Es bleibt für die Menschheit ein ungelöstes Rätsel.

π ist eine entscheidende Zahl in der Mathematik. Ich glaube, jeder kennt die Bedeutung von Pi (das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser) , aber wissen Sie, wie man den Wert von Pi berechnet? Wussten Sie, dass Sie Pi zu Hause mit gewöhnlichen Nadeln oder Hirse berechnen können?

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Klassische Methode zur Berechnung von Pi

Die Menschen der Antike erkannten schon vor langer Zeit, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser eine Konstante ist, und nahmen eine grobe Messung dieses Wertes vor. Die Messmethode bestand darin, den Umfang und den Durchmesser des Kreises separat direkt zu messen und dann zu vergleichen.

Da die in der Antike gezeichneten Kreise jedoch keine perfekten Kreise waren und die Messgenauigkeit unzureichend war, weist der mit dieser Methode ermittelte π-Wert einen großen Fehler auf. In der Tang-Dynastie schrieb Yang Jiong in seinem Artikel „Huntianfu“: „ Der Umfang der drei Kreise ist eins und der Durchmesser unterscheidet sich vom Himmelspol; der östliche Brunnen und der südliche Große Löffel unterscheiden sich hinsichtlich Krümmung und Geradlinigkeit von der Milchstraße .“ Es ist ersichtlich, dass die Menschen im Altertum glaubten, dass π=3 sei.

Tatsächlich erfand der chinesische Mathematiker Liu Hui bereits in der Zeit der Drei Reiche eine Methode zur genauen Berechnung von Pi: die Methode der Kreisteilung . Dies ist auch der erste iterative Algorithmus in der Geschichte der chinesischen Mathematik, der Pi mathematisch mit beliebiger Genauigkeit berechnet.

Prinzip der Kreisteilungsmethode: Grün ist ein Sechseck, Blau ist ein Zwölfeck. Man erkennt, dass die Fläche des Zwölfecks näher an der Fläche des Kreises liegt. Wenn die Anzahl der Seiten weiter zunimmt, nähert sich seine Fläche dem Kreis an.

Bildquelle: Wikipedia

Liu Huis Methode zur Unterteilung eines Kreises basiert auf der Formel zur Berechnung der Kreisfläche S=πR².

Bei der Methode zur Teilung eines Kreises wandte Liu Hui die Idee der Grenze an. Er glaubte, dass , wenn ein Kreis wie in der obigen Abbildung gezeigt in Polygone unterteilt wird, die Polygone umso mehr Seiten haben, je feiner die Unterteilung ist, und dass sich die Fläche der Polygone immer mehr der Fläche des Kreises annähert, bis am Ende kein Unterschied mehr besteht . Durch Berechnung der Fläche des Polygons können wir dann den Wert von π ermitteln.

Zu Chongzhi, ein berühmter Mathematiker der Nördlichen und Südlichen Dynastien, verwendete Liu Huis Methode, einen Kreis elfmal in 12.288 Polygone zu unterteilen, und erhielt den Pi-Wert π=3,1415926, der fast tausend Jahre lang der genaueste Pi-Wert der Welt war.

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Diese Methoden zur Berechnung von Pi sind ziemlich interessant

Neben der Verwendung geometrischer Methoden gibt es auch einige interessante Möglichkeiten, Pi zu berechnen, beispielsweise die Verwendung einer Nadel oder Hirse zur Berechnung von Pi, wie im vorherigen Artikel erwähnt.

Im 18. Jahrhundert stellte der Mathematiker Buffon die folgende Frage: Angenommen, wir haben einen Boden, der mit parallelen und äquidistanten Holzmaserungen gepflastert ist (wie unten gezeigt). Werfen Sie nun zufällig eine Nadel, deren Länge kleiner ist als der Abstand zwischen den Holzmaserungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine der Holzmaserungen kreuzt? Dies ist das Buffon-Nadelproblem .

Buffons Nadelproblem Bildquelle: Wikipedia

Die Lösung von Buffons Nadelwurfrätsel erfordert gewisse Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Infinitesimalrechnung. In diesem Artikel wird der Ableitungsprozess nicht im Detail beschrieben. Wenn die Länge der Nadel l ist, die Länge zwischen den parallelen Linien t ist und t>l ist, können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass sich die Nadel und die Textur schneiden:.

