Wie kommt man beim Verschieben des Sofas um die Ecke des Flurs? Diese Frage beschäftigt Mathematiker seit mehr als 60 Jahren.

Es ist wahrscheinlich zu früh, um zu behaupten, dass das „Problem des beweglichen Sofas“ vollständig gelöst sei.

Autor | Denovo

Produzent | Chinesische Wissenschaftsausstellung

Vielleicht kennen Sie das: Beim Umzug möchten Sie in einem engen Raum Möbel verschieben, doch diese bleiben beim Drehen hängen und lassen sich trotz aller Bemühungen nicht verschieben. Mathematiker nennen dieses Rätsel das „Problem der beweglichen Couch“.

Am 2. Dezember 2024 gab der koreanische Mathematiker Jineon Baek in den sozialen Medien bekannt, dass er das Problem gelöst habe, was sofort eine breite Diskussion in in- und ausländischen Medien und der mathematischen Gemeinschaft auslöste. Vielleicht sind Sie neugierig: Wie schwierig ist ein scheinbar kleines Problem, das eng mit dem täglichen Leben verbunden ist?

Das Problem beim Verschieben des Sofas besteht darin, mathematisch herauszufinden, wie die Form in die Ecke passt. Bildnachweis: University of California, Davis

Was ist das „Problem mit dem beweglichen Sofa“?

Tatsächlich ist das „Problem des beweglichen Sofas“ ein Thema, das Gegenstand zahlreicher Diskussionen und Untersuchungen ist. Bereits in den 1960er Jahren begannen einige Mathematiker, sich mit geometrischen Optimierungsproblemen im Zusammenhang mit diesem Problem zu befassen.

Im Jahr 1966 schlug der österreichisch-kanadische Mathematiker Leo Moser in einer formalen mathematischen Zeitschrift erstmals eine klare mathematische Definition und Problembeschreibung des „Problems des beweglichen Sofas“ vor: Wie groß ist in einem L-förmigen ebenen Korridor mit einer Breite von 1 die maximale Fläche eines „Sofas“, das eine rechtwinklige Kurve ohne Kollision passieren kann? Dieses Problem hat seitdem in der mathematischen Gemeinschaft große Aufmerksamkeit erregt und ist zu einem der klassischen geometrischen Optimierungsprobleme geworden.

Demonstration des mobilen Sofaproblems | Bildquelle: Referenz [1]

Im Jahr 1968 schlug der britische Mathematiker John Michael Hammersley eine Lösung vor, die auf dem einfachsten Fall basierte. Er entwarf das „Sofa“ in der Form eines Telefonhörers, bestehend aus zwei Viertelkreisen und einem rechteckigen Block in der Mitte, wobei aus dem rechteckigen Block ein Halbkreis ausgehöhlt ist. Die resultierende maximale Fläche des „Sofas“ beträgt 2/π+π/2≈2,2074.

„Sofa“, entworfen von Hammersley丨Bildquelle: Wikipedia

Im Jahr 1992 verbesserte der amerikanische Mathematiker Joseph Gerver das von Hamersley entworfene „Sofa“ und schlug ein „Sofa“ vor, das von 18 glatten Kurven umgeben ist. Die berechnete maximale Fläche des Sofas betrug ungefähr 2,2195, wodurch die Untergrenze der Lösung dieses Problems weiter verbessert wurde.

„Sofa“, entworfen von Jeff | Bildquelle: Wikipedia

Im Jahr 2014 errechnete der Hobbymathematiker Philip Gibbs mithilfe von Computerberechnungen eine optimale Sofaform, die nahezu identisch mit dem von Joseph Gerver entworfenen „Gerver Sofa“ ist und deren berechnete Fläche auf acht signifikante Stellen genau übereinstimmt. Diese Entdeckung legt nahe, dass das von Jeff entworfene „Sofa“ wahrscheinlich die optimale Lösung für das Problem der Sofabewegung darstellt, was jedoch mathematisch noch nicht formal bewiesen wurde.

