Wang Hong gilt als heißer Kandidat für die Fields-Medaille. Warum ist die Kakeya-Vermutung so wichtig?

Vor hundert Jahren schlug der japanische Mathematiker Soichi Kagetani ein interessantes Rätsel zur ebenen Geometrie vor. Wenn die ebenen Bedingungen in der Frage auf den allgemeinen n-dimensionalen Raum erweitert werden, entwickelt sich ein wichtiger Vorschlag namens „Kaya-Vermutung“. Später erkannten Analysten, dass die Kakeya-Vermutung eng mit einem der wichtigsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik verknüpft war. Daher wurde sie zum Kern der geometrischen Maßtheorie und eröffnete einen breiten Forschungsraum für dieses aufstrebende Gebiet. Allerdings hat die mathematische Gemeinschaft die Kakeya-Vermutung lange Zeit nur im zweidimensionalen Raum gelöst. Der dreidimensionale Raum ist wie eine unzerstörbare Festung, und die mathematischen Waffen, die die Menschheit bisher entwickelt hat, konnten keinen vollen Erfolg erzielen – bis Ende Februar 2025, als Wang Hong und Joshua Zare eine Arbeit veröffentlichten, die die mathematische Gemeinschaft schockierte.

Geschrieben von | Jiawei

Der japanische Samurai, der beim Toilettengang angegriffen wurde, und das Riemann-Integral

Mathematik ist eine Wissenschaft, die schwierige Ideen in einfachen Worten ausdrückt.

—Edward Kasner und James Newman

Das ist wie ein Spoiler. Es sind nur noch wenige Tage bis zum zweiten Monat des Jahres 2025, und die Mathematik-Community scheint die wichtigste mathematische Errungenschaft des Jahres erlebt zu haben: Der erst 34-jährige Wang Hong, außerordentlicher Professor am Courant Institute of Mathematics der New York University, hat in Zusammenarbeit mit Joshua Zahl von der University of British Columbia ein 127 Seiten langes Papier auf der Preprint-Website arXiv eingereicht, in dem er den Beweis der dreidimensionalen Kakeya-Vermutung verkündet.

Wang Hong und Joshua Zare veröffentlichten einen Vorabdruck des Artikels auf arXiv und behaupteten, die 3D-Kakeya-Vermutung bewiesen zu haben | Bildquelle: [2502.17655] Volumenschätzungen für Vereinigungen konvexer Mengen und die Kakeya-Mengenvermutung in drei Dimensionen

Die Kaketani-Vermutung wurde aus dem berühmten Problem der rotierenden Nadel abgeleitet. Im Jahr 1917 schlug der japanische Mathematiker Soichi Kakeya (1886-1947) das berühmte Problem vor, das später nach ihm benannt wurde:

Welche Form hat unter allen Formen, bei denen ein Liniensegment der Länge 1 Einheit (eine Nadel) um 180° gedreht werden kann und immer innerhalb der Form bleibt, die kleinste Fläche? Es ist zu beachten, dass beim Vorwärts- und Rückwärtsbewegen entlang des Liniensegments das Liniensegment keinen Bereich überstreicht.

Es heißt, Kakeya sei von einem japanischen Samurai inspiriert worden, der in einen Hinterhalt geriet. Er abstrahierte das Samurai-Schwert zu einer idealen langen Nadel, die keinen Platz einnahm. Gleichzeitig beschränkte er das Problem der Einfachheit halber auf eine zweidimensionale Ebene. Kakeya kommentierte:

Der Samurai besaß zur Selbstverteidigung ein langes Schwert und musste es in jedem Raum frei führen können, egal wie groß oder klein er war – sogar in einer Toilette.

Hinweis: In Bezug auf die ursprüngliche Aussage und die damit verbundene Geschichte des Kakeya-Nadel-Problems unterscheiden sich die in den verschiedenen Dokumenten enthaltenen Aufzeichnungen geringfügig. Der Einfachheit halber wird hier die Aussage aus Julian Havils Buch „Unbelievable: Counterintuitive Puzzles and Their Amazing Solutions“ in der „Discovering Mathematics Series“, herausgegeben von Shanghai Science and Technology Education Press, übernommen.

