Zwei wichtige Entdeckungen von Amateuren verhalfen der kombinatorischen Mathematik zu einem entscheidenden Durchbruch

Im März 2023 veröffentlichte ein kleines Team aus professionellen Mathematikern und Enthusiasten eine wichtige Arbeit, in der sie eine „Hut“-Figur entdeckten, die das „Einstein-Problem“ im Bereich der Ebenenparkettierung lösen kann. Nur drei Monate später gingen sie einen Schritt weiter und fanden ein nichtperiodisches Mosaikmuster auf der Grundlage des Hutes, das keine Spiegelsymmetrie erforderte. Und diese erstaunlichen Entdeckungen begannen mit einem begeisterten Amateurmathematiker.

Geschrieben von | Jiawei

„Es war direkt vor unseren Augen versteckt.“

—Doris Schattschneider, emeritierte Professorin für Mathematik, Moravian University, Pennsylvania

Mitte November 2022 hatte der pensionierte Drucktechniker David Smith viel Zeit für eine seiner Lieblingsbeschäftigungen: das Basteln und Gestalten von Puzzleteilen.

Mithilfe eines Softwarepakets namens PolyForm Puzzle Solver konstruierte er eine unscheinbar aussehende Fliese (Pflasterstein) in Form eines Hutes. Er wollte sehen, ob er eine flache Oberfläche nur mit Fliesen dieser Form bedecken konnte, ohne Lücken oder Überlappungen zu hinterlassen.

„Mir fiel auf, dass es einen Mosaikeffekt erzeugte, den ich noch nie zuvor gesehen hatte“, sagte er. „Es ist eine knifflige kleine Kachel.“

Er beschrieb seine Arbeit seinem gleichgesinnten Freund, dem Informatiker Craig Kaplan von der University of Waterloo in Kanada, der eine Möglichkeit erkannte. Smith und Kaplan luden dann zwei weitere Forscher ein, sich ihrem Team anzuschließen: den Mathematiker Chaim Goodman-Strauss vom National Museum of Mathematics und der University of Arkansas sowie den Softwareentwickler Joseph Samuel Myers aus Cambridge, England.

Myers, der einen Doktortitel besitzt. in kombinatorischer Mathematik, widmete sofort seine gesamte Freizeit der Analyse der hutförmigen Kacheln und lieferte den entscheidenden Beweis in etwas mehr als einer Woche. „Wir waren alle wirklich schockiert, wie schnell er es herausgefunden hat“, sagte Kaplan.

Am 20. März 2023 gab das vierköpfige Team der mathematischen Gemeinschaft offiziell bekannt, dass es die Lösung für das sogenannte „Einstein-Problem“ gefunden habe: Die von Smith entdeckten hutförmigen Kacheln und die Kachelfamilie, die durch die kontinuierliche Transformation der hutförmigen Kacheln erzeugt wird (mit wenigen Ausnahmen), sind allesamt Kacheln in Einzelform, die die gesamte Ebene nichtperiodisch kacheln können. [Warum wird es das „Einstein“-Problem genannt? Bitte siehe unten. ］

Verwenden Sie „Hüte“, um die gesamte Ebene nicht periodisch zu tessellieren.丨Bildquelle: @[email protected]

Die gesamte Mathematikergemeinde war damals schockiert. Wissen Sie, im letzten halben Jahrhundert ist es den Mathematikern nicht gelungen, auch nur eine einzige Kachel zu finden, mit der man die gesamte Ebene nichtperiodisch kacheln könnte. Infolgedessen fanden Smith und andere in weniger als einem halben Jahr unendlich viele Gruppen.

Was die mathematische Gemeinschaft außerdem vor ein Rätsel stellt, ist die Tatsache, dass es sich bei dem hutförmigen Stein, der als Ausgangspunkt ihrer Forschung diente, eigentlich um einen ganz gewöhnlichen Dreizehneckstein handelte.

Hutförmige Fliesen | Bildquelle: @[email protected]

Darüber hinaus hätte sich damals niemand – auch nicht die vier oben genannten Personen, die wichtige Entdeckungen machten – vorstellen können, dass sie nur zwei Monate später die mathematische Welt erneut schockieren würden.
Nichtperiodische Tessellation und Einsteins Problem

Tiling, im Allgemeinen als Pflasterung, flache Pflasterung oder dichte Pflasterung übersetzt, ist ein großer Zweig im Bereich der kombinatorischen Mathematik. Die Grundidee besteht darin, mit bestimmten Formeinheiten einen bestimmten geometrischen Bereich ohne Lücken und Überlappungen abzudecken – das kann eine Ebene oder ein Raum sein; Bei letzterem werden jedoch die für die Kachelung verwendeten Einheiten von zweidimensionalen Kacheln in dreidimensionale oder höherdimensionale „Bausteine“ geändert.

Beispielsweise können wir eine zweidimensionale Ebene „einfach“ mit Einheitsquadratkacheln kacheln. Natürlich ist die tatsächliche Operation unrealistisch, aber das mathematische Denken gibt uns eine freie Möglichkeit und lässt uns rational erkennen, dass die Kachelung der gesamten zweidimensionalen Ebene mit Einheitsquadratkacheln im Wesentlichen einfach ist, auch wenn der Prozess der Realisierung unendlich viel Zeit in Anspruch nimmt. In ähnlicher Weise ist eine gerade Linie ein Liniensegment, das sich in beide Richtungen unendlich erstreckt, und wir können das Konzept einer geraden Linie, die Unendlichkeit beinhaltet, tatsächlich erfassen und als Grundlage der ebenen Geometrie verwenden.

Wenn wir etwas genauer darüber nachdenken, können wir auch feststellen, dass regelmäßige Sechsecke die Ebene auch dicht kacheln können. In ähnlicher Weise kann auch ein gleichseitiges Dreieck verwendet werden. Die folgende Parkettierung ist das einfachste und offensichtlichste Beispiel einer periodischen Parkettierung.

Periodisches Pflastermuster aus regelmäßigen sechseckigen Fliesen | Quelle: Internet

Das Einstein-Problem, das wir vorstellen werden, gehört zur aperiodischen Parkettierung, die üblicherweise als „nichtperiodische Parkettierung“ übersetzt wird. Die sogenannte „nichtperiodische Pflasterung“ bedeutet, dass der verwendete Fliesensatz so gepflastert werden muss, dass das entstehende Mosaikmuster nicht periodisch ist. Offensichtlich können quadratische und regelmäßige sechseckige Kacheln eine Ebene nur periodisch kacheln, nicht jedoch nicht-periodisch. Es ist auch leicht, intuitiv zu denken, dass Kacheln, die eine Ebene nicht periodisch kacheln können, asymmetrische Eigenschaften haben sollten, wie beispielsweise die oben erwähnten hutförmigen Kacheln. Es ist hier zu beachten, dass wir mit der Aussage, dass das Muster nicht periodisch ist, meinen, dass es, sobald die Form der verwendeten Kacheln festgelegt ist, unmöglich ist, ein global periodisches Muster zu erstellen, unabhängig davon, wie sie angepasst, kombiniert oder gestaltet werden. Dies wird als nichtperiodische Kachelung bezeichnet und viele Kacheln (Keramikkacheln) sind sowohl periodisch als auch nichtperiodisch. Daher können wir aperiodische Kachelung als „im Wesentlichen nichtperiodische Kachelung“ übersetzen, d. h. als Kachelung, bei der überhaupt keine Periodizität vorhanden ist. Sofern nicht anders angegeben, bezieht sich die unten erwähnte „nichtperiodische Kachelung“ auf „intrinsisch nichtperiodische Kachelung“.

Der Grund, warum Mathematiker eine so strenge Definition der Nichtperiodizität festgelegt haben, liegt einerseits darin, einige geometrische Strukturen auszuschließen, die zu gewöhnlich und langweilig sind, und andererseits hängt dies mit den historischen Ursprüngen der nichtperiodischen Kachelung zusammen. Der erste Mathematiker in der Geschichte, der nichtperiodische Parkettierungen systematisch untersuchte, war der herausragende chinesisch-amerikanische mathematische Logiker Wang Hao.

