Ein kurzsichtiger Otaku kauft Frühstück und kann den Einzelpreis sogar ohne einen Blick auf die Preisliste „berechnen“! ?

Viele Studenten sind verwirrt und fühlen sich unwohl, wenn sie zum ersten Mal lineare Algebra lernen, und erkennen die praktische Bedeutung des Kurses nicht. Dies liegt vor allem daran, dass Lehrbücher, um schrittweise vom Oberflächlichen zum Tiefergehenden vorzudringen, mit grundlegenden abstrakten Konzepten beginnen müssen und die wirklich intuitiven Teile oft bis zu den späteren Unterbereichen oder spezifischen Anwendungen warten müssen. Daher kennen Anfänger oft die Ergebnisse, aber nicht die Gründe. sie sehen nur die Bäume, aber nicht den Wald. Ich hoffe, dieser Artikel kann Ihnen dabei helfen, Ihre Perspektive zu ändern und die lineare Algebra aus einer entspannten und interessanten Alltagsperspektive auf eine andere Art und Weise zu betrachten.

Dieser Artikel ist der dritte in einer Artikelserie mit dem Titel „Ein grober Leitfaden zur linearen Algebra in N Texten“. Im vorherigen Artikel haben wir die Inverse der Matrix und ihre Eigenschaften durch elementare Matrixtransformationen eingeführt und den Prozess der Lösung linearer Gleichungen besprochen. Für ein lineares Gleichungssystem gibt es nur drei mögliche Lösungen: keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Also, was ist hier das Muster?

Geschrieben von | Wu Jinyuan

Im letzten Kapitel des Buches ging es um einen kurzsichtigen Otaku, der eines Tages nach unten in den Frühstücksladen ging, um Frühstück zu kaufen. Ich habe meine Brille zu Hause vergessen und kann die Preise auf der Tafel nicht sehen. Der Otaku stand also in der Schlange, während er sich die Anzahl der Frühstücksartikel anhörte, die der Kunde vor ihm gekauft hatte, und den Gesamtpreis, den die Kellnerin nannte, und berechnete auf dieser Grundlage den Einzelpreis der verschiedenen Frühstücksartikel.

Abbildung 1

Nach dem Sammeln, Analysieren und Berechnen der Daten fand der kurzsichtige Otaku die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix der linearen Gleichungen, berechnete den Stückpreis des Essens und kaufte Frühstück. Während des Essens versank er in tiefe Gedanken.

(1) Wie viele Transaktionen bestimmen das Ergebnis?

Wir wissen, dass nur bei quadratischen Matrizen die Inversen berechnet werden können. Insbesondere bei unserem Problem des Frühstückskaufs gibt es drei Unbekannte, und wir benötigen genau drei Transaktionen oder drei lineare Gleichungen, um den unbekannten Stückpreis des Lebensmittels zu berechnen. In der realen Welt kann es jedoch durchaus zu Situationen kommen, in denen es nicht genau drei Transaktionen gibt. Auf welche Probleme stoßen unsere Berechnungen in diesen Fällen?

Intuitiv wissen wir, dass es definitiv keine Möglichkeit gibt, eine eindeutige Lösung zu finden, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten ist. Wenn beide jedoch gleich sind, können wir dann definitiv eine eindeutige Lösung finden? Und was passiert, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt? Lassen Sie es uns Schritt für Schritt analysieren:

Um diese Fragen intuitiv zu diskutieren, stellen wir die Stückpreise der drei Lebensmittel in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. Auf den folgenden Bildern:

Die horizontale Richtung ist der Stückpreis des Ölkuchens x1,

Die vertikale Richtung ist der Preis für Tee-Eier x2.

Der Einzelpreis für Tofupudding liegt bei 3 Punkten über dem Papier.

Abbildung 2

Die obige Abbildung zeigt eine Ebene (rot), die den Graphen der ersten Gleichung im System linearer Gleichungen darstellt, d. h. der Transaktion, die der erste Kunde tätigt.

Der Kunde kaufte einen frittierten Teigkuchen, ein Tee-Ei und eine Schüssel Tofu-Pudding zum Gesamtpreis von 14 Yuan.

Allein anhand der ersten Transaktion können wir natürlich nicht den Einzelpreis der drei Lebensmittel berechnen, aber wir erhalten dennoch einige Informationen. Konkret wissen wir, dass der Stückpreis dieser drei Lebensmittel an einem bestimmten Punkt dieser Ebene liegen muss.

