Was erschreckender ist als die Nichtexistenz der Physik ist Pi丨Happy Pi Day

In „Die drei Sonnen“ fragte sich Yang Dong vor seinem Selbstmord voller Angst:

„Natur, ist das wirklich natürlich?“

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Diese Frage

Du

Hast Du Angst?

...

1

Tag des Antrags

Das ist der einzigartigste Vorschlag, den ich je gesehen habe.

Heute, 14. März.

Ein Junge aus der Mathematikabteilung kniete plötzlich auf ein Knie, sah seine Freundin liebevoll an und holte ein … heraus.

...Apfelkuchen?

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Bei näherem Hinsehen stellte ich fest, dass dieser Apfelkuchen ein perfektes dreieckiges Stück war und von oben betrachtet genau mit der Kontur der folgenden Formel übereinstimmte:

Mir wurde plötzlich klar, dass sein Vorschlag genau das bedeutete.

Wenn Ihnen diese Formel nicht geläufig ist, setzen wir den Slice zurück:

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Ähnelt seine Form nicht einem Kreis?

Wenn Sie einen Mini-Kuchen mit nur 1 cm Durchmesser backen, steht heute der Umfang im Vordergrund:

π.

Erinnern Sie sich an die Pi-Formel, die Sie als Kind von Ihrem Mathematiklehrer auswendig lernen mussten?

3.141592653..

Heute.

14. März, Internationaler Pi-Tag.

Sie werden schnell feststellen:

Hinter diesen Zahlen

Inbegriffen,

Das gesamte Universum.

2

Spezialisiert auf die Behandlung verschiedener Unzufriedenheiten

Soweit ich mich erinnere, wurden im Mai alle unruhig, als die Aufnahmeprüfung für das College näher rückte.

Eines Tages schrieb der Mathematiklehrer diese Formel an die Tafel:

„Wie oft habe ich betont, dass die großen Fragen einen vollständigen Berechnungsprozess erfordern, aber was ist mit dem Ergebnis? Sie schreiben die Antwort doch gerne einfach auf, oder? Okay, wer kann mir sagen, was die Antwort auf diese Formel ist?“

Im Klassenzimmer herrschte Stille.

Der Lehrer klopfte mit einem Lineal an die Tafel und sagte: „Du kannst nicht einmal π erkennen, worauf bist du so stolz?“

Später, im Mathematikunterricht an der Uni, erfuhr ich, dass es sich dabei um das Wallis-Produkt handelte, das John Wallis 1655 entdeckt hatte, die zweite unendlich lange Formel für Pi, die in Europa entdeckt wurde :

Einfacher Beweisprozess des Wallis-Produkts

Kein Wunder, dass wir sie damals nicht beantworten konnten!

Es handelt sich um einen Angriff zur Dimensionsreduktion, einen bloßen Angriff zur Dimensionsreduktion.

Ich denke jedoch, dass es sich lohnt, diesen Trick des Mathelehrers zu lernen!

Wenn Sie das nächste Mal die Tiefe der anderen Person testen möchten, können Sie auch nach dem Wert der folgenden Formel fragen:

Wenn Ihr Gegenüber schweigt, können Sie ernst sagen: „ Sie kennen π nicht einmal, Sie sollten mehr Bücher lesen. “

Schließlich handelt es sich hierbei um Leibniz‘ Formel für π , und bei genügend Termen nähert sich die Summe langsam π an.

Allerdings ist die Konvergenzrate dieser Reihe sehr langsam und es sind 500.000 Elemente erforderlich, bevor sie auf die fünfte Dezimalstelle von π genau ist …

Aber egal was passiert, π ist das Heilmittel für alle Arten von Unzufriedenheit!

3

Unendliche Nichtschleife

Sehen wir uns ein Mathematikproblem aus der Grundschule an:

Bitte verschieben Sie ein Streichholz, sodass aus der unten stehenden Gleichung eine weitere Näherungsgleichung wird.

Antwort anzeigen

Der Grund, warum in der Frage „Näherungsgleichung“ betont wird, liegt darin, dass π eine irrationale Zahl ist und nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann . Obwohl wir häufig Brüche wie 22/7 verwenden, um π anzunähern, ist π tatsächlich eine unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl .

Allerdings kann jede irrationale Zahl in Form eines Kettenbruchs ausgedrückt werden, und π ist da keine Ausnahme, zum Beispiel:

Wenn wir an einem beliebigen Punkt abschneiden, können wir einen ungefähren Wert von π erhalten. Wenn wir an der zweiten Zeile abschneiden, erhalten wir 22/7; Wenn wir bei der vierten Zeile abschneiden, erhalten wir 355/113.

