Der Freund, der immer noch eine altmodische Nähmaschine zum Nähen von Flicken verwendet, ist möglicherweise ein Mathegenie

Die altmodische fußbetriebene Nähmaschine sollte die Erinnerung einer Generation sein. Haben Sie schon einmal gründlich über das Prinzip nachgedacht? Um die Nutzung komfortabler zu gestalten, haben kluge Ingenieure diese Maschine seit Hunderten von Jahren ständig weiterentwickelt, und dabei kommt erstaunliche Mathematik zum Einsatz. Auch wenn es heute intelligente elektrische Nähmaschinen gibt, werden Stoffe immer noch mit verschiedenen Fadenkombinationen verarbeitet. Der Blick zurück auf diese alten Gegenstände kann den Menschen neue Inspiration geben.

Von Tony Philips (emeritierter Professor für Mathematik, Stony Brook University)

Zusammengestellt von Hadron

Die Nähmaschine ist eines der Wunder der mechanischen Erfindung des 19. Jahrhunderts. Mahatma Gandhi soll es als „eine der wenigen nützlichen Erfindungen der Menschheit“ bezeichnet haben. Dieses automatisierte Werkzeug unterscheidet sich von einem Drucker oder Geldzähler dadurch, dass es tatsächliche Materialien verarbeitet, anstatt Informationen anzuzeigen. In diesem Artikel werde ich die mathematischen Grundlagen von Nähmaschinen und Spulern untersuchen, die oft zusammen erwähnt werden: wie der Doppelfaden-Steppstich (auch Doppelsteppstich genannt, das häufigste Verfahren bei Nähmaschinen) auf topologischer Ebene realisiert wird und wie die Nocke in Form einer archimedischen Spirale dafür sorgt, dass der Faden gleichmäßig auf eine lange Spule gewickelt wird.

Linienschritttopologie

Die primitivsten Nähmaschinen verwendeten einen Einfaden-Kettenstich:

Kettenstich-Nähmethode: Bei jedem Stich wird ein Kreis aus Seidenfaden in die Schlaufe gezogen, die der vorherige Fadenkreis gebildet hat.

Beim Kettenstich handelt es sich um kein topologisches Problem, da sich der Faden überhaupt nicht verheddert – es genügt, im Bild oben am rechten Fadenende zu ziehen, um den gesamten Stich aufzutrennen. Diese Art der Naht ist in Situationen nützlich, in denen etwas leicht zu öffnen sein muss, wie beispielsweise ein Sack voller Kartoffeln oder Hundefutter zu Hause. Manchmal kann diese Eigenschaft jedoch verheerend sein, es sei denn, Sie möchten wirklich ein Kleidungsstück, das ruiniert ist, wenn es zerreißt.

Die ersten Nähmaschinen, die das Steppstichverfahren beherrschten, wurden zwischen 1830 und 1850 erfunden. Diese Nähmaschinen verwendeten zum Nähen zwei Fäden.

Steppstichmethode: Bei jedem Stich werden Oberfaden und Unterfaden ineinander verschlungen und in die gleiche Richtung genäht. Wenn Sie den Stoff, den Sie nähen, außer Acht lassen, werden Sie feststellen, dass die beiden Fadenstränge gleichmäßig miteinander verdreht sind, einer um den anderen.

Auf den ersten Blick scheint es topologisch unmöglich, einen Steppstich maschinell zu nähen. Nähmaschinen verwenden zwei Fäden zum Erstellen von Nähten, und jeder Faden kommt von einer Spule – der Oberfaden kommt von der Spule oben auf der Maschine und der Unterfaden kommt von der Spule, die im Schiffchen im Inneren der Nähmaschine versteckt ist. Die Frage ist also: Wie kommt es, dass sich diese beiden Drähte zu Kreisen verwickeln?