Ein seltenes persönliches Porträt von Soichi Kakeya | Quelle: Bildsammlung der Graduate School of Mathematical Sciences, Universität Tokio

Ein Kreis mit einem Radius von 0,5 ist die einfachste Form, die die Bedingungen erfüllt. Allerdings ist es offensichtlich nicht die Form mit der kleinsten Fläche unter allen Formen, die die Bedingungen erfüllen.

Kakeya und seine Kollegen sowie einige andere spekulierten zunächst, dass ein gleichseitiges Dreieck mit einer Höhe von 1 die konvexe Figur sei, die die Bedingungen der Frage erfüllt und die minimale Fläche hat. Julius Pál, ein talentierter und ehrgeiziger ungarischer Mathematiker, der von Pozsony, Ungarn (heute Bratislava, die Hauptstadt der Slowakei) nach Kopenhagen, Dänemark, zog, veröffentlichte 1921 einen Beweis, dass ein gleichseitiges Dreieck mit einer Höhe von 1 die kleinste konvexe Form ist, die Kakeyas Bedingung erfüllt.

Ein gleichseitiges Dreieck ist eine konvexe Form mit der kleinsten Fläche, die die Kakeya-Bedingung erfüllt. | Bildquelle: Unglaublich: Kontraintuitive Rätsel und ihre überraschenden Lösungen, Kapitel 13

Finanzier von Bohrs Ansiedlung in Kopenhagen war der Mathematiker Harald Bohr, der jüngere Bruder des Physikers und Quantentheorie-Pioniers Niels Bohr. Es ist sehr wahrscheinlich, dass dieser Mathematiker Bohr mit Kakeyas Rätsel der sich drehenden Nadel bekannt machte.

Andererseits spekulierten Kakeya und frühere Forscher, dass bei nicht-konvexen Figuren die Antwort auf die Trikuspidallinie hinweist. Es ist ein besonderes Mitglied der Hypozykloidenfamilie. Doch es dauerte nicht lange, bis man erkannte, dass es noch kleinere Formen gab.

Trikuspidallinie丨Quelle: Kakeya-Set – Wikipedia

Ebenfalls im Jahr 1917 löste ein Mathematiker aus Russland namens Abram Besicovitch ein scheinbar anderes Problem. Zufällig ging auch Besicovitch nach Dänemark, um eine Forschungsstelle zu suchen, und sein Hauptsponsor war Harald Bohr.

Es dauerte noch mehrere Jahre, bis Besicovitch von Kakeyas Rätsel „mit seiner faszinierenden intuitiven Formulierung“ hörte und eine völlig ungewöhnliche und unerwartete Lösung lieferte.

Im Jahr 1917 dachte Besicovitch über das folgende Riemannsche Integralproblem nach:

Wenn es eine Riemann-integrierbare Funktion f auf einer Ebene gibt, existiert dann notwendigerweise ein rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y), sodass für jedes feste y f(x, y) als Funktion von x Riemann-integrierbar ist und das quadratische Integral von f gleich dem Doppelintegral ∫∫f(x, y)dxdy ist?

Um die obige Frage zu beantworten, konstruierte Besicovitch eine Menge: eine Figur, die Einheitsliniensegmente enthält, die in alle Richtungen zeigen, deren Fläche (streng genommen, Lebesgue-Maß) jedoch 0 ist.

Dieses Set wurde Besicovitch-Set genannt. Aufgrund der Existenz eines solchen Satzes von Liniensegmenten lautet die Antwort auf die obige Frage nein.

