Ich habe für meinen Betreuer einen Buchentwurf verfasst, aber unerwartet eine Doktorarbeit bekommen...

Manche Doktoranden sind nicht gut darin, selbst Forschungsthemen zu finden, und warten stattdessen einfach, bis der Reis gar ist. Ding Jiu, Professor am Institut für Mathematik der University of Southern Mississippi, erinnerte sich an seine besonderen Erfahrungen beim Studium, der Themenauswahl und dem Verfassen seiner Abschlussarbeit.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Als ich vor dem Ausbruch der COVID-19-Pandemie für einen akademischen Besuch nach China zurückkehrte und mit Professoren sprach, erwähnten diese, dass einige Doktoranden nicht gut darin seien, selbst Forschungsthemen zu finden, sondern stattdessen darauf warteten, dass ihre Betreuer ihnen ein Forschungsthema zuwiesen, ähnlich wie beim Austeilen von Prüfungsarbeiten im Unterricht. „Essen aus Mitleid“ ist nie so angenehm wie das Essen an einem Buffet. Wir alle wissen, dass Freilandhühner aus der Bauernhaltung schmackhafter und saftiger sind als Masthühner aus Massenhaltung. Dies liegt daran, dass Masthühner nur Reis fressen und ihre Ernährung eintönig ist, während Freilandhühner überall nach Futter suchen und reich an Nährstoffen sind. Der Marktpreis für Freilandhühner ist daher deutlich höher als der für Masthühner. Als Kind lebte ich im Schulpersonalwohnheim meiner Eltern. Bevor es regnete, ging ich gern auf den Spielplatz und fing mit einem großen Besen kurzfliegende Libellen, um die Hühner zu füttern, denn sie legten Eier für uns zum Essen. Genau wie beim Lernen sollte Ihr Blick nicht auf die kleinen Seiten von Lehrbüchern beschränkt sein. Auch bei der Wahl des Forschungsthemas für Ihre Dissertation ist es ratsam, aufmerksam zu sein und die Initiative zu ergreifen. Obwohl das Thema meiner Doktorarbeit zufällig gewählt wurde und selbst mein Betreuer, Professor Li Tianyan (1945–2020), vielleicht nicht vorher daran gedacht hätte, ist es meiner Meinung nach das Ergebnis von „Lernen überall dort, wo man aufpasst“. Tatsächlich profitierte der erste Forschungsartikel, den ich nach meiner Abreise in die USA schrieb, von der Pionierarbeit meines alten Kommilitonen Dr. Wei Musheng von der Universität Nanjing und hatte nichts mit den verschiedenen Fachgebieten zu tun, in denen mein Betreuer tätig war. Obwohl er nicht in meine Doktorarbeit aufgenommen wurde, bot sich ihm die gleiche Gelegenheit wie meiner späteren Dissertation.

Der Genauigkeit halber werden in diesem Artikel einige mathematische Konzepte vorgestellt. Ich werde elementare oder geometrische Sprache sowie Metaphern und Analogien verwenden, um Konzepte zu beschreiben, auch wenn der Leser die Mathematik nicht vollständig versteht. Ungeduldige Leser müssen sich nicht davon abhalten lassen, weiterzulesen, in der Hoffnung, dass die Dramatik und Inspiration der Geschichte ihre Leselust noch weiter entfachen wird.

„Reis zum Kochen finden“

Meine erste Forschung während meines Doktorats befasste sich mit der Störungstheorie der kleinsten Quadrate-Lösungen für rangdefiziente Matrizen. Carl Friedrich Gauß (1777–1855), einer der Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, hatte die Idee zu dieser Methode bereits im Alter von 18 Jahren. Als Direktor der Universitätssternwarte Göttingen erfand er beim Studium astronomischer Beobachtungsdaten die Methode der kleinsten Quadrate. Dies hängt geometrisch mit der Kurvenanpassung anhand experimenteller Datenpunkte auf einer Ebene zusammen. Stellen Sie sich beispielsweise vor, dass es auf einer rechteckigen Koordinatenebene zehn Punkte gibt, die als zehn Datensätze eines bestimmten experimentellen Ergebnisses betrachtet werden können. Sie liegen normalerweise nicht in einer geraden Linie. Aber können wir eine gerade Linie so zeichnen, dass die Summe der Quadrate ihrer „senkrechten Abstände“ von diesen Punkten minimiert wird? Dies ist ein einfaches Beispiel für ein „Kleinste-Quadrate-Problem“. Die Antwort lautet ja und die Lösung ist die „Methode der kleinsten Quadrate“. Das Problem der kleinsten Quadrate wird durch eine Matrix definiert, die aus einer Reihe von Zahlen besteht, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Für Matrizen mit „vollständigem Rang“ (das heißt, der „Rang“ der Matrix ist gleich dem kleineren Wert der Anzahl der Zeilen und Spalten) sind die Theorie und die Algorithmen der kleinsten Quadrate bereits sehr ausgereift und stellen einen Teil der numerischen linearen Algebra dar, einer Unterdisziplin der Computermathematik.

Mein Kommilitone Wei Musheng war bei der Aufnahmeprüfung für das Jiangsu College im Jahr 1977 der beste Mathematiker der Provinz – er erreichte sowohl bei den Haupt- als auch bei den Zusatzfragen die volle Punktzahl. Nach seinem College-Abschluss studierte er auf Kosten der öffentlichen Hand an der Brown University in den USA und promovierte dort 1986. Seine Doktorarbeit befasste sich mit Streuwellenberechnungen, für die Kleinstquadrate-Probleme erforderlich waren. Zu diesem Zeitpunkt hat die Matrix jedoch keinen vollständigen Rang mehr, sondern einen „mangelhaften Rang“, d. h. der Rang der Matrix ist kleiner als die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix. Er konnte in der Literatur keine fertige Störungstheorie für Rangdefizitprobleme als Referenz finden. Auf einer wissenschaftlichen Konferenz traf Wei Musheng einmal Gene Howard Golub (1932–2007), einen Experten für numerische Algebra, Mitglied der National Academy of Sciences und der National Academy of Engineering der USA sowie Professor für Informatik an der Stanford University, und er bat ihn um Rat. Die Antwort der Gegenpartei überraschte ihn: Niemand habe sich bisher ernsthaft mit solchen Fragen befasst. Also beschloss Wei Musheng, den Grundstein für dieses neue Gebiet selbst zu legen. Im Jahr 1989 wurde sein erster Artikel über die Störungstheorie rangdefizitärer Matrizen mit kleinsten Quadraten in der Zeitschrift Linear Algebra and Its Applications veröffentlicht.

Im akademischen Jahr 1986-87 arbeitete Wei Musheng als Postdoktorand am Institute of Mathematics and Its Applications der University of Minnesota. Im Herbst 1987 kam Wei Musheng an die Fakultät für Mathematik der Michigan State University, wo ich promovierte, um seine Postdoc-Forschung fortzusetzen. Professor Li Tianyan wählte ihn aus sechs oder sieben Bewerbern aus, weil Professor Peter Lax (1926-), ein großer Mathematiker am Courant Institute of Mathematical Sciences, ein überzeugendes Empfehlungsschreiben verfasst hatte. Die Person, die Lax dazu bringen konnte, einen Brief zu schreiben, darf kein gewöhnlicher Mensch sein. Tatsächlich wurde Wei Musheng diese Ehre zuteil, weil er in seiner Doktorarbeit einen Standpunkt in Lachs‘ Monographie zur Streuwellentheorie widerlegte. Während des gesamten Schuljahres fuhren wir zwei ehemaligen Klassenkameraden oft mit unseren Familien zum Einkaufen und verbrachten viele schöne Stunden miteinander. Während dieses Herbstsemesters las ich mehrere Artikel von Wei Musheng und fand sie sehr interessant.

Die Pionierarbeit von Dr. Wei Musheng besteht im Wesentlichen darin, die „obere Halbstetigkeit“ allgemeiner Kleinstquadrate-Lösungen zu beweisen, indem er die obere Fehlergrenze der Störungslösung des Rang-defizitären Kleinstquadrate-Problems schätzt. Viele Phänomene in der Natur sind kontinuierlich, beispielsweise fließt Wasser kontinuierlich. „Kontinuität der Lösung“ bedeutet wahrscheinlich, dass sich die Lösung nicht wesentlich ändert, wenn sich die Daten des zu lösenden Problems geringfügig ändern. Um den berühmten „Singulärwertzerlegungssatz“ in der Matrizentheorie anwenden zu können, musste er vor hundert Jahren eine Matrizennorm verwenden, die nach dem deutschen Mathematiker Frobenius (Ferdinand Georg Frobenius, 1849–1917) benannt wurde. Diese Norm wird berechnet, indem alle Elemente einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten in einem Vektor mit mn Komponenten angeordnet werden und dann die euklidische Norm des Vektors berechnet wird (d. h. indem die Quadrate aller Komponenten summiert und die Quadratwurzel gezogen wird). Nachdem ich den gesamten Artikel gelesen hatte, überkam mich schnell ein starkes Gefühl: Die Schlussfolgerung des Artikels ist natürlich und schön, und die mathematische Analyse ist auch sehr aufschlussreich, aber die Verwendung dieser Norm ist nicht so natürlich wie die vektorielle euklidische Norm, die bei der Definition des Kleinstquadrate-Problems selbst verwendet wird. Also ergriff ich die Initiative, konzentrierte meine Energie und dachte angestrengt nach, und bald hatte ich eine Idee. Indem ich nur die euklidische Norm verwendete, erhielt ich eine relativ einfache Störungsgrenze.

Da dies der erste Artikel war, den ich nach meiner Ankunft in den Vereinigten Staaten geschrieben habe, war ich ziemlich aufgeregt, als ich ihn fertiggestellt hatte. Ich habe meine Masterarbeit nie zur Veröffentlichung eingereicht. Einerseits war meine Frau zu diesem Zeitpunkt schwanger, sodass ich meinen Verpflichtungen nachkommen musste. Später war ich mit meinem Studium im Ausland beschäftigt und hatte keine Zeit, es zu organisieren. Andererseits schätzte ich diese Arbeit nicht mehr. Nach meiner Ankunft in den USA musste ich feststellen, dass die internationale Forschung zu einfachen Fixpunktalgorithmen auf Basis der Triangulation verstummt war und nicht mehr so ​​populär war wie in den 1970er und frühen 1980er Jahren. Moderne Homologiealgorithmen, die auf der Idee der Differentialtopologie basieren, waren jedoch schon immer sehr dynamisch. Die Doktorarbeiten mehrerer meiner Kommilitonen haben einen engen Bezug zu dieser Methode. Später habe ich die Idee der Homotopie-Fortsetzungsmethode auch auf die Optimierungsforschung angewendet.

Aufgeregt schickte ich den ersten Entwurf des Artikels an meinen Mentor Li Tianyan, der damals Professor am Institut für Mathematische Analyse der Universität Kyoto in Japan war, und bat ihn um Rat. Professor Li Tianyan antwortete rasch und äußerte in einem dreiseitigen Brief konkrete Meinungen zu den Haupttheoremen meines Artikels und gab aufschlussreiche Kommentare zur Methodik der Leseforschung. Normalerweise lobt er seine Studenten nicht persönlich, aber dieses Mal hat er mich enthusiastisch ermutigt, denn wenn es ums Lernen geht, warte ich nicht darauf, dass der Reis gar ist, sondern ich schaue, dass der Reis gar ist. Seiner Meinung nach sei dies die „Pflicht“ eines Doktoranden.