Beispielsweise schneidet diese Ebene die horizontale Achse am Punkt x1=14, was einem frittierten Teigstab für 14 Yuan entspricht, während Teeeier und Tofupudding kostenlos sind.

Obwohl in der Realität nur wenige Chefs ihre Preise auf diese Weise festlegen, widerspricht die Menge der Stückpreise, die diesem Punkt entsprechen, dieser Gleichung nicht. Tatsächlich widersprechen alle Punkte auf der gesamten Ebene dieser Gleichung nicht, und der tatsächliche Stückpreis liegt ebenfalls auf dieser Ebene, nämlich als blauer Punkt in unserer Abbildung.

Da wir nur eine Transaktion oder eine Gleichung kennen, verfügen wir tatsächlich nicht über genügend Informationen, um den wahren Stückpreis zu bestimmen. Nun führen wir die zweite Transaktion ein, und diese Gleichung entspricht einer anderen Ebene (grün) in Abbildung 3.

Abbildung 3

Diese Ebene schneidet die erste Ebene in einer Geraden. Dies bedeutet, dass die Stückpreiskombination, die beide Gleichungen erfüllt, nur auf dieser Geraden liegen kann. Obwohl sich die wahre Einheitspreiskombination tatsächlich auf dieser Linie befindet, können wir ihren genauen Standort noch nicht bestätigen. Es gibt immer noch unendlich viele Lösungen, die beide Gleichungen erfüllen.

Offensichtlich müssen wir eine dritte Transaktion einführen. Die lineare Gleichung, die der dritten Transaktion entspricht, entspricht der violetten Ebene in der folgenden Abbildung.

Abbildung 4

Diese neue Ebene schneidet die beiden vorherigen Ebenen an einem gemeinsamen Punkt im Raum, der in diesem Problem die wahre Einheitspreiskombination darstellt. Wenn es also N Unbekannte gibt, müssen mindestens N Gleichungen vorhanden sein, um eine eindeutige Lösung zu finden.

Können wir also eine eindeutige Lösung finden, wenn die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Zahlen ist? unsicher. Angenommen, im Beispiel des Frühstückskaufs hat der Otaku die Transaktionsdaten von Kunde 3 nicht deutlich gehört und verwendet zur Lösung des Problems nur die Transaktionsdaten von Kunde 1, 2 und 4. Dann wäre er nicht in der Lage, eine eindeutige Lösung zu finden.

Zur Vereinfachung haben wir die Kaufdaten mehrerer Kunden in der folgenden Tabelle noch einmal aufgelistet:

Bei genauerem Hinsehen werden Sie feststellen, dass die Transaktionsdaten von Kunde 4 eine lineare Kombination der Daten von Kunde 1 und 2 sind: 5 × (Daten von Kunde 1) – (Daten von Kunde 2).

Daher liefern die Daten für Kunde 4 keine neuen Informationen und diese Gleichung entspricht der violetten Ebene in Abbildung 5. Diese Ebene schneidet die beiden vorherigen Ebenen auf derselben Geraden und alle Punkte auf dieser Geraden erfüllen die drei Gleichungen gleichzeitig.

Abbildung 5

Es ist nicht schwer, sich vorzustellen, dass selbst wenn wir mehrere weitere Gleichungen hinzufügen, die neu hinzugefügten Gleichungen, sofern sie lineare Kombinationen der ursprünglichen Gleichungen sind, immer noch keine neuen Informationen oder neuen Einschränkungen liefern können und daher keine eindeutige Lösung erreicht werden kann. Diese Gleichungen sind im obigen Diagramm als eine Reihe von Ebenen dargestellt, die sich alle auf einer gemeinsamen Geraden schneiden.

(2) Dinge über die Ordnung

Die Eigenschaften der Lösungen des linearen Systems Ax = y hängen eng mit dem Rang der Matrix A zusammen. Der sogenannte Rang bezeichnet die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten einer Matrix. Im vorherigen Beispiel des Frühstückskaufs sind die drei Transaktionen der Kunden 1, 2 und 3 linear unabhängig voneinander, daher ist der Rang dieser Matrix Rang ( A ) = 3. Wenn wir Kunde 3 nicht einbeziehen und nur die Transaktionen der Kunden 1, 2 und 4 berücksichtigen, können wir nur zwei linear unabhängige Zeilen finden, und die dritte Zeile ist nur eine lineare Kombination der ersten beiden Zeilen. Daher ist der Rang einer solchen Matrix Rang( A )=2.