Wenn wir beim eigentlichen Nadelwurfprozess die Nadel n-mal werfen und h davon nur die Textur kreuzen, dann zu diesem Zeitpunkt. An diesem Punkt können wir wissen, dass das berechnete π umso genauer ist, je mehr Nadeln tatsächlich geworfen werden.

Da diese Methode zur Berechnung des π-Werts ein mehrmaliges Werfen der Nadeln erfordert, kann sie gefährlich sein. Als nächstes werde ich Ihnen eine risikofreie Methode zur Berechnung von π vorstellen, bei der Sie nur ein Stück Papier und Hirse verwenden – die Monte-Carlo-Methode mit der Kreisflächenformel .

Angenommen, wir haben ein quadratisches Blatt Papier mit einer Seitenlänge von 1. Zeichnen Sie einen Viertelkreis auf das Papier, wobei ein Scheitelpunkt des Quadrats der Mittelpunkt und die Seitenlänge des Quadrats der Radius ist. Wenn wir also zufällig einen Punkt auf dem Quadrat auswählen, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Punkt innerhalb des Viertelkreises liegt?

Ich glaube, dass kluge Leser die Antwort auf diese Frage bereits gegeben haben, nämlich dass die Fläche eines Viertelkreises gleich der Fläche eines Quadrats ist, d. h. P=π/4. Wenn wir n Punkte würfeln und h davon in einem Viertelkreis liegen, dann wissen wir es.

Zufälliges Werfen von Punkten, um den Wert von π zu schätzen. Bildquelle: wikipedia-nicoguaro

Um jedoch einen ausreichend genauen Wert von π zu erhalten, muss die Anzahl der Würfe n sehr groß sein, weshalb dieses Experiment normalerweise auf einem Computer durchgeführt wird. Wenn wir für dieses Experiment Hirse und Papier verwenden, kann das Zählen der Hirse sehr lange dauern (natürlich stellt es auch eine Herausforderung für unser Sehvermögen dar).

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Pi, überall

Pi hat in der Mathematik eine sehr wichtige Bedeutung und wird nicht nur zur Berechnung der Kreisfläche verwendet. Es kommt oft vor, dass π plötzlich bei Problemen auftaucht, bei denen man es am wenigsten erwartet. Beispielsweise ein bekanntes Problem in der Mathematik: das Basel-Problem .

Das sogenannte Basler Problem besteht darin, die Summe der folgenden Reihen zu finden:

.

Dieses Problem wurde erstmals 1644 von Pietro Mengoli vorgeschlagen und 1735 vom großen Mathematiker Euler gelöst. Man kann relativ einfach berechnen, dass die Summe dieser Reihe ungefähr 1,644934 ist.

Mathematiker hatten nie darüber nachgedacht, wie diese Reihe mit π zusammenhängen könnte. Eulers Beweis aus dem Jahr 1735 zeigte jedoch, dass die Summe der Reihe ist. Dies schockierte die mathematische Gemeinschaft und machte Euler berühmt.

Diese Reihe wurde später von Riemann verallgemeinert, der die Riemannsche Zetafunktion definierte, die den Kern der „ Riemannschen Vermutung “ darstellt, einem der größten Probleme der Mathematik.

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Moderne Methode zur Berechnung von Pi

Nach dem Lesen des vorherigen Abschnitts haben sich einige Leser vielleicht Folgendes gefragt: Können wir diese Formel zur Berechnung von π verwenden?

Schließlich scheint die Berechnung des Kehrwerts und des Quadrats natürlicher Zahlen einfacher zu sein als das Schneiden eines Kreises und zuverlässiger als das Werfen von Nadeln oder Hirse. Die Antwort auf diese Frage ist natürlich ja. Heutzutage wird die Berechnung von π durch Anwendung der Reihenmethode gelöst.

Allerdings ist die Wirkung der Verwendung von Reihen zur Berechnung von π nicht sehr gut. Die auf Hunderte von Termen berechnete Genauigkeit von π ist immer noch nicht so hoch wie die von Zu Chongzhi. Zu dieser Zeit änderte das Auftauchen eines Genies dieses Phänomen. Er war das mathematische Genie: Srinivasa Ramanujan .

