Erstmals von Huygens im Jahr 1665 entdeckt, wurde nun eine Netzwerksynchronisation höherer Ordnung entdeckt

Eine von der Queen Mary University of London geleitete Studie hat zum ersten Mal ein neuartiges Kuramoto-Modell „höherer Ordnung“ vorgeschlagen, das Topologie mit dynamischen Systemen kombiniert und die Synchronisierung in Netzwerken höherer Ordnung charakterisiert. So wie ein Orchester im Takt spielt, ohne dass es einen Dirigenten gibt, können sich die Elemente eines komplexen Systems auf natürliche Weise miteinander synchronisieren. Dieses kollektive Phänomen, bekannt als Synchronisierung, kommt überall in der Natur vor, von Neuronen, die im Gehirn gleichzeitig feuern, bis hin zu Glühwürmchen, die im Dunkeln im Gleichklang aufleuchten.

Das Kuramoto-Modell wird verwendet, um die in komplexen Systemen beobachtete Synchronisierung zu untersuchen, die mathematisch oft durch Netzwerke dargestellt wird, wobei die Komponenten im System als Knoten dargestellt werden und die Verbindungen zwischen den Knoten die Interaktionen zwischen ihnen darstellen. Die meisten Studien zur Synchronisierung konzentrieren sich auf Netzwerke, in denen Knoten dynamische Oszillatoren beherbergen, die sich wie Uhren verhalten und sich mit Nachbarn entlang der Netzwerkverbindungen koppeln. Allerdings ist die überwiegende Mehrheit komplexer Systeme im Vergleich zu Netzwerken reicher strukturiert und umfasst Interaktionen „höherer Ordnung“, die zwischen mehr als zwei Knoten stattfinden.

Diese Netzwerke höherer Ordnung werden Simplizialkomplexe genannt und wurden von Mathematikern der diskreten Topologie ausführlich untersucht. Nun wurde im Rahmen einer von Professor Ginestra Bianconi, Professorin für Angewandte Mathematik an der Queen Mary University of London, geleiteten Forschung ein neuartiges Kuramoto-Modell „höherer Ordnung“ vorgeschlagen, das Topologie mit dynamischen Systemen kombiniert und erstmals die Synchronisierung in Netzwerken höherer Ordnung charakterisiert. Die Studie ergab, dass die Synchronisierung höherer Ordnung plötzlich und „explosiv“ erfolgt, was sich vom Standardmodell von Kuramoto unterscheidet, bei dem die Synchronisierung allmählich erfolgt.

Der Mathematiker Christian Huygens entdeckte das Phänomen der Synchronisation erstmals im Jahr 1665, als er beobachtete, dass zwei Pendeluhren, die am selben Holzbalken aufgehängt waren, im gleichen Takt schwangen. Es dauerte jedoch bis zum Jahr 1974, bis der japanische Physiker Yoshiki Kuramoto ein einfaches mathematisches Modell zur Beschreibung dieses kollektiven Phänomens vorschlug. Das Kuramoto-Modell erfasst die Synchronisierung in einem großen Netzwerk, in dem jeder Knoten über einen uhrähnlichen Oszillator verfügt, der mit anderen Oszillatoren auf benachbarten Knoten gekoppelt ist.

Da zwischen den Knoten keine Verbindungen bestehen, folgt jeder Oszillator seiner eigenen Dynamik und wird nicht von seinen Nachbarn beeinflusst. Wenn jedoch die Interaktion zwischen benachbarten Knoten einen bestimmten Wert überschreitet, beginnen die Oszillatoren mit der gleichen Frequenz zu schlagen. Während das Kuramoto-Modell die dynamische Synchronisierung beschreibt, die mit Netzwerkknoten in einem einfachen Komplex verbunden ist, können höherwertige Objekte im Netzwerk (wie Verbindungen oder Dreiecke) auch dynamische oder „topologische“ Signale wie Flüsse aufweisen. In der neuen Studie schlugen die Forscher ein Kuramoto-Modell höherer Ordnung vor, das die Synchronisierung dieser topologischen Signale beschreiben kann.

Da topologische Signale wie Fluss im Gehirn und in biologischen Transportnetzwerken vorkommen, glauben die Forscher, dass dieses neue Modell eine Synchronisation höherer Ordnung aufdecken könnte, die zuvor nicht bemerkt wurde. Professor Bianconi, der Hauptautor der Studie, sagte: „Die Forschung kombiniert die Hodge-Theorie, einen wichtigen Zweig der Topologie, mit der Theorie dynamischer Systeme, um Licht auf die Synchronisation höherer Ordnung zu werfen. Mithilfe des theoretischen Rahmens ist es möglich, die Synchronisation topologischer dynamischer Signale zu behandeln, die mit Verbindungen wie Flüssen verbunden sind, oder die Synchronisation mit Dreiecken oder anderen Bausteinen höherer Ordnung in Netzwerken höherer Ordnung. Diese Signale können synchronisiert werden, aber diese Synchronisation kann verloren gehen, wenn die Topologietransformation nicht korrekt durchgeführt wird.“

Die neue Studie schlägt eine Fourier-Transformation vor, die einem topologischen Signal entspricht und dies aufdecken kann. Die in der Studie entdeckten diskontinuierlichen Übergänge zeigen auch, dass das Synchronisierungsphänomen nicht nur spontan ist, sondern auch plötzlich auftritt. Dies verdeutlicht, wie die Topologie zu Beginn des Synchronisierungsübergangs drastische Änderungen der Dynamik verursachen kann.

Boco Park | Forschung/Von: Queen Mary University of London