Die universellste Formel: die Fourier-Transformationsgleichung, die „alles zerlegt“

Es gibt so eine mysteriöse Gleichung. Es sieht anspruchsvoll und elegant aus, ist aber mühsam zu erlernen. Unzählige Schüler ärgerten sich einst über die Abstraktheit und das schwierige Verständnis der Sprache, wurden jedoch letztendlich durch ihre magischen Kräfte verwandelt und ihre Weltanschauung verändert.

Bei seiner Entwicklung handelte es sich um eine Problemlösungsmethode, die die komplexen mathematischen Berechnungen bei thermischen Problemen vereinfachen sollte. Nach seiner Bekanntmachung überschattete sein Ruhm das schwierige Problem, dem es ursprünglich diente.

Es verfügt über ein breites Anwendungsspektrum. Es kann Bilder verarbeiten, den Sternenhimmel interpretieren, beim Bau einsturzsicherer Häuser helfen und sich auch intensiv mit der Analyse von Finanzdaten befassen. Ob es sich um ein gemischtes Signal oder eine komplexe Faltung handelt, es kann durch seine Magie gezähmt werden und klar, prägnant und effizient werden.

Dies ist die große Fourier-Transformation . Wenn eine Wissenschaftsgeschichte mit Hilfe von Gleichungen geschrieben wird, wird die Fourier-Transformation auf jeden Fall einen Platz haben, nicht nur, weil sie an sich brillant genug ist, sondern auch, weil sie eng mit anderen großen Gleichungen verwandt ist.

1. Fourier zerlegt alles

Warum ist die Fourier-Transformation so nützlich? Weil es ein großartiges Werkzeug ist, um alles auseinanderzunehmen.

Ob es um die Erforschung von Dingen oder die Lösung von Problemen geht – in den Bereichen Wissenschaft und Technik geht man oft vom mathematischen Modell des Forschungsobjekts aus. Ton, Vibration, Bild, Sternenlicht ... um ihre funktionalen Inkarnationen zu finden, muss man die Oberfläche abtragen und das Skelett sehen.

Die Fourier-Transformation zerlegt diese mathematischen Skelette. Die Kernidee besteht darin, dass jedes Muster in Raum und Zeit als Überlagerung sinusförmiger Muster unterschiedlicher Frequenzen betrachtet werden kann. Stellen Sie eine Funktion bereit, die angibt, wie sich ein Signal im Laufe der Zeit ändert. Mithilfe der Fourier-Transformation können Sie die darin verborgenen Frequenzinformationen finden. Sie können die verschiedenen Schwingungen eines Erdbebens erfassen, das Rauschen aus einem Audioclip entfernen, die kosmische Mikrowellenstrahlung interpretieren oder Bilder verarbeiten und komprimieren.

Ein solcher Einfluss und eine solche Bedeutung hätten wahrscheinlich sogar Fourier selbst schockiert, obwohl er wusste, dass er auf einen Schatz gestoßen war, als er diese Transformation im frühen 19. Jahrhundert vorschlug. Damals hatte die französische Akademie der Wissenschaften eine gemischte Haltung gegenüber dieser Errungenschaft. Sie lobten die entsprechenden Formeln, weigerten sich jedoch, Fouriers preisgekrönte Memoiren zu veröffentlichen.

Wütend umging Fourier 1822 die Zensur und veröffentlichte die Fourier-Transformation in seiner Theorie der Wärmeanalyse. Zwei Jahre später kehrte Fourier als Sekretär der Akademie der Wissenschaften zurück und veröffentlichte die abgelehnten Memoiren in der renommierten Zeitschrift der Akademie.

Von ihrer offiziellen Veröffentlichung bis heute hat die Fourier-Transformation zwei Jahrhunderte durchlaufen. Aus historischer Sicht sind zwei Jahrhunderte nicht allzu lang, doch neue Errungenschaften bauen immer auf alten auf. Indem wir die Fourier-Transformation möglichst direkt dekonstruieren, können wir über das 19. Jahrhundert, als sie erstmals auftrat, hinausgehen und sie bis in die fernere Vergangenheit zurückverfolgen.