Beim Studium der berechenbaren Turing-Funktionen entdeckte Wang Hao, dass ein bestimmter Entscheidbarkeitssatz eng mit der nichtperiodischen Parkettierung zusammenhängt. An einer Stelle versuchte er, die folgende Vermutung zu beweisen: Wenn es eine (allgemein gesprochen) nichtperiodische Parkettierung eines bestimmten Typs von Kacheln gibt, dann muss es auch eine periodische Parkettierung geben.

Doch nicht lange danach konstruierte Wang Haos Student Robert Berger ein Gegenbeispiel. Er verwendete 20.426 verschiedene Kacheln, um eine im Wesentlichen nichtperiodische Kachelung zu konstruieren – egal, wie sie neu angeordnet wurden, es entstand keine periodische Struktur. Seitdem widmen Mathematiker der wesentlichen nichtperiodischen Parkettierung weiterhin ihre Aufmerksamkeit. Mathematiker möchten gern wissen, ob nichtperiodische Kacheln mit einer geringeren Anzahl von Kachelsätzen erstellt werden können.

Später gelang es den Menschen, die Zahl 20.426 auf einen Satz von 92 Kacheln zu reduzieren, dann auf 6 und schließlich auf 2, die berühmten Penrose-Kacheln, benannt nach Roger Penrose, einem späteren Nobelpreisträger für Physik.

Die letzte große Entdeckung einer intrinsisch nichtperiodischen Parkettierung geht auf das Jahr 1974 zurück, als der Mathematiker Roger Penrose die Penrose-Rhombus-Parkettierung entdeckte, bei der ein Drachen (hellgelb) und ein Pfeil (rot) verwendet wurden. Technische Details: Eine kleine Änderung des Musters ist erforderlich, um die Bildung der Rauten auf der rechten Seite zu vermeiden (kongruente Rauten können die Ebene natürlich periodisch kacheln), um die Definition der wesentlichen „nichtperiodischen Kachelung“ zu erfüllen.丨Quelle:
https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf

Ist es also möglich, die Zahl auf 1 zu reduzieren?

Dies ist das berühmte Einstein-Problem: Gibt es eine einzige Kachelform, mit der die gesamte Ebene nichtperiodisch gefliest werden kann?

Der hier erwähnte Einstein hat nichts mit dem berühmten Physiker zu tun. Es handelt sich lediglich um ein Wortspiel des deutschen Geometers Ludwig Danzer: Im Deutschen bedeutet „ein Stein“ „ein Stück Stein“.

Zurück zum Anfang der Geschichte: Ende März 2023 lösten David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss das Einstein-Problem.

Aber die Geschichte ist hier nicht zu Ende.

Kunst, Inspiration und das letzte Puzzleteil

Tatsächlich, als Smith et al. hutförmige Kacheln für nichtperiodische Kacheln verwendet haben, mussten sie hutförmige, spiegelsymmetrische Kacheln verwenden. Im vorliegenden Kontext gehen wir davon aus, dass es sich bei zwei spiegelsymmetrischen Kacheln um Kacheln desselben Typs und derselben Form handelt.

Alle oben abgebildeten Kacheln haben die gleiche Form (es handelt sich um sogenannte Hüte). Mithilfe der Färbung können jedoch einige Strukturen sichtbar gemacht werden: Die dunkelblaue Fliese ist ein Spiegelbild der anderen Fliesen. Jede dunkelblaue Kachel ist auf die gleiche Weise von drei anderen hellblauen Kacheln umgeben.丨Bildquelle: @[email protected]

Genauso wie die linke und die rechte Hand spiegelsymmetrisch sind, ist es unmöglich, durch Rotation und Translation eine Überlappung der linken und rechten Hand zu erreichen. Auch lassen sich zwei spiegelsymmetrische Kacheln nicht durch Rotation oder Translation ineinander überführen. Kann man in diesem Fall wirklich von „einzelnen“ Kacheln sprechen?

