Die Wahrscheinlichkeitstheorie existiert nicht mehr? Nachdem sie die Münze 350.000 Mal geworfen hatten, stellten sie fest, dass das Ergebnis der beiden Seiten nicht 1:1 war

Dies ist das wissenschaftlichste Tutorial zum Münzwerfen.

Wir verweilen oft bei einem Problem und haben Schwierigkeiten, eine schnelle Entscheidung zu treffen, beispielsweise, ob wir heute Abend Nudeln mit Sojabohnenpaste oder McDonald's essen; oder ob Sie eine Arbeitsmöglichkeit annehmen; oder ob Sie ihm/ihr heute Abend Ihre Liebe gestehen sollen ...

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Zu diesem Zeitpunkt werfen viele Menschen eine Münze und treffen ihre eigene Entscheidung anhand der Kopf- oder Zahlseite der Münze. Selbst bei wichtigen Anlässen werden Münzen oft geworfen, um wichtige Entscheidungen zu treffen . Bei der Fußballweltmeisterschaft beispielsweise entscheidet der Schiedsrichter per Münzwurf, welches Team zuerst anstößt.

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In den Mathematikbüchern der Mittelstufe erfahren wir, dass beim Werfen einer gültigen Münze die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl fällt, gleich ist. Daher glauben die Menschen, dass die Entscheidungen, die die Münze in ihrem Namen trifft, fair und selbstlos sein müssen. Viele Mathematiker haben außerdem Experimente durchgeführt, um zu beweisen, dass die Häufigkeit, mit der eine Münze oft genug geworfen wird, bei etwa 1:1 liegt . Dazu gehörte auch Karl Pearson, der Begründer der mathematischen Statistik, der eine Münze mehr als 20.000 Mal warf.

Was aber, wenn ich Ihnen jetzt sage, dass die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf zweimal Kopf zu erhalten, tatsächlich nicht gleich ist?

Die Wahrscheinlichkeiten beider Seiten sind nicht gleich

Kürzlich traf sich eine Gruppe gelangweilter Wissenschaftler und warfen 350.757 Mal 46 verschiedene Münzen , was insgesamt etwa 20 Stunden dauerte. Sie stellten dann fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die nach oben zeigende Seite der geworfenen Münze dieselbe war wie die ursprüngliche Seite vor dem Werfen der Münze, etwas höher war, nämlich etwa 51 %.

Sie warfen die Münze 20 Stunden lang weiter. Quelle: Coin Tossing Team via YouTube

Das heißt: Wenn Sie die Münze werfen und sie mit dem Kopf nach oben landet, ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass sie auch mit dem Kopf nach oben landet, wenn sie schließlich fällt, und umgekehrt.

Sie stellten außerdem fest, dass manche Menschen beim Münzwurf eine höhere Wahrscheinlichkeit hatten, die gleiche Seite wie die Startseite zu bekommen, während andere näher am theoretischen Wert lagen, d. h. die Wahrscheinlichkeit, beide Seiten zu bekommen, lag bei 50 %. Sie veröffentlichten ihre Forschungsergebnisse auf der Preprint-Site arXiv, die noch nicht von Experten begutachtet wurden.

Dies zeigt offensichtlich, dass eine bestimmte Art des Münzwurfs die Wahrscheinlichkeit erhöhen kann, dass eine bestimmte Seite nach oben zeigt.

Ist es also möglich, so zu üben, dass eine Münze beim Werfen immer auf der gewünschten Seite nach oben landet?

Theoretisch ja.

Der Mathematiker Persi Diaconis arbeitete als Zauberer, bevor er Professor für Mathematik und Statistik an der Stanford University in den USA wurde. Er beschäftigt sich häufig mit Mathematik im Zusammenhang mit „Glücksspielen“, etwa mit dem Mischen von Karten, dem Würfeln und natürlich dem Münzwerfen.

Percy Diaconis, ein Mathematiker aus Stanford, der sich leidenschaftlich für Karten, Würfel, Roulette usw. interessiert. Bildquelle: Stanford University

Bereits 2007 demonstrierten Diaconis und sein Team in ihrer Arbeit ein Münzwurfgerät, das eine Münze an einen festgelegten Ort wirft und bei dem in 100 % der Fälle die Seite der Münze, die am Ende nach oben zeigt, mit der Vorderseite der Münze übereinstimmt.

Das von Diaconis und seinen Kollegen gebaute Münzwurfgerät kann zu 100 % garantieren, dass die Münze auf derselben Seite landet wie die Startseite. Diaconis et al., 2007

Auch Menschen können diesen Effekt erzielen, wenn sie mit ihren Händen Münzen werfen. Beispielsweise können einige Zauberer durch bestimmte Techniken das Ergebnis eines Münzwurfs beeinflussen.

Ein Zauberer kann das Ergebnis eines Münzwurfs beeinflussen. Quelle: SCAM NATION via youtube

Tatsächlich können Sie es auch schaffen, wenn Sie die Prinzipien beherrschen und mehr üben. Lernen wir also zunächst die Grundlagen, und dann kann jeder zu Hause alleine üben.

Zunächst müssen wir wissen, wie sich eine in die Luft geworfene Münze unter normalen Umständen bewegt.

Wenn wir den Einfluss des Luftwiderstands außer Acht lassen und eine Münze in die Luft werfen, wird sie entlang einer „Achse“ fliegen, die in der Ebene der Münze und parallel zum Boden verläuft . Wer Physik studiert hat, erkennt schnell, dass diese „Achse“ genau die Gerade ist, auf der der Drehimpuls der Münze liegt.

Quelle: Numberphile via YouTube

Quelle: Numberphile via YouTube, Grafiken: Dong Yuan

Dann verwenden wir ein wenig einfache Physik aus der Oberstufe, um die Bewegung der Münze zu analysieren.

Quelle: wikiHow via YouTube

Solange Sie also die Anfangsgeschwindigkeit, Höhe und Wurfgeschwindigkeit der Münze genau kontrollieren können, können Sie auch das Ergebnis des Münzwurfs genau kontrollieren (obwohl dies etwas schwierig sein kann).

Wenn wir die Geschwindigkeit ω über der Zeit t auftragen, während die Münze eine ganze Zahl von Malen geworfen wird, können wir viele Hyperbeln erhalten, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Bildquelle: Diaconis et al., 2007

Wenn die erste Seite der Münze Kopf zeigt und die Wurfgeschwindigkeit und -zeit (ω, t) innerhalb des Schattens in der Abbildung liegen, ist das Endergebnis Kopf nach oben. Wenn Geschwindigkeit und Zeit im leeren Teil außerhalb des Schattens liegen, ist das Ergebnis, dass die Zahl nach oben zeigt.

Zu diesem Zeitpunkt ist jedoch die Fläche des schattierten Teils gleich der Fläche des leeren Teils und die Wahrscheinlichkeit, Vorder- und Rückseite zu erhalten, beträgt immer noch 1:1 . Was sollen wir tun, wenn die oben genannte Abweichung auftritt?

Sport

Die obige Analyse basiert auf der Standardsituation , in der die geworfene Münze entlang einer „Achse“ parallel zum Boden fliegt , d. h., der Drehimpulsvektor der Münze ist parallel zum Boden.

Diaconis weist jedoch darauf hin, dass dies nur ein Sonderfall sei. Tatsächlich ist der Drehimpuls nicht parallel zum Boden, wenn viele Menschen eine Münze werfen und diese in der Luft rotiert.

Eine sorgfältige Beobachtung zeigt, dass die Münze in der Luft nicht um eine „Achse“ parallel zum Boden wirbelt. Quelle: Ton/Video-Impressionen via youtube

Wir können dies mit dem folgenden Modell erklären:

Bildquelle: Diaconis et al., 2007

Unter der Annahme, dass die Münze beim Werfen mit dem Kopf nach oben landet, besteht zwischen der Normalen (n), die senkrecht auf der Ebene der Münze steht, und dem Drehimpuls (M) ein Winkel (ψ) . Wenn die Rotationsachse der Münze nicht parallel zum Boden ist (d. h. ψ beträgt nicht 90°), rotiert die Normallinie n der Münze um den Drehimpuls M, was auch als Präzession bezeichnet wird.

Diaconis erklärt die Präzession beim Münzwurf. Quelle: Numberphile via YouTube

Fällt die Münze nach dem Wurf zum Zeitpunkt t wieder in die Hand zurück und ist der Kosinus des Winkels τ(t) zwischen der Münznormalen N(t) und dem senkrecht zum Boden stehenden Vektor K größer als 0, liegt die Münze mit der Vorderseite nach oben; Wenn er kleiner als 0 ist, liegt die Münze nach oben (die ursprüngliche Seite ist die Vorderseite).

Für diesen Cosinus τ(t) können wir ihn mit der Formel τ(t)=cos2 ψ +sin2 ψcos(ωNt) berechnen, wobei ωN die Winkelgeschwindigkeit der Münze ist, die normal um den Drehimpuls rotiert.

Wenn wir den Bereich, in dem der Normalvektor N(t) der Münze durch die Luft verläuft, als Kugel betrachten, ist bei dieser Bewegungsart die Zeit, die die Normale in der oberen Hemisphäre (Vorderseite nach oben) verweilt, größer oder gleich der Zeit, die sie in der unteren Hemisphäre (Rückseite nach oben) verweilt.

Bildquelle: Diaconis et al., 2007

Schließlich können wir berechnen, dass, wenn die Münze mit Kopf beginnt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt, wenn sie in die Hand zurückkehrt, wie folgt mit ψ zusammenhängt:

Das Bild ist

Bildquelle: Diaconis et al., 2007

Daraus können wir intuitiv erkennen, dass , wenn die erste Seite der Münze Kopf zeigt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze beim Fallen Kopf zeigt, nur dann 1/2 beträgt, wenn ψ ein rechter Winkel ist, und in allen anderen Fällen größer als 1/2 ist.

Wenn ψ weniger als 45° beträgt, dreht sich die Münze zwar, dreht sich während des gesamten Vorgangs jedoch nicht auf die andere Seite. Daher fällt die Münze in diesem Fall, egal wie hoch sie geworfen wird, letztendlich mit der gleichen Seite nach oben zurück, mit der sie geworfen wurde – das ist der Trick der Münzwurf-Zauberer.

Die vom Zauberer geworfene Münze drehte sich in der Luft nicht auf die andere Seite. Quelle: SCAM NATION via YouTube

Wenn ψ 0° beträgt, wird die Münze möglicherweise nicht einmal vertikal geworfen, sondern bewegt sich gerade auf und ab.

Quelle: Numberphile via YouTube

Tatsächlich kommt diese Art der Bewegung in unserem Leben sehr häufig vor, und ein typisches Beispiel ist unsere Erde . Während sich die Erde dreht, dreht sich auch die Normale zur Äquatorebene um eine Achse:

Sieht die Rotation der Erde aus wie eine Münze, die wirft? Quelle: Steven Sanders via youtube

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die von vielen Menschen geworfenen Münzen beim Werfen in der Luft eine Präzession aufweisen und dass daher die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf und Zahl nach oben zeigen, wenn die Münze schließlich wieder in die Hand fällt, bei gegebener ursprünglicher Vorderseite der Münze nicht gleich ist.

Wenn die meisten Menschen jedoch eine Münze werfen, achten sie nicht auf die Vorderseite der Münze. Unter der Voraussetzung, dass die Startseite zufällig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl beim Endergebnis eines Münzwurfs daher immer noch 1:1 (der Beweisprozess befindet sich im Vorabdruck).

Wenn Sie also in Zukunft mit jemand anderem eine Münzwurfwette abschließen, können Sie die oben erlernten Münzwurffähigkeiten üben, um zu „schummeln“. Wenn jemand anderes die Münze wirft, bitten Sie ihn, sie nicht mit den Händen aufzufangen, sondern sie direkt auf den Boden fallen zu lassen, da die Münze sonst wieder aufprallt und einige Male in der Luft herumwirbelt, wodurch das Ergebnis zufälliger wird.

Die Münze fiel zu Boden und prallte dann wieder hoch. Quelle: Numberphile via YouTube

Verweise

[1]https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf

[2]https://arxiv.org/abs/2310.04153

[3]http://gauss.stat.su.se/gu/sg/2012VT/penny.pdf

[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Precession

[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum

[6]https://en.wikipedia.org/wiki/Persi_Diaconis

[7]https://www.youtube.com/watch?v=AYnJv68T3MM

[8]https://www.youtube.com/watch?v=A-L7KOjyDrE

[9]https://www.youtube.com/watch?v=qlVgEoZDjok

[10]https://www.youtube.com/channel/UCZF_uxG9yEiuUkaFol16IBg

Planung und Produktion

Quelle: Global Science

Autor: Dong Yuan

Herausgeber: Yang Yaping