Allerdings haben Wissenschaftler zumindest eine Obergrenze für die Fläche des „Sofas“ ermittelt, also die maximale Größe, die diese Fläche nicht überschreiten darf. Hammersley zeigte, dass die Obergrenze der Sofakonstante höchstens

Im Jahr 2018 konnten Yoav Kallus und Dan Romik die Obergrenze von „Sofa“ erfolgreich auf 2,37 verringern, indem sie den Korridor (nicht das Sofa) in mehreren verschiedenen Winkeln drehten, sodass die Schnittstelle der gedrehten Korridore den größtmöglichen zusammenhängenden Bereich bildete, und indem sie eine Computersuche verwendeten.

Mit anderen Worten: Die optimale Lösung des „Problems des beweglichen Sofas“ liegt zwischen 2,2195 und 2,37.

Was ist so schwierig am „Problem des beweglichen Sofas“?

Angesichts dessen fragen Sie sich vielleicht: Das „Problem des beweglichen Sofas“ scheint so intuitiv und einfach, warum gibt es Mathematikern schon seit mehr als einem halben Jahrhundert Rätsel auf?

Obwohl Joseph Jeff eine annähernd optimale Lösung vorgeschlagen hat, ist es immer noch sehr schwierig zu beweisen, dass es sich dabei um die wirklich optimale Lösung handelt, da hierzu alle möglichen besseren Formen eliminiert werden müssen. In einer Ebene kann die Form des „Sofas“ stark variieren und die optimale Lösung ist wahrscheinlich ein asymmetrisches, komplexes und unregelmäßiges Polygon.

Das Erkunden aller möglichen Formen und das Berechnen ihrer Fläche und Mobilität würde einen extrem großen Rechenaufwand erfordern, sodass es unmöglich wäre, alle Möglichkeiten erschöpfend aufzuzählen. Darüber hinaus sind Formen, denen es an Symmetrie und Regelmäßigkeit mangelt, die sich aber flexibel drehen und bewegen können, in der Geometrie von Natur aus sehr komplex, sodass es für Mathematiker schwierig ist, eine universelle Formel zur Lösung dieses Problems zu finden.

Mit dem Beginn des neuen Jahrhunderts und der rasanten Entwicklung der Computertechnologie begannen Mathematiker, in großem Umfang computergestütztes Design und Bewegungspfadsimulation einzusetzen, um die möglichen Formen von „Sofas“ zu erforschen. Doch selbst beim Einsatz computergestützter numerischer Methoden und Optimierungsalgorithmen sind bestehende Algorithmen häufig mit dem Problem langer Berechnungszeiten und übermäßigem Verbrauch von Rechenressourcen konfrontiert, wenn alle potenziell besseren Formen ausgeschlossen und die Machbarkeit und Fläche verschiedener komplexer Formen untersucht und überprüft werden, was den Fortschritt weiterer Forschungen erheblich einschränkt.

Auch das in den letzten Jahren stark verbreitete maschinelle Lernen unterliegt bei der Lösung des „Problems des beweglichen Sofas“ großen Einschränkungen. Für das Training von Modellen des maschinellen Lernens sind im Allgemeinen große Datenmengen erforderlich. Die Lösung des „Problems des beweglichen Sofas“ basiert hauptsächlich auf begrenzten Datensätzen, die durch theoretische Ableitungs- und Optimierungsalgorithmen generiert werden. Dadurch können die Trainingsanforderungen groß angelegter Modelle nur schwer erfüllt werden.

Darüber hinaus erfordern mathematische Optimierungsprobleme oft hochgradig interpretierbare und präzise Lösungen, und die „Blackbox“-Natur von Modellen des maschinellen Lernens liefert möglicherweise nur Antworten, nicht aber den Lösungsprozess , was ihre direkte Anwendung zur Lösung solcher Probleme erschwert.

