Möchten Sie jemanden finden, der am selben Tag Geburtstag hat wie Sie? Es ist nicht so schwierig!

Wenn Sie hören, dass jemand am selben Tag Geburtstag hat wie Sie, würden Sie dann „was für ein Zufall“ ausrufen oder sogar unbewusst ein Gefühl der Nähe zu dieser Person entwickeln? Ist es Gottes Wille, dass Sie am selben Tag geboren wurden und sich in einer so großen Menschenmenge begegnet sind?

Nach wissenschaftlichen Berechnungen müssen wir sagen, dass diese Idee zu emotional ist. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Menschen am selben Tag geboren sind, wahrscheinlich viel größer als Sie denken.

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse die gleichen Geburtstage gefeiert werden?

Angenommen, in einer Grundschule gibt es 40 Schüler in einer Klasse. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie am selben Tag Geburtstag haben (im selben Monat)?

Dies ist eigentlich ein Problem der Permutationen und Kombinationen . Zunächst einmal: Wenn man davon ausgeht, dass die Menschen am selben Tag geboren sind, gibt es neben der einfachsten – nämlich, dass zwei Menschen am selben Tag geboren sind – viele mögliche Kombinationen. Derselbe Geburtstag kann an verschiedenen Tagen stattfinden. Beispielsweise wurden zwei Personen am 14. März und zwei Personen am 13. April geboren. Es können auch mehr als zwei Personen am selben Tag geboren sein. Beispielsweise wurden drei Personen am 14. März geboren.

Wenn wir dies berücksichtigen, können komplexe Situationen entstehen, beispielsweise dass an einem Tag drei Menschen geboren werden und an einem anderen Tag vier Menschen. Wenn Sie alle möglichen Kombinationen auflisten und dann die Wahrscheinlichkeiten addieren möchten, ist dies tatsächlich eine fast unmögliche Aufgabe.

Betrachtet man das Problem jedoch von der anderen Seite, wird es viel einfacher.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für doppelte Geburtstage und für keine doppelten Geburtstage in der gleichen Klasse beträgt 1. Wir müssen nur die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es keine doppelten Geburtstage gibt, und diese Wahrscheinlichkeit dann von 1 subtrahieren, um zu dem gewünschten Ergebnis zu gelangen.

Somit können wir das Problem auf die Wahrscheinlichkeit vereinfachen, dass in einer Grundschulklasse mit 40 Schülern keine zwei (oder mehr) Personen am selben Tag geboren werden.

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Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass zunächst alle aus dem Klassenzimmer eingeladen werden, und rufen dann die Schüler einzeln zurück. Dabei berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Geburtstage der neuen Schüler von denen der vorherigen Schüler abweichen.

Angenommen, der erste Schüler, der den Klassenraum betritt, hat am 14. März Geburtstag. Wir laden den zweiten Schüler ein, einzutreten. Um die Anforderungen der Frage zu erfüllen, kann der Geburtstag des zweiten Schülers jeder beliebige Tag der 365 Tage außer dem 14. März sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schüler einen anderen Geburtstag hat als der erste, beträgt 364/365. (Wir gehen hier von zwei Annahmen aus. Erstens werden Schaltjahre nicht berücksichtigt und zweitens sollte die Geburtenrate an jedem Tag des Jahres gleich sein. )

Bitte laden Sie den dritten Schüler ein, hereinzukommen. Er darf nicht am selben Tag Geburtstag haben wie die beiden vorherigen Schüler. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit jetzt (364/365)×(363/365). Die erste Klammer stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass die ersten beiden Schüler an unterschiedlichen Orten Geburtstag haben, und die zweite Klammer stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der dritte Schüler an einem anderen Ort Geburtstag hat als die ersten beiden. Das Ergebnis der Multiplikation ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass vier Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, beträgt (364/365)×(363/365)×(362/365)…

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Und so weiter, ** rechnen Sie weiter bis zur 40. Person und subtrahieren Sie dann die berechnete Wahrscheinlichkeit von 1. Dies ist die Antwort auf die Frage, die wir wissen möchten, ** nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei 40 Personen der Geburtstag wiederholt.

Das Endergebnis beträgt 89,1 %. Ist es größer als erwartet?

Bei einer weiteren Zunahme der Studierendenzahlen wird die Wahrscheinlichkeit stark steigen. Bei einer Klasse von 50 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit bei 97,0 %, bei 60 Personen erreicht sie 99,4 % und bei 70 Personen beträgt sie bereits 99,9 %. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 70 Personen niemand am selben Tag Geburtstag hat, liegt unter eins zu tausend.

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Tipp: Im eigentlichen Vorgang müssen wir nicht dreißig oder vierzig Mal dumm rechnen. Computersoftware (eine einfache Tabellenkalkulation reicht aus) kann uns bei der Erledigung dieser sich wiederholenden und langwierigen Aufgabe helfen.