Nachdem die Ergebnisse von Smith und anderen in der mathematischen Gemeinschaft allgemein anerkannt waren, tauchte sofort eine neue Frage auf: Ist es möglich, Kacheln mit einer wirklich einheitlichen Form zu finden, die ohne die Hilfe von Spiegelsymmetrie, nur durch Rotation und Translation, nicht periodisch gekachelt werden können?

Damals dachte jeder, dass dieses Folgeproblem äußerst schwierig sein würde und niemand erwartete in naher Zukunft einen Durchbruch. Niemand hätte sich vorstellen können, dass die Antwort direkt vor aller Nase lag …

Am frühen Morgen des 30. Mai 2023 (Pekinger Zeit) veröffentlichten David Smith, Joseph Samuel Myers und vier andere eine 23 Seiten umfassende neue Abhandlung mit dem Titel „Achiral aperiodic monotile“ (die vorherige Abhandlung über „hutförmige“ Kacheln war 89 Seiten lang) und verkündeten, dass sie die endgültige Antwort gefunden hätten.

Sie fanden Kacheln mit einer echten Einzelform, die allein durch Rotation und Translation ohne die Hilfe von Spiegelsymmetrie nichtperiodisch gekachelt werden können. Sie nannten es „Spectre“.

Die magische und einfache Geisterkachel ist ein streng chiraler aperiodischer Simplex, was bedeutet, dass sie nur durch Translationen und Rotationen in ein sich nicht wiederholendes Muster gekachelt werden kann. selbst wenn Sie spiegelreflektierende Kacheln verwenden möchten, können Sie diese nicht verwenden.丨Bildquelle: @[email protected]

Nachdem Kaplan das Papier hochgeladen hatte, war er immer noch nicht zufrieden und teilte aufgeregt viele Details seiner neuesten Arbeit in der Mathematik-Online-Community mathstodon mit, darunter Inspirationsquellen, Denkweisen, Beweisideen usw.

Wie bereits erwähnt, entdeckten sie nicht einen einzigen Kachel-Simplex, der Einsteins Problem löst, sondern eine unendliche Menge von Kacheln, bei denen es sich ausschließlich um polygonale Kacheln handelt, die Einsteins Problem lösen. Nachdem sie einen Hut konstruiert hatten, der die Bedingungen erfüllte, passten sie die Kanten des Hutes leicht an, um ähnliche Formen zu erzeugen, die ebenfalls die Bedingungen erfüllten.

Kaplan et al. stellte fest, dass die Form dieser polygonalen Kacheln unter bestimmten Regeln tatsächlich eindeutig durch die Länge zweier ihrer Seiten bestimmt werden kann. Sie stellen diese Polygone daher als Kachel (a, b) dar, wobei a und b Zahlenwerte bestimmter Seitenlängen sind.

In dieser Darstellung ist der Hut Kachel (1, √3). Darüber hinaus ist Tile (√3, 1) auch eine sehr beliebte Konfiguration. Es hat auch einen populären Namen – Schildkröte (was sich auf sein intuitives Aussehen bezieht). Schildkröten können auch eine nichtperiodische Parkettierung erreichen. Bei Kachel (a, b) handelt es sich bei der resultierenden Kachelkonfiguration immer um eine nichtperiodische Kachelung, wenn a und b kontinuierlich innerhalb eines bestimmten Bereichs variieren.

Andererseits kann gezeigt werden, dass das Polygon Tile (1, 1) mit gleich langen Seiten eine bemerkenswerte Ausnahme von der bisherigen Konstruktion hutförmiger Tiles (unter Verwendung spiegelsymmetrischer Tiles) darstellt und nicht im Wesentlichen aperiodisch ist.

Doch allein mit den oben genannten Erkenntnissen lässt sich kein Durchbruch erzielen. Die Inspiration für den Durchbruch kam aus völlig unerwarteten künstlerischen Bereichen.