Er ist es gewohnt, Formeln intuitiv abzuleiten (oder Schritte zu überspringen oder es als Zahlensinn zu bezeichnen) und führt nicht gern Beweise an, aber seine Theorien erweisen sich im Nachhinein oft als richtig (Studenten und Freunde sollten nicht versuchen, von ihm zu lernen, da Sie in diesem Fall keine Punkte in der Prüfung bekommen).

Ramanujan leistete große Beiträge zur Mathematik, starb jedoch leider bereits im Alter von 32 Jahren. Sein früher Tod ist, ebenso wie der von Galois, der mit 20 Jahren starb, und Abel, der mit 26 Jahren starb, ein großer Verlust für die mathematische Gemeinschaft.

Warum gilt er als mathematisches Genie? Sehen wir uns einige Formeln an, von denen er angeblich „geträumt“ hat.

Einige Formeln von Ramanujan

Basierend auf Ramanujans Arbeit schlugen Mathematiker die allgemein verwendete Formel zur Berechnung von Pi vor: die Chudnovsky-Formel . Mit dieser Formel kann die Berechnung eines Terms mehr als ein Dutzend Terme von π ergeben. Mit dieser Formel haben Mathematiker nun 62,8 Billionen Stellen von π berechnet.

Chudnovsky-Formel

Darüber hinaus gibt es einige sehr interessante Formeln zur Berechnung von Pi, wie etwa die Bailey-Bohlwin-Plouffe-Formel (BBP-Formel) , mit der jede Ziffer von Pi im Hexadezimalsystem berechnet werden kann, ohne die vorherigen Ziffern zu berechnen, wodurch eine gemeinsame Berechnung von Pi möglich wird.

BBP-Formel

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Kann Pi vollständig berechnet werden?

Von der Antike bis heute haben Mathematiker erwartet, dass π einige besondere Eigenschaften besitzt, wie etwa, dass es bis zum Ende berechnet werden kann, dass es sich nach einer bestimmten Position wiederholt oder dass es als einfachere algebraische Ausdrücke ausgedrückt werden kann.

Diese Hoffnung wurde jedoch durch die im vorherigen Artikel erwähnte von Galois begründete Gruppentheorie schwer zerstört. Diese Theorie zeigt, dass π eine transzendente Zahl ist, d. h., π ist nicht die Wurzel einer algebraischen Gleichung und kann nicht in Form eines algebraischen Ausdrucks ausgedrückt werden, der aus algebraischen Zahlen endlicher Länge besteht. Wir können nur die oben erwähnten unendlichen Reihen oder Integrale verwenden, um den Wert von π genau darzustellen.

Allerdings gibt es in der mathematischen Gemeinschaft eine neue Vermutung zu π. Sie glauben, dass π eine „ normale Zahl “ ist, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zahlen in π vorkommen, gleich ist. Diese Vermutung konnte nicht bewiesen werden.

Allerdings haben Informatiker durch vollständige Aufzählung bewiesen, dass π alle 8-stelligen Zahlen enthält. Dies bedeutet, dass unsere Geburtstage, unsere Abschlussfeiern, unsere Hochzeitstage ... alle Daten in π angezeigt werden. Prüfen Sie doch gleich, zu welcher Zahl in π Ihr Geburtstag gehört.

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Müssen wir Pi kennen?

Die aktuelle Berechnung von Pi hat den Rahmen der praktischen Anwendung tatsächlich weit überschritten. Der Fehler bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises, der dem Radius der Pluto-Umlaufbahn entspricht, mit Pi und Dutzenden von Ziffern ist bereits geringer als die Größe eines Atomkerns.

Derzeit wird die Berechnung von Pi hauptsächlich verwendet, um die Rechenleistung von Supercomputern zu testen . Genau wie das Finden von Mersenne-Primzahlen und Primzahlzwillingen ist die Berechnung von Pi ein „großer Test“, den ein Supercomputer bestehen muss. Allerdings können selbst die leistungsstärksten Computer π nicht vollständig berechnen. In π sind noch immer unendlich viele Geheimnisse verborgen, die darauf warten, von den Menschen erforscht zu werden.

Vielleicht kann die Menschheit eines Tages Liu Hui, Zu Chongzhi, Euler, Ramanujan und vielen anderen Vorgängern stolz sagen: „Wir haben π vollständig verstanden.“

Dieser Artikel wurde von Science Popularization China erstellt und von der China Science Popularization Expo betreut.

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