Lehrer predigen

Die eigenen Studienerfahrungen von Professor Li Tianyan sind das beste Beispiel dafür, wie Doktoranden forschen. Seine drei wichtigsten akademischen Beiträge vor seinem 30. Lebensjahr waren: der achtseitige Aufsatz „Periode Drei bedeutet Chaos“, in dem er die erste präzise mathematische Definition des Konzepts „Chaos“ lieferte; Er war der Erste, der Brouwer-Fixpunkte rechnerisch konstruierte, was eine Pionierarbeit für die moderne Homotopie-Fortsetzungsmethode darstellte. und er war der erste in der Geschichte, der die Ulam-Vermutung in der rechnergestützten Ergodentheorie bewies. Das bekannteste dieser Werke ist das Ergebnis seiner gemeinsamen Forschung mit seinem Doktorvater James Yorke (1941-) und wurde bis heute mehr als 5.900 Mal zitiert. Dies ist eine der höchsten Platzierungen unter den mathematischen Arbeiten, deren Zitierungszahlen im Allgemeinen viel niedriger sind als in den experimentellen Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen. Zu den Autoren der zweiten Arbeit zählte neben York auch Bruce Kellogg (1930–2012). Allein seine dritte Arbeit war die Inspiration für meine Doktorarbeit.

Lassen Sie uns zunächst einen Blick darauf werfen, wie er das „Glück“ hatte, den weltweit ersten Artikel zu schreiben, in dem er die moderne Methode der Homotopie-Fortsetzung zur Berechnung von Brouwer-Fixpunkten verwendete. Dieser große Satz der Topologie, benannt nach einem niederländischen Mathematiker, ist der Zwischenwertsatz der elementaren Analysis im einfachsten eindimensionalen Fall. Jeder versteht seine geometrischen Eigenschaften: Jede durchgehende Kurve, die die Punkte auf beiden Seiten einer Geraden verbindet, muss die Gerade schneiden. Der Fixpunktsatz von Brouwer in zwei Dimensionen lautet: Jede kontinuierliche Selbstabbildung auf einer geschlossenen Scheibe (d. h. der Bereich ist in der Domäne enthalten) muss einen Fixpunkt haben, d. h. der Punkt wird auf sich selbst abgebildet. Li Tianyan schloss 1968 sein Studium an der National Tsing Hua University in Hsinchu, Taiwan ab. Nach einem Jahr Militärdienst ging er an die Fakultät für Mathematik der University of Maryland in den USA, um dort bei Professor York zu promovieren. 1973, ein Jahr vor seinem Abschluss, belegte er Professor Kelloggs Kurs „Numerische Lösungen nichtlinearer Gleichungen“. Während des Unterrichts sprach der Professor über den neuen Beweis des Fixpunktsatzes von Brouwer, der vor zehn Jahren von Professor Morris Hirsch (1933-) vom Institut für Mathematik der University of California, Berkeley, veröffentlicht wurde.

Die Idee hinter diesem prägnanten Beweis durch Widerspruch ist: Unter der Annahme, dass es keine Fixpunkte gibt, führt dies zu einem Widerspruch mit einem bestimmten Theorem der Topologie. Dieser letztgenannte Satz besagt, dass es keine glatte Abbildung einer geschlossenen Scheibe auf ihren Umfang gibt, bei der alle Punkte auf dem Umfang stationär bleiben. Diese interessanten und tiefgründigen Theoreme der Topologie können erklären, warum sich auf der Oberseite des Kopfes ein Wirbel befindet, in dem keine Haare wachsen. Als Li Tianyan einen solch neuartigen Beweis hörte, kam ihm, der gerne nachdenkt, plötzlich eine Idee: Er könnte diese Idee nutzen, um die Fixpunkte zu berechnen, deren Existenz durch das Theorem garantiert wird. Da die geschlossene Scheibe eine zweidimensionale Fläche ist und der Umfang nur eine eindimensionale Kurve darstellt, hat bei der von Hirsch betrachteten Abbildung von der Scheibe auf den Umfang die Domäne eine Dimension mehr als der Bereich, sodass eine „inverse Bild“-Kurve existiert, die an einem Punkt auf dem Umfang beginnt und an der Fixpunktmenge der ursprünglichen Abbildung endet. Solange wir dieser „Homotopiekurve“ numerisch folgen können, kann der Fixpunkt berechnet werden. Aktives und unabhängiges Denken führt zu solch einem wunderbaren neuen Algorithmus! Kreatives Denken ist ein Wunder, das für diejenigen unvorstellbar ist, die beim Lesen Definitionen, Theoreme und Beweise auswendig lernen. Aber für Entdecker, die gerne den Wurzeln nachgehen und originelle Ideen finden, ist dies das natürlichste Ergebnis.

Als Li Tianyan York seine Idee vorstellte, unterstützte dieser ihn voll und ganz bei der Umsetzung. Obwohl er noch andere Forschungsprojekte in Angriff nahm, war sich der weitsichtige Mentor des Werts dieses Themas bewusst. Nach zwei Monaten Programmierung und Berechnung wurde Li Tianyans Algorithmusidee schließlich verwirklicht – auf einer dünnen Seite bedruckten Papiers waren die numerischen Ergebnisse des ersten modernen Homologiealgorithmus der Geschichte festgehalten. Als das Organisationskomitee der Konferenz über Fixpunktalgorithmen und ihre Anwendungen an der Clemson University erfuhr, dass sie einen neuen homotopischen Fixpunktalgorithmus unter Verwendung der Ideen der Differentialtopologie konstruiert hatten, anstatt dem Weg des simplizialen Fixpunktalgorithmus zu folgen, der auf simplizialer Zerlegung und kombinatorischen Techniken basiert und 1967 von Herbert Scarf (1930–2015), Professor für Wirtschaftswissenschaften an der Yale University, entwickelt wurde, stellte es ihnen sofort zwei Eintrittskarten zur Verfügung und lud sie ein, an der Konferenz teilzunehmen, um ihre Beiträge vorzustellen. Später lobte Scarf im Vorwort zum Konferenzbericht die neuen Ideen im Artikel von Kellogg-Lee-York. Von da an betrat die moderne Homotopieerweiterungsmethode die große Bühne der Computermathematik.

