Sie werden es auf jeden Fall verstehen, wenn Sie Iteration sagen.

Anmerkung des Herausgebers

In der Wissenschaftskommunikation gibt es ein interessantes Phänomen: Je grundlegender und schwieriger das Wissen ist, desto reichhaltiger und zahlreicher sind die dazugehörigen populärwissenschaftlichen Werke. Ein offensichtliches Beispiel ist, dass die populärwissenschaftliche Lektüre zu Mathematik und Physik die zu anderen Themen bei weitem übersteigt. Die populären Interpretationen berühmter Vermutungen und Paradoxe in der Mathematik, der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik in der Physik usw. können als zahlreich bezeichnet werden. Dies zeigt zumindest, dass es auch für schwierige Themen leicht verständliche Einstiegspunkte geben kann. Ein guter populärwissenschaftlicher Autor kann die Verständnisschwierigkeiten der Leser verringern, indem er sich Mühe bei der Erklärung gibt. Dieser Artikel möchte mit der elementaren Mathematik beginnen und ausführlich auf das äußerst wichtige Konzept der „Iteration“ in der Mathematik eingehen.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Das Wort Iteration ist manchen Leuten vielleicht unbekannt, aber es hat in der Mathematik eine lange Geschichte. Vor etwa 3.500 Jahren entwickelten die alten Babylonier eine raffinierte Methode, um die Quadratwurzel einer gegebenen positiven Zahl A sukzessive zu approximieren. Um es heute klassisch auszudrücken: Sie lösten die Gleichung x^2 – A = 0 mit dem bekannten Newton-Iterationsverfahren. Heute ist die Iteration in fast allen Bereichen der mathematischen Welt aktiv präsent und verschiedene iterative Methoden zum Lösen von Gleichungen sind die Werkzeuge, die Computermathematiker und Ingenieure nie mehr loslassen.

Um zu veranschaulichen, was Iteration ist, nehmen wir einen idealen Taschenrechner mit einem angenommenen Fehler von Null, geben eine Zahl ein, sagen wir 0,5, und drücken dann die Quadrattaste mit der Aufschrift „x^2“. Das Ergebnis wird auf dem kleinen Bildschirm angezeigt: 0,25. Wenn Sie die Quadrat-Taste erneut drücken, ist das Ergebnis 0,0625. Drücken Sie die Taste wiederholt und Sie erhalten 0,00390625. Durch wiederholtes Drücken erscheint eine Zahlenreihe, beginnend mit der „Anfangszahl“ 0,5:

0,5, 0,25, 0,0625, 0,00390625, 0,0000152587890625, …

Auch wenn wir nach der Berechnung dieser Schritte möglicherweise die Geduld verlieren und die Taste nicht noch einmal drücken möchten, können wir anhand der sich ändernden Trends der obigen Zahlen zumindest erkennen, dass diese immer kleiner werdenden Zahlen letztendlich gegen 0 tendieren.

Tatsächlich sind solche Berechnungen so einfach, dass sogar ein Kindergartenkind dazu in der Lage zu sein scheint. Selbst wenn sie ihre Taschenrechner wegwerfen, können Grundschüler diese „Quadrate“ immer noch einzeln mit Papier und Stift berechnen. Wenn man es mit den mathematischen Konzepten ausdrückt, die man in der Mittelschule gelernt hat, stellt die Quadrattaste auf dem Taschenrechner die Funktion „x zum Quadrat“ dar.

Die erste Zahl 0,5 in der obigen Reihe ist ein von uns gewählter Anfangswert, die zweite Zahl 0,25 ist der Funktionswert der x-Quadrat-Funktion, wenn x = 0,5, die dritte Zahl 0,0625 ist der Funktionswert der x-Quadrat-Funktion, wenn x = 0,25, die vierte Zahl 0,00390625 ist der Funktionswert der x-Quadrat-Funktion, wenn x = 0,0625, die fünfte Zahl 0,0000152587890625 ist der Funktionswert der x-Quadrat-Funktion, wenn x = 0,00390625 usw.

Wenn wir die x-Quadrat-Funktion als „Black Box“ betrachten, gibt die Black Box den Funktionswert x2 aus, wenn wir den Wert von x eingeben. Bei der obigen Rechneroperation wird tatsächlich ein Anfangswert ausgewählt und in die Blackbox eingegeben. Anschließend wird der von der Blackbox ausgegebene Funktionswert immer und immer wieder bis ins Unendliche in dieselbe Blackbox eingegeben. Der gesamte Vorgang dieser „Black-Box-Operation“ wird in der Mathematik als Funktionsiteration oder kurz Iteration bezeichnet.