Es gibt ein sehr klassisches mathematisches „Paradoxon“, das „Geburtstagsproblem“: Wie viele Personen müssen sich in einem Raum aufhalten, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, größer als 50 % ist?

Basierend auf der oben beschriebenen Berechnungsmethode können wir leicht die Antwort ermitteln: 23 Personen. Ich glaube, dass diese Zahl niedriger ist als die intuitive Schätzung der meisten Leute. Obwohl es als „Paradoxon“ bezeichnet wird, ist das Geburtstagsproblem kein Paradoxon in dem Sinne, dass es logische Widersprüche verursacht. Es wird nur deshalb als Paradoxon bezeichnet, weil diese mathematische Tatsache der allgemeinen Intuition widerspricht. Schließlich würden die meisten Menschen meinen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von 23 Personen am selben Tag Geburtstag haben, deutlich unter 50 % liegen sollte.

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, jemanden zu treffen, der am selben Tag Geburtstag hat wie Sie?

An dieser Stelle haben Sie vielleicht eine Frage: Wenn die oben berechneten Wahrscheinlichkeiten unerwartet hoch sind, warum ist Ihnen dann seit Ihrer Kindheit in Ihrer Klasse noch nie jemand begegnet, der am selben Tag wie Sie geboren wurde?

Wenn Sie schlau genug sind, sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass es sich hier um eine andere Frage handelt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 40 Personen jemand mit dem gleichen Geburtstag wie Sie ist?

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Wir verwenden weiterhin die Denkmethode, bei der die Schüler einzeln in den Klassenraum gebeten werden, die Fragen zu beantworten. Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 40 Personen niemand am selben Tag Geburtstag hat wie Sie, und subtrahieren Sie dann diesen Wert von 1, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Zuerst betritt „ich“ den Klassenraum. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schüler, der den Klassenraum betritt, an einem anderen Tag Geburtstag hat als „ich“, beträgt 364/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite und dritte Schüler an einem anderen Tag Geburtstag haben als „ich“, beträgt (364/365) × (364/365). Wenn der vierte Schüler das Klassenzimmer betritt, lautet die Antwort (364/365) × (364/365) × (364/365) …

Analog dazu beträgt die Wahrscheinlichkeit beim n-ten Schüler (364/365) hoch n-1. Schließlich subtrahieren wir das obige Ergebnis von 1, was die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass es in einer Klasse von n Personen jemanden mit demselben Geburtstag wie Sie gibt. Die Berechnungsergebnisse sind wie folgt: eine Klasse mit 4 Personen (0,8 %), eine Klasse mit 23 Personen (5,8 %), eine Klasse mit 40 Personen (10,1 %) …

Die Ergebnisse entsprechen eher unserem allgemeinen Verständnis als die vorherige Frage. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 40 Personen ein Klassenkamerad am selben Tag Geburtstag hat wie Sie, 10,1 %.

Jeder von uns nimmt von der Kindheit bis zum Erwachsenenalter an vielen Kursen teil. Nach den obigen Berechnungsergebnissen wäre es ein wahres Wunder, wenn es von der Kindheit bis ins Erwachsenenalter in keiner Klasse Menschen mit demselben Geburtstag gäbe! Wir haben die Wahrscheinlichkeit auf der Grundlage von 60 Schülern pro Grundschulklasse, 70 Schülern pro Mittelschulklasse, 50 Schülern pro Oberschulklasse und 30 Schülern pro Universitätsklasse berechnet. Das Ergebnis liegt unter 5 zu 10 Millionen, was von der Wahrscheinlichkeit her auf dem Niveau eines Lotto-Jackpots liegt.

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Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von Menschen derselbe Geburtstag liegt, viel größer als viele Menschen erwarten, ganz zu schweigen von den Milliarden Menschen auf der Welt.

Da es in der täglichen Geburtenrate keinen nennenswerten Unterschied gibt, beträgt die Gesamtbevölkerung zu einem bestimmten Datum (beachten Sie, dass es sich bei dem Datum nicht um ein bestimmtes Jahr plus Datum handelt, wie etwa der 14. März und nicht der 14. März 1985) unter den 7 Milliarden Menschen auf der Welt ungefähr 20 Millionen. Wenn wir an die Menschen denken, die im Laufe der Geschichte gestorben sind, muss die Zahl der Menschen, die an einem bestimmten Tag geboren wurden, astronomisch hoch sein, und an jedem beliebigen Tag werden oder sterben zahllose Berühmtheiten.

Obwohl wir also hoffen, dass jeder Tag ein schöner, besonderer und magischer Tag ist, ist in Wirklichkeit jeder Tag gewöhnlich und alltäglich, und kein Tag kann als „Wundertag“ bezeichnet werden.

Dieser Artikel wurde von Science Popularization China erstellt, von Li Rui (Universität Osaka) produziert und vom Computer Network Information Center der Chinesischen Akademie der Wissenschaften betreut.

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