„Mit starkem Willen“

Wie bereits erwähnt, entstanden die drei berühmtesten und herausragendsten Arbeiten in der akademischen Laufbahn von Professor Li Tianyan allesamt während seines Doktoratsstudiums. Die dritte Arbeit zu „Ulams Vermutung“ verfasste er selbstständig und veröffentlichte sie 1976 im American Journal of Approximation Theory. Wie kam es zu diesem Artikel? Im Jahr 1973 veröffentlichten York und sein Mitarbeiter Andrzej Lasota (1932–2006), ein Mitglied der Polnischen Akademie der Wissenschaften, in der Zeitschrift Transactions of the American Mathematical Society einen Aufsatz, der heute zu einem Klassiker der Ergodentheorie geworden ist. Darin bewiesen sie einen Existenzsatz über absolut kontinuierliche invariante Maße. Es wird behauptet, dass für eine Klasse stückweise gestreckter Selbstabbildungen, die auf einem Intervall definiert sind, eine „invariante Dichtefunktion“ existiert. Die Dichtefunktion ist ein mathematisches Objekt, das häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie vorkommt. Es handelt sich um eine Funktion mit nicht-negativen Werten und einem Gesamtintegral von 1. Das heißt, die Fläche des „gekrümmten Rechtecks“ unterhalb seines Bildes und oberhalb des Intervalls ist gleich 1. Nachdem Li Tianyan die Existenz der invarianten Dichtefunktion sichergestellt hatte, begann er darüber nachzudenken, wie man sie berechnet. Oder anders ausgedrückt: Wie lässt es sich numerisch effizient approximieren? Er schlug eine Näherung unter Verwendung stückweise konstanter Funktionen vor und bewies die Konvergenz des Algorithmus für Intervallabbildungen des von Losuda und York betrachteten Typs. Wie der Name schon sagt, nimmt die stückweise konstante Funktion konstante Werte in den Teilintervallen an, die das Domänenintervall unterteilen.

Li Tianyan hatte jedoch keine Ahnung, dass der Vater der amerikanischen Wasserstoffbombe, der herausragende polnische Mathematiker Stanislaw Ulam (1909-1984), diese Methode zur Berechnung der invarianten Dichtefunktion bereits in seinem kleinen, nur 150 Seiten starken Buch „Eine Sammlung mathematischer Probleme“ aus dem Jahr 1960 vorgeschlagen hatte. Nachdem der Artikel verfasst war, erfuhr Li Tianyan, dass es sich hierbei um die Ulam-Methode handelte, die es bereits seit über zehn Jahren gab. Und Ulam vermutete in dem Buch, dass der Algorithmus konvergieren wird, solange die invariante Dichtefunktion existiert. Aus der „Ulam-Vermutung“ entstand die Disziplin der „rechnergestützten Ergodentheorie“, die in der Physik und im Ingenieurwesen von großem Anwendungswert ist. Der „historische Zufall“ zwischen Li Tianyans Artikel und Ulams Methode führte auch zur Änderung des Artikeltitels mit der Ergänzung „Eine Lösung für Ulams Vermutung“. Dieses bahnbrechende Werk auf dem Gebiet der rechnergestützten Ergodentheorie trug schließlich den Titel „Finite Approximation by the Frobenius–Perron Operator: A Solution to Ulam's Conjecture“.

Viele Jahre später erinnerte sich Professor Li Tianyan daran, wie er zu diesem Meisterwerk kam, und sagte gerührt: „Hätte ich vorher gewusst, dass nicht einmal Ulam, ein Mathematiker auf dem gleichen Niveau wie von Neumann, einen Beweis für die Konvergenz dieses Algorithmus vorgelegt hatte, hätte ich mich vielleicht nicht an diese Herausforderung gewagt.“ In seiner Jugend war Li Tianyan jedoch ein tapferer Krieger, der „keine Angst vor einem Tiger, sondern vor einem neugeborenen Kalb“ hatte. Er selbst sagt, er verlasse sich auf seine Sturheit, um bei allem dabei zu bleiben und niemals so schnell aufzugeben. Er ist davon überzeugt, dass ein Problem nicht unbedingt von einem großen Tier gelöst werden kann, wenn dies auch nicht bedeutet, dass ein kleines Tier es nicht lösen kann. Und die Art und Weise, wie ein großes Tier über ein Problem denkt, ist nicht unbedingt die einzige Möglichkeit, es zu lösen. Auf dem Weg des Lernens können Sie scheinbar schwierigen Problemen auf den Grund gehen, solange Sie einen unabhängigen Geist und freies Denken besitzen und sich eine Minute mehr Zeit zum Nachdenken nehmen als andere.