Heute können wir aus der Perspektive späterer Generationen erkennen, dass es sich bei diesem Problem im Wesentlichen um die Erforschung und Ausgrabung eines wichtigen Theorems der reellen Analysis handelt – des Theorems von Fubini. Der Reiz der Mathematik liegt jedoch oft in ihrer Unerwartetheit. Durch Anwenden der sogenannten „Bauer-Verbindung“ (der oben erwähnten Bauer-Verbindung) auf die Besicovitch-Menge kann bewiesen werden, dass die Antwort auf das Kakeya-Nadelproblem lautet: Es gibt keine Figur mit der kleinsten Fläche, da die von der Nadel überstrichene Fläche beliebig nahe bei 0 liegen kann.

Auf diese Weise stellen die Integrationsprobleme der Analysis und die geometrischen Probleme auf der Ebene eine wunderbare Verbindung her, und die Besicovitch-Menge wird deshalb auch Kakeya-Menge genannt.

Erwähnenswert ist auch, dass gängige populärwissenschaftliche Artikel im Internet und einige Veröffentlichungen Fehler enthalten. Viele Menschen glauben fälschlicherweise, dass die Existenz einer Besicovitch-Menge mit einer Fläche von 0 direkt zu der Schlussfolgerung führen kann, dass „die minimale von einer Nadel überstrichene Fläche 0 sein kann“. Das Muster, das durch das direkte Zusammenführen von Nadeln entsteht, die in alle Richtungen zeigen, unterscheidet sich jedoch von dem Muster, das durch kontinuierliches Drehen einer Nadel um 180° entsteht. Tatsächlich kann die Nadel nicht kontinuierlich von einer Position im Besicovitch-Satz in eine andere Position verändert werden und einen Bereich von 0 überstreichen. Aus diesem Grund ist die Technik der „Bauer-Verbindung“ erforderlich. Gleichzeitig ist die Schlussfolgerung, dass die von der Nadel überstrichene Fläche beliebig klein sein kann, aber nicht Null ist.

Kakeya-Vermutung – von der Fläche zur Dimension

In den reellen Zahlen kann ein Objekt sehr nahe bei Null liegen und dennoch nicht tatsächlich Null sein. Irgendwie ist das die Krux an der Technologie.

--Joshua Zare (University of British Columbia)

Es gibt viele Möglichkeiten, Besicovitch-Sets zu konstruieren. Die klassischste davon ist eine Technik namens „Perron-Baum“, die Besicovitchs ursprüngliche Konstruktion vereinfacht und nach Oskar Perron benannt ist.

Stellen Sie sich ein gleichseitiges Dreieck mit einer Höhe von 1 vor (denken Sie daran, dass dieses Dreieck die kleinste konvexe Form ist, die das Kakeya-Problem erfüllt), teilen Sie es in zwei Hälften und lassen Sie die beiden rechtwinkligen Dreiecke dann leicht überlappen, wie unten gezeigt. Die Fläche dieser neuen Figur ist kleiner als die eines Dreiecks, aber in ihren beiden oberen Ecken befindet sich jeweils ein Liniensegment mit einer Länge ≥ 1.

Beginnen Sie nun erneut und teilen Sie das Dreieck in 8 gleiche Teile. Stapeln Sie sie jeweils zwei Mal und dann jeweils zwei Mal. Diese Form wird Perron-Baum genannt. Wenn wir diesen Schritt wiederholen und das Dreieck in 16, 32, ..., 2^n Teile unterteilen, ist es offensichtlich, dass die Fläche der gesamten Figur immer kleiner werden kann, und es lässt sich beweisen, dass sich die Fläche der Figur mit zunehmender Anzahl von Schritten unendlich 0 nähert.

Der Entstehungsprozess des Peron-Baums | Quelle: Kakeya-Set – Wikipedia

Auf diese Weise scheint Kakeyas Nadelrotationsproblem vollständig gelöst zu sein. Dies ist also ein weiteres sehr interessantes und schwieriges, unterhaltsames Matheproblem. Aber ist das alles? falsch!