2. Jeder liebt Infinitesimalrechnung

Wenn man über die Fourier-Transformation spricht, kommt man um die Infinitesimalrechnung nicht herum. Dies liegt nicht nur daran, dass die Transformation selbst eine Integration beinhaltet, sondern auch daran, dass Fourier diese Transformation ursprünglich vorgeschlagen hat, um eine solche Gleichung zu lösen:

u(x, t) stellt die Temperatur eines Metallstabs an der Position x zum Zeitpunkt t dar und die Konstante α ist die Temperaturleitfähigkeit. Es ist ersichtlich, dass sich diese Gleichung auf die Temperaturänderung konzentriert.

Aus moderner Sicht ist es naheliegend, Derivate zur Untersuchung von Veränderungen zu verwenden. Das liegt natürlich daran, dass die Infinitesimalrechnung vollständig in unser Leben Einzug gehalten hat. Lange Zeit zuvor mussten Wissenschaftler jedoch oft zunächst den Durchschnittszustand in verschiedenen Zeiträumen schätzen und dann auf das allgemeine Änderungsgesetz des Objektzustands schließen.

Die Geburt der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert fiel mit dem Beginn des Zeitalters der Vernunft zusammen, und ein großer Wissenschaftler erlebte sein annus mirabilis. Zu dieser Zeit schloss Newton, der sich vor der Pest versteckt hielt, auf der Farm seiner Heimatstadt mehrere weltbewegende physikalische Studien ab. Im Zuge der Lösung dieser Probleme fand er ein fortschrittliches mathematisches Werkzeug, um die Idee der Grenze in den Ausdruck und die Berechnung von Änderungen einzuführen.

Auch die Infinitesimalrechnung war nach ihrer Veröffentlichung Gegenstand kontroverser Diskussionen, doch diesmal drehte sich die Debatte nicht mehr um die Frage, „ob das funktioniert“, sondern „wer das erfunden hat“. Zur gleichen Zeit entdeckte ein anderer großer Wissenschaftler, Leibniz, die gleiche Methode auf andere Weise. Von da an wurde die Frage „Wer ist der Vater der Infinitesimalrechnung?“ beinahe zur Zündschnur eines Pulverfasses, was leicht zu einem heftigen Streit führen konnte.

Wenn wir uns jedoch die bisherigen Forschungen der beiden genauer ansehen, werden wir feststellen, dass der Mensch schon seit langem ein Interesse an Unendlichkeit und Grenzen hat. Bereits 1656 hatte Wallis mit seiner Arithmetik der Unendlichen den Vorläufer der Differential- und Integralrechnung vorgeschlagen, und Fermat warf 1679 in seinem Werk Über Tangenten an Kurven wichtige, eng mit der Differential- und Integralrechnung verbundene Probleme auf. Die Geburt der Differential- und Integralrechnung stand unmittelbar bevor, und möglicherweise hat die Geschichte Newton und Leibniz gleichzeitig ausgewählt. Dies war ein Zufall und eine Notwendigkeit.

3. Unkonventionelle imaginäre Zahlen

Eine weitere wichtige Komponente bei der Fourier-Transformation ist die imaginäre Einheit i——

Für viele Menschen sind imaginäre Zahlen ein relativ neues Konzept. Schließlich verrät seine Definition einen unkonventionellen Punk-Stil – dieses Ding ist eigentlich das Produkt der Quadratwurzel einer negativen Zahl.

Tatsächlich sind imaginäre Zahlen historisch gesehen ein eher gespenstisches Konzept. Wissenschaftler haben schon vor langer Zeit entdeckt, dass es für manche Gleichungen, die in einer Sackgasse stecken, einen Ausweg gibt, wenn wir davon ausgehen, dass auch negative Zahlen quadriert werden können. Später begannen die Menschen aus praktischen Gründen und aus Neugier, imaginäre Zahlen zu verwenden. Frühe Mathematiker, darunter Descartes und Newton, interpretierten imaginäre Zahlen jedoch als Zeichen dafür, dass ein Problem keine Lösung hatte. Sogar Leibniz, der große Hoffnungen in imaginäre Zahlen setzte, wusste nicht, was sie waren.

Vom 17. bis zum frühen 19. Jahrhundert änderte sich die Situation allmählich. Mathematiker schlugen die komplexe Ebene vor, in der imaginäre und reelle Zahlen im selben Graphen erscheinen. Es war kein immaterielles Konzept mehr.

Natürlich gibt es noch etwas Wichtigeres, nämlich die Mitte des 18. Jahrhunderts veröffentlichte Euler-Formel.

Wenn z=π, ist die Formel noch erstaunlicher.