Die Antwort ist einfach: Die Garnrolle ist nicht fest mit der Nähmaschine verbunden. Bei frühen Nähmaschinen wurde die Garnspule in einem kugelförmigen Schiffchen gehalten. Bei jedem Stich bewegte sich das Schiffchen durch den Faden, und wenn die Nadel angehoben wurde, zog sich das Schiffchen zurück und vollendete einen vollständigen Kreis. Der Schlüssel zum Erfolg dieser Nähmethode liegt darin, dass sich das Schiffchen in der Nähmaschine frei bewegen kann. Bei moderneren Nähmaschinen wird die Spule in einem glatten, runden Schiffchen aus Metall gehalten, das zwar eine feste Position einnimmt, jedoch nicht völlig fixiert ist, sondern gedreht werden kann. Bei jedem Stich wird der Oberfaden in das Metallschiffchen eingehakt, das sich dreht, mit dem Unterfaden verwickelt und festgezogen wird.

Abbildung a

Abbildung b

Zwei Methoden zum Erreichen der Steppstichmethode. Abbildung a: „Oszillierendes Shuttle“. Bei jedem Stich führt das Schiffchen die Garnrolle (blauer Faden) durch die Schlaufe, die der darüberliegende Faden (rot) bildet. Abbildung b: „Haken“. Die Garnspule (grüner Faden) ist in einem runden, glatten Schiffchen eingeschlossen, das stationär bleibt, und der Faden (gelber Faden) wird bei jedem Stich einmal um das Schiffchen herumgezogen. In beiden Fällen muss sich das Shuttle, um topologisch möglich zu sein, innerhalb der Maschine frei bewegen können.

Die magische archimedische Spirale

Diese interessanten Dinge habe ich von meinem ehemaligen Kollegen und guten Freund Enrico Giusti (italienischer Mathematiker) gelernt. In einem früheren Vortrag auf der Konferenz „Matematica e Cultura“ in Venedig hatte er Nähmaschinen und Spuler erwähnt. Diese sind auch im Mathematischen Museum in Florenz, „Der Garten des Archimedes“, zu finden. Ein weiterer italienischer Mathematiker, Franco Conti, schuf die Ausstellung auf Grundlage des Buches „Oltre il Compasso: la geometria delle curve“ (Jenseits des Kompasses: Die Geometrie der Kurve), das er und Giusti im Jahr 2000 veröffentlichten. Auf der Website des Museums finden sich auch Informationen zur Funktionsweise dieser Aufzugsanlagen.

Für diejenigen, die mit Kettenstichmaschinen nicht vertraut sind: Jede Maschine ist anders, da sie ihre eigene, einzigartige Spule hat – eine kleine Spule, die in das Schiffchen passt und den Faden darunter trägt. Um das Aufspulen des Fadens auf die im Spulenkörper befindliche Spule zu erleichtern, verfügt jede Nähmaschine über eine Vorrichtung namens Spuler, die sich meist neben der Hauptwelle der Nähmaschine, weit entfernt vom Nähvorgang, befindet.

Das Bild links zeigt eine klassische Nähmaschine, das Singer Sphinx Modell 27, Baujahr 1910. Das Bild rechts zeigt eine Nahaufnahme der Wicklervorrichtung. Modell 27 ist mit einem oszillierenden Shuttle ausgestattet.

Kugelförmiges oszillierendes Schiffchenmodell und Spule, das abgebildete ist etwa 1,5 Zoll lang.