Die Anzahl der Spalten m einer Matrix entspricht der Anzahl der Unbekannten im Gleichungssystem, und ihr Rang ( A ) ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Gleichungen, die auch als Anzahl der Einschränkungen angesehen werden kann, die unabhängige Informationen liefern können. Wenn Rang( A ) = m ist, nennen wir diese Situation vollen Rang. Wenn das Gleichungssystem zu diesem Zeitpunkt eine Lösung hat, dann ist seine Lösung eindeutig.

Wenn Rang(A) < m ist, sprechen wir von einer Unterrangsituation. Wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, ist diese Lösung nicht eindeutig, sondern es gibt unzählige Lösungen.

Wenn eine Matrix „klobig“ ist oder weniger Zeilen als Spalten hat, kann sie offensichtlich nicht den vollen Spaltenrang haben. Das Gleichungssystem, das der „kurzen und dicken“ Matrix entspricht, hat keine eindeutige Lösung, und wenn es eine Lösung hat, gibt es unendlich viele Lösungen.

Wenn die Anzahl der Zeilen größer ist als die Anzahl der Spalten, wird die Matrix „hoch und dünn“ und das entsprechende Gleichungssystem kann eine eindeutige Lösung haben (sofern es eine Lösung gibt). Aber unter der Voraussetzung, dass es eine Lösung gibt, hängt die konkrete Situation davon ab, ob sie den vollen Rang hat.

Diese beiden Situationen sind anhand der vorherigen Beispiele leicht zu verstehen.

(3) Was bedeutet „keine Lösung“?

Die Leser fragen sich vielleicht, warum wir „wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat“ betonen? Gibt es eine Situation, in der das Gleichungssystem keine Lösung hat? Das stimmt.

In einem Gleichungssystem können Sie jedes Mal, wenn Sie eine Gleichung hinzufügen, eine Einschränkung hinzufügen. Auf diese Weise gibt es unter idealen Umständen genügend effektive Einschränkungen, die uns dabei helfen, Lösungen für das Gleichungssystem zu finden.

Durch das weitere Hinzufügen von Gleichungen können wir überprüfen, ob die vorherigen Berechnungen korrekt sind.

Wenn wir dem Gleichungssystem jedoch Gleichungen hinzufügen, ist es durchaus möglich, dass wir Verwirrung stiften und widersprüchliche Gleichungen hinzufügen. In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Im Frühstücksbeispiel kaufte der erste Kunde beispielsweise einen frittierten Kuchen, ein Tee-Ei und eine Schüssel Tofu-Pudding und die Kellnerin nannte einen Preis von 14 Yuan. Angenommen, ein anderer Kunde kauft zwei frittierte Teigkuchen, zwei Teeeier und zwei Schüsseln Tofupudding. Der Preis sollte 28 Yuan betragen. Angenommen, der Kunde ist Kantonese und die Kellnerin ist rücksichtsvoll genug, es auf Kantonesisch auszusprechen, ist es durchaus möglich, dass unser Otaku „achtundzwanzig“ fälschlicherweise als „eins achtunddreißig“ hört. Wir stehen also vor einem widersprüchlichen Gleichungssystem.

In der realen Welt kommen Fehler bei der Datenerfassung und -übertragung sehr häufig vor. Daher kommt es auch sehr häufig vor, dass die Gleichungen selbstwidersprüchlich sind und die Widersprüche sehr komplex sein können. Um herauszufinden, ob das Gleichungssystem eine Lösung hat, müssen wir den Rang einer anderen Matrix verwenden: den Rang ( A | y ) der erweiterten Matrix ( A | y ). Die hier erwähnte erweiterte Matrix dient dazu, y und A im Gleichungssystem Ax = y zusammenzusetzen. Dabei ist y eine vertikal verlaufende Zahlenspalte, die als Vektor betrachtet werden kann. Und jede Spalte in A ist auch ein Vektor derselben Dimension.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass, wenn das Gleichungssystem Ax = y eine Lösung hat, y eine lineare Kombination der Spaltenvektoren in A sein muss. Wir addieren y zu A und die neu hinzugefügte Spalte steht in linearer Beziehung zu den anderen Spalten. Auf diese Weise ist der Rang ( A | y ) der erweiterten Matrix ( A | y ) nicht größer als der Rang ( A ) der ursprünglichen Matrix A. Daher ist die Tatsache, dass das Gleichungssystem eine Lösung hat, gleichbedeutend mit Rang ( A | y )=Rang ( A ).