Nehmen wir allgemein an, wir haben eine Funktion y = f(x), die auf einem Intervall reeller Zahlen definiert ist, das das Definitionsbereichsintervall in sich selbst abbildet – das heißt, die unabhängige Variable x und die abhängige Variable y dieser Funktion nehmen beide Werte im Definitionsbereich an.

Bei der Betrachtung von Iterationen stoßen wir unweigerlich auf die beiden wichtigen Begriffe „Fixpunkt“ und „periodischer Punkt“. Wenn es im Definitionsbereich der Funktion f einen Punkt x* gibt, der die Gleichung f(x*) = x* erfüllt, d. h., das iterative Ergebnis von x* unter f ist immer noch x* selbst, wird dieser Punkt als Fixpunkt der Funktion f bezeichnet.

Die algebraische Bedeutung eines Fixpunkts ist x = x*, eine Lösung der Gleichung f(x) = x, und die geometrische Bedeutung sind die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen der Funktion f im xy-kartesischen Koordinatensystem auf der Ebene und der Diagonale y = x des Koordinatensystems. Da dieser Schnittpunkt sowohl auf dem Graphen der Funktion f als auch auf der Diagonalen des Koordinatensystems liegt, erfüllen seine beiden kartesischen Koordinaten (x*, y*) gleichzeitig die beiden Gleichungen y* = f(x*) und y* = x*.

Aus dem Obigen können wir ersehen, dass, wenn der Anfangspunkt ein periodischer Punkt ist, die gegebene Funktion zum ersten Mal zum Anfangspunkt zurückkehrt, wenn sie bis zu einem bestimmten Schritt iteriert, und dann den Zyklus unendlich wiederholt, genau wie ein starker Schüler, der jeden Morgen wieder und wieder um die ovale Laufbahn der Schule läuft. Wenn der Anfangspunkt kein periodischer Punkt ist, kehren alle iterativen Punkte, die von diesem Punkt ausgehen, natürlich nie zum Anfangspunkt zurück. Da wir nie zum Ausgangspunkt zurückkehren, muss der Endzustand dieser Iterationspunkte unvorhersehbar sein?

Es gibt eine weitere Situation, in der der Anfangspunkt weder ein periodischer Punkt noch ein endgültiger periodischer Punkt ist, d. h. alle entsprechenden iterativen Punkte unterscheiden sich voneinander, aber wir können trotzdem die endgültige Richtung der iterativen Punktreihe vorhersagen, beispielsweise wird die Reihe schließlich zu einer festen Zahl konvergieren oder sich immer mehr einer festen periodischen Umlaufbahn annähern oder gegen positiv unendlich divergieren oder gegen negativ unendlich divergieren oder ihre Absolutwertreihe wird gegen positiv unendlich divergieren. Um die Vorhersagbarkeit unter diesen verschiedenen Bedingungen zu analysieren und zu lösen, reichen die mathematischen Werkzeuge der elementaren Algebra nicht aus, und es sind einige Kenntnisse der elementaren Differentialrechnung erforderlich. Aus diesem Grund ist höhere Mathematik ein sehr nützliches Fach. Insbesondere der „Mittelwertsatz“ oder „Satz der monotonen Konvergenz“ in der Differentialrechnung bildet häufig die mathematische Grundlage für diesen analytischen Prozess. Da es sich bei diesem Artikel um eine „einfache Erklärung der Iteration“ handelt, werde ich die Anwendung eines der Theoreme später dennoch in einfacher Sprache erklären, es wird jedoch zum Verständnis beitragen, wenn es durch die visuelle Wirkung von Bildern ergänzt wird. Zu diesem Zweck führen wir zunächst eine „grafische Darstellung“ der Funktionsiteration ein, die für das Auge klarer ist, im Gegensatz zur oben erwähnten „algebraischen Darstellung“, die auf Funktionszuweisung beruht.

