Untergraben Sie Ihre Wahrnehmung: Die Wahrscheinlichkeit, eine Münze zu werfen, beträgt nicht 50 %

Prüfungsexperte: Liu Yuhang

PhD, Internationales Zentrum für mathematische Forschung Peking

Ich glaube, viele Menschen haben diesen Satz schon einmal gehört: „Wenn Sie vor zwei verschiedenen Möglichkeiten stehen, hilft es immer, eine Münze zu werfen. Nicht, weil Sie dadurch die richtige Wahl treffen, sondern weil Ihnen in dem Moment, in dem Sie die Münze in die Luft werfen, die gewünschte Antwort in den Sinn kommt.“ Die einfache Aktion des Münzwerfens scheint Menschen bei der Entscheidungsfindung zu unterstützen, indem sie auf mögliche Zufallsergebnisse warten. Tatsächlich ist es im täglichen Leben bereits untrennbar mit unseren Emotionen und unserer Psychologie verbunden.

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Vor hundert Jahren schlug der Mathematiker Jacob Bernoulli durch experimentelle Überprüfung und statistische Analyse das berühmte „Gesetz der großen Zahlen“ vor und kam zu dem Schluss, dass jedes Mal, wenn eine Münze nach oben geworfen wird und fällt, die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl nach oben zeigt, gleich groß ist (in beiden Fällen 50 %). Diese Schlussfolgerung wurde in die Lehrbücher aufgenommen und beeinflusste Generationen von Schülern. Wussten Sie also, dass eine Wahrscheinlichkeit von 50 % nur unter idealen Bedingungen erreicht werden kann?

Mit anderen Worten gilt der Münzwurf aus der Perspektive der Wahrscheinlichkeitsstatistik als idealer Lotterievorgang, der nicht von Faktoren wie dem Winkel, in dem der Forscher die Münze wirft, der Anfangsgeschwindigkeit und -richtung der Münze, der Form, Größe und Masse der Münze usw. beeinflusst wird. Im wirklichen Leben ist das Werfen einer Münze jedoch ein komplizierter Vorgang, und sein Ergebnis wird von den psychologischen und physiologischen Faktoren des Werfers sowie den oben genannten Faktoren beeinflusst. Das Vorhandensein dieser Interferenzen führt zu einigen Abweichungen in den endgültigen statistischen Ergebnissen, was dazu führt, dass die im Experiment erhaltenen Häufigkeitsdaten der Kopf- (Zahl-)Seite nach oben um etwa 50 % schwanken.

Jacob Bernoulli Quelle: Baidu Enzyklopädie

Münzwurfmodell

Im Jahr 2007 ergab ein physikalisches Modell des menschlichen Münzwerfens, das von den drei Forschern Diaconis, Holmes und Montgomery entwickelt wurde, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewöhnliche Münze nach dem Werfen auf derselben Seite landet, auf der sie ursprünglich gelandet ist, bei etwa 51 % liegt.

Im Rahmen der Studie sammelten die Forscher 46 verschiedene Münzen und führten 350.757 Tests durch. Die experimentellen Daten stimmten mit den Modellvorhersagen überein. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf derselben Seite landet, Pr(gleiche Seite) = 0,50895 %, mit einem Konfidenzintervall (CI) von [0,506, 0,509].

Andere Daten zeigen jedoch, dass der Grad der Abweichung von Person zu Person unterschiedlich ist. Bei manchen Menschen liegt die Wahrscheinlichkeit, die Münze auf die gleiche Seite wie die Ausgangsseite zu werfen, bei 60,1 %, bei anderen beträgt sie nur 48,7 %. Nach Analysen und Untersuchungen geht man davon aus, dass unterschiedliche Personen beim Münzwurf zwar unterschiedliche außeraxiale Rotationen erzeugen können, wodurch die Münze wackelt und somit eine größere Differenz auf der gleichen Seite entsteht, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze nach dem Fallen auf der gleichen Seite landet, jedoch immer noch höher ist. Daraus schloss das Forschungsteam, dass beim Werfen einer normalen Münze die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf derselben Seite landet wie beim ersten Mal, höher ist – etwa 51 Prozent.