Der japanische Mosaikkünstler, Grafiker und Designer dreidimensionaler Installationen Yoshiaki Araki interessiert sich für Fliesenmosaike und Parkettmuster, die aus der Hutserie abgeleitet sind. Er hat eine Demo geteilt, die den Kacheleffekt der Kachel Tile (1, 1.01) zeigt.

Obwohl David Smith, eines der vier Teammitglieder, keinerlei mathematischen Hintergrund oder pädagogische Ausbildung hatte, besaß er ein außergewöhnlich gutes Gespür für geometrische Rätsel (vergessen Sie nicht, dass er als Erster auf die Hutform kam). Als er das Demonstrationsprogramm von Yoshiaki Araki sah, wurde ihm klar, dass die Kachel Tile (1, 1) möglicherweise Eigenschaften haben könnte, die weiter erforscht werden könnten.

Sobald Sie die richtige Richtung gefunden haben, scheint alles klar zu werden. Sie entdeckten, dass die endgültige Antwort direkt vor ihrer Nase lag: Wenn zum Legen von Kacheln nur Translation und Rotation verwendet werden dürfen, dann kann Kachel (1, 1) nichtperiodisch sein!

Der Grund, warum Tile (1, 1) zunächst nicht erfolgreich war, lag darin, dass sie es in der gleichen Konfiguration wie die Hutform platzierten, was eine Spiegelsymmetrie ermöglichte. Wenn wir die Verwendung spiegelsymmetrischer Kacheln (1, 1) beschränken, können wir tatsächlich eine nichtperiodische Tesselation erreichen! Sie nannten Tile (1, 1) eine „schwach chiralitätserhaltende aperiodische Einzelkachel“. Denn wenn es die Hinzufügung spiegelsymmetrischer Kacheln erfordert, darf es nicht intrinsisch aperiodisch sein! Dies ist die Bedeutung des „schwach“ in „schwache Chiralität“.
Bisher haben sie tatsächlich eine Kachel mit einer einzigen Form gefunden, die ohne die Hilfe von Spiegelsymmetrie, sondern nur durch Rotation und Translation nichtperiodisch gekachelt werden kann.

Doch einige Mathematiker waren noch nicht zufrieden. Sie versuchten, eine „stark chirale, aperiodische Einzelkachel“ zu finden, was im Grunde bedeutet, dass man spiegelsymmetrische Kacheln nicht verwenden kann, selbst wenn man sie hinzufügen dürfte! Um eine Ebene dicht zu kacheln, können wir nur Kacheln einer einzigen Chiralität verwenden, und diese sind notwendigerweise nicht periodisch. Sie nutzten die praktische Eigenschaft der gleichseitigen Kanten von Kachel (1, 1) und modifizierten deren Kanten geschickt, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, und erhielten so Spectre.

Bildquelle: Referenz [3]

Um zu beweisen, dass „Geister“ die Bedingungen erfüllen, dachten sie zunächst, dass es schwierig sein würde, Berechnungen mit „Geistern“ durchzuführen, da es sich nicht um Polygone wie die vorherigen Hüte und Schildkröten handelte. Doch Joseph entdeckte, dass jede Kachelung der Geister einer gemischten Kachelung aus Hüten und Schildkröten entsprach, was es ihnen ermöglichte, in der wunderschönen, diskreten Welt des Drachengitters zu arbeiten.

Zeigt die Äquivalenz zwischen dem oben beschriebenen Geist und der Hut+Schildkröte-Kombination.丨Bildquelle: Ein chirales aperiodisches Monotil (uwaterloo.ca) [Bitte gehen Sie zum öffentlichen Konto „Fanpu“, um das Video anzusehen]