Wenn dagegen der Rang nach dem Hinzufügen einer Spalte steigt, also Rang( A | y )=Rang( A )+1, dann muss das Gleichungssystem widersprüchlich sein und keine Lösung haben.

Wenn wir die oben besprochenen Situationen in einer Tabelle auflisten, wird es auf einen Blick klar.

Es sollte hier darauf hingewiesen werden, dass es, wenn die Matrix A keinen vollen Rang hat und die Gleichung eine Lösung hat, unendlich viele Lösungen gibt, die „unendlichen“ Lösungen jedoch in verschiedenen Situationen unterschiedlich sind. Insbesondere ist die Dimension des Lösungsraums gleich m-Rang( A ).

In unserem Beispiel des Frühstückskaufs ist m=3. Wenn nur die ersten Kundendaten vorhanden sind, Rang( A )=1, dann ist der Lösungsraum eine Ebene und die Dimension des Lösungsraums ist gleich (m-Rang( A ))=3-1=2.

Nachdem die Daten des zweiten und sogar vierten Kunden hinzugefügt wurden, ist Rang ( A )=2. Zu diesem Zeitpunkt ist die Dimension des Lösungsraums gleich 3-2 = 1 und der Lösungsraum ist eine gerade Linie.

Wenn die Daten des dritten Kunden hinzugefügt werden, ist Rang ( A ) = 3. Zu diesem Zeitpunkt ist die Dimension des Lösungsraums gleich 3-3 = 0, sodass der Lösungsraum zu einem Punkt wird, die Anzahl der Lösungen sich von unendlich auf 1 ändert und die Gleichung eine eindeutige Lösung hat.

(4) Null-Dollar-Kauf und homogene lineare Gleichungen

Manchmal stoßen wir auf ein homogenes lineares Gleichungssystem, d. h. Ax = 0. „Homogen“ bedeutet, dass in der Gleichung nur ein Term erster Ordnung der unbekannten Zahl x vorkommt, kein konstanter Term und kein Term nullter Ordnung der unbekannten Zahl x, sodass die Potenzen aller Terme „homogen“ sind.

Da die rechte Seite des Gleichungssystems gleich 0 ist, wird der Rang seiner erweiterten Matrix offensichtlich nicht steigen. Daher muss das homogene lineare Gleichungssystem eine Lösung haben. Wir können mit bloßem Auge erkennen , dass x = 0 offensichtlich eine Lösung der Gleichung ist.

Die Frage ist aber, ob es für das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 neben der trivialen Lösung x = 0 auch Lösungen ungleich 0 gibt? Aus der vorherigen Diskussion wissen wir, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, wenn Rang( A )<m. Daher hat das homogene lineare Gleichungssystem von Null verschiedene Lösungen.

Zum besseren Verständnis zeichnen wir folgende Abbildung. Jede Ebene in der Abbildung entspricht einer linearen Gleichung, und die diesen drei Ebenen entsprechenden Gleichungen sind linear unabhängig. Der konstante Term auf der rechten Seite jeder Gleichung ist gleich 0, was bedeutet, dass jede Ebene durch den Ursprung verläuft.

Abbildung 6

In der obigen Abbildung haben die drei Ebenen nur einen gemeinsamen Schnittpunkt, der den Ursprung darstellt. Wenn Rang( A )=m ist, hat das Gleichungssystem daher eine eindeutige Lösung, d. h., es gibt nur eine triviale Lösung x =0.

Wenn die Gleichungen, die den drei Ebenen entsprechen, linear miteinander verbunden sind (z. B. Rang gleich 2), könnte die räumliche Beziehung zwischen ihnen folgendermaßen aussehen:

Abbildung 7

Da die rechte Seite jeder Gleichung ebenfalls gleich 0 ist, verläuft jede Ebene auch durch den Ursprung. Da die drei Gleichungen jedoch linear miteinander verbunden sind, haben die drei Ebenen unendlich viele gemeinsame Punkte.

Wenn der Rang gleich 2 ist, bilden diese gemeinsamen Punkte eine Gerade, die ebenfalls durch den Ursprung verläuft. Auf diese Weise sind mit Ausnahme der trivialen Lösung x = 0 auch andere Stellen dieser Geraden Lösungen des Gleichungssystems, oder anders ausgedrückt: Dieses homogene lineare Gleichungssystem hat von Null verschiedene Lösungen.

