Was genau ist ein mathematischer Beweis?

William Dunham, Mathematikhistoriker und emeritierter Truman Koehler-Professor für Mathematik am Muhlenberg College, veröffentlichte 1994 das Buch „The Mathematical Universe“, in dem er unter dem Titel „26 englische Buchstaben“ die wichtigen Probleme und Figuren der Geschichte der Mathematik beschreibt. Dieser Artikel wurde aus J——Begründung ausgewählt. Der größte Unterschied zwischen Mathematik und anderen Fächern besteht darin, dass Aussagen bewiesen werden müssen. Aus diesem Grund hat sich die Mathematik über Tausende von Jahren entwickelt und weiterentwickelt und die Menschheit ist nach und nach zum Gipfel der Weisheit aufgestiegen. Darüber hinaus sind nach Ansicht des Autors „die Standards mathematischer Beweise anders als in jedem anderen Bereich menschlicher Tätigkeit.“ Was genau ist also der Beweis eines mathematischen Theorems? Dieser Artikel stellt vier grundlegende Prinzipien vor, die sehr interessante Fragen zur Natur mathematischer Beweise beantworten.

Die Auswahl dieses Artikels aus „Mathematics: Great Problems and Extraordinary People“ (Turing｜People's Posts and Telecommunications Publishing, 2022.3) ist autorisiert, und der Titel wurde vom Herausgeber hinzugefügt.

Von William Dunham (Professor für Mathematik am Muhlenberg College, USA)

Übersetzt von Feng Su

„Beweise“, sagte der Mathematiker Michael Atiyah (1929–2019) einmal, „sind der Klebstoff, der die Mathematik zusammenhält.“ Offensichtlich bedeutet diese Ansicht, dass Beweise oder Argumente die Verkörperung der Mathematik sind.

Eine solche Ansicht kann umstritten sein. Mathematik ist ein so umfassendes Fach, dass es so unterschiedliche Aktivitäten wie die Bewertung, die Konstruktion von Gegenbeispielen, das Testen von Sonderfällen und das Lösen alltäglicher Probleme umfassen kann. Mathematiker müssen nicht rund um die Uhr Theoreme beweisen.

Doch auch wenn der logische Beweis theoretischer Aussagen nicht die gesamte Tätigkeit der Mathematik ausmacht, ist er doch sicherlich ein Merkmal dieser Disziplin. Die Mathematik ist untrennbar mit allen anderen Bereichen akademischer Arbeit verbunden, ebenso wie sie untrennbar mit Beweisführung, Schlussfolgerung und logischer Deduktion verbunden ist. Bertrand Russell stellte beim Vergleich der Mathematik mit der Logik fest: „Es ist nicht länger möglich, eine Trennlinie zwischen beiden zu ziehen; tatsächlich sind beide ein und dasselbe.“

In diesem Buch wurden viele mathematische Argumente analysiert. In Kapitel A (Arithmetik) haben wir die Unendlichkeit der Primzahlen bewiesen; in Kapitel H haben wir den Satz des Pythagoras bewiesen. Soweit es allgemeine mathematische Argumente angeht, sind diese Beweise ziemlich einfach. Andere Argumente erfordern viele Seiten, viele Kapitel und sogar viele Bände, um zu ihrer endgültigen Schlussfolgerung zu gelangen. Die damit verbundenen intellektuellen Anforderungen sind möglicherweise nicht jedermanns Sache, wie der bescheidene Charles Darwin bemerkte: „Meine Fähigkeit, langen und rein abstrakten Gedankengängen zu folgen, ist so äußerst begrenzt, dass ich weder in der Metaphysik noch in der Mathematik jemals erfolgreich sein könnte.“ Oder, wie John Locke es prägnanter ausdrückte: „Mathematische Beweise sind so hart und klar wie Diamanten.“

Was genau ist der Beweis eines mathematischen Theorems? Diese Frage ist nicht so eindeutig, wie es scheinen mag, da sie philosophische, psychologische und mathematische Faktoren beinhaltet. Aristoteles hatte hierfür ein tiefes Verständnis, als er einen Beweis als „keine äußere Aussage, sondern eine Meditation des Herzens“ beschrieb.

Russell machte auch eine überzeugende Bemerkung: Mathematiker können niemals „den vollständigen Denkprozess“ zu Papier bringen, sondern müssen „eine Zusammenfassung der Beweise niederschreiben, die ausreicht, um den gut geschulten Verstand zu überzeugen.“ Was er meinte, war, dass jede mathematische Aussage auf anderen Aussagen und Definitionen aufbaut, die wiederum auf weiteren Aussagen und Definitionen aufbauen, und dass es töricht sein könnte, zu verlangen, dass ein Beweis jeden logischen Schritt zurückverfolgt. Doch als Russell zu Beginn des 20. Jahrhunderts gemeinsam mit Alfred North Whitehead (1861–1947) sein Meisterwerk „Principles of Mathematics“ verfasste, schien er seinen Rat an die Welt vergessen zu haben. In diesem Buch wurde versucht, die gesamte Mathematik auf die logischen Grundprinzipien zurückzuführen und dabei die Details beizubehalten. Die Ergebnisse sind äußerst qualvoll. Ihre Entwicklung ist so gründlich, dass das Buch 362 Seiten umfasst, bevor sie in Abschnitt 54.43 des Kapitels „Einführung in die Kardinalarithmetik“ (siehe Abbildung 1) schließlich beweisen, dass 1+1=2 ist. Principia Mathematica lässt die Diskussion außer Kontrolle geraten.

Abbildung 1: Russell und Whitehead beweisen, dass 1+1=2 ist. Auszug aus Band 1 der Principia Mathematica, gemeinsam verfasst von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell im Jahr 1910. Mit freundlicher Genehmigung von Cambridge University Press

In diesem Kapitel werden wir versuchen, den Kopf über Wasser zu halten. Unter Beweis verstehen wir eine Schlussfolgerung, die sorgfältig im Rahmen der Gesetze der Logik ausgearbeitet wurde und die in ihrer Behauptung der Wahrheit einer Aussage unanfechtbar und überzeugend ist. Fragen wie „Wen überzeugen?“ oder „einwandfrei nach wessen Maßstäben?“ bleiben für später.

Natürlich können wir auch auswählen, was wir nicht als Beweis betrachten. Aussagen, die auf Intuition, gesunden Menschenverstand oder, schlimmer noch, auf Suggestion zielen, sind keine Argumente. Ein „zweifelsfreier“ Beweis, der in einem Strafverfahren als Schuldbeweis verwendet wird, ist nicht das, was wir als Argument bezeichnen. Mathematiker glauben, dass Beweise nicht nur begründete Zweifel, sondern alle Zweifel beseitigen können.

Wir können eine Diskussion mathematischer Argumente aus vielen verschiedenen Richtungen angehen. Hier geben wir vier wichtige Grundprinzipien an und erklären nacheinander sehr bedeutsame Fragen zur Natur mathematischer Beweise.

Grundprinzip Nr. 1: Einzelfälle reichen nicht aus

Ob in der Wissenschaft oder im Alltag: Wenn Experimente ein Prinzip wiederholt bestätigen, neigen wir dazu, seine Wahrheit zu akzeptieren. Wenn die Zahl der positiven Fälle groß genug ist, sprechen wir von einem „bewiesenen Gesetz“.

Für einen Mathematiker sind die Ergebnisse einiger Fälle zwar einige Hinweise, aber noch lange keine Beweise. Hier ist ein Beispiel für dieses Phänomen. In Betracht ziehen

Ist das wahr? Natürlich können wir ein paar positive Ganzzahlen einsetzen, um zu sehen, was passiert. Wenn n=1, erhalten wir f(1)=1-28+322-1960+6769-13132+13069-5040=2, und die Behauptung ist offensichtlich wahr. Wenn wir n=2 einsetzen, ist das Ergebnis

f(2)=27-28×26+322×25-1960×24+6769×23-13132×22+13069×2-5040=2

Auch dieses Mal trifft die Behauptung noch immer zu. Wir empfehlen den Lesern, ihren Taschenrechner herauszuholen und zu überprüfen, ob f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6 und sogar f(7)=7 ist.

Die Beweise für diese Behauptung scheinen erbracht. Manche Leute, insbesondere diejenigen, die sich für solche mechanischen Berechnungen nicht begeistern können, würden diese Aussage möglicherweise für wahr halten. Aber das stimmt nicht. Wenn wir n=8 einsetzen, erhalten wir

Das Ergebnis ist nicht die 8, die wir erwartet haben. Weitere Berechnungen zeigen, dass f(9) = 40329, f(10) = 181450 und f(11) = 640811 ist. Diese Behauptung ist also nicht nur nicht zutreffend, sondern erschreckend falsch. Die Vermutung, dass die Aussage für jede positive ganze Zahl n gilt, was für n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 zutrifft, ist tatsächlich falsch.

Wenn wir den folgenden Ausdruck erweitern und ähnliche Terme kombinieren, erhalten wir das gerade besprochene Polynom

f(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)]

Offensichtlich ist für n = 1 der Term (n-1) Null, also sind alle Produkte in den eckigen Klammern Null; daher f(1) = 1 + 0 = 1. Wenn n=2, dann n-2=0, also f(2)=2+0=2. Ebenso gilt f(3)=3+0=3 und so weiter und so fort bis zu f(7)=7+0=7. Danach sind die Terme in den Klammern jedoch nicht mehr Null, zum Beispiel f(8)=8+7!=5048.

Dies führt zu folgendem anspruchsvollen Erweiterungsvorschlag. Nehmen wir an, wir führen ein

g(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)…(n-1000000)]

Und vermuten Sie, dass für alle positiven ganzen Zahlen n gilt, dass g(n)=n.

Wir multiplizieren und kombinieren die Terme von g(n) und erhalten eine erstaunliche Gleichung vom Grad einer Million. Mit genau derselben Argumentation wie oben werden wir feststellen, dass g(1)=1, g(2)=2 usw. bis zu g(1000000)=1000000.

Nach der Entdeckung einer Million aufeinanderfolgender korrekter Beweise würde jeder vernünftig denkende Mensch bezweifeln, ob g(n) immer n ergibt. Für jeden außer einem Mathematiker wären eine Million aufeinanderfolgende Erfolge gleichbedeutend mit dem Ausschluss aller zweifelhaften Beweise. Bei weiterer Überprüfung stellen wir jedoch fest, dass g(1000001) tatsächlich gleich 1000001+1000000 ist! , was eine sehr große Zahl ist, die offensichtlich 1 000 001 übersteigt.

Das obige Beispiel verdeutlicht das erste Grundprinzip mathematischer Beweise: Wir müssen alle möglichen Fälle beweisen, nicht nur die Millionen.

Grundprinzip Nr. 2: Einfach ist besser

Mathematiker bewundern raffinierte Beweise. Mathematiker hingegen schätzen Beweise, die zugleich klug und sparsam sind, also eine prägnante Argumentation, die auf den Punkt kommt und zwar ohne unnötiges Aufhebens. Solche Beweise gelten als elegant.

Die Eleganz der Mathematik unterscheidet sich nicht von der Eleganz anderer kreativer Werke. Es hat viel mit der Eleganz der Ölgemälde von Monet gemeinsam, wo ein paar Striche oder Gedichtzeilen eine französische Landschaftsszene darstellen, die schöner ist als eine lange Rede. Eleganz ist im Wesentlichen eine ästhetische und keine mathematische Eigenschaft.

Wie jedes Ideal ist Eleganz nicht immer erreichbar. Mathematiker streben nach kurzen, klaren Beweisen, müssen dabei aber oft eine lästige Langeweile in Kauf nehmen. Beispielsweise umfasste der Beweis der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen in der abstrakten Algebra (als er schließlich verifiziert wurde) mehr als 5.000 Seiten. Wer Gnade sucht, sollte sich bitte woanders umsehen.

Im Gegensatz dazu ist die höchste Eleganz, die Mathematiker erreichen, der sogenannte „Beweis ohne Worte“, bei dem ein wunderbar überzeugendes Diagramm den Beweis vermittelt, ohne dass es auch nur einer Erklärung bedarf. Eleganter geht es kaum. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Beispiel.

Doch die erste Kardinalregel warnt davor, dass nur ein Narr aufgrund eines Einzelfalls voreilige Schlüsse ziehen würde. Wir werden Abbildung 2 verwenden, um diesen Vorschlag zu beweisen.

Abbildung 2

Hier verwenden wir eine gestufte Struktur, die aus einem Block plus zwei Blöcken plus drei Blöcken besteht, wie im schattierten Teil von Abbildung 2 dargestellt; Verwenden Sie Quadrate, um eine rechteckige Anordnung von n×(n+1) anzuordnen. Dieses Rechteck besteht aus zwei völlig identischen Stufen. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt aus Länge und Breite, also n×(n+1). Daher muss die Fläche dieses Schrittes die Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​betragen, d. h.

Der Beweis ist vollständig.

Dem Leser wird auffallen, dass diesem „stillen Beweis“ noch eine Texterklärung beiliegt. Eine verbale Erklärung ist jedoch wirklich unnötig, dieses Diagramm sagt mehr als tausend Worte. („Silent Proof“ ist eine regelmäßige Kolumne im American Journal of College Mathematics.)

Hier ist ein weiterer Beweis unbestreitbarer Eleganz. Angenommen, wir beginnen mit der Addition positiver ungerader Zahlen ab 1:

1+3+5+7+9+11+13+…

Einige Erfahrungen zeigen, dass das Ergebnis immer eine Quadratzahl ist, egal wie weit wir diese Addition durchführen. Zum Beispiel,

Ist das immer wahr? Wenn ja, wie können wir dieses allgemeine Ergebnis beweisen?

Die folgende Argumentation erfordert ein wenig Algebra und basiert auf der Beobachtung, dass gerade Zahlen Vielfache von 2 sind, sodass für eine Ganzzahl n die Form 2n ist. und ungerade Zahlen sind 1 kleiner als ein Vielfaches von 2, daher ist die Form für eine Ganzzahl n 2n-1.

Theorem: Die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend bei 1, ist eine Quadratzahl.

Beweis: Sei S die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen von 1 bis 2n-1 (n>0), d. h.

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1)

Offensichtlich können wir die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 2n ermitteln und dann die Summe der geraden Zahlen subtrahieren, um die Summe der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen zu erhalten. mit anderen Worten

S=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-(2+4+6+8+…+2n)

=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-2(1+2+3+4+…+n)

Hier extrahieren wir aus dem Ausdruck in der zweiten eckigen Klammer einen Faktor 2.

Die erste eckige Klammer enthält die Summe aller Ganzzahlen von 1 bis 2n, während die zweite eckige Klammer die Summe aller Ganzzahlen von 1 bis n enthält. Der „stille Beweis“ in Abbildung 2 zeigt, wie man eine solche ganzzahlige Summe findet, also verwenden wir dieses Ergebnis zweimal:

Vereinfachen wir die obige Formel, erhalten wir

Kurz gesagt: Der Beweis ist elegant. Wenn es sich jedoch um die Art von Eleganz handelt, die wir suchen, dann bietet Abbildung 3 einen alternativen, kürzeren Beweis, einen wortlosen. Hier sind die ungeraden Zahlen ein Quadrat, drei Quadrate, fünf Quadrate usw., die auf besondere Weise angeordnet sind. Wir beginnen mit einem Quadrat in der unteren linken Ecke, drei schattierte Quadrate umgeben es und bilden ein 2×2-Quadrat, fünf nicht schattierte Quadrate umgeben die vorherigen Quadrate und bilden ein 3×3-Quadrat, dann umgeben sieben schattierte Quadrate die vorherigen Quadrate und bilden ein 4×4-Quadrat und so weiter. Dieses Diagramm zeigt deutlich, dass die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen, beginnend bei 1, immer ein (geometrisches) Quadrat ergibt. Dieser Beweis ist ganz natürlich. Die alten Griechen wussten es schon vor 2.000 Jahren und unsere heutigen Nachkommen können diesen Beweis mithilfe von Bauklötzen nachahmen.

Abbildung 3

Winston Churchill sagte: „Kurze Wörter sind gut, und alte kurze Wörter sind am besten.“ Wir können diese elegante Argumentation neu formulieren: Alte Beweise sind gut und alte kurze Beweise sind die besten.