Somit kombiniert die imaginäre Zahl i zwei der bekanntesten Zahlen der Mathematik, e und π, zu einer eleganten Gleichung. Alles wurde plötzlich klar, und der spätere Physiker Feynman nannte es „unseren Schatz“ und „die außergewöhnlichste Formel der Mathematik“.

Nachdem sie Hunderte von Jahren lang im Hintergrund der wissenschaftlichen Welt trieben, wurden imaginäre Zahlen schließlich von der breiten Öffentlichkeit akzeptiert und erlebten im 19. Jahrhundert eine Blütezeit. In Verbindung mit der Infinitesimalrechnung führten sie zu unerwarteten Ergebnissen. Heutzutage sind komplexe Funktionen und Integraltransformationen zu Pflichtfächern geworden, die vielen Naturwissenschaftsstudenten Kopfzerbrechen bereiten.

4. Alte und junge trigonometrische Funktionen

Es gibt einen weiteren Teil der Fourier-Transformation, der genauso wichtig ist wie imaginäre Zahlen und die Infinitesimalrechnung. Was ist das? Dies sind die trigonometrischen Funktionen, die sogar Grundschüler kennen.

Zurück zur Kernidee der Fourier-Transformation: Jedes Muster in Raum und Zeit kann als Überlagerung sinusförmiger Muster unterschiedlicher Frequenzen betrachtet werden. Trigonometrische Funktionen fungieren hierbei als zerlegte Bausteine, die klein, fein, prägnant und übersichtlich sind. Natürlich sind auch trigonometrische Funktionen ein Schatz in der Welt der Mathematik. Sie haben eine lange Geschichte und waren nie veraltet.

Lassen Sie uns zunächst darüber sprechen, warum es trigonometrische Funktionen gibt: weil rechtwinklige Dreiecke dieser Regel folgen:

Dies ist der Satz des Pythagoras und er ist mindestens zweitausend Jahre alt. Es gibt sogar Hinweise darauf, dass sich das Gesetz bereits unter Handwerkern verbreitete, bevor es von Gelehrten zusammengefasst und niedergeschrieben wurde. Es ist die Grundlage der Trigonometrie und die Basis trigonometrischer Funktionen.

Der Grund, warum sich die Menschen der Antike so für das Studium der Trigonometrie interessierten, lag vor allem darin, dass sie erkannten, wie hilfreich diese bei der Schätzung riesiger Objekte sein konnte. Typische Anwendungen sind Astronomie, Vermessung und Kartierung sowie Navigation. Vom antiken Griechenland und dem antiken Indien bis hin zur späteren arabischen Welt und Europa war die Trigonometrie in ihrer Verbreitung und Entwicklung Zeuge des Aufstiegs und Niedergangs von Zivilisationen.

Traditionelle Anwendungen beschränken die Trigonometrie jedoch häufig auf bestimmte geometrische Probleme. Wenn trigonometrische Funktionen in einem breiteren Spektrum von Bereichen nützlich sein sollen, erfordern sie eine flexiblere Definition.

Mit dem Aufkommen der analytischen Geometrie und Analyse begann sich die Perspektive der Menschen zu ändern. Schließlich veröffentlichte Euler im 18. Jahrhundert die „Einführung in die unendliche Analysis“ und schlug vor, trigonometrische Funktionen mithilfe des Einheitskreises im rechtwinkligen Koordinatensystem neu zu definieren. Als nächstes begannen diese seit langem bestehenden Konzepte, sich mit komplexen Zahlen zu verbinden und in Reihen aufzutreten, sodass die Geschichte zur zuvor erwähnten Euler-Formel und natürlich zur Fourier-Transformation zurückkehrt, über die wir nicht aufhören können zu reden.

Über die Fourier-Transformation kann man viel Interessantes sagen. Beispielsweise sind die Wärmegleichung von Fourier und die Wellengleichung von d'Alembert sehr ähnlich und doch sehr unterschiedlich. zum Beispiel verschiedene Formen der Fourier-Transformation; zum Beispiel Fourier und Wavelets usw.

Tatsächlich ist jede Gleichung eine Perle, die auf dem Faden der Geschichte aufgereiht ist. Sie alle sind Schätze und Hinweise zum Finden anderer Schätze. Die Entwicklung der Wissenschaft ist eng miteinander verknüpft und viele Gleichungen, die die Welt verändern, sind untrennbar miteinander verbunden. Der Prozess, sie zu verstehen, ist wie das Lesen einer Geