Was ist so großartig an diesem alten chinesischen Mathematikschatz?

Die alte chinesische Mathematik hat eine lange Geschichte. Die „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“, die in der Han-Dynastie geschrieben wurden, galten schon immer als der „erste Klassiker der Mathematik“ und sind das bedeutendste mathematische Werk unter ihnen.

Der verstorbene Akademiker der Chinesischen Akademie der Wissenschaften und berühmte Mathematiker Wu Wenjun (1919–2017) sagte: „Der hohe Stellenwert der Neun Kapitel über die mathematische Kunst und ihrer Anmerkungen von Liu Hui in der Entwicklung der Mathematik in der Geschichte ist vergleichbar mit dem von Euklids Elementen im antiken Griechenland, wobei jedes Kapitel seine eigenen Merkmale aufweist.“

Welche mathematischen Errungenschaften weist „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ auf und warum hat es einen so hohen Stellenwert in der Geschichte der Mathematik? Werfen wir heute einen Blick darauf.

Zählstäbe und quasi-dezimales Stellenwertsystem

Der digitale Ausdruck ist für den Menschen eine wichtige Möglichkeit, die Welt zu verstehen. Die „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“, die in der Han-Dynastie verfasst wurden, fassen die mathematischen Errungenschaften seit der Zeit vor der Qin-Dynastie zusammen. Als bedeutendste mathematische Errungenschaft ist darin das quasi-dezimale Stellenwertsystem der Rechenstäbe festgehalten.

Das sogenannte Dezimalsystem beginnt bei 1 zu zählen und ändert die Zählweise bis 10; Das sogenannte Stellenwertsystem bedeutet, dass dieselbe Zahl an unterschiedlichen Positionen unterschiedliche quantitative Bedeutungen hat. In der Mathematik des alten Ägypten wurde das Dezimalsystem verwendet, es handelte sich jedoch nicht um ein Stellenwertsystem (es war eigentlich ein Basiswertsystem). In der altbabylonischen Mathematik wurde das Positionensystem verwendet, allerdings im Sexagesimalsystem. Ihre modernen Gegenstücke, die hindu-arabischen Ziffern, sind dezimale Stellenwerte, historischen Aufzeichnungen zufolge sind sie jedoch jünger als die chinesischen Zählstäbe. Der singapurische Gelehrte Lam Lay Yong schlug daher sogar vor, dass die indisch-arabischen Ziffern von chinesischen Zählstäben abstammen. Im Jahr 2016 stellte das Institut für Geschichte der Naturwissenschaften der Chinesischen Akademie der Wissenschaften „Wichtige wissenschaftliche und technologische Erfindungen und Schöpfungen im alten China“ zusammen, in dem diese Errungenschaft ausdrücklich erwähnt wurde.

Zählstäbe werden in China seit etwa 2.000 Jahren verwendet. Sie waren ein mathematisches Werkzeug, das die Chinesen schon lange nutzten, bevor es im 16. Jahrhundert durch den Abakus ersetzt wurde. Sie waren außerdem ein mathematisches Werkzeug, das in Ländern des chinesischen Schriftzeichen-Kulturkreises, wie etwa Japan, Korea, Vietnam und den Ryūkyū-Inseln, schon seit langem verwendet wurde. Es besteht im Allgemeinen aus Bambus (gelegentlich aus Elfenbein, Knochen, Blei und Silber) und war in der Han-Dynastie etwa 12 cm lang. Seit der Neuzeit wurden viele Zählstäbe ausgegraben. Im November 1983 wurden 28 Zählstäbe aus Elfenbein aus einem Han-Grab in Xunyang in der Provinz Shaanxi ausgegraben. Auch in Japan gibt es Zählstäbe. Im Altchinesischen ist „筭“ nicht dasselbe wie „算“. Ersteres bedeutet, mit Bambus zu spielen, nämlich Stäbchen zu zählen; Letzterer ist der Behälter für Zählstäbe, der zur Mittelwertberechnung erweitert wird. Daher wird es in alten Büchern häufig als „筭术“ (d. h. der Algorithmus mit Zählstäben) geschrieben, beispielsweise als „九章筭术“.

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit dem Abakus zu zählen: vertikal und horizontal. Die vertikale Methode wird für Einer, Hunderter und Zehntausender verwendet, während die horizontale Methode für Zehner, Tausender und Millionen verwendet wird. Beispielsweise ist 12345 angeordnet als

Da die 1 an der Zehnerstelle und die 1 an der Einerstelle unterschiedlich platziert sind, spricht der Autor vom „Quasi-Stellenwertsystem“. Dies spiegelt genau die Eigenschaften und Vorteile des Zählens mit Zählstäben wider. Da 0 als leerer Raum behandelt wird, können die vertikalen und horizontalen Unterschiede den leeren Raum am stärksten hervorheben, wie zum Beispiel:

Zeigt 203 an

Und es kann nicht 23 () sein. Die Gleichungen in Band 8 der Neun Kapitel über die mathematische Kunst beinhalten die Theorie von Positiv und Negativ, und die Farbe und Platzierung der Zählchips können auch verwendet werden, um zwischen Positiv und Negativ zu unterscheiden.

Algorithmuszentriert

Die Kunst des Rechnens in neun Kapiteln zur mathematischen Kunst

Die Neun Kapitel zur mathematischen Kunst sind in neun Bände unterteilt und enthalten 246 mathematische Probleme. In der Wissenschaft herrschte immer das Missverständnis, dass es sich bei diesem Buch um eine Sammlung angewandter Probleme handele. Tatsächlich gibt es nur etwa 100 Algorithmen (d. h. Techniken), die den 246 Problemen entsprechen, und es kommt häufig vor, dass mehrere Probleme einem Algorithmus entsprechen. Daher wies der Mathematikhistoriker Guo Shuchun darauf hin, dass das Buch die Form eines „technischen Textes mit Beispielen“ habe.

Ein weiteres Missverständnis besteht darin, dass es sich bei dem Buch um ein Algorithmus-Handbuch handelt und dass Planer die darin enthaltenen mathematischen Prinzipien nicht verstehen müssen. In diesem Zusammenhang wies der Mathematikhistoriker Li Jimin darauf hin, dass der Prozess der Implementierung des Algorithmus mathematische Logik enthält (das heißt, „Logik ist in die Berechnung eingebettet“), sodass es unmöglich ist, tatsächlich zu rechnen, ohne die mathematischen Prinzipien zu verstehen.

Herr Wu Wenjun wies aus einer übergeordneten Perspektive darauf hin, dass alte chinesische Algorithmen konstruktiv und mechanisiert seien. Der sogenannte Konstruktivismus, entsprechend der modernen Existenzmathematik, bedeutet, dass ihr Algorithmus oft einen Lösungsweg vorgibt, während sich die Mechanisierung auf den Berechnungsprozess bezieht. Die französische Wissenschaftlerin Karine Chemla hat durch eine umfangreiche und sorgfältige Literaturanalyse darauf hingewiesen, dass die mathematischen Probleme im Buch und seine Anmerkungen von Liu Hui, geometrische Werkzeuge wie Diagramme und 棊 sowie die Implementierung von Zählstäben tatsächlich Werkzeuge zur Darstellung von Algorithmen sind und damit nachdrücklich beweisen, dass es sich bei der in den „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ dargestellten alten chinesischen Mathematik um eine algorithmenzentrierte Mathematik handelt.

Aus der Perspektive der mathematischen Weltgeschichte weisen alle mathematischen Zivilisationen mit Ausnahme der antiken griechischen Mathematik algorithmische Tendenzen auf. Der dänische Mathematikhistoriker Jens Høyrup ist außerdem der Ansicht, dass die chinesische Mathematik die algorithmischste aller Zivilisationen sei. In der Vergangenheit war man in der akademischen Gemeinschaft im Allgemeinen der Ansicht, dass „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ praktischer und sozialer Natur sei. Tatsächlich weisen auch andere mathematische Zivilisationen diese Eigenschaften auf. Einzigartig in der alten chinesischen Mathematik ist lediglich die starke Betonung von Algorithmen. In dieser Hinsicht können „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ als ein theoretisches Mathematikwerk angesehen werden.

Einer der ersten Bände der Neun Kapitel über die mathematische Kunst enthält die Regeln zum Berechnen von Brüchen mithilfe von Rechenstäben und die Formeln zum Berechnen der Flächen verschiedener Felder. Darunter befindet sich die Formel für die Fläche eines Kreises: „der halbe Umfang multipliziert mit dem Radius ist das Produkt der Schritte“ (also π), die geschickt den Wert von Pi vermeidet und daher völlig richtig ist.

Band 2, Hirse, beschreibt die Umrechnung verschiedener Getreidesorten und schlägt eine „Methode“ vor, die darin besteht, die vierte Zahl des Verhältnisses dreier bekannter Zahlen zu finden. Dieser Algorithmus wird im Westen als „Drei-Raten-Methode“ bezeichnet.

Band 3 befasst sich mit der proportionalen Verteilung verschiedener Gegenstände.

Band 4, Shao Guang, befasst sich mit der Vermessung und Aufteilung von Land und bietet einen Algorithmus zum Ziehen von Quadratwurzeln und Kubikwurzeln mithilfe von Zählstäben. Diese Methode wurde in der Song-Dynastie zu einem allgemeinen Algorithmus zum Finden numerischer Lösungen für beliebige Gleichungen höherer Ordnung mit einer Variablen weiterentwickelt, der dem Newton-Verfahren in der modernen Mathematik ähnelt.

Band 5, Shang Gong, ist ein technisches Problem, bei dem es um die Volumenberechnung verschiedener geometrischer Körper geht. Als Grundlage zur Berechnung des Volumens beliebiger geometrischer Körper werden drei grundlegende geometrische Körper (Würfel, Graben und Grat) vorgeschlagen. Der sogenannte Würfel ist ein regulärer Würfel; der sogenannte Graben ist eine dreieckige Pyramide mit einer gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecksbasis, und zwei Gräben bilden zusammen einen Würfel; Das sogenannte Yang Ma ist eine vierseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche und einer senkrecht zur Grundfläche stehenden Kante, wobei drei Yang Ma zusammen einen Würfel bilden.

In Band 6, „Gleichverteilung“, geht es um die Frage der proportionalen Verteilung von Steuern.

Band 7 ist ein Algorithmus zur Problemlösung durch zwei Annahmen, der im Westen als „Methode der doppelten Annahme“ bezeichnet wird. Da diese Methode jedes Problem als lineares Problem verstehen und dann die Lösung finden kann, wird sie auch als universeller Algorithmus bezeichnet.

Band 8 „Gleichungen“ ist ein vollständiger Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit mehreren Variablen, der die Regeln der positiven und negativen Mathematik enthält, die bei der Behandlung dieses Problems verwendet werden müssen. Zum Beispiel die erste Frage:

Jetzt gibt es drei Bündel Reis der besten Sorte, zwei Bündel Reis der mittleren Sorte und ein Bündel Reis der unteren Sorte, insgesamt also neununddreißig Dou. zwei Bündel Reis der besten Sorte, drei Bündel Reis der mittleren Sorte und ein Bündel Reis der unteren Sorte, insgesamt also vierunddreißig Dou; ein Bündel Reis der besten Sorte, zwei Bündel Reis der mittleren Sorte und drei Bündel Reis der unteren Sorte, insgesamt also 26 Dou. Frage: Wie viele Ober-, Mittel- und Unterkörner sind in einer Handvoll Weizen enthalten? Er sagte: Ein Bund Reis höchster Qualität wiegt 9,4 Dou und ein Viertel Dou, ein Bund Reis mittlerer Qualität wiegt 4,4 Dou und ein Viertel Dou und ein Bund Reis minderer Qualität wiegt 2,4 Dou und drei Viertel Dou.

Die folgenden Gleichungen sind entsprechend der Technik aufgelistet und der Lösungsprozess ähnelt der modernen Methode zur Lösung von Matrixgleichungen. Nachdem die moderne Mathematik in der späten Qing-Dynastie in China eingeführt wurde, übernahm Li Shanlan das alte Wort „Gleichung“, um „Gleichung“ zu übersetzen, was die ursprüngliche Bedeutung von „Gleichung“ tatsächlich veränderte.

Band 9, Satz des Pythagoras, behandelt die Probleme der Flächenberechnung ebener Figuren und stellt den Satz des Pythagoras und seine verschiedenen Variationen dar.

Geben Sie ein Argument für die Richtigkeit des Algorithmus an

Liu Huis Anmerkungen zu den Neun Kapiteln über die mathematische Kunst

Der Text von „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ gibt nur den Algorithmus wieder, ohne dessen Richtigkeit zu beweisen. Dies wurde in der Vergangenheit als Beweis dafür angesehen, dass die chinesische Mathematik der antiken griechischen Mathematik, repräsentiert durch „Die Elemente“, unterlegen sei. Die Forschung zur Geschichte der modernen Mathematik hat gezeigt, dass diese Ansicht völlig unhaltbar ist.

Erstens liefern mathematische Zivilisationen, abgesehen von der Mathematik des antiken Griechenlands, oft nur Algorithmen ohne Beweise. Daher glaubt Herr Wu Wenjun, dass die Geschichte der Mathematik durch den Aufstieg und Fall zweier Hauptthemen geprägt ist: der algorithmischen Tendenz und der deduktiven Tendenz.