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Schere, Stein, Papier

Zufälligerweise liegt im wirklichen Leben neben der ungleichen Wahrscheinlichkeit, dass beim Münzwurf Kopf oder Zahl nach oben fällt, auch die Gewinnquote beim bekannten Spiel „Schere, Stein, Papier“ nicht bei einem fairen Drittel. Daten aus einer großen Zahl von Mensch-Computer-Experimenten zufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in einem normalen Geisteszustand drei Gesten ausführt, Stein (35,4 %), Schere (35 %) und Papier (29,6 %). Experimente haben außerdem gezeigt, dass Menschen, die bei Wettkämpfen mehrere Male hintereinander verlieren oder offensichtliche Gefühlsschwankungen aufweisen, eher dazu neigen, die letzte Entscheidung des Gewinners nachzuahmen. Unter dem Einfluss menschlicher psychologischer Faktoren weichen experimentelle Ergebnisse häufig von theoretischen Werten ab. Bei einem Schere-Stein-Papier-Experiment mit geschlossenen Augen, das an Freiwilligen durchgeführt wurde, war die Gewinnrate der Spieler mit offenen Augen viel niedriger als die der Spieler mit geschlossenen Augen. Diese Experimente beweisen, dass komplexe und ungenaue psychologische Faktoren und die Verhaltensinterferenz der anderen Partei das Urteilsvermögen des Gehirns der Teilnehmer beeinflussen und dazu führen, dass sie im Spiel unterschiedlich reagieren. Die endgültigen experimentellen Daten stellen daher nicht die mögliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die drei Gesten dar.

Schere-Stein-Papier-Spiel Quelle: Pixabay Würfelwurf

Darüber hinaus ist auch das im Leben übliche Würfelspiel ein Spiel, das zwar fair erscheint, in Wirklichkeit jedoch von mehreren Faktoren beeinflusst wird und bei dem die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse nicht gleich ist.

Aus der Perspektive der Wahrscheinlichkeit sollte die Anzahl der beim Würfeln erzielten Punkte zufällig und gleich wahrscheinlich sein. In der Praxis beeinflussen jedoch Faktoren wie die beim Würfeln verwendete Kraft, der Wurfwinkel, die Höhe über dem Tisch, die Form und Größe des Würfels sowie die Gleichmäßigkeit seiner Masse das Endergebnis. Diese Faktoren zusammen führen dazu, dass beim tatsächlichen Würfeln nicht alle möglichen Augenzahlen erscheinen können und es hängt auch mit der Augenzahl zusammen, die beim bloßen Würfeln nach oben zeigt. Auch Spiele wie das Werfen von Kronkorken scheinen fair zu sein, werden aber tatsächlich von mehreren Faktoren beeinflusst und die Ergebnisse erfüllen möglicherweise nicht die Anforderung, dass das Verhältnis der beiden nach oben zeigenden Seiten gleich ist.

Würfeln Quelle 丨pixabay

Da eine große Zahl von Versuchsergebnissen in der Praxis kein exaktes Verhältnis von 50 % ergeben kann, warum kommt man dann in der mathematischen Wahrscheinlichkeitsstatistik zu dem Schluss, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die positive (oder negative) Seite nach oben zeigt, gleich ist und jeweils die Hälfte ausmacht? Wenden wir uns noch einmal dem eingangs erwähnten Gesetz der großen Zahlen zu. Mathematiker haben herausgefunden, dass bei einer großen Anzahl von Wiederholungen eines Experiments die Häufigkeit jedes Ergebnisses irgendwann unendlich nahe an die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses heranreicht und sich in der Nähe dieses Wertes stabilisiert. Dies spiegelt die statistische Regelmäßigkeit wider, der Zufallsphänomene in einer großen Zahl wiederholter Experimente folgen, und dem Zufall liegt eine Art Unvermeidlichkeit zugrunde. Bei den im Artikel erwähnten experimentellen Daten handelt es sich um Ergebnisse, die durch eine große Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Wiederholungsereignisse erzielt wurden. Im tatsächlichen Betrieb werden sie jedoch von vielen Faktoren beeinflusst, sodass es zu Abweichungen von der endgültigen Wahrscheinlichkeit kommen kann. Wenn es jedoch gelingt, die Versuchsbedingungen streng einzuschränken und die Einflüsse relevanter Faktoren so weit wie möglich auszuschließen, wird das Endergebnis, das durch unendliche Wiederholung des Experiments erzielt wird, mit Sicherheit unendlich nahe an der idealen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses liegen.