Bis zum Frühsommer 1987, nachdem ich die Prüfungen in zwei Fremdsprachen bestanden hatte (Englisch und Chinesisch galten nicht als Fremdsprachen), besuchte ich weiterhin Kurse und beschäftigte mich gleichzeitig aktiv mit einem brandneuen Gebiet – Innere-Punkte-Algorithmen für die lineare Programmierung. Es hängt mit meinem Master-Abschluss in Optimierung an der Universität Nanjing zusammen, der mit einer bahnbrechenden Veröffentlichung des Inders Narendra Karmarkar (geb. 1956) im Jahr 1984 begann. Dieses Gebiet hatte zu dieser Zeit in der internationalen Optimierungsgemeinschaft bereits an Popularität gewonnen, und viele Forscher strömten herbei, um ihm weiterzuhelfen. Viele Leute sagten sogar voraus, dass Karmakar noch vor dem Ende des letzten Jahrhunderts den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhalten würde, genau wie der sowjetische Mathematiker Leonid Kantorowitsch (1912-1986), der als Erster eine effiziente Berechnungsmethode für die lineare Programmierung vorschlug. Diese Vorhersage bewahrheitete sich jedoch nicht. Da mein Hauptgebiet die mathematische Programmierung ist, schlug Professor Li vor, dass ich mit der rasanten Entwicklung der Innere-Punkte-Algorithmen Schritt halte. Einige seiner Freunde, mit denen er einen akademischen Austausch pflegt, wie etwa Professor Masakazo Kojima (1944-), ein berühmter japanischer Wissenschaftler für Optimierungstheorie, schicken ihm häufig Vorabdrucke von Artikeln zu diesem Thema. Auch mehrere chinesische Wissenschaftler traten in Erscheinung, darunter Ye Yinyu, ein Doktor der Operationsforschung von der Stanford University. Ich habe versucht, mehr über diese neuesten Forschungsergebnisse zu erfahren, mich schrittweise der akademischen Spitze anzunähern und mehrere Artikel über Innere-Punkt-Algorithmen für lineare Komplementaritätsprobleme fertiggestellt. Der erste Artikel, an dem ich gemeinsam mit meinem Betreuer arbeitete, wurde glücklicherweise 1991 in der Erstausgabe des SIAM Journal on Optimization veröffentlicht, einer neu gegründeten Zeitschrift der American Society for Industrial and Applied Mathematics. Eigentlich wollte ich dieses Material in meine Doktorarbeit einarbeiten, aber das Ergebnis war unerwartet.

Westküstentour

Im März 1989 kam meine dreijährige Tochter mit ihrer Großmutter in die Vereinigten Staaten. Dies war das erste Mal, dass wir uns als Vater und Tochter trafen, obwohl sie, als sie mich am Flughafen von Detroit sah, im reinen Yangzhou-Dialekt zu mir sagte: „Ich habe Papa auf Fotos gesehen.“ Das Frühjahrssemester endete gerade Anfang Juni dieses Jahres und das akademische Jahr ging zu Ende. Auch der dreivierteljährige Kurs „Ergodentheorie zu [0, 1]“ von Professor Li ging erfolgreich zu Ende. Obwohl sein Hauptinteresse damals nicht mehr der Chaos- und Ergodentheorie galt, sondern der Homologielösung von Matrixeigenwerten und multivariaten Polynomgleichungen, erlangten wir, seine Schüler, bis Mitte der 1980er Jahre mehr Wissen und erweiterten unseren Horizont und hatten ein klareres Verständnis seiner Forschungsergebnisse. Was wäre man denn für ein Student, wenn man nichts über die frühere Arbeit des Mentors wüsste? Um ein guter Schüler zu sein, müssen Sie nicht nur die aktuelle Arbeit Ihres Tutors verstehen, sondern auch wissen, was Ihr Tutor in der Vergangenheit getan hat, sonst gelten Sie möglicherweise als lahmer Schüler. Dies ist das gleiche Prinzip, nach dem wir die Wissenschaftsgeschichte behandeln. Der große Allround-Mathematiker Henri Poincaré (1854–1912) warnte uns einst: „Wenn wir die Zukunft der Mathematik vorhersehen wollen, ist es angebracht, die Geschichte und den aktuellen Stand dieser Wissenschaft zu studieren.“ Dieser Satz steht ganz am Anfang des Vorworts von Morris Kline (1908–1992), dem Autor des berühmten Buches zur Mathematikgeschichte „Mathematical Thought, Ancient and Modern“. Es ist gleichermaßen wichtig, die Geschichte zu verstehen und die aktuelle Situation zu verstehen, denn die Geschichte ist ein Spiegel. Hermann Weyl (1885–1955), der bedeutendste Schüler des deutschen Mathematikers David Hilbert (1962–1943), erwähnte einmal, dass er „gerne die Geschichte der Mathematik lehre“, was durchaus Sinn ergibt.

Während ich mich zu einem Meeting in Nordkalifornien aufhielt, planten meine Familie und ich im Juni eine Tour entlang der Westküste des amerikanischen Kontinents. Dies wäre meine erste Fernreise seit meiner Ankunft in den Vereinigten Staaten.

Während des Monats, in dem wir von Michigan nach San Francisco reisten, hinterließ unsere Familie an vielen Orten entlang des Weges ihre Fußspuren. Ich habe viele alte Klassenkameraden und Bekannte von der NTU wiedergetroffen. Beim ersten Stopp meiner Reise, der University of Illinois at Urbana-Champaign, traf ich unerwartet meinen Kommilitonen Hu Zhuoxin und wir unterhielten uns die ganze Nacht. Außerdem traf ich Li Qiaoying wieder, einen Studenten des Chemie-Departments der Universität Nanjing aus dem Jahrgang 1978, der mit mir im selben Flug in die USA war, um dort zu promovieren. Dann ging meine Familie nach Kansas City, wo sie von unserem älteren koreanischen Bruder Li Hongjiu und seiner Familie herzlich empfangen wurde. Li Hongjiu lehrt an der University of Missouri-Kansas City. Nach unserer Ankunft in Salt Lake City, der Hochburg der Mormonen, fuhr uns Yin Guangyan, ein Doktorand an der Universität von Utah, um uns die Landschaft des Salzsees zu zeigen. Jetzt haben er und zwei andere „Sieger der Aufnahmeprüfung für das Jiangsu College“, die meine ehemaligen Klassenkameraden waren, begonnen, die Landschaft des „wunderschönen Sonnenuntergangs“ im Ruhestand zu genießen.

