien-Marie Legendre (1752–1833) im späten 18. Jahrhundert.

Andere Gelehrte, wie beispielsweise der Jesuit Girolamo Saccheri (1667–1733), haben versucht, das fünfte Postulat durch einen Widerspruchsbeweis zu beweisen. Der Beweis durch Widerspruch ist eine Argumentationsmethode. Wenn A aus der Antithese von Proposition A abgeleitet werden kann, dann ist Proposition A wahr. Saccheri sagte: „Dies scheint das erste Merkmal aller Wahrheit zu sein: Von der Annahme, das Gegenteil einer Wahrheit sei wahr, kehren wir durch verblüffende Widerlegungen und Schlussfolgerungen schließlich zur Wahrheit selbst zurück.“ In seinem Buch „Euclidean Geometry Free from All Stains“ (1733) untersuchte Saccheri ein gleichschenkliges Viereck mit zwei rechten Winkeln, d. h. ∠A und ∠B sind rechte Winkel, AD=BC.

Was ist mit ∠C und ∠D? Das Erste, was sofort auffällt, ist, dass sie gleich groß sind. An diesem Punkt fallen Ihnen vielleicht drei Möglichkeiten ein: ∠C und ∠D sind beide rechte Winkel, oder beide sind stumpfe Winkel, oder beide sind spitze Winkel. Jede dieser Möglichkeiten (Sacheri nannte sie Hypothesen) ist universell, das heißt, wenn sie auf ein bestimmtes gleichschenkliges Viereck mit zwei rechten Winkeln zutrifft, dann gilt sie auch für alle anderen gleichschenkligen Vierecke mit zwei rechten Winkeln.

Die Annahme rechter Winkel nennt Euklid das Postulat. ABCD ist ein Rechteck, das natürlich das fünfte Postulat erfüllt. Mit einem Widerspruchsbeweis bewies Sacheri, dass „die Annahme eines stumpfen Winkels falsch ist, weil sie die Figur selbst zerstören würde.“ Die einzige verbleibende „feindliche Hypothese“ ist der spitze Winkel, der als einziger die Postulate Euklids verletzt. Um diese Hypothese zu widerlegen, startete Sakeli eine „lange Kampagne“, füllte Seite für Seite mit obskuren Schlussfolgerungen und kam schließlich zu dem Schluss, dass die Hypothese „völlig falsch war, da sie den Eigenschaften gerader Linien widersprach“. Hast du es gesehen? Wir sind wieder am Anfang: Wir beschäftigen uns erneut mit den „Eigenschaften“ gerader Linien. Was ist diese „Natur“? Versucht Sakeri nicht, der Erkenntnis auszuweichen, dass die aus dieser Hypothese gezogenen Schlussfolgerungen den ersten Gefühlen widersprechen, die Menschen haben, wenn sie eine gerade Linie sehen?

In diesem „Kampf“ legte Saccheri eine Reihe unerwarteter neuer Theoreme dar und bewies sie, weshalb ihn einige spätere Generationen als „Pionier“ der nichteuklidischen Geometrie bezeichneten. Aber Sakeri ist kein zweiter Columbus. Kolumbus suchte nach einer neuen Route nach Indien, entdeckte jedoch stattdessen die Neue Welt. Sakeli war jedoch fest davon überzeugt, dass er die „feindliche Hypothese“ des spitzen Winkels erfolgreich widerlegt hatte und war sich sicher, dass der Ort, an dem er ankam, „Indien“ war. Paul Valérys ironische Überraschung über „diesen Saccheri“ ist daher unangebracht: „Saccheri hatte die Tür zu einer kühnen und innovativen Geometrie der Zukunft ein Stück weit geöffnet, ohne es zu merken“, denn in Wirklichkeit „war er ein durch und durch Jesuit.“ Doch Sakeli vertrat in seinen Thesen keinen „Jesuiten-Charakter“, sondern hatte eher einen „ptolemäischen“ Glauben an die euklidische Geometrie. Obwohl Saccheri von seinen Argumenten sehr überzeugt war, konnte er dennoch keinen Makel aus der euklidischen Geometrie entfernen. Wenn das fünfte Postulat ein Fleck auf dem Gewand der euklidischen Weltraumwissenschaft ist, dann bleibt dieser Fleck bestehen. Doch waren es die Bemühungen der Jesuiten, die, um es mit Imre Totts treffenden Worten auszudrücken, „die Geometrie weniger unschuldig“ machten. Es sollte mehr als ein Jahrhundert dauern, bis das anstößige fünfte Postulat, das die Geometrie nicht mehr einfach machte, öffentlich formuliert und von der Welt anerkannt wurde.

Mehr als 3D

Der in Göttingen tätige Georg Simon Klügel (1739–1812) studierte Sakelis Forschungsergebnisse sorgfältig. Im Jahr 1763 diskutierte er in einem Aufsatz auch Sacheris Forschungen. Was war also sein Fazit? Angesichts eines solchen „Verteidigers der reinen Wahrheit“ wie ihm können wir „vorerst“ zumindest sagen, dass „kein vernünftiger Mensch die Postulate Euklids leugnen würde“. Das stimmt, zumindest vorerst. Inspiriert von Krügers Aufsatz trat Lambert in Sacheris Fußstapfen und veröffentlichte „Über den Parallelismus“ (1776). Dieser Lambert ist derselbe Lambert, der bewiesen hat, dass π eine irrationale Zahl ist. Mathematiker verwenden das Bogenmaß, um die Größe von Winkeln auszudrücken, und die Zahl π stellt auch den Grad eines gestreckten Winkels dar, der 180° beträgt. Wie Saccheri versuchte auch Lambert zu beweisen, dass die Hypothese des spitzen Winkels nicht gültig sei, scheiterte jedoch letztlich. Diesmal konzipierte er ein Viereck mit drei rechten Winkeln und argumentierte für den vierten Winkel.

Hundert Jahre später hat sich das Raumkonzept nicht verändert. In Dostojewskis Werk sagte Iwan Karamasow in einem langen Gespräch mit seinem Bruder Aljoscha: „Wenn es einen Gott gibt und wenn es wahr ist, dass er die Welt erschaffen hat, dann hat Gott, wie wir wissen, die Welt gemäß der euklidischen Geometrie erschaffen und den menschlichen Geist lediglich mit dem Konzept des dreidimensionalen Raums geschaffen.“ Doch ist seit der Antike bekannt, dass die sphärische Geometrie die Axiome der euklidischen Geometrie nicht verletzt, und Lamberts Erklärung verdeutlicht diesen Punkt ebenfalls. Zu dieser Zeit dürfte die Nachricht von der nichteuklidischen Geometrie auch St. Petersburg erreicht haben, denn Ivan fuhr fort: „Aber es gab und gibt auch heute noch einige Geometer und Philosophen, darunter einige der bedeutendsten Gelehrten, die bezweifeln, dass die ganze Welt, genauer gesagt das gesamte Universum, wirklich nur nach der euklidischen Geometrie erschaffen wurde. Sie stellen sogar das Parallelenpostulat in Frage und stellen eine kühne Vermutung an: Zwei parallele Linien, von denen Euklid glaubte, dass sie sich niemals schneiden würden, könnten sich nach ihrer unendlichen Ausdehnung tatsächlich an einem bestimmten Punkt schneiden.“ Ivan war verwirrt. Diese letzte Möglichkeit, Parallelen zu definieren, lernt Stendhals Henri Bruel in einem „alten Katechismus“, aber sie hat nichts mit dem berühmten und umstrittenen fünften Postulat zu tun.