Sie zeigen, dass Geister zu einem hierarchischen Substitutionssystem zusammengesetzt werden können, d. h., in jeder von Geistern gebildeten Kachelung ist jeder Geist in einer unendlichen Hierarchie einzigartiger, zunehmend größerer Superkacheln enthalten. Ein Superblock ist eine größere Form, die durch die Kombination mehrerer „Geister“ nach bestimmten Regeln entsteht. Dieses hierarchische Substitutionssystem stellt sicher, dass die Geister nicht periodisch sind, d. h. es ist unmöglich, Parkettierungen mit sich wiederholenden Einheiten zu bilden.
Die genaue Definition der „alternativen Kacheltechnologie“ lässt sich selbst für Experten auf diesem Gebiet nur schwer klar ausdrücken, doch die grundlegende Idee ist sehr leicht zu verstehen: Man verwendet einen Satz von Regeln, um kleine Blöcke zu großen Blöcken zusammenzusetzen, und verwendet dann dieselben Regeln, um große Blöcke zusammenzusetzen, und so weiter, bis schließlich ein Muster entsteht, das die gesamte Ebene abdeckt. Manchmal werden auch alternative Kacheln verwendet, um nichtperiodische Tessellationen zu definieren.

Eine Alternative zur Kacheltechnologie, bei der mehrere kleine Kacheln verwendet werden, um ähnliche große Kacheln zu erstellen.丨Bildquelle: arXiv:
https://arxiv.org/abs/2305.17743.

Das vierköpfige Team nannte das Problem, das sie gerade gelöst hatten, das „Vampir-Einstein-Problem“. Was bedeutet das?
Die ursprüngliche Bedeutung von Vampir ist Vampir. Es heißt, Vampire hätten kein Spiegelbild. Die obige witzige Bemerkung lässt sich also mit „Einstein-Problem ohne Spiegel“ übersetzen.

Überlegungen und ergänzende Anmerkungen

Das Papier von David Smith und anderen wurde erst vor kurzem eingereicht und seine Richtigkeit erfordert noch einige Zeit für eine gründliche Überprüfung. Allerdings reicht eine solche mathematische Untersuchung, bei der konkrete Objekte direkt konstruiert werden, oft aus, um in kurzer Zeit festzustellen, ob etwas richtig ist oder nicht. Nun scheint die mathematische Gemeinschaft ihre Schlussfolgerungen anerkannt zu haben.

Bereits Ende März, als sie ihre erste Arbeit zu Einsteins Problem veröffentlichten, erregte sie große Aufmerksamkeit. Zu den Anhängern zählen nicht nur Mathematiker, sondern auch zahlreiche Künstler. Neben Grafikdesignern und Rätselbegeisterten gibt es sogar Komponisten, die versuchen, den Algorithmus zur Erzielung einer nichtperiodischen Tesselation in Melodien umzusetzen und so mit einer neuen Form von Musik zu experimentieren.

Am 20. Juli 2023 war ich überrascht, als ich erfuhr, dass White Hag, eine berühmte irische Biermarke, eine Bierdose mit einem nicht periodischen „Hut“-Design aus Kacheln auf den Markt brachte.

Diese große Aufmerksamkeit brachte letztendlich unerwartete Vorteile für die Entwicklung der Mathematik – der endgültige Beweis wurde durch die Arbeit des japanischen Künstlers Yoshiaki Araki inspiriert.

Abgesehen von den Autoren des Artikels ist dieser japanische Künstler derzeit die glücklichste Person. Einen Tag nach der Veröffentlichung des Artikels teilte er mit großer Freude einen Screenshot des Artikels in den sozialen Medien, da mehrere Autoren seinen Namen in den Danksagungen erwähnten.

Ein weiterer Punkt, über den es sich nachzudenken lohnt, ist die Schlüsselrolle, die David Smith, ein Amateurmathematiker, bei diesem großen mathematischen Durchbruch spielte.

Tatsächlich ist dies bei weitem nicht das erste Mal, dass Amateuren große Durchbrüche auf dem Gebiet der Collagegeometrie gelungen sind. Robert Ammann, ein Postsortierer, entdeckte in den 1970er Jahren unabhängig davon mehrere nichtperiodische Parkettierungen sowie eine systematische Methode zur Erzeugung nichtperiodischer Parkettierungen, die sogenannten Ammann-Balken. 1975 entdeckte die kalifornische Hausfrau Marjorie Rice eine neue Familie fünfeckiger Fliesen. und dann entdeckte Joan Taylor die sogenannten Socolar-Taylor-Kacheln.