Wenn Sie beim Überprüfen der endgültigen Richtung der iterativen Punktsequenz das Gefühl haben, dass es zu zeitaufwändig ist, den Funktionswert immer wieder von Hand oder mit einem Taschenrechner zu berechnen, um einen iterativen Punkt nach dem anderen zu erhalten, können wir auch den Graphen der Funktion verwenden, um das Äquivalent der algebraischen Methode zu erreichen, solange die Graphenkurve genau genug gezeichnet werden kann. Mit dieser geometrischen Methode können wir uns vom Startpunkt aus schnell auf einem Abkürzungspfad vorwärts bewegen, der abwechselnd nach oben und unten sowie nach links und rechts abbiegt, sodass wir die „Bewegungsbahn“ der iterativen Punktreihe intuitiv beobachten und dann das endgültige Ziel der Umlaufbahn leicht erkennen können.

Allgemeiner gesagt kann mit der oben erwähnten „Graphi-Iterationsmethode“ schnell bewiesen werden, dass für eine lineare Funktion f(x) = ax + b, solange der Absolutwert des Koeffizienten a des x-Terms strikt kleiner als 1 ist, d. h. |a| < 1, dann tendiert die Folge der Iterationspunkte mit einer beliebigen reellen Zahl als Anfangspunkt schließlich zum einzigen Fixpunkt von f x* = b/(1-a), und wenn |a| > 1, dann wird die Folge der Iterationspunkte, die von einer beliebigen reellen Zahl ungleich b/(1-a) ausgeht, schließlich ins Unendliche divergieren. Im Gegensatz dazu wird die Analyse und der Beweis dieser beiden Tatsachen etwas länger dauern.

Für die obige lineare Funktion, deren Geradendiagramm ziemlich flach ist, sodass der Absolutwert der Steigung kleiner als 1 ist, gilt: Da der Fixpunkt x* = b/(1-a) die Punkte um ihn herum anzieht, wie ein schönes Mädchen die Jungen um sie herum anzieht, werden alle iterativen Punktumlaufbahnen, die von diesen nahegelegenen Punkten ausgehen, letztendlich zu ihm tendieren, sodass dieser Fixpunkt bildlich als attraktiv bezeichnet wird. Tatsächlich zieht der Fixpunkt x* nicht nur alle Punkte in seiner Nähe an, sondern auch alle Punkte auf der reellen Achse, sodass es sich um einen global attraktiven Fixpunkt handelt.

Wenn andererseits die Geradengrafik einer linearen Funktion sehr steil aussieht, so dass der Absolutwert ihrer Steigung größer als 1 ist, werden alle iterativen Punktfolgen, die von diesen Punkten ausgehen, schließlich von diesem Fixpunkt x* = b/(1-a) „wegbleiben“ und sich ihm nicht nähern, da dieser die umliegenden Punkte, die sich von ihm unterscheiden, „abstößt“, genau wie ein Kriegstreiber von den ihn umgebenden Pazifisten wegläuft. Dieser Fixpunkt wird als abstoßend bezeichnet und ist darüber hinaus global abstoßend.

Aus dem Obigen können wir erkennen, dass für jede lineare Funktion, die die Bedingung |a| erfüllt, ≠ 1, sein einziger Fixpunkt ist entweder global anziehend oder global abstoßend. Eine unmittelbare Folgerung ist, dass die Funktion keine anderen periodischen Punkte hat. Der Grund dafür ist einfach: Wenn es einen periodischen Punkt mit einer Periode größer als 1 gibt, seine Periode also beispielsweise drei ist, dann wechseln sich alle iterativen Punkte, die von diesem periodischen Punkt ausgehen, immer zwischen den drei Punkten derselben Umlaufbahn mit der Periode 3 ab. Wie könnten sie zu einem Fixpunkt tendieren oder gegen unendlich divergieren?

Ich bin überzeugt, dass die Leser nach der Lektüre nicht nur die Mathematik verstehen, sondern ihr erworbenes Wissen auch auf die beiden verbleibenden linearen Funktionen f(x) = x + b und g(x) = -x + b anwenden werden, die die oben genannten Bedingungen nicht erfüllen, und erkennen werden, wohin ihre jeweiligen iterativen Trajektorien letztendlich führen werden.

Auch hier zeigen beide nichtlinearen Funktionen die Regelmäßigkeit ihrer Iterationspunktbahnen: Für alle Anfangspunkte ist die endgültige Richtung der Iterationspunktfolge vorhersagbar und sie haben, außer dem einzigen Fixpunkt und zwei periodischen Punkten mit Periode 2, keine weiteren periodischen Punkte. In meinem nächsten populärwissenschaftlichen Artikel werde ich diese einfachen Funktionen besprechen, die sowohl Fixpunkte als auch periodische Punkte mit Perioden von 2 oder höheren Potenzen haben, und ihre historischen Verbindungen mit der Naturwissenschaft nachzeichnen.