Auf diese beiden Werte wird hingewiesen, weil sie sich in der Vergangenheit als Näherungswerte für Pi bewährt haben.

Im Jahr 250 v. Chr. schlug Archimedes in seiner Abhandlung „Über die Messung des Kreises“ vor:

Er verwendete die Kreisschneidemethode:

Schematische Darstellung der Kreisschneidemethode, Quelle [1]

Der Umfang eines Kreises liegt zwischen seinem umschriebenen Polygon und seinem eingeschriebenen Polygon . Wenn wir die Anzahl der Seiten des Polygons weiter erhöhen, können wir den Unterschied im Umfang weiter verringern. Daher können wir durch Berechnung des Umfangs des Polygons die Ober- und Untergrenze des π-Werts mit einer gewissen Genauigkeit ermitteln.

Auch im alten China hat unsere Erforschung der Zahl Pi eine lange Geschichte.

Im ältesten Astronomie- und Mathematikbuch meines Landes, „Zhou Bi Suanjing“, gibt es einen Satz: „Die Methode der Zahlen kommt vom Kreis und vom Quadrat.“ Zhao Shuang, ein Mathematiker aus der Zeit der Drei Reiche, kommentierte dies wie folgt: „Der Durchmesser eines Kreises beträgt eins und der Umfang drei.“ Dies bedeutet, dass der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 1 ungefähr 3 beträgt.

Es ist ersichtlich , dass wir damals als grobe Schätzung von Pi den Wert 3 verwendet haben .

Im Jahr 462 n. Chr. hielt Zu Chongzhi in seinem Buch „Zhuishu“ den von ihm berechneten ungefähren Pi-Wert fest, der 355/113 beträgt. Der in eine Dezimalzahl erweiterte Wert lautet 3,1415929203 ...

Fast 800 Jahre lang war dies die genaueste Schätzung von π.

Tatsächlich hatte die Schätzung von Pi in der Antike eine sehr direkte praktische Bedeutung.

Damals machten sich beispielsweise sowohl die einfachen Leute als auch die königlichen Adligen große Sorgen über eine Sache: Wann würde es regnen und wie viel würde es regnen.

Aus diesem Grund mussten die Hofbeamten den Kalender überarbeiten, was Kreisberechnungen erforderte. Wenn der Näherungswert von π einen großen Fehler hätte, wäre es unmöglich, die vier Jahreszeiten genau vorherzusagen, was sich letztlich direkt auf die Lebensgrundlage der Menschen im ganzen Land auswirken würde .

Die Genauigkeit von 355/113 lässt sich anhand eines Beispiels konkret erfühlen:

Geht man davon aus, dass der Durchmesser eines Kreises 10.000 Meter beträgt, so liegt der damit berechnete Umfang nur knapp 3 Millimeter über dem wahren Wert!

Daher ist Zu Chongzhis Leistung sowohl für die damalige Bevölkerung als auch für den Forschungsfortschritt späterer Generationen von großer Bedeutung.

4

Werfen Sie zufällig eine Nadel, um π zu erhalten

Da heute der Internationale Pi-Tag ist, warum nicht beim Kuchenessen ein kleines Spiel spielen?

Zeichnen Sie auf ein Blatt Papier parallele Linien im Abstand von 4 cm, suchen Sie n 2 cm lange Zahnstocher, werfen Sie sie nach dem Zufallsprinzip auf das Papier und zählen Sie schließlich, wie oft die Zahnstocher die parallelen Linien k-mal kreuzen, und berechnen Sie den Wert von n/k.

Zufallswurf

Nach der Statistik wurde festgestellt, dass der Wert von n/k sehr nahe an Pi liegt!

Dies ist eigentlich das berühmte Buffon-Experiment.

Angenommen, es gibt eine Reihe paralleler Linien mit einem Abstand a und die Länge des geworfenen Zahnstochers beträgt l, dann kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Zahnstocher die gerade Linie schneidet, einfach wie folgt berechnet werden:

Einfaches schematisches Diagramm

Angenommen, der Zahnstocher AD schneidet die Gerade MN, B ist der Mittelpunkt des Zahnstochers, der Winkel zwischen dem Zahnstocher und der Geraden ist θ und der vertikale Abstand vom Punkt B zur Geraden MN ist s. Dann muss s≤lsinθ/2 erfüllt sein, damit der Zahnstocher die Gerade schneidet.