Als ich in der San Francisco Bay Area ankam, traf ich meinen Klassenkameraden Zhang Yanning, der einen Doktortitel erworben hatte. in Statistik von der Stanford University. Er wurde in Peking geboren, erzielte hervorragende akademische Leistungen am College und liebte den Langstreckenlauf. Er wurde in die Graduiertenschule des Rechenzentrums der Chinesischen Akademie der Wissenschaften aufgenommen und ging für weitere Studien ins Ausland. Der erste Brief, den ich von einem alten Klassenkameraden aus den USA erhielt, nachdem ich zum Studieren in die USA gekommen war, war seine begeisterte „Willkommenspostkarte“. In seinem zweiten Brief lobte er mich auch dafür, dass ich meine neugeborene Tochter „Yizhi“ genannt hatte: „Du bist deiner literarischen Fähigkeiten würdig.“ Später verlor Zhang Yanning trotz ihrer erfolgreichen Karriere ihre Leidenschaft für den Langstreckenlauf nicht und nahm an mehreren Marathons teil, darunter auch am berühmten Boston International Marathon.

Ich traf auch Dai Jiangang, ein Mathematikgenie aus der siebten und achten Klasse der Universität Nanjing. Derzeit schreibt er seine Doktorarbeit in der Fakultät für Mathematik der Stanford University (derzeit ist er Professor an der School of Operations Research and Information Engineering der Cornell University und Dekan der School of Data Science der Chinese University of Hong Kong, Shenzhen). Anfang März holte er mich am San Francisco International Airport ab und brachte meine Mutter und meine Tochter zum Gate nach Detroit. Wir schlenderten über den wunderschönen Stanford-Campus und besichtigten diese weltberühmte Universität. Meine Mutter machte ein Foto vor der berühmten Kathedrale in der Mitte des Campus. Diese Schule wurde von Frau Stanford zum Gedenken an ihren Mann, einen Eisenbahnmagnaten, gegründet, der die Schule 1885 gemeinsam mit ihr gegründet hatte. Ein Vierteljahrhundert später, vor Thanksgiving 2013, besuchte ich meine Tochter, die bereits dort arbeitete. Unter dem wolkenlosen blauen Himmel machten wir beide ein Foto vor dieser wunderschönen Kirche, sodass meine 85-jährige Mutter die großartige Architektur von Stanford noch einmal sehen konnte.

Blitze im Manuskript

Bevor ich meine Reise antrat, fragte mich Professor Li Tianyan, ob ich Interesse hätte, ihm dabei zu helfen, den ersten Entwurf eines chinesischen Buches auf der Grundlage der fertigen Vorlesungsnotizen aus dem Kurs, den er gerade abgeschlossen hatte, fertigzustellen. Eine akademische Stiftung in Taiwan wollte, dass er dieses Buch veröffentlicht. Letztes Jahr traf er Professor Mo Zongjian (1940-) von der Fakultät für Mathematik der Purdue University in Japan und die beiden besprachen dieses Thema, das eine der ursprünglichen Absichten bei der Eröffnung dieses Kurses war. Professor Li versprach mir, mir einen Teil des Sommerforschungsstipendiums zu geben, das ihm von der National Science Foundation gewährt wurde, damit ich mich auf das Schreiben des Buches konzentrieren könnte, ohne durch die Lehre abgelenkt zu werden. Selbstverständlich bin ich dazu bereit. Dies ist nicht nur eine großartige Gelegenheit, mein erlerntes Wissen zu festigen, sondern bietet mir auch eine Übungsgrundlage für zukünftiges wissenschaftliches Schreiben.

Nach meiner Rückkehr nach Michigan kam ich schnell in Schwung und begann mit dem Entwurf des Buchmanuskripts, das mir mein Vorgesetzter zugewiesen hatte. Das Grundgerüst des Buches ist bereits vorhanden, es müssen nur noch die Basisteile als Vorkenntnisse ergänzt und die schriftlichen Ausdrücke und Sprachsymbole vereinheitlicht werden. Ich habe zwei Monate lang ununterbrochen an meinem Schreibtisch gearbeitet. Für mich ist dies auch ein Prozess der Neuordnung meines Wissens und der Einübung in das wissenschaftliche Schreiben, der mir eine hervorragende Gelegenheit bietet, das Schreiben eigener Bücher in Zukunft zu üben. Noch wichtiger ist, dass ich irgendwann beim Schreiben des Kapitels über Ulams Methode zur Berechnung absolut kontinuierlicher invarianter Maße einen unbeabsichtigten Geistesblitz hatte, der die Möglichkeit für eine neue Forschung eröffnete.