Bisher habe ich keine formale Anwendung höherer Mathematik praktiziert. Ich habe elementare Mathematik verwendet, um iterative Probleme zu diskutieren und grundlegende Konzepte einzuführen. Manche Leser mit Doktortitel, Master- oder sogar Bachelor-Abschlüssen in Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften könnten den Inhalt als zu oberflächlich empfinden. Doch wie der Meister des mathematischen Schreibens und Präsentierens, der ungarisch-amerikanische Mathematiker Paul Halmos (1916–2006), Zeit seines Lebens stets betonte, ist die Wahrscheinlichkeit, die Herzen der Menschen zu erobern, umso größer, je elementarer ein öffentlicher Bericht ist. Nun werde ich versuchen, anhand eines quadratischen Polynoms eine wunderbare Anwendung der elementaren Differentialrechnung bei der Funktionsiteration zu demonstrieren. Selbst wenn der Leser noch nie mit der Infinitesimalrechnung in Berührung gekommen ist, spielt das keine Rolle, denn ich weiß, dass er oder sie zumindest die Algebra der Oberstufe versteht und über ein gewisses geometrisches Gespür verfügt. Darüber hinaus habe ich bereits versprochen, Mathematik in einfacher Sprache zu erklären, sonst wäre ich der im Titel versprochenen fünf Worte „Sie werden es bestimmt verstehen“ nicht würdig.

Die von mir angegebene Funktion ist f(x) = 2x(1-x), aber ihr Definitionsbereich ist auf das abgeschlossene Intervall [0, 1] beschränkt. Offensichtlich ist die Grafik von f eine Parabel, die durch die beiden Punkte (0, 0) und (1, 0) verläuft und sich nach unten öffnet, mit der Symmetrieachse x = 1/2 und dem höchsten Punkt bei (1/2, 1/2). Es liegt im Einheitsquadrat der Koordinatenebene, daher ist der Wertebereich von f [0, 1/2] und daher projiziert f [0, 1] in sich selbst. Daher können wir f von jedem Punkt im Definitionsbereich aus unendlich iterieren.

An diesem Punkt müssen wir von der elementaren Mathematik zur höheren Mathematik springen, und was wir brauchen, ist der oben erwähnte „Satz der monotonen Konvergenz“: Eine monotone beschränkte Folge muss einen Grenzwert haben. Sein Beweis erfordert das „Vollständigkeitsaxiom“ über alle reellen Zahlen. Dieses Axiom ist der Ausgangspunkt des Lehrbuchs „Advanced Calculus“ in den Vereinigten Staaten und gehört zum Kurs „Mathematical Analysis“ der Fakultät für Mathematik in China. Das folgende visuelle Beispiel kann uns jedoch dabei helfen, den obigen Satz besser zu verstehen: Stellen Sie sich eine Gruppe von Zehntausenden Soldaten vor, die vorwärts gehen. Dies entspricht einer monoton zunehmenden Folge. Wenn keine Hindernisse vor ihnen liegen, laufen die Soldaten weiter in die Ferne. Steht ihnen jedoch eine unüberwindbare Mauer im Weg, können sich die weiter vorrückenden Soldaten nur am Fuß der Mauer sammeln. Dies entspricht einer zunehmenden Folge mit einer Obergrenze, die zu einem Punkt konvergieren muss.

Tatsächlich haben wir oben nebenbei eine allgemeine Behauptung bewiesen. Als Abschlussgeschenk zu diesem Artikel schenken wir Ihnen Folgendes:

Vorschlag . Wenn eine Folge von Iterationspunkten einer Funktion f gegen x* konvergiert und f in x* stetig ist, dann ist x* ein Fixpunkt von f.

„Funktionsiteration“ ist ein mathematisches Thema mit reichhaltigem Inhalt und breiten Anwendungsmöglichkeiten. Aufgrund der Länge dieses Artikels habe ich in diesem Artikel nur einige geordnete iterative Prozesse vorgestellt, die „die Zukunft vorhersehen können“. Doch von der Ordnung zur Unordnung – also zum Chaos – stehen uns noch weitere magische Szenen bevor. Die Erklärung der dahinter stehenden mathematischen Operationen in einfacher, elementarer Sprache wird die Leitidee für alle weiteren Gespräche über Iteration sein.

Geschrieben am Montag, 27. März 2023

Hattiesburg Sommerhaus

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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