Der Winkel θ, in dem der Zahnstocher die Gerade MN schneidet, variiert von 0 bis π, und der Bereich von s variiert von 0 bis a/2. Ein einfaches Diagramm wird wie folgt gezeichnet:

Die Kurve im Diagramm ist s = lsinθ/2, und der schattierte Teil stellt den Schnittpunkt des Zahnstochers und der Geraden dar. Die Fläche dieses Rechtecks ​​stellt die Gesamtzahl der Würfe dar , daher kann die Schnittwahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden:

Im obigen Spiel haben wir den Parameter a=2l gewählt, also erhalten wir n/k=π.

Theoretisch kann man mit zunehmender Anzahl von Würfen einen immer genaueren π-Wert erhalten. Viele Menschen haben im Laufe der Geschichte dieses Experiment durchgeführt :

Tabelle einiger historischer experimenteller Daten, Quelle [2]

Bei genauerem Hinsehen werden Sie feststellen, dass die Genauigkeit des π-Wertes nicht proportional zur Anzahl der Würfe zu sein scheint.

Rudolph warf die Würfel 5.000 Mal, Lazzlini hingegen nur 3.408 Mal, doch der von ihm ermittelte π-Wert war viel genauer als der von Rudolph.

In diesem Zusammenhang vermuten viele Wissenschaftler, dass Lazlinis Daten gefälscht sind.

Tatsächlich geht es bei diesem Wurfexperiment aber auch um das Problem des optimalen Stoppens : Wie oft muss man werfen, um anzuhalten und eine bessere Lösung zu erhalten?

Abgesehen davon war das Buffon-Experiment das erste Beispiel für die Darstellung eines Wahrscheinlichkeitsproblems in geometrischer Form . Es war das erste Mal, dass ein Zufallsexperiment zur Lösung eines deterministischen mathematischen Problems eingesetzt wurde. Dies war nicht nur der Prototyp der Monte-Carlo-Methode , sondern förderte auch die Geburt der Integralgeometrie .

Aber vergessen Sie nicht, alles begann mit unserem Wunsch, den Wert von π herauszufinden.

Es scheint, als ob uns etwas mitzieht. Im Zuge unserer fortwährenden Erforschung von Pi haben wir eine noch größere und grenzenlosere Welt berührt.

5

Aufwärmübungen für Supercomputing

Unsere Erforschung der Zahl Pi erstreckt sich über Tausende von Jahren und hat nie aufgehört. Wenn wir die Uhr drehen und schnell in diese Ära vorspulen, hat die Geschichte von Pi neue Akteure:

Supercomputer.

Im August 2021 brachen Schweizer Wissenschaftler den Weltrekord, indem sie mit einem Supercomputer Pi auf 62,8 Billionen Dezimalstellen berechneten, was 108 Tage und 9 Stunden dauerte.

Unerwartet wurde der Rekord etwas mehr als ein halbes Jahr später erneut gebrochen!

Im März 2022 berechnete Google Cloud alle 100 Billionen Dezimalstellen , was weniger als 158 Tage dauerte, und die 100-Billionste Dezimalstelle war genau 0.

Die letzten 100 Ziffern von Pi auf die 100-Billionstel Dezimalstelle genau, Quelle [3]

Tatsächlich lässt sich aus der Perspektive tatsächlicher Messungen der Umfang des beobachtbaren Universums auf die Größe eines Atoms genau berechnen , wenn der Pi-Wert auf 39 Stellen genau ist. Damit kann der Rechenbedarf der meisten gegenwärtigen Kosmologen gedeckt werden.

Welchen Sinn hat es dann, Billionen von Dezimalstellen zu berechnen?

Haben Sie schon einmal darüber nachgedacht, wie wir eine Reihe von Indikatoren wie die Zuverlässigkeit, Genauigkeit und Rechengeschwindigkeit von Supercomputern testen können, wenn diese sich so schnell entwickeln?

Jetzt ist π an der Reihe, auf die Bühne zu kommen!

Die Berechnung mehrstelliger π-Werte mithilfe von Supercomputern ist eine gängige Methode, um die Computerleistung zu testen und Rechenmethoden zu verbessern.

So wie wir immer wieder Rekorde beim Besteigen des Mount Everest brechen, ist für uns Supercomputer der Wert von π der Gipfel, den sie erklimmen müssen.

Einfach ausgedrückt müssen wir zunächst das Programm zur Berechnung des π-Werts auf einem funktionierenden Supercomputer verwenden und mehrere Experimente durchführen, um zu bestätigen, dass mit dem Programm kein Problem vorliegt.