Nachdem das Nadelproblem durch Anwendung der Besicovitch-Menge auf die Ebene gelöst worden war, begannen die Mathematiker, sich mit den Eigenschaften der Menge selbst zu befassen, insbesondere mit ihrer fraktalen Dimension.

Da es Einheitsvektoren beliebiger Richtungen enthält, sollte die Dimension dieser Menge intuitiv nicht kleiner als 2 sein. Dies ist die ursprüngliche Kakeya-Vermutung. Tatsächlich gibt es für Mengen mit dem Maß Null mehr als eine Dimensionsdefinition. Im Allgemeinen sind die von uns am häufigsten verwendeten Dimensionen die Hausdorff-Dimension und die Minkowski-Dimension. Wir stellen hier nur Ersteres vor.

Bei einer fraktalen Struktur handelt es sich um eine selbstähnliche geometrische Figur, d. h., unabhängig davon, wie oft sie vergrößert oder verkleinert wird, sind immer dieselben oder ähnliche Formen erkennbar. Fraktale Strukturen weisen eine unendliche Komplexität und Detailliertheit auf und kommen häufig in der Natur vor, beispielsweise als Schneeflocken, Blätter, Küstenlinien usw.
Studien haben gezeigt, dass wiederkehrende Muster in unserem Gehirn ein Gefühl der Entspannung hervorrufen, wodurch Stress abgebaut wird und wir uns erleichtert und entspannt fühlen. Die menschliche Zivilisation hat seit ihrer Kindheit unbewusst gelernt, sich diese Eigenschaft zunutze zu machen: Denken Sie an die Muster Ihrer Bettlaken, Tapeten und Vorhänge zu Hause. Dies wird als „fraktale Flüssigkeit“ bezeichnet. Das Prinzip besteht wahrscheinlich darin, dass wiederholte visuelle Elemente die Rechenressourcen reduzieren können, die das Gehirn zur Verarbeitung visueller Informationen benötigt, sodass sich die Menschen entspannt und glücklich fühlen.

Die sich selbst wiederholende Struktur der fraktalen Gosper-Kurve | Quelle: Fraktale Kurve – Wikipedia

Die Dimension, in der ein Fraktal existiert, ist keine ganze Zahl. Wir können es mithilfe der Hausdorff-Dimension definieren. Egal wie komplex die gemessene Figur ist, wir können sie immer mit kleinen Kreisen mit einem Radius von e bedecken (wobei eine teilweise Überlappung untereinander möglich ist) (da wir die gesamte Ebene mit kleinen Kreisen bedecken können, können wir natürlich jede Figur auf der Ebene bedecken).

Demonstration der ungefähren Berechnungsmethode der fraktalen Dimension | Bildquelle: Hausdorff-Dimension – Wikipedia

Wir betrachten die Anzahl N (e) der kleinen Kreise, die die gemessene Figur abdecken, und betrachten dann die logarithmische Operation [LogN (e) / Log (1 / e)]. Der Grenzwert, wenn e gegen 0 geht, ist die Hausdorff-Dimension des Fraktals. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Hausdorff-Dimension die Dimension im üblichen Sinne ist, wenn die gemessene Figur regelmäßig genug ist.

Zurück zur Kakeya-Vermutung: Nach einem halben Jahrhundert der Forschung bewies Roy Davies 1971 erfolgreich, dass die Hausdorff-Dimension und die Minkowski-Dimension der Besicovitch-Menge auf der Ebene genau 2 sind. Da der eindimensionale Fall trivial ist, vermuteten Mathematiker weiter, dass für jede positive ganze Zahl n

Hat im n-dimensionalen euklidischen Raum die Menge der Einheitsvektoren in alle Richtungen sowohl eine Minkowski-Dimension als auch eine Hausdorff-Dimension gleich n?

Dies ist die vollständige Aussage der Kaketani-Vermutung. Im Fall von 3 Dimensionen und höheren Dimensionen ist es wie eine undurchdringliche Festung, die die Offensive von Generationen von Mathematikern blockiert. Da der n-dimensionale Raum selbst Einheitsvektoren in alle Richtungen enthalten muss, besteht die Schwierigkeit hier eigentlich darin, ob die Dimension der hochdimensionalen Besicovitch-Menge (Kakeya-Menge) – einer Menge, die ein „Volumen“ von 0 einnimmt, aber Einheitsvektoren in alle Richtungen enthält – „groß“ genug ist, um dem Raum selbst zu entsprechen. Obwohl Mathematiker wie Thomas Wolff, Jean Bourgain (Fields-Medaillengewinner 1994), Nets Katz und Terence Tao auf diesem Gebiet wichtige Zwischenergebnisse erzielt haben, sind sie noch immer nicht in der Lage, selbst den einfachsten Sonderfall von n=3 zu bewältigen.

Das Unendliche ins Endliche verwandeln: der wahre Wert der Kakeya-Vermutung

Wenn Sie denken, das sei einfach, haben Sie das Problem falsch verstanden.

——Bjarne Stroustrup, der Vater der C++-Sprache

Obwohl die Untersuchung der Kakeya-Vermutung zur Geburtsstunde des modernen Zweigs der Mathematik, der geometrischen Maßtheorie, wurde sie von der mathematischen Gemeinschaft erst 1971 allgemein als ein extrem schwieriges und interessantes Problem angesehen, als Charles Fefferman (Fields-Medaillengewinner 1978) in seinem Aufsatz „Das Multiplikatorproblem der Kugel“ auf die Verbindung zwischen der Vermutung und dem Gebiet der modernen harmonischen Analyse hinwies. Das heißt, es fehlte ihm an Ernsthaftigkeit und Konnotation, und es wurde lediglich untersucht, um die Neugier der Gelehrten zu befriedigen und aus ästhetischen Gründen, die reine Schönheit der Mathematik zu würdigen.

Angesichts der Tatsache, dass das Integralproblem, über das Besicovitch 1917 nachdachte, mit Kakeyas Nadelproblem zusammenhängt, wäre es nicht überraschend, wenn zwischen Kakeyas Vermutung und dem wichtigsten Thema der modernen harmonischen Analyse eine Verbindung bestünde.

Laut dem Buch „10.000 wissenschaftliche Probleme: Mathematik“ ist die Kakeya-Menge (Besicovitch-Menge) eng mit vielen Zweigen verknüpft, beispielsweise mit der harmonischen Analyse, der Zahlentheorie und partiellen Differentialgleichungen. Sie spielt beispielsweise eine wichtige Rolle in der Schwingungsintegraltheorie der harmonischen Analyse und der Verteilung von Dirichlet-Reihen und ist eng mit der lokalen Glätte von Lösungen von Wellengleichungen verbunden.

Tatsächlich werden die Dimensionsinformationen des Besicovitch-Satzes über Leben und Tod einer Reihe mathematischer Vermutungen entscheiden. Diese mathematischen Vermutungen sind wenig bekannt und genießen in der öffentlichen Meinung kein Ansehen. Doch in den Augen der Mathematiker ist ihre Bedeutung nicht geringer als die der berühmten Riemannschen Vermutung. Man kann sagen, dass die Geometrie des Besicovitch-Satzes eine große Anzahl von Themen in partiellen Differentialgleichungen, harmonischen Analysen und anderen Bereichen unterstützt. Das Auffälligste ist, dass diese Vermutung eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der drei zentralen Vermutungen in der Analyse ist.

Konkret gibt es in der Fourieranalyse die sogenannte Restriktionsvermutung und die Bochner-Riesz-Vermutung, im größeren Bereich die lokale Glättevermutung. Die Beziehung zwischen Inklusion und Schwierigkeit ist wie folgt:

Kakeya-Vermutung ⊂ Restriktionsvermutung ⊂ Bochner-Riesz-Vermutung ⊂ lokale Glättevermutung

Dies bedeutet auch, dass, wenn die Kaketani-Vermutung einmal nicht zutrifft, alle nachfolgenden Vermutungen falsch sein werden. Moderne Analytiker können in Tränen ausruhen.

Die Bedeutung dieser Reihe mathematischer Vermutungen ergibt sich im Wesentlichen aus der Bedeutung der Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation kann fast jede Funktion als Summe von Sinuskurven darstellen. Es ist das leistungsstärkste mathematische Werkzeug für Physiker und Ingenieure und vielleicht nur mit der Matrizentheorie vergleichbar. Vielleicht noch wichtiger ist grundlegender gesunder Menschenverstand, beispielsweise die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Die Fourier-Transformation ist das wichtigste Werkzeug zum Lösen von Differentialgleichungen und bildet die mathematische Grundlage hinter Ideen der Quantenmechanik wie beispielsweise dem Unschärfeprinzip. Darüber hinaus ist es in praktischen Anwendungen von beispiellosem Wert und spielt eine wichtige Rolle bei der Analyse und Verarbeitung von Signalen, wodurch beispielsweise moderne Mobiltelefone möglich werden.

Von der Restriktionsvermutung bis zur lokalen Glättevermutung schränkt jede den „Fehler“ der Fourier-Transformation in unterschiedlichem Maße ein, sodass Mathematiker und Ingenieure sicherlich lieber in einer Welt leben würden, in der diese Vermutungen zutreffen, weil in einer solchen Welt der durch die Fourier-Transformation verursachte „Fehler“ immer „kontrolliert“ werden kann und zumindest nicht schlimmer als erwartet ausfällt.

Darüber hinaus waren die Mathematiker überrascht, als sie entdeckten, dass die Techniken, die in der harmonischen Analyse für die obige Vermutung verwendet wurden, auch zum Beweis wichtiger Ergebnisse im scheinbar nicht verwandten Bereich der Zahlentheorie verwendet werden konnten (was den Beweis der Riemann-Hypothese erleichtern könnte).

Als die Kakeya-Vermutung mit den zentralen Themen der Analyse verknüpft wurde, erregte sie mehr Aufmerksamkeit. Aber leider ist es zu schwierig. Wenn wir nur über den Sonderfall n = 3 sprechen, konnte Thomas Wolfe bis 1995 lediglich beweisen, dass die Hausdorff- und Minkowski-Dimensionen der Besicovitch-Mengen im dreidimensionalen Raum mindestens 2,5 betragen müssen. Diese Untergrenze ist schwer zu erhöhen. Erst 1999 durchbrachen Terence Tao und seine Mitarbeiter die Minkowski-Dimension und fanden eine neue Untergrenze: 2,500000001. Auch wenn es nur eine Verbesserung von 0,000000001 ist, ist es eine Leistung aus dem Nichts zu etwas. Infolgedessen wurde ihr Artikel in den Annals of Mathematics veröffentlicht, einer der vier führenden Fachzeitschriften auf dem Gebiet der Mathematik.

Nach dieser Arbeit von Terence Tao und anderen gelang den beiden am Anfang dieses Artikels erwähnten Wissenschaftlern – Wang Hong und Zare – ein weiterer Durchbruch, indem sie im Jahr 2022 das Rahmenwerk von Terence Tao und anderen fortsetzten, die Projektionstheorie auf kreative Weise einführten und schließlich die Kakeya-Vermutung im 3D-Raum auf einer speziellen Art von Besicovitch-Menge bewiesen! Sie gelten daher als die Personen, die über das tiefste Verständnis der Besicovich-Sammlung verfügen.

Die Person, die am tiefsten versteht

(Wahl einer Forschungsrichtung) Das hängt von Ihrem Interesse ab. Wenn du Interesse hast, dann studiere. Wenn Sie kein Interesse haben, besteht kein Grund zum Studieren ...

—Wang Hong, Courant Institute of Mathematics an der New York University

Im Juli 2023 hielt Wang Hong an ihrer Alma Mater einen akademischen Bericht | Quelle: Beijing International Center for Mathematical Research

Wang Hong, 34 Jahre alt, wurde im Alter von 16 Jahren mit einer Punktzahl von 653 in der Aufnahmeprüfung zum College erfolgreich in die Fakultät für Erd- und Weltraumwissenschaften der Peking-Universität aufgenommen. Später wechselte sie aufgrund ihres starken Interesses an Mathematik in die Fakultät für Mathematik.

Während ihres Promotionsstudiums am MIT studierte sie bei dem berühmten Mathematiker Larry Guth (der wie der bereits erwähnte Terence Tao eine führende Autorität auf dem Gebiet der geometrischen Maßtheorie und -analyse ist) und begann, eingehende Forschungen auf dem Gebiet der harmonischen Analyse durchzuführen. Seit Juli 2023 ist sie außerordentliche Professorin am Courant Institute of Mathematical Sciences der New York University.

Zare ist ein Schüler von Terence Tao und promovierte 2013. Beide haben äußerst wichtige Arbeit zu großen Themen geleistet. Ihre akademischen Leistungen wurden von der internationalen Mathematikgemeinschaft hoch anerkannt.

Joshua Zahl | Bildquelle: personal.math.ubc.ca/~jzahl/

Im Jahr 2020 arbeiteten Wang Hong, Gus und Ou Yumeng zusammen, um Falconers Distanzmengenproblem (Inventions) voranzutreiben. Im Jahr 2023 lösten Wang Hong und Kevin Ren die Furstenberg-Mengen-Vermutung vollständig. Um das Jahr 2020 herum galten die Wissenschaftler, die sich mit fraktaler Geometrie beschäftigten, allgemein als schwer lösbares Problem oder als dass es derzeit keine Werkzeuge zu seiner Lösung gäbe. Heute gaben Wang Hong und Zar bekannt, dass sie das 3D-Hängetal-Problem gelöst haben. Wir können nicht anders, als dem Tag entgegenzublicken, an dem das Falconer-Distanzset-Problem vollständig gelöst ist! Dies ging so weit, dass es in der ersten Hälfte des vergangenen Jahres Aufrufe gab, Wang Hong als Kandidaten für die Fields-Medaille zu nominieren.

Die Fürstenberg-Mengenvermutung ist ein berühmtes mathematisches Problem im Bereich der fraktalen Geometrie. Insbesondere bezieht sich die Vermutung auf die Hausdorff-Dimension, die sich auf die Komplexität und Größe einer Menge bezieht. Die Vermutung besagt, dass die Hausdorff-Dimension einer Menge bestimmte Bedingungen erfüllen muss, damit sie eine bestimmte geometrische Struktur aufweist (wie etwa die Menge der Geraden in der Ebene). Aus der Beschreibung ist auch ersichtlich, dass es große Ähnlichkeiten mit der Kaketani-Vermutung gibt. Insbesondere wenn die Projektionen einer Menge in verschiedene Richtungen eine gewisse Struktur aufweisen, sollte es eine Untergrenze für die Gesamtabmessung der Menge geben. Diese Vermutung wird in der Mathematik umfassend untersucht, da sie sich nicht nur auf die Mengenlehre und Geometrie bezieht, sondern auch auf Bereiche wie dynamische Systeme und Zahlentheorie.

Nach der Veröffentlichung seines Artikels geht die Prognosemarktplattform davon aus, dass Wang Hong im nächsten Jahr sehr wahrscheinlich die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung in der Mathematik, gewinnen wird.

Das neueste Papier von Wang Hong und Zare ist sogar noch umfangreicher (127 Seiten). Der Autor bezeichnet seine beiden Artikel aus den Jahren 2022 (Sticky Kakeya Sets und Sticky Kakeya Conjecture) und 2024 (The Assouad Dimension of Kakeya Sets in R³) zusammen mit diesem als Trilogie. In der Einleitung schrieben die Autoren, dass ihr Beweis auf der Idee basierte, die Kakeya-Vermutung im Rahmen des „Katz-Tao-Programms“ zu lösen und diese umzusetzen.

Da analytische Techniken nicht mit Einheitsvektoren umgehen können, die in alle Richtungen zeigen, muss das Problem bei der Anwendung der Werkzeuge der harmonischen Analyse zunächst diskretisiert werden. Die Grundidee besteht darin, Einheitsvektoren eine „Breite“ zu geben – sie also nicht mehr als ideale geometrische Liniensegmente ohne Breite zu behandeln, sondern als echte physikalische Nadeln. Gleichzeitig berechneten sie das Volumen der Besicovitch-Menge, nachdem den Vektorelementen der Menge die Breite zugewiesen wurde. Nachdem wir die numerische Beziehung zwischen der Breite und der physischen Nadel mithilfe des Widerspruchsbeweises verglichen haben, können wir einen Widerspruch erhalten und dann schlussfolgern, dass die Vermutung gültig ist.

Im eigentlichen Beweisprozess sind einige Ausnahmen unvermeidlich. Ihre Strukturen sind sehr „hässlich“ und erfordern ein wenig Analyse. Wie aus der Länge des Artikels hervorgeht, ist dieser Prozess nicht einfach.

Wenn die Arbeit von Wang Hong und Zare das Peer-Review-Verfahren besteht, kann man von epochalen Ergebnissen sprechen. Viele Wissenschaftler glauben, dass Wang Hong der erste chinesische Mathematiker sein könnte, der die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung in der Mathematik, erhält. Wenn man bedenkt, dass die Begutachtung des Papiers mindestens ein Jahr dauert, halte ich die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Preis im Jahr 2030 gewinnt (wenn sie noch innerhalb der Altersgrenze von 40 Jahren liegt, um den Preis zu erhalten), für äußerst hoch.

In naher Zukunft werden chinesische Mathematiker mit ihrem einzigartigen innovativen Denken und ihren rigorosen Forschungsmethoden einen rasanten Aufstieg erleben und nach und nach eine wichtige Position in der globalen Mathematiklandschaft einnehmen. Gleichzeitig gibt es immer mehr talentierte Mathematikerinnen, die den Mut haben, traditionelle Beschränkungen zu durchbrechen. Wie helle Sterne nutzen sie ihre außergewöhnliche Weisheit, um der Entwicklung der Weltmathematik endlos neue Energie zu verleihen.

Danksagung: Wir möchten Professor Jiu Ding von der University of Southern Mississippi und Professor Yi Ni vom California Institute of Technology für ihre Kommentare zu diesem Artikel danken.

Verweise

[1] Hong Wang, Joshua Zahl, Die Assouad-Dimension von Kakeya-Mengen in R³, arXiv:2401.12337

[2] Hong Wang, Shukun Wu, Restriktionsschätzungen unter Verwendung von Entkopplungssätzen und Furstenberg-Ungleichungen mit zwei Enden, arXiv:2411.08871

[3] Terry Tao, Die dreidimensionale Kakeya-Vermutung, nach Wang und Zahl, Was ist neu

[4] Kevin Ren, Hong Wang, Furstenberg setzt Schätzung in der Ebene, arXiv:2308.08819

[5] Dr. Touno kennt PDE nicht, Polynomiale Methoden in der Kombinatorik: Kakeya-Vermutung über endliche Körper, Zhihu

[6] Zweimaliges Überspringen einer Klasse im Alter von 5 Jahren - Das Geheimnis einer 16-jährigen, die an die Peking-Universität kommt, Sina.com

[7] Fefferman, Charles. „Das Multiplikatorproblem für den Ball.“ Annalen der Mathematik 94.2 (1971): 330-336.

[8] Jordana Cepelewicz, Ein Turm aus Vermutungen, der auf einer Nadel ruht, Quanta Magazine

[9] Jordana Cepelewicz, Neuer Beweis führt durch die Nadel eines Problems der klebrigen Geometrie, Quanta Magazine

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