In dem chinesischen Buch, das Professor Li veröffentlichen möchte, geht es hauptsächlich um einen Typ positiven Operators, der in der Ergodentheorie weit verbreitet ist – den Frobenius-Perron-Operator. Es handelt sich um einen linearen Operator, der nicht-negative Funktionen in nicht-negative Funktionen abbildet und dabei das Integral unverändert lässt. Die erste Eigenschaft ist die Definition eines „positiven Operators“. Der Name des Operators ist von zwei deutschen Mathematikern entlehnt, hat aber tatsächlich nichts mit ihnen zu tun. Nur weil dieser unendlichdimensionale Operator mehrere gute Eigenschaften nichtnegativer Matrizen erbte und weil Oskar Perron (1880-1975) im Jahr 1907 und dann Frobenius im Jahr 1912 die allgemeine Theorie der nichtnegativen Matrizen begründeten, übernahm Ulam in seinen „Mathematical Problems“ deren Namen, um den Operator zu benennen. Dieses Phänomen, „jemandem den falschen Hut auf den Kopf zu setzen“, ist in der Geschichte der Mathematik nicht ungewöhnlich. Beispielsweise wurde Newtons Methode zum Lösen nichtlinearer Gleichungen nicht formal von Newton vorgeschlagen. Er verwendete es einfach, um die Wurzeln einer Polynomgleichung anzunähern. Die systematische Untersuchung der Konvergenztheorie des Newton-Verfahrens wird dem russischen Mathematiker Kantonowitsch des 20. Jahrhunderts zugeschrieben. L'Hôpitals Regel zum Auffinden unbestimmter Grenzwerte in der Infinitesimalrechnung ist sogar noch mehr das Ergebnis einer „Täuschung der Welt und des Diebstahls des Namens“. Dieses Gesetz, das Guillaume de l'Hôpital (1661-1704) in seinem Buch von 1696 beschrieb, wurde tatsächlich vom Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli (1667-1748) entdeckt. Invariante Dichtefunktionen sind Fixpunkte des Frobenius-Perron-Operators. In den ersten Kapiteln des Buches von Professor Li geht es ausschließlich um die Existenzsätze und Eigenschaften von Fixpunkten von Operatoren, und ihre Berechnung wird erst im letzten Kapitel mit dem Titel „Endliche Approximation von Frobenius-Perron-Operatoren“ behandelt. Der Inhalt ist Ulams Methode und Li Tianyans schöner Beweis von Ulams Vermutung und der Konvergenz der Losuda-York-Intervallabbildungsfamilie.

Als ich kurz davor war, dieses Kapitel fertig zu schreiben und das gesamte Manuskript kurz vor der Fertigstellung stand, kam mir plötzlich eine Frage in den Sinn. Aus der Perspektive der Computermathematik besteht der einfachste und gröbste Ansatz darin, eine allgemeine Funktion mithilfe einer stückweise konstanten Funktion anzunähern. Warum können wir zur Annäherung keine stückweise linearen oder sogar stückweise quadratischen Funktionen verwenden? Der gesunde Menschenverstand sagt uns, dass die Genauigkeit bei der Annäherung an eine Kettenlinie mit einer horizontalen Linie wesentlich geringer ist als bei der Annäherung mit einem Liniensegment, das zwei Punkte auf der Kurve verbindet. Meine Neugier war also geweckt und ich griff sofort zu Stift und Papier, um Bilder zu zeichnen und zu rechnen. Seit mehr als 30 Jahren widme ich mich der Erforschung der rechnergestützten Ergodentheorie und diese tausend Meilen lange Reise beginnt hier. Es hat nichts mit meiner früheren Forschung zu Innere-Punkte-Algorithmen zu tun, und sie gehören zwei völlig verschiedenen Welten an. Da ich mir in den USA die Grundkenntnisse der Ergodentheorie, einem Zweig der reinen Mathematik, angeeignet hatte und an der Universität Nanjing in meinem Hauptfach, der Computermathematik, eine gute Grundlage gelegt hatte, war mein Denken relativ klar und ich machte ziemlich reibungslose Fortschritte. Mir ist aufgefallen, dass Ulams Methode sowohl ein strukturerhaltender Algorithmus ist, der Positivität und Integrität bewahrt, als auch zur Kategorie der traditionellen Projektionsalgorithmen gehört. Also habe ich es in diese beiden Richtungen gefördert. Bald konstruierte ich zwei neue Klassen von Algorithmen, die auf stückweise linearen oder stückweise quadratischen Polynomen basierten. Der erste Typ basiert auf dem Galerkin-Projektionsprinzip und der andere Typ bewahrt die Struktur durch die Verwendung eines endlichdimensionalen Markov-Operators. Ich habe es die Markov-Methode der endlichen Näherung genannt. Der nach dem russischen Mathematiker benannte Markov-Operator ist umfassender als der Frobenius-Perron-Operator und wird als positiver Operator definiert, der das Integral einer nichtnegativen Funktion invariant lässt. Für Intervallzuordnungen vom Typ Losuda-York, für die die ULAM-Methode konvergiert, beweise ich die Konvergenz des neuen Algorithmus. Um zu beweisen, dass numerische Methoden mit hoher Reihenfolge schneller konvergieren, habe ich den Sun Workstation Computer der Abteilung (in Bezug auf die Workstation, die von der Computerfirma Sun MicroSystems gestartet wurde, verwendete, das FORTRAN -Programm, das ich geschrieben habe, eingeben und Berechnungen und Vergleiche durchführten. Numerische experimentelle Ergebnisse zeigen, dass sie viel schneller konvergieren als die Methode von Ulam, und die Lücke ist so groß wie die Red Hare -Rennen von Lu Bu mit Lu Bu selbst. Später untersuchten zwei chinesische Professoren theoretisch die Konvergenzrate der Stück-Weisen-Markov-Finite-Approximation-Methode. Zusammen mit den nachfolgenden Artikeln, die von Professor Li und I im Jahr 1998 veröffentlicht wurden, haben wir schließlich die Konvergenzrate -Theorie und die Fehlerschätzung dieser Art von Algorithmus festgelegt.