Verwenden Sie dieses Programm dann auf der Testmaschine. Wenn die Testmaschine bei der Berechnung von Pi einen Fehler macht, bedeutet dies, dass ein Problem mit der Hardware dieses Supercomputers vorliegt und weitere Überprüfungen und Anpassungen erforderlich sind.

Aus dieser Perspektive ist der unendliche Wert von Pi wahrscheinlich eine Aufwärmübung für Supercomputer .

Wenn ein Supercomputer den Weltrekord für den Wert von π bricht, ist die Aufwärmphase vorbei und der nächste Schritt besteht darin, seine Brillanz in anderen Forschungsbereichen unter Beweis zu stellen.

6

Kosmischer Code

In „Die drei Sonnen“ fragt Yang Dong, bevor er Selbstmord begeht: „Ist die Natur wirklich natürlich?“

Carl Sagan deutete in seinem Roman Contact an, dass der Schöpfer des Universums in der Zahl π eine Botschaft versteckt habe .

Daher ist die Natur für viele π-Fans möglicherweise nicht natürlich und der ultimative Code könnte in π verborgen sein .

Beispielsweise beträgt das Massenverhältnis von Protonen zu Elektronen ungefähr 1836, was genau dem gerundeten Wert von 6π5 entspricht.

Moment, ist das wirklich nur ein Zufall?

Könnten die intrinsischen Eigenschaften von Elementarteilchen eng mit einigen geometrischen Merkmalen im Universum zusammenhängen?

Für diese Aussage gibt es bislang keine theoretische Grundlage und es ist sehr wahrscheinlich, dass es sich lediglich um einen Zufall handelt …

Interessanter im Vergleich ist, dass der Wert von π2 sehr nahe am Wert der Erdbeschleunigung g liegt .

Das ist kein Zufall! Dies alles hat mit der Definition der Längeneinheit m zu tun.

Im Jahr 1660 schlug die Royal Society of London vor, dass ein einfaches Pendel von etwa einem Meter Länge auf der Erdoberfläche etwa in einer Sekunde einmal schwingen würde.

Das heißt, die ursprüngliche Definition der Länge m ist: die Länge eines einfachen Pendels mit einer Schwingzeit von 1 s .

Schauen wir uns die Periodenformel eines einfachen Pendels an:

Da T die Zeit beschreibt, die für einen Hin- und Rückweg benötigt wird, setzen wir T=2s ein, ignorieren die Einheiten und transformieren es einfach, um zu erhalten:

Da wir die Länge L des einfachen Pendels zu diesem Zeitpunkt als 1 m definieren, können wir davon ausgehen, dass die Werte von π2 und g gleich sind!

Das heißt, ganz am Anfang ist π2=g.

Später haben wir die Definition der Längeneinheit m weiter angepasst, was zu Änderungen des Wertes führte, der Unterschied war jedoch nicht groß, sodass das aktuelle π2 sehr nahe am Wert der Erdbeschleunigung g liegt, aber nicht vollständig gleich ist.

Darüber hinaus erscheint π auch in verschiedenen physikalischen Welten:

Feinstrukturkonstante

Heisenbergsche Unschärferelation

Maxwell-Ratenverteilungsfunktion

Tatsächlich erscheint π nicht nur in verschiedenen physikalischen Formeln, sondern auch unser tägliches Leben ist eng damit verbunden.

In „Person of Interest“ gibt es einen sehr faszinierenden Clip, der unsere aufmerksame Betrachtung verdient.

Jetzt esse ich einen 3,14-Dollar-Kuchen.

Schauen wir uns die Magie von π genauer an.

Es ist eine irrationale Zahl, unendlich und nicht wiederholbar;

Es handelt sich außerdem um eine transzendente Zahl und nicht um die Wurzel irgendeines Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

Es enthält alle unendlichen Möglichkeiten des Universums.

Die Bedeutung einer Party für einen Heiratsantrag ist also ...

Im Namen von Pi

„

Wie du,

Ich weiß nicht, woher es kam.

Über alles hinaus,

Unendlich,

Lauf auf dich zu.

„

Ich verstehe!

Warum stehst du da? Warum isst du immer noch Kuchen?

Ich rede von dir!

Warum beeilst du dich nicht und gehst und drückst deine Gefühle aus?

Oh, das stimmt!

Denken Sie daran, in Ruhe zu diskutieren:

Ist die Natur wirklich natürlich?

Quellen:

[1] Wikipedia: Pi

[2] Der Code von Pi

[3] Google Cloud Blog

Herausgeber: Müllers Kindermädchen