So sehr, dass ein Mathematiker scherzte, dass in einem bestimmten Gebiet der Mathematik (die „spezifische Mathematik“ ist hier ein Begriff ähnlich der „angewandten Mathematik“, einer Kategorie. Er bezieht sich auf mathematische Inhalte, die intuitiv sichtbar und mit Computern verbunden sind) der vielleicht größte Unterschied zwischen Amateuren und professionellen Mathematikern darin besteht, dass erstere „nicht wissen müssen, wie schwierig das Problem ist“, sodass sie unerwartete und wunderbare Entdeckungen machen können.

Hier möchte ich Ihnen einfach eine Frage zum Nachdenken geben, ein klassisches Domino-Kachelproblem, für dessen Lösung im Grunde keine mathematischen Kenntnisse erforderlich sind:

Abschließend gibt es noch viel mehr zur Tessellation zu sagen. Obwohl wir uns dieses Mal beispielsweise auf die nichtperiodische Tessellation konzentrieren, bedeutet das nicht, dass die periodische Tessellation ein unwichtiges Thema ist. Erst im Jahr 2015 entdeckten Mathematiker mithilfe von Computern das 15. und letzte Fünfeck, das periodisch tesseliert werden kann, und fanden so alle periodischen Polygone mit einfacher Tesselierung.

Periodische und nichtperiodische Parkettierung sind wie rationale und irrationale Zahlen. Obwohl rationale Zahlen tatsächlich einfacher sind als irrationale Zahlen, gibt es noch viel Unbekanntes zu erforschen.

Neben der planaren Tessellation gibt es auch viele bemerkenswerte Ergebnisse bei der nichtperiodischen Tessellation im hochdimensionalen Raum. So gaben Terence Tao und Rachel Greenfeld im November 2022 bekannt, dass sie die „Vermutung der periodischen Tesselation“ im hochdimensionalen Raum widerlegt hätten. Was die Einstein-Problemkacheln betrifft, gibt es auch sogenannte dreidimensionale Einstein-Problemkacheln (wie unten gezeigt).

Bildquelle: Socolar-Taylor-Kachel Wikipedia

Die nichtperiodische Parkettierung hat wichtige Anwendungsgebiete und einen hohen Forschungswert in vielen Bereichen der Mathematik, wie etwa der Automatentheorie, der kombinatorischen Mathematik, der diskreten Geometrie, dynamischen Systemen, der Gruppentheorie, der harmonischen Analyse und der Zahlentheorie sowie der Kristallographie und Chemie. Die bekannteste Anwendung von Quasikristallen in Kristallen und der Chemie besteht darin, theoretische, mathematische und physikalische Erklärungen für die Struktur und Eigenschaften von Quasikristallen zu liefern. (Im Nachhinein könnten wir sogar sagen, dass die nichtperiodische Parkettierung die Existenz von Quasikristallen offenbart hat – es ist nur so, dass es niemandem aufgefallen ist, bis man sie in der Natur entdeckt hat.) Die Beziehung zwischen nichtperiodischer Parkettierung und Quasikristallen ist ein faszinierendes Thema, das sich über Mathematik, Physik, Chemie, Materialien und mehr erstreckt.

Verweise

[1] Bastler findet schwer fassbare „Einstein“-Kachel aus der Mathematik | Quanta Magazin

[2] Craig S. Kaplan (@[email protected]) - Mathstodon

[3] Achirales aperiodisches Monotil, https://arxiv.org/abs/2305.17743

[4] Anaperiodisches Monotil, https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf

[5] Von David Smith verwendete Software (PolyForm Puzzle Solver (jaapsch.net)):
https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm

[6] Von Craig S. Kaplan bereitgestellte Tools:
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/

Wir möchten Professor Yi Ni vom Department of Mathematics am California Institute of Technology für die Überprüfung und Korrektur dieses Artikels danken.

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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