Ende August 1989 schloss ich den ersten Entwurf der chinesischen Monographie von Professor Li Tianyan ab. Als Nebenprodukt wurden auch zwei Forschungsartikel erstellt. Was ich selbst überraschte, war, dass ich nicht einmal einen Entwurf für dieses Buch geschrieben habe. Jedes Kapitel und jeder Abschnitt basiert im Grunde auf den Umriss der Kursnotizen von Professor Li. Ich dachte zuerst in meinem Kopf darüber nach und schrieb es dann auf einmal auf, was viel Schreibzeit spart. In zwei Monaten habe ich nicht nur ein chinesisches Buch entworfen, sondern auch einige sinnvolle Recherchen durchgeführt. Als ich das Manuskript meinem Vorgesetzten übergab und den ersten Entwurf der These vorstellte, war er zunächst überrascht, fühlte sich aber nach dem Lesen zufrieden. Von da an habe ich nie wieder nach dem Schicksal des Manuskripts gefragt. Leider war Professor Li Tianyan mit seinem großen Forschungsprojekt über numerische Lösungen der Polynomgleichungen beschäftigt und hat das Feld chaotischer dynamischer Systeme und ergodischer Theorie grundsätzlich verlassen, was ihn in seinen frühen Jahren berühmt machte. Infolgedessen hatte er noch nie die Zeit, dieses Buch zu überarbeiten und zu vervollständigen, was schade ist. Im Gegenteil, das Interesse, das ich durch das Lernen der Ergodischen Theorie in den Kursen meines Mentors entwickelte, gepaart mit dieser einzigartigen Erfahrung des Schreibens und der Forschung, ließ mich den Innenpunktalgorithmus verlassen und mich der rechnerischen ergodischen Theorie widmen. Ich habe das seit vielen Jahren genossen. In Zusammenarbeit mit Dr. Zhou Aihui vom Institut für Computermathematik und wissenschaftliches und technisches Computing der chinesischen Akademie der Wissenschaften veröffentlichte ich 2006 ein chinesisches Lehrbuch "Statistische Eigenschaften von deterministischen Systemen" durch Tsinghua University Pressing 2006.

Abschluss und Arbeit

Wahrscheinlich kam eines Morgens im Oktober 1989 Professor Li Tianyan zu meinem Lehrassistentenbüro und sagte mir freundlich: "Sie können in Betracht ziehen, diese beiden neuesten Artikel in Ihre Doktorarbeit zusammenzustellen, wenn Sie nächstes Jahr ihren Abschluss machen." Ich war dankbar und stimmte seiner Vereinbarung zu. Our group of doctoral students who were recruited directly from the mainland, except for me who came to the United States in January 1986, the rest were from the class of 1977 (the class of 1977 was the first batch of college students after the resumption of the college entrance examination - Editor's note) from famous domestic universities, and graduated from Jilin University, Wuhan University, Xiamen University, etc., plus a doctoral student who came to him from Northwestern University, a famous private university in the United States, and transformed himself from a visiting scholar. Wir alle haben im August 1986 die Universität eingetreten. Es ist natürlich, dass ich früher als sie meinen Abschluss machen kann. Letztes Jahr hatte meine ältere Schwester aus der Klasse von 1977 an der Peking Normal University einen Ph.D. und fand eine Universitätsunterrichtsposition als Assistenzprofessorin in der Abteilung für Mathematik an der Clemson University, wo der Brouwer -Berechnungspapier von Professor Li berühmt wurde. Zu dieser Zeit war die US -Wirtschaft noch relativ stark, und es gab viele neue Universitätsunterrichtspositionen.

Die Schwierigkeit, einen Job zu finden, hängt linear mit der wirtschaftlichen Situation und sogar dem sozialen Umfeld zusammen. 1957 startete die Sowjetunion einen Satelliten in den Weltraum, der die Vereinigten Staaten schockierte, was der Ansicht war, dass ihr technologisches Niveau hinter der der Sowjetunion gefallen war. Auf dem Kommando der Top -Führer begannen die amerikanischen Universitäten sofort zu expandieren, was dazu führte, dass in den 1960er Jahren neue Doktoranden gefragt wurden, und jeder von ihnen konnte einen guten Job an einer Universität bekommen. Infolgedessen scheitern einige von ihnen aufgrund angeborener Mängel oder der erworbenen Faulheit im akademischen Umfeld mit stark wettbewerbsfähigem akademischen Umfeld und ihre Behandlung verschlechtert sich weiterhin, insbesondere an Forschungsuniversitäten. Es gibt auch solche Personen unter den Professoren an der Michigan State University, und der Anteil unter hochrangigen Professoren ist nicht zu niedrig. Ich erinnere mich einmal, dass der Ausbilder aus der Ferne auf das Amt eines Professors für niedrigen akademischen Status wies und an seinen Schüler scherzte: Er war Professor, als ich in der High School war, aber sein Gehalt ist jetzt nur etwa die Hälfte von mir. Als Professor Li 1974 promovierte, waren die guten Tage der amerikanischen Doktoranden vorbei und viele konnten keine Arbeit finden. Er hatte das Glück, eine Universitätsunterrichtsposition zu finden, aber viele taiwanesische Doktoranden wie er mussten nach Hause zurückkehren. Viele Menschen verdienten jedoch später aufgrund des wirtschaftlichen Booms Taiwans viel Geld. Er erzählte uns auch, dass die Situation erneut rückgängig gemacht wurde, als sein erster Doktorand, Zhu Tianzhao aus Taiwan, seinen Abschluss erhielt, und er wurde von der Anzahl der Möglichkeiten der Campus -Interviews überwältigt. Dr. Zhu entschied sich schließlich für die North Carolina State University. Seine Forschungsleistung war hervorragend und sechs Jahre später wurde er zum vollständigen Professor befördert.

Was ich jedoch nicht erwartet hatte, war, dass ich 1990 pünktlich zum schwerwiegendsten neuen Zyklus des amerikanischen Universitätsunterrichts -Arbeitsmarktes abgeschlossen habe! Glücklicherweise fand ich eine formelle Assistenzprofessor -Position, aber das ist eine andere Geschichte.

Geschrieben am Sonntag, 24. März 2024

Hattiesburg Sommerhaus

Hinweis: Dieser Artikel wird auf der Grundlage von Kapitel 6 "Dissertation" der "persönlichen Erfahrung der amerikanischen Bildung: dreißig Jahre Erfahrung und Reflexion" geändert, die 2016 von der Commercial Press veröffentlicht wurde.

Danksagungen: Wir möchten Dr. Huijian Zhu für die Verbesserung der Genauigkeit der Erzählung danken.

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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