Grundprinzip Nr. 3: Der Wert von Gegenbeispielen

In der Mathematik ist es eine sehr harte Realität: Um eine allgemeine Aussage zu beweisen, ist eine allgemeine Argumentation erforderlich. aber um sie zu widerlegen, bedarf es nur eines besonderen Beispiels, das die Aussage widerlegt. Letztere werden Gegenbeispiele genannt, und ein gutes Gegenbeispiel ist Gold wert. Nehmen wir beispielsweise an, wir haben die folgende Vermutung.

Wir betonen, dass zum Beweis eines Theorems zwar 50 Seiten Argumentation erforderlich sein können, zur Widerlegung eines Theorems jedoch möglicherweise nur eine Zeile Gegenbeispiel ausreicht. Im Kampf zwischen Beweis und Widerlegung scheinen die Bedingungen nicht alle gleich zu sein. Ein Wort der Warnung: Gegenbeispiele zu finden ist nicht so einfach, wie es scheint. Die folgende Geschichte ist ein Beispiel.

Vor mehr als zwei Jahrhunderten vermutete Euler, dass man mindestens drei vollkommene Kuben addieren muss, um eine weitere vollkommene Kubeben zu erhalten, mindestens vier vollkommene vierte Potenzen, um eine weitere vollkommene fünfte Potenz zu erhalten, und so weiter.

Leser von Kapitel F sollten sich darüber im Klaren sein, dass dies ein Sonderfall des Großen Fermatschen Theorems (n=3) ist.

Wenn wir die Reihenfolge aufsteigend betrachten, können wir vier perfekte vierte Potenzen finden, deren Summe einer vierten Potenz entspricht. Betrachten Sie beispielsweise das folgende, keineswegs selbsterklärende Beispiel:

Euler vermutete, dass die Summe dreier vierter Potenzen keine weitere vierte Potenz ergeben würde, lieferte jedoch keinen Beweis. Im Allgemeinen sagte er, dass mindestens n n-te Potenzen benötigt werden, sodass ihre Summe einer anderen n-ten Potenz entspricht.

Dies galt im Jahr 1778 und gilt auch heute noch, fast zwei Jahrhunderte später. Wer an Euler glaubt, kann die Euler-Vermutung nicht durch einen Beweis bestätigen, wer jedoch nicht an Euler glaubt, kann kein spezielles Gegenbeispiel konstruieren, um sie zu widerlegen. Diese Frage ist ungeklärt.

Dann, im Jahr 1966, entdeckten die Mathematiker Leon Lander und Thomas Parkin das folgende Beispiel:

Dies zeigt, dass drei vierte Potenzen und nicht die vier vierten Potenzen, wie Euler sagte, auch eine vierte Potenz erzeugen können.

Der Aufwand und die erforderliche Computerleistung, um diese Gegenbeispiele zu finden, sind enorm. Dies führt offensichtlich zu einer Folgerung aus Grundprinzip Nr. 3: Manchmal ist es schwieriger, etwas zu widerlegen als etwas zu beweisen.

Grundprinzip Nr. 4: Sie können eine Verneinung beweisen

Beim Friseur oder im Fastfood-Restaurant hören wir oft dieses alte Sprichwort: Eine Verneinung kann man nicht beweisen. Auslöser könnte ein Gespräch wie dieses sein:

A: „In der Supermarkt-Boulevardzeitung stand, ein Kobold hätte einen Preis gewonnen.“

B: „So etwas wie einen Kobold gibt es nicht.“

A: "Was hast du gesagt?"

B: „Ich sagte, es gibt keine Kobolde.“

A: „Sind Sie sicher? Können Sie beweisen, dass es nicht existiert?“

B: „Natürlich… nein. Aber Sie können auch nicht beweisen, dass es existiert.“

Dieses Gespräch ist sehr lang. Mit anderen Worten wird behauptet, dass wir niemals beweisen können, dass es keine Kobolde gibt.