Bei den kürzeren Spulen im Rundspulschiffchen ist es meist kein Problem, auf eine gleichmäßige Fadenaufwicklung zu achten. Der Spuler an der Nähmaschine kann dafür sorgen, dass der Faden gleichmäßig herausgezogen wird (natürlich empfiehlt es sich, den Spulvorgang im Auge zu behalten und ihn bei Bedarf von Hand anzupassen). Bei älteren Modellen wie dem oben abgebildeten, die eine lange, schmale Spule verwenden, ist dies jedoch nicht so einfach: Die Schnur muss während des Aufwickelns auf der Spule hin und her geführt werden. Es gibt eine sehr einfache Lösung, nämlich die Gestaltung einer beweglichen Struktur auf dem Wickler, um den Effekt einer Hin- und Herbewegung zu erzielen. Das Bild unten zeigt diesen einfachen Mechanismus, bei dem die Schnur durch einen rotierenden Ring mit einem Durchmesser gleich der Länge der Spule geführt und dann über einen festen Punkt mit dem Wickler verbunden werden kann. Dies führt jedoch dazu, dass sich die Schnur an beiden Enden der Spule sammelt. Im Bild rechts ist zu erkennen, dass der grüne Bereich doppelt so viele Windungen aufweist wie der rote Bereich gleicher Länge. Conti erklärt, warum sich dadurch der Faden an beiden Enden der Spule staut.

(a) Abbildung 1 ist eine schematische Darstellung des eigentlichen Geräts. Die Spule dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Richtung parallel zur Papierebene, und die Scheibe dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Richtung senkrecht zur Papierebene. Die Position der Spule, die dem schwarzen Punkt auf der Scheibe entspricht, ist die Wickelposition. Die Dauer, die der schwarze Punkt über der Spule bleibt, bestimmt die Wicklungsmenge. Wie in Abbildung (b) gezeigt, ist der Mittelpunktswinkel des grünen Bereichs des Wickelrohrs auf der Scheibe doppelt so groß wie der Mittelpunktswinkel des im roten Teil dargestellten Bereichs, wenn sich die Scheibe gleichmäßig einmal um eine Runde dreht. Daher ist die Wickelmenge im grünen Bereich doppelt so groß wie im roten Bereich. Es ist ersichtlich, dass die Wicklungen an beiden Enden der Spule gestapelt werden, wie in Abbildung (c) gezeigt.

Die von den Erfindern und späteren Entwicklern dieses Nähmaschinentyps vorgeschlagene Lösung bestand darin, eine herzförmige Nocke auf einer rotierenden Scheibe zu installieren, ähnlich der auf dem Bild oben, wie zwei zusammengesetzte archimedische Spiralen. (In Polarkoordinaten kann es als r=θ ausgedrückt werden, wenn 0≤θ≤π, und r=−θ, wenn −π≤θ≤0). Der Arm, an dem es befestigt ist, kann an die Länge der Rolle angepasst werden.

In „507 Mechanical Movements“, veröffentlicht im Jahr 1868, war dieses Gerät enthalten, das mithilfe der Archimedischen Schraube eine Kreisbewegung in eine gleichmäßige lineare Bewegung umwandelte. (507 Mechanical Movements, Autor Henry T. Brown ist Herausgeber des Magazins The American Artisan. Diese Publikation ist auf die Veröffentlichung neuer Inhalte auf dem Gebiet des Maschinenbaus während der industriellen Revolution spezialisiert. Brown fasste sie schließlich in einem Buch zusammen und veröffentlichte 21 Ausgaben. Das Buch ist jetzt online verfügbar und enthält animierte Bilder.) Dieses geniale Gerät an der Nähmaschine ist das 96. und das Buch enthält auch eine Erklärung.

Archimedische Spirale

Herzförmige Nocke im Buch der 507 mechanischen Uhrwerke verzeichnet

Herzförmige Nocke. Durch die Drehung der herzförmigen Nocke kann eine gleichmäßige seitliche Bewegung des Arms erreicht werden. Die gepunktete Linie entspricht der Bewegungsbahn der herzförmigen Nocke. Die Armanordnung wird in eine beliebige Anzahl gleich großer Teile unterteilt und aus diesen Punkten wird eine Reihe konzentrischer Kreise bestimmt. Beginnen Sie am äußersten linken Punkt des äußeren Kreises und bewegen Sie jedes Mal ein kleines Gitter in Richtung Mitte. Dabei müssen Sie in gleichmäßigen Winkeln rotieren und sich schrittweise in Richtung Mitte bewegen. Der Schnittpunkt dieser konzentrischen Kreise und der nach außen strahlenden Linien ist dann die Kurve, die wir anpassen möchten.