Zweitens hängt die Frage, ob ein Text einen Beweis enthält, tatsächlich von der Art des Textes und dem Kontext ab, in dem er erstellt wird. Mit anderen Worten: Das Fehlen eines Beweises im Text bedeutet nicht, dass es in der mathematischen Praxis keine Beweise gibt.

Drittens sind Wissenschaftler wie Lin Lina der Ansicht, dass der mathematische Beweis der alten Griechen nicht als die einzige Beweisform angesehen werden sollte und dass es in anderen Zivilisationen unterschiedliche Beweisformen gibt. Der zweite und dritte Punkt können anhand der Notizen von Liu Hui überprüft werden.

Im vierten Jahr von Wei Jingyuan (263) kommentierte Liu Hui die Neun Kapitel über die mathematische Kunst und lieferte Argumente für die Richtigkeit der Algorithmen in den meisten Texten. Insbesondere wurde die Argumentationsmethode der Grenzwertnäherung beim Beweis der Kreisflächenformel in Band 1, der Kommentierung der Kugelvolumenformel in Band 4 und dem Beweis des Volumens von Yangma in Band 5 verwendet, was eine extrem hohe logische Argumentationsfähigkeit demonstriert. Beim Lösen der Formel für das Volumen einer Kugel in Band 4 erfand Liu Hui den quadratischen Mouhe-Deckel, konnte dessen Volumen jedoch nicht berechnen und wartete daher „auf jemanden, der es erklären konnte“. Dieses Problem wurde schließlich von Zu Chongzhi und seinem Sohn gelöst. Liu Huis Beweise für geometrische Probleme erforderten die Verwendung von Graphen (ebene Probleme) und 棊 (körperhafte Probleme), und sein Argumentationsprinzip wurde von Wu Wenjun als „Prinzip der komplementären Eingabe und Ausgabe“ zusammengefasst.

Einfluss und historischer Status von „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“

Die „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ wurden sowohl während der Tang- als auch der Song-Dynastie als Lehrbuch an der Kaiserlichen Akademie der Mathematik verwendet. Nach Liu Hui entwickelten Li Chunfeng aus der Tang-Dynastie, Jia Xian, Liu Yi und Jiang Zhou aus der Nördlichen Song-Dynastie, Qin Jiushao, Yang Hui und Li Ye aus der Jin-Dynastie sowie Zhu Shijie aus der Yuan-Dynastie die alte chinesische Mathematik nach dem Vorbild der „Neun Kapitel der mathematischen Kunst“ und führten sie in der Song- und Yuan-Dynastie zu einem Höhepunkt. Während der Ming- und Qing-Dynastien veränderte sich die Hauptrichtung der chinesischen mathematischen Entwicklung, doch der Gesamtrahmen der „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ änderte sich nicht. Die japanische Mathematik entwickelte die Hesuan-Theorie auf Grundlage der chinesischen Mathematik der Song- und Yuan-Dynastien und konnte im 19. Jahrhundert elementare Probleme der Differential- und Integralrechnung wie etwa die Flächensummierung bewältigen.

Da Li Yan (1892–1963) und Qian Baocong (1892–1974) Pionierarbeit bei der Erforschung der Geschichte der chinesischen Mathematik leisteten, gelten die „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ und ihre späteren Anmerkungen als Meilensteine ​​der mathematischen Errungenschaften Chinas, doch ihr Schwerpunkt lag hauptsächlich auf den Punkten, die mit der modernen Mathematik in Verbindung gebracht werden konnten. Tatsächlich sind die einzigartigen Algorithmen in „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ ebenfalls große Errungenschaften der chinesischen Mathematik. Zusammen veranschaulichen sie die Einzigartigkeit des historischen Weges der Mathematik in China und die Gültigkeit seiner historischen Erfahrung.

Herr Wu Wenjun verstand die Algorithmen der alten chinesischen Mathematik als Computersoftware und Werkzeuge wie Rechenstäbe und Abakus als Computerhardware und schlug so auf kreative Weise die Idee der mathematischen Mechanisierung vor. Dies ist ein typisches Beispiel für die „Anwendung der Vergangenheit auf die Gegenwart“ in der alten chinesischen Mathematik.

Planung und Produktion

Dieser Film ist ein Werk, das vom Science Popularization China·Creation Cultivation Program unterstützt wird.

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Science and Technology Press, Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

Autor: Zhu Yiwen, PhD in Wissenschafts- und Technikgeschichte, Professor und Doktorvater der Abteilung für Philosophie an der Sun Yat-sen-Universität und Vollzeitforscher am Institut für Logik und Kognition

Planung von Lin Lin

Herausgeber: Linlin Zhong Yanping

Korrekturgelesen von Xu Lai