Das „Sofa“ muss nicht nur rechtwinklige Wendungen ausführen, sondern auch Kollisionen mit den Flurwänden vermeiden. Diese zahlreichen Einschränkungen machen den Optimierungsprozess äußerst kompliziert. Das „Problem des beweglichen Sofas“ erfordert Kenntnisse aus mehreren Disziplinen wie Geometrie, Optimierungstheorie und Computergeometrie, sodass zur Lösungsfindung interdisziplinäre Forschung erforderlich ist.

Ist das „Problem des beweglichen Sofas“ wirklich gelöst?

Wenden wir uns dem 119-seitigen Papier von Jineon Baek zu, das in letzter Zeit viel Aufmerksamkeit erregt hat. Er behauptete, er habe bewiesen, dass das von Joseph Jeff entworfene „Sofa“ die optimale Lösung sei.

Bai Zhenyun schlug erstmals die Formbeschränkungen des optimalen „Sofas“ vor: 1 Die Form des Sofas kann durch den Schnittpunkt der rotierenden Korridore definiert werden; 2. Die Seitenlänge des Sofas muss bestimmte Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. 3. Um die Bewegung abzuschließen, muss eine Drehung um 90 Grad möglich sein.

Anschließend bewies er, dass sich die Bahnen der Schlüsselpunkte des „Sofas“ während seiner Bewegung nicht schneiden (d. h., es gibt keine Wiederholungen oder Überlappungen) und auf der Ebene eine einfache geschlossene Kurve bilden, wodurch die Genauigkeit der Flächenberechnung gewährleistet wird.

Illustration der Definition von Q(S) | Bildquelle: Referenz [1]

Anschließend konstruierte er eine quadratische Funktion Q(S) als Obergrenze der Fläche des „Sofas“ und verwendete den Mamikon-Satz und die Brunn-Minkowski-Theorie, um zu beweisen, dass Q(S) eine konkave Funktion ist, was bedeutet, dass ihr lokales Maximum auch das globale Maximum ist .

Schließlich überprüfte er, dass das von Jeff entworfene „Sofa“ diese Bedingungen vollständig erfüllte und der Wert von Q(S) hier seinen Höchstwert erreichte, was bestätigte, dass seine Fläche von 2,2195 der theoretische Höchstwert ist.

Allerdings wurde dieser Aufsatz bislang weder in einer anerkannten Fachzeitschrift veröffentlicht noch einem umfassenden Peer-Review unterzogen, und die wissenschaftliche Gemeinschaft verhält sich hinsichtlich der Richtigkeit und Stringenz der Beweise noch immer abwartend. Es ist wahrscheinlich zu früh, um zu behaupten, dass das „Problem des beweglichen Sofas“ vollständig gelöst sei.

Abschluss

Welchen Sinn hat es also, dieses Problem vollständig zu lösen?

Das „Mobile-Sofa-Problem“ liefert nicht nur neue Ideen für andere geometrische Optimierungsprobleme durch die im Lösungsprozess entwickelten Werkzeuge und Konstruktionsmethoden, sondern kann auch als extremes Optimierungsmodell der Raumnutzung abstrahiert werden, das einen wichtigen Referenzwert für praktische Bereiche wie Architekturdesign, Möbelherstellung und Logistikmanagement hat. Beispielsweise können die Pfadplanung von Expressrobotern beim Transport von Objekten in engen Räumen und die räumliche Pfadplanung von Roboterarmen an Produktionslinien beim Transport unregelmäßiger Objekte von der Forschung zu diesem Thema inspiriert werden.

Warten wir ab, bis die Mathematiker Bai Zhenyuns Arbeit sorgfältig geprüft haben, und freuen wir uns auf die erfolgreiche Lösung dieses Problems, das die wissenschaftliche Gemeinschaft seit mehr als 60 Jahren plagt.

Verweise

[1] Baek J. Optimalität von Gervers Sofa[J]. arXiv-Vorabdruck arXiv:2411.19826, 2024.

[2] Gibbs P. Eine computergestützte Studie über Sofas und Autos[J]. Informatik, 2014, 2: 1-5.

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