Mathematiker wissen es besser. Zu den größten und wichtigsten Schlussfolgerungen der Mathematik gehörte der Nachweis, dass bestimmte Zahlen, bestimmte Formen und bestimmte geometrische Strukturen nicht existieren und nicht existieren können. Um diese nicht existierenden Dinge zu beweisen, verwenden die Menschen die mächtigste Waffe, nämlich rationale und strenge Logik.

Die allgemeine Vorstellung, dass eine Negation unbeweisbar sei, ist grundsätzlich falsch. Um zu beweisen, dass es keine Kobolde gibt, müssten wir anscheinend jeden Stein in Irland und jeden Eisberg in der Antarktis umdrehen. Natürlich ist dies ein unmögliches Ziel.

Um logisch festzustellen, dass etwas nicht existiert, verwenden Mathematiker eine ganz andere, aber durchaus gute Strategie: Sie gehen davon aus, dass das Objekt existiert, und verfolgen dann die sich daraus ergebenden Konsequenzen. Wenn wir zeigen können, dass die Annahme der Existenz zu einem Widerspruch führen würde, dann erlauben uns die Gesetze der Logik den Schluss, dass die Annahme der Existenz, die wir im ersten Schritt getroffen haben, falsch war. Daher können wir die unbestreitbare Schlussfolgerung ziehen, dass dieses Ding nicht existiert, und gleichzeitig die Tatsache erklären, dass das Ergebnis, das wir durch einen indirekten Ansatz erhalten haben, richtig ist.

In Kapitel Q werden wir den berühmtesten Beweis der Nichtexistenz diskutieren: Warum Nichtexistenz gleichbedeutend ist mit

Punktzahl? Für unsere vorliegenden Zwecke reicht jedoch das folgende Beispiel aus.

Theorem: Es gibt kein Viereck mit den Seitenlängen 2, 3, 4 bzw. 10.

Eine praktische Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, besteht darin, die Stäbe auf diese Längen zu schneiden und zu versuchen, sie in eine vierseitige Form anzuordnen. Dies ist nur eine Erklärung, aber im logischen Sinne ist es dasselbe, als würde man einen Kobold unter einem Felsen finden. Auch wenn wir jahrelang erfolglos versucht haben, aus diesen vier Stäben ein Viereck zu bauen, können wir nicht ausschließen, dass es jemandem eines Tages gelingt, daraus ein Viereck zu bauen.

Der vernünftige Ansatz besteht darin, dass wir eine Negation indirekt beweisen möchten. Wir beginnen mit der Annahme, dass es ein Viereck mit den Seitenlängen 2, 3, 4 und 10 gibt, und versuchen dann, einen Widerspruch zu erzeugen. Dies ist ein strategischer Sprung.

Unser hypothetisches Viereck ist in Abbildung 4 dargestellt. Zeichnen Sie die gepunktete Diagonale, die das Viereck in zwei Dreiecke teilt, und lassen Sie die Länge dieser Diagonale sein. Wie in Kapitel G (Altgriechische Geometrie) erläutert, bewies Euklid, dass jede Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten. Also wissen wir in △ABC, dass 10＜4+x. Ähnlich verhält es sich bei △ADC, x＜2+3. Kombinieren wir diese beiden Ungleichungen, erhalten wir

10＜4+x＜4+(2+3)=9

Gemäß der obigen Ungleichung erhalten wir 10＜9. kommt nicht in Frage. Unsere anfängliche Annahme, dass dieses spezielle Viereck existiert, führt zu diesem Widerspruch, daher ist unsere Annahme ungültig.

Die Reihenfolge, in der die vier Seiten dieses Vierecks erscheinen (im Uhrzeigersinn), ist 10, 2, 3, 4. Es gibt andere Möglichkeiten, diese vier Kanten anzuordnen, wie in Abbildung 5 gezeigt, und dieselbe Argumentation führt auch zu einem Widerspruch. Zu diesem Zeitpunkt ist 10＜2+x＜2+(3+4)=9. kommt nicht in Frage.

Abbildung 4 und Abbildung 5

Sie müssen nicht ständig suchen und es macht keinen Sinn, das Layout ständig umzugestalten. Ein solches Viereck kann nicht existieren. Wir haben schließlich das Gegenteil bewiesen.

Der Beweis durch Widerspruch ist eine sehr gute Logikstrategie. Wenn wir annehmen, dass das Gegenteil von dem, was wir beweisen wollen, wahr ist, verfehlen wir offenbar unser eigenes Ziel. Aber letztendlich haben wir eine Katastrophe vermieden. Hardy bezeichnete den Beweis durch Widerspruch als „eine der besten Waffen des Mathematikers. Er ist jedem anderen Manöver des ersten Zuges im Schach weit überlegen: Der Schachspieler kann einen Bauern oder eine andere Figur opfern, aber der Mathematiker opfert das ganze Spiel.“

Frage: Werden Menschen noch benötigt?

Etwa in den 1970er und 1980er Jahren drang ein beunruhigendes Bild in das Bewusstsein der Mathematiker ein. Dabei handelt es sich um Computerbildgebung, die die Arbeit übernimmt, Theoreme mit Lichtgeschwindigkeit und praktisch keiner Gewissheit zu beweisen.

Was die gesamte mathematische Gemeinschaft vor ein Rätsel stellte, waren einige spätere Fälle, in denen Computer zum Beweis von Theoremen eingesetzt wurden. In diesen Situationen zerlegt sich ein Theorem oft in viele Unterfälle. Wenn jeder Unterfall bestätigt wird, kann der Schluss gezogen werden, dass das gesamte Problem gelöst wurde. Leider erfordert diese Analyse typischerweise die Betrachtung von Hunderten von Fällen und Zehntausenden von Berechnungen und es ist für Menschen unmöglich, alle Schritte zu wiederholen. Kurz gesagt, solche Beweise können nur von anderen Maschinen überprüft werden.

Im Jahr 1976 feierten Computerbeweise mit der Lösung der Vier-Farben-Vermutung einen dramatischen Einzug auf die mathematische Bühne. Die sogenannte Vier-Farben-Vermutung besagt, dass jede auf einer Ebene gezeichnete Karte mit vier (oder weniger als vier) Farben eingefärbt werden kann, sodass zwei beliebige Bereiche mit einer gemeinsamen Grenze in unterschiedlichen Farben dargestellt werden. (Beispielsweise möchten wir in Abbildung 6 nicht beide Bereiche A und B rot einfärben, da dadurch ihre gemeinsame Grenze verdeckt würde. Wir lassen zu, dass zwei Bereiche, die sich in einem Punkt schneiden, wie etwa die Bereiche A und C, in derselben Farbe eingefärbt werden, obwohl ein Punkt keine Grenze darstellt.)

Die Vier-Farben-Vermutung wurde 1852 aufgestellt und erregte im Laufe des folgenden Jahrhunderts große Aufmerksamkeit. Mehrere Probleme wurden schnell gelöst, beispielsweise die Tatsache, dass jede flache Karte mit Sicherheit mit fünf Farben eingefärbt werden konnte und die Tatsache, dass das Einfärben einer Karte mit drei Farben unzureichend war. Abbildung 7 zeigt eine solche Karte. In diesem Diagramm müssen wir den Bereichen A, B und C unterschiedliche Farben geben, da jedes Paar davon eine gemeinsame Grenze hat. Dann ist es jedoch unmöglich, Bereich D einzufärben, ohne eine vierte Farbe zu verwenden.

Fünf Farben sind also (wahrscheinlich) zu viel und drei nicht genug. Offensichtlich sind hierfür vier Farben erforderlich. Reichen vier Farben aus, um eine flache Karte einzufärben?

Unsere vorherige Diskussion hat gezeigt, dass es zur Lösung dieses Problems nur zwei Möglichkeiten gibt: Entweder man findet ein spezielles Gegenbeispiel, das eine spezielle Art von Karte ergibt, die nicht mit vier Farben eingefärbt werden kann, oder man erfindet einen allgemeinen Beweis dafür, dass jede Karte auf diese Weise eingefärbt werden kann. Für Mathematiker ist dieses Gegenbeispiel schwer zu finden. Jede Karte, die sie erstellten, konnte, egal wie kompliziert sie war, nur mit den Farben Rot, Gelb, Blau und Grün eingefärbt werden. (Leser mit Buntstiften möchten vielleicht gleich eine Karte skizzieren und es ausprobieren.)

Abbildung 6 und Abbildung 7

Wir haben uns jedoch wiederholt daran erinnert, dass es bei einem Beweis nicht einfach darum geht, ein paar Gegenbeispiele zu finden. Früher wären die Leute bei der Suche nach allgemeinen Schlussfolgerungen wie verrückt geworden, aber es stellt sich heraus, dass es in jedem Fall genauso schwierig ist, Gegenbeispiele zu finden. Die Situation ist zum Stillstand gekommen.

Später verkündeten Kenneth Appel und Wolfgang Haken von der University of Illinois, dass die Vier-Farben-Vermutung wahr sei, und schockierten damit die gesamte mathematische Gemeinschaft. Was die Leute schockierte, war nicht die Schlussfolgerung, sondern ihre Beweistechnik: Ein Computer erledigte den schwierigsten Teil des Beweises.

Appel und Haken gingen dieses Problem an, indem sie alle flachen Karten in bestimmte Typen einteilten und dann jeden Typ separat analysierten. Leider gibt es Hunderte von Typen, die überprüft werden müssen, und jeder davon bedeutet für einen Hochgeschwindigkeitscomputer einen erheblichen Arbeitsaufwand. Schließlich erklärte der Computer, dass die Vermutung zutreffe, dass alle möglichen Typen mit vier Farben eingefärbt werden könnten. Dieser Satz wurde bewiesen.

Ist das wahr? Fairerweise muss man sagen, dass sich zu dieser Zeit in der Mathematikergemeinde ein Gefühl der Unruhe breitmachte. Ist das ein korrektes Argument? Verwirrenderweise würde die Beantwortung dieser Frage einen echten Menschen aus Fleisch und Blut erfordern, der etwa 100.000 Jahre lang 60 Stunden pro Woche arbeitet, um die Berechnungen des Computers zu überprüfen. Selbst die gesündesten und optimistischsten Menschen können nicht so lange leben, und wer würde sich überhaupt diese Zeit nehmen wollen?

Was ist, wenn im Programm ein Fehler vorliegt? Was passiert, wenn ein Stromstoß dazu führt, dass der Computer einen kritischen Schritt überspringt? Was passiert, wenn das Hardwaredesign eines Computers einen seltenen, geringfügigen Fehler aufweist? Kurz gesagt: Können wir darauf vertrauen, dass Maschinengehirne uns die Wahrheit sagen? Der Mathematiker Ron Graham bringt es bei der Betrachtung dieser komplexen Fragen wie folgt auf den Punkt: „Die eigentliche Frage ist: Wenn niemand einen Beweis überprüfen kann, ist es dann wirklich ein Beweis?“

Bis heute gibt es auf diese Frage keine klare Antwort. Doch mit der zunehmenden Verbreitung computergestützter Beweise werden sich Mathematiker vielleicht etwas wohler mit ihrer Existenz fühlen. Man kann jedoch mit Fug und Recht behaupten, dass die meisten Mathematiker wahrscheinlich aufatmen würden, wenn es für den Vier-Farben-Satz einen kurzen, cleveren und eleganten Beweis auf zwei Seiten gäbe, statt sich auf die rohe Gewalt eines Computers zu verlassen. Traditionalisten wollen, dass die alte Mathematik nicht an das Stromnetz angeschlossen wird.

„Brauchen wir noch Menschen?“ Die Antwort auf diese Frage lautet zum jetzigen Zeitpunkt noch „Ja“. Schließlich muss jemand die Klimaanlage einschalten. Wir müssen jedoch zugeben, dass diese Ansicht möglicherweise voreingenommen ist, da ihre Vertreter selbst Menschen sind.

Damit schließen wir unsere Diskussion mathematischer Argumente ab. Natürlich gibt es noch viel mehr zu sagen, andere Themen müssen angesprochen und andere Grundprinzipien dargelegt werden. Doch die wichtigste Schlussfolgerung, zu der wir letztlich gelangt sind, lautet: Ob elegant oder umständlich, direkt oder indirekt, auf Computern oder menschlicher Arbeit beruhend, die Standards mathematischer Beweise unterscheiden sich von denen in jedem anderen Bereich menschlicher Aktivität.

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