Bei reellen Zahlen ergibt nur die Multiplikation von 0 mit einer Zahl das Produkt 0. Daher fällt es uns manchmal nicht leicht, uns Lösungen ungleich Null vorzustellen. Tatsächlich kann es sein, dass Sie eine Null erhalten, wenn Sie eine Reihe von Zahlen, die nicht vollständig Null sind, mit einer anderen Reihe von Zahlen multiplizieren, die nicht vollständig Null sind, und die Produkte dieser Zahlen addieren. Es ist nicht schwer, dass diese Situation eintritt. Beispielsweise können sich die Produkte zweier Zahlensätze, sofern sie nach der Multiplikation positiv oder negativ sind, gegenseitig aufheben und Null ergeben. Wenn beispielsweise bei der Multiplikation der Matrizen alle Zahlen ungleich 0 perfekt fehlen und mit 0 multipliziert werden, ist das Ergebnis ebenfalls 0.

In der linearen Algebra wird eine Matrix, deren Elemente alle Null sind, als Nullmatrix bezeichnet. Das Multiplizieren einer Nullmatrix mit einer beliebigen Matrix ergibt natürlich eine Nullmatrix, aber der umgekehrte Fall ist nicht unbedingt der Fall. Tatsächlich ist es durchaus möglich, durch Multiplikation zweier von Null verschiedener Matrizen eine Nullmatrix zu erhalten. Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit einer von Null verschiedenen Lösung ist eigentlich ein Beispiel für die Multiplikation zweier von Null verschiedener Matrizen, um eine Nullmatrix zu erhalten.

Wie sähe das homogene lineare Gleichungssystem in unserem Beispiel des Frühstückskaufs aus? Zunächst hörte unser Otaku, dass die Ergebnisse aller vorherigen Transaktionen 0 waren, und er konnte sich vorstellen, dass dieser „Null-Yuan-Kauf“ eine sehr glückliche Situation war. In der Vergangenheit konnten Schul- oder Firmenkantinen aufgrund guter Verwaltung der Verwaltung manchmal Zutaten günstig auf dem Markt einkaufen und hatten am Jahresende einen großen Überschuss, sodass es am Jahresende einen Tag gab, an dem sie „den Überschuss aufaßen“. Wenn der Stückpreis aller Lebensmittel 0 beträgt, kommt es offensichtlich zu einem Überschuss oder zu Null-Dollar-Käufen.

Das Gegenteil ist jedoch nicht unbedingt der Fall. Beispielsweise können wir anhand der Kaufdaten der folgenden beiden Kunden nicht bestätigen, dass der Stückpreis aller Lebensmittel 0 beträgt:

Der erste Kunde kaufte einen frittierten Teigkuchen, ein Tee-Ei und eine Schüssel Tofu-Pudding für 0 Yuan;

Der zweite Kunde kaufte zwei frittierte Teigkuchen, vier Teeeier und vier Schüsseln Tofupudding für 0 Yuan.

Denn außer im Fall, dass alle Lebensmittel kostenlos sind, ist es durchaus möglich, eine von Null verschiedene Lösung zu finden, bei der diese beiden Gleichungen wahr sind. Stellen Sie sich zum Beispiel vor:

Die Stückpreise für frittierte Kuchen, Teeeier und Tofupudding betragen 0 Yuan, X Yuan und -X Yuan, daher sind die beiden obigen Gleichungen gültig.

Diese Einheitspreise bedeuten, dass frittierte Kuchen gratis sind, Teeeier jeweils X Yuan kosten und dass beim Kauf einer Schüssel Tofu-Pudding nicht nur nichts berechnet wird, sondern dass Sie auch einen Geschenkgutschein im Wert von X Yuan erhalten. Diese Situation klingt im Geschäftsleben nicht sehr vernünftig, aber theoretisch handelt es sich um eine von Null verschiedene Lösung, die theoretisch für homogene lineare Gleichungen existiert.

Wenn wir nun die Daten des dritten Kunden hinzufügen:

Angenommen, er kaufte einen frittierten Teigkuchen, drei Teeeier und drei Schüsseln Tofupudding für 0 Yuan;

Wir können immer noch nicht bestätigen, dass alle Lebensmittelpreise 0 sind. Denn sein Kaufmengenvektor ist eine lineare Kombination der ersten beiden Ziffern (zweite Ziffer des Kaufmengenvektors – erste Ziffer des Kaufmengenvektors).

Nur wenn der Kaufmengenvektor wiederkehrender Kunden linear unabhängig von den vorherigen ist und die gesamte Matrix den vollen Rang erreicht, können wir die eindeutige Lösung für den neuen Gleichungssatz erhalten, d. h. alle Stückpreise sind 0. (Fortsetzung folgt)

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