Die CDs, die in den Anfangsjahren beliebt waren, bestanden tatsächlich aus einem Streifen eines Datenträgers (1,6 Mikrometer dick), der Informationen trug, und es handelte sich auch hier um eine archimedische Spirale. Dies hat den Vorteil, dass sich der Laserkopf zum Lesen der Informationen bei konstanter Rotationsgeschwindigkeit der Disc nur radial mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Disc bewegen muss und die auf dem Streifenmedium aufgezeichneten Informationen gleichmäßig und ohne Unterbrechung gelesen werden können. Die älteren Schallplatten funktionieren nach einem ähnlichen Prinzip, wobei der Informationsträger auf ihrer Oberfläche – die Rillen – eine perfekte archimedische Spirale bildet.

Die archimedische Spirale ist die Flugbahn, die sowohl durch gleichmäßige Rotation als auch durch gleichmäßige lineare Bewegung gebildet wird. Der Unterschied besteht darin, dass es sich bei manchen um gleichmäßige lineare Bewegungen senkrecht zur Drehachse handelt, wie beispielsweise bei der oben erwähnten Nocke und Scheibe. Bei manchen handelt es sich um gleichmäßige lineare Bewegungen parallel zur Drehachse, wie beispielsweise bei der Archimedes-Wasserpumpe. Es wird gesagt, dass Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. eine zylindrische Spiralwasserpumpe erfand, um das Problem der Nutzung des Nilwassers zur Bewässerung des Landes zu lösen. Spätere Generationen nannten sie die „Archimedische Spirale“. Die Archimedische Schraube ist die älteste Wasserpumpe. Es nutzt die spiralförmige Oberfläche, um sich um die Rotationsachse zu drehen und so Wasser von tiefer gelegenen zu höher gelegenen Stellen zu transportieren und so Ackerland zu bewässern. Aufgrund ihrer einfachen Bedienung, ihres einfachen Aufbaus und ihrer Wartung sowie ihrer gleichmäßigen Durchflussrate wird die Archimedes-Schraubenpumpe noch immer in industriellen Anwendungen eingesetzt.

Das Bild oben zeigt eine archimedische Schraubenwasserpumpe. Bei jeder Umdrehung der Welle wird das Wasser in jedem Gitter um eine Teilung nach vorne gedrückt.

Es ist zu beachten, dass die archimedische Spirale oft mit einer anderen gängigen Spirale, der gleichwinkligen Spirale (oder logarithmischen Spirale), verwechselt wird. Der Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass sich letztere in einem geometrischen Exponentialschritt dreht, während die archimedische Spirale konstant ist. Der große Mathematiker Jakob Bernoulli war von dieser Kurve so besessen, dass er angeblich darum bat, nach seinem Tod eine gleichwinklige Spirale in seinen Grabstein eingravieren zu lassen. Als Ergebnis gravierten die Handwerker schließlich die Archimedische Spirale.

Gleichwinklige Spirale

Diese einfache und tiefgründige Kurve, die archimedische Spirale, kommt heute auch in verschiedenen technischen Anwendungen vor, von kleinen Schrauben bis hin zu großen Kommunikationsantennen. Der Reiz der Technologie liegt in den praktischen Anwendungen, die sie der Menschheit bietet, und die ihr zugrunde liegenden Prinzipien verdeutlichen die Magie der Natur. Vielleicht entdecken Sie beim Ausgraben der Nähmaschine, die noch immer in der Ecke des Lagerraums steht, wissenschaftliche Prinzipien, die Ihnen bisher nicht aufgefallen sind.

Die Bilder in diesem Artikel stammen alle aus dem Internet.