Dating und Heirat: Mathematik kann Ihnen helfen, den besten Partner zu finden

Liebende werden irgendwann heiraten. Können wir den idealen Partner finden, wenn wir uns für Blind Dates entscheiden, um das wichtigste Problem unseres Lebens zu lösen? Wie viele Blind Dates muss ich machen, bevor ich den Richtigen treffe?

Tatsächlich gehört dies zu einem klassischen Problem der Mathematik – der optimalen Stopptheorie. Das Erstaunlichste daran ist, dass darin die Zahl jenseits von e versteckt ist. Warum taucht diese universelle Konstante bei Ihrem Blind-Date-Prozess auf? Rätsel 2 in diesem Artikel liefert die Antwort. Rätsel 3 ist ein weiteres Matheproblem, das sich auf die Liebe bezieht (Rätsel 1 ist auch sehr interessant). Allen einen schönen Valentinstag!

Von Pradeep Mutalik

Zusammenstellung | Nezha

Letzten Monat haben wir drei Rätsel verschenkt, die gewöhnlich aussahen, aber jede Menge Wendungen enthielten. Hinter der Geschichte steckt die mysteriöse transzendente Zahl (Eulerzahl) e. Am bekanntesten ist sie als Basis des natürlichen Logarithmus. e ist eine universelle Konstante und hat eine unendliche Dezimaldarstellung: 2,7 1828 1828 45 90 45… (diese Intervallschreibweise soll nur eine gewisse Regelmäßigkeit der 15 Ziffern nach dem Komma zeigen). Warum tauchte es also plötzlich in unserem Puzzle auf?

Bevor wir diese Frage beantworten, müssen wir mehr über die Eigenschaften von e wissen. Wie sein transzendentaler Bruder π kann e auf unzählige Arten ausgedrückt werden, beispielsweise als Summe einer unendlichen Reihe, als Produkt einer unendlichen Anzahl von Zahlen, als Grenzwert einer unendlichen Folge und als überraschend regelmäßiger Kettenbruch.

Ich erinnere mich noch an das erste Mal, als ich E lernte. Wir lernten in der Mittelschule den einfachen Logarithmus und ich war erstaunt, wie man durch die Darstellung aller Zahlen als Zehnerpotenzen komplexe Multiplikationen in einfache Additionen verwandeln konnte. Ich würde jedoch gerne wissen, wie Bruchpotenzen und irrationale Potenzen berechnet werden? Natürlich ist es einfach, ganzzahlige Potenzen wie 10^2 oder 10^3 zu berechnen. Bei Bedarf können wir sogar 10^2,5 berechnen, indem wir die Quadratwurzel aus 10^5 ziehen. Aber wie sind sie darauf gekommen, dass 20, genau wie in der Logarithmentabelle, 10^1,30103 ist? Wie erstellt man von Grund auf eine vollständige Logarithmentabelle? Ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie das gemacht werden soll.

Später erfuhr ich von einer Zauberformel, mit der dieses Kunststück möglich war. Es offenbart den Ursprung des „natürlichen“ in „natürlicher Logarithmus“:

Bei negativen Exponenten treten versetzte Terme auf:

Mit dieser leistungsstarken Formel können Sie e hoch jeder reellen Potenz, einschließlich ganzzahliger oder gebrochener Potenzen von -4 bis +4, mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen. Es ist daher möglich, von Grund auf eine vollständige Tabelle natürlicher Logarithmen zu erstellen und aus dieser Tabelle allgemeine Logarithmen abzuleiten.

Sei x = 1, und wir erhalten den Ausdruck von e:

Darüber hinaus hat e viele überraschende Eigenschaften, von denen einige mit der Lösung unseres Rätsels zusammenhängen. Aber es gibt eine Eigenschaft, die e seine Essenz verleiht und es natürlich macht, mit logarithmischem und exponentiellem Wachstum und Zerfall umzugehen:

Diese Formel besagt, dass die Änderungsrate von e^x an allen Punkten gleich seinem eigenen Wert ist. Wenn diese Formel die Zeit darstellt, besagt sie, dass die Wachstumsrate (oder Abnahmerate, für -x) der bisher angesammelten Größe oder Menge entspricht. Es gibt in der realen Welt zahllose Phänomene, die sich im Laufe der Zeit so verhalten, und wir wissen auch, dass es sich dabei um Beispiele für exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall handelt. Doch über die Zweckmäßigkeit hinaus besitzt diese Eigenschaft von e auch ein Element ästhetischer Perfektion und Natürlichkeit, das die Neugier weckt. Es enthält sogar eine moralische Lehre; Ich stelle es mir gerne als eine Zen-ähnliche Funktion vor, die in ihrem Streben nach Wachstum immer in perfekter Balance ist und nie über oder unter das hinausgeht, was sie verdient.

WARNUNG: In den folgenden Rätsellösungen werden wir anspruchsvollere und furchteinflößendere Mathematik verwenden, als sie normalerweise in dieser Rätselspalte zu finden ist. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihnen bei diesen Gleichungen die Augen zufallen. Versuchen Sie einfach, den allgemeinen Argumenten und Konzepten zu folgen. Ich hoffe, dass jeder etwas Licht auf unser Rätsel bringen kann, egal wie und warum es entstanden ist. In der BBC-Serie „The Ascent of Man“ sagt Jacob Bronowski über die mathematischen Arbeiten von John von Neumann, dass es beim Lesen mathematischer Texte wichtig sei, dem Ton der konzeptionellen Argumentation zu folgen – die Gleichungen seien lediglich „die Basssektion des Orchesters“.

Versuchen wir nun herauszufinden, wie e im Puzzle vorkommt.

Rätsel 1: Zerlegung

Lösung zu Frage a:

Im vorherigen Artikel wurde ein Hinweis gegeben: Wenn der Wert jedes gleichen Teils am nächsten bei e liegt, erreicht das Produkt seinen Maximalwert. Genauer gesagt werden die beiden größten Produkte erreicht, wenn die gleichmäßig aufgeteilten Werte auf beiden Seiten von e liegen. Bei den kleineren, alltäglichen Zahlen, die wir hier betrachten, kann der maximale Wert des Produkts erreicht werden, wenn der Wert der gleichen Teile die kleinste Differenz von e ist.

Lösung zu Frage b:

Aus dem Obigen lässt sich leicht erkennen, dass, wenn die Werte zweier benachbarter gleicher Divisionen nahezu gleich weit von e entfernt sind, die beiden Produkte am nächsten beieinander liegen, eines niedriger als e und das andere höher als e. (Dies ist strenggenommen nur dann wahr, wenn die Funktion symmetrisch zu e ist. Hier ist dies nicht der Fall, aber in diesem Bereich kommt es dem Wert nahe genug, wie Leser Michel Nizette brillant erklärt.)

Wenn die ursprüngliche Zahl N ist, geschieht dies, wenn sich der Bruchteil des Verhältnisses N/e 0,5 nähert, d. h. wenn sich N/e dem Mittelpunkt zwischen zwei ganzen Zahlen nähert. Wenn Sie also eine N/e-Tabelle erstellen, wobei N von 1 bis 100 reicht, und dann nach dem Bruch suchen, der 0,5 am nächsten liegt, erhalten Sie die gewünschte Ganzzahl: 53. 53 geteilt durch e ist 19,4976, und der Unterschied zwischen den Produkten der Division von 53 in 19 und 20 gleiche Teile beträgt nur 0,0013 %.

Lösung zu Frage c:

Sehen! So erscheint e und erhält das maximale Produkt.

Dies sagt uns, dass e eine optimale Eigenschaft hat. Es kann im Zusammenhang mit der Ermittlung von Maximal- oder Minimalwerten auftreten, wie wir in Rätsel 2 sehen werden. Wir können eine grundlegende Version dieser Eigenschaft von e sehen, wenn wir eine Funktion auswerten, bei der x über allen positiven reellen Zahlen liegt (dies ist Steiners Problem). Unter diesen unendlichen reellen Zahlen ist e das x, das dem Maximalwert dieser Funktion entspricht. Der Maximalwert der Funktion x^1/x entspricht dem Maximalwert der Funktion Inx/x, und die Ableitung der letzteren ist (1-Inx)/x^2, was genau dann Null ist, wenn Inx=1, d. h. x=e.

Rätsel 2: Blind Date

Wie die Leser bereits angemerkt haben, handelt es sich hierbei um eine Neuformulierung des bekannten Sekretärinnenproblems. Die wichtigsten Punkte sind unten zusammengefasst.

Der Erbe muss aus zehn möglichen Kandidaten den besten Ehepartner nach den folgenden Regeln auswählen. Die Kandidaten werden einzeln interviewt und entweder angenommen (wenn sie als die Besten gelten) oder abgelehnt, bevor der nächste Kandidat in Betracht gezogen wird. Abgelehnte Kandidaten können nicht zurückgerufen werden und der Prozess wird beendet, sobald ein Kandidat angenommen wird. Ist das Verfahren noch nicht abgeschlossen, muss der letzte Kandidat standardmäßig akzeptiert werden.

Lösung zu Frage a:

A. Angenommen, es gibt keine Gleichstände in der Rangfolge, wie kann ein Erbe seine Chancen maximieren, den besten Partner zu wählen?

In dieser Situation muss der Erbe eine bestimmte Anzahl von Kandidaten bedingungslos ablehnen (die „Ablehnungsphase“) und dann in die „Auswahlphase“ eintreten, in der der Erbe aus den verbleibenden Kandidaten den ersten Kandidaten auswählt, der im Rang höher liegt als alle zuvor abgelehnten Kandidaten. Die Chancen, den besten Kandidaten auszuwählen, sind am größten, wenn die Ablehnungsphase eine bestimmte Länge hat. Die Wahrscheinlichkeit, den Besten auszuwählen, sinkt, wenn die Ablehnungsphase länger ist (der beste Kandidat wird eher abgelehnt) oder kürzer (er verfügt nicht über genügend Erfahrung, um die Kandidaten richtig einzustufen, was zur Annahme von Kandidaten mit niedrigerem Rang führt).

Dies wird als „optimales Stoppen“-Problem [2] bezeichnet und e erscheint in seiner Lösung, weil es optimal ist. Bei einer großen Anzahl n von Kandidaten sollte die Anzahl der zunächst abgelehnten Kandidaten gleich n geteilt durch e sein.

Hier ist die Wahrscheinlichkeitsberechnung für n = 10. Wenn die Ablehnungsstufe (r) = 3 ist, d. h. 3 Personen abgelehnt werden, sehen wir uns die Antwort an.

Beachten Sie zunächst, dass der beste Kandidat zu jedem Zeitpunkt in den 10 Vorstellungsgesprächen auftauchen könnte, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 (1/n), dass er sich in einer bestimmten Position befindet. Für die Position (i) jedes Interviewpartners multiplizieren wir dieses 1/10 mit der Wahrscheinlichkeit, dass der beste Kandidat für diese Position ausgewählt wird. Anschließend addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Positionen, um den allgemeinen Ausdruck zu erstellen.

• Befindet sich der beste Kandidat auf den Positionen 1 bis 3, wird er automatisch abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit, den besten Kandidaten auszuwählen, beträgt:

Lösung zu Frage b:

B. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen den ersten Platz teilen, 10 % beträgt, wie verändert sich dann die Chance des Erben, den besten Partner zu finden?

Da es für die Nachfolge nun zwei Spitzenkandidaten gibt, steigen die Chancen, den besten Kandidaten zu finden.

Lösung zu Frage c:

C. Dies ist ein klassisches Problem, dessen Lösung mit e zusammenhängt. Können Sie erklären, wie e in die Antwort kommt?

Er kommt in diesem Rätsel zweimal vor! Wenn n größer wird, zeigt sich die Eulersche Zahl in der Wahrscheinlichkeit, die beste Wahl zu treffen, und im Anteil der Leute, die diese zunächst ablehnen.

Der Wahrscheinlichkeitsausdruck, den wir oben hergeleitet haben, kann als Grenzwert für n→∞ ausgedrückt werden, indem x für r/n (die Ablehnungsrate), p für (i-1)/n (die inkrementelle Wahrscheinlichkeit bei jedem n) und dp für 1/n (die Änderungsrate von einer Ganzzahl zur nächsten) eingesetzt wird.

Die Wahrscheinlichkeitsgrenze lautet also:

Rätsel 3: Intimität

In einem großen Zuschauerraum fand eine Aufführung statt, der Zutritt war nur Paaren gestattet. Wenn ein Paar den Zuschauerraum betritt, wählt es nach dem Zufallsprinzip zwei nebeneinander liegende Sitzplätze aus. Jedes frisch verheiratete Paar macht dies und in vielen Fällen führt dies dazu, dass ein Platz zwischen den beiden leer bleibt. Der Einlass erfolgt so lange, bis nur noch ein Platz frei ist, dann wird der Saal für voll erklärt und die Vorstellung beginnt.

Lösung zu Frage a:

A. Wie viel Prozent der Sitzplätze werden voraussichtlich leer bleiben, wenn keine Sitzplätze mehr frei sind?

Dividiert man diese Zahlen durch die Anzahl der Sitze, erhält man den Anteil der unbesetzten Sitze. Ein Leser hat berechnet, dass der Anteil für 10 Sitze 16,24 % beträgt, der Anteil für 100 Sitze 13,804 %, der Anteil für 1.000 Sitze 13,561 % und der Anteil für 6.000 Sitze 13,538 %. Sie können sehen, dass die Zahl nahe bei 13,5335… % liegt. Aber woher wissen wir, dass dies ihr Ziel ist? Denn ihre Beziehung braucht Zeit, um sich zu berechnen.

Rekursive Beziehungen sind schön, aber es ist, als würde man versuchen, eine unendliche Treppe Stufe für Stufe zu erklimmen. Was wir wirklich brauchen, ist ein geschlossener Ausdruck, der nur von n abhängt. Ein verschlossener Gesichtsausdruck ist wie ein Aufzug. Drücken Sie die Taste für ein beliebiges n, zisch! Mit dem Aufzug gelangen Sie dorthin, sogar direkt auf das Dach, von wo aus die Aussicht endlos ist.

Hinweise

[1] Wolfram Alpha ist ein intelligentes Computertool, verfügbar unter:

https://www.wolframalpha.com/

[2] Siehe Optimal Stopping Theory und Classic Secretary Problem:

https://blog.csdn.net/hilda_Huang/article/details/8099202

Dieser Artikel wurde übersetzt von:

Wo sich transzendente Zahlen in der Alltagsmathematik verstecken

Originallink:

https://www.quantamagazine.org/why-eulers-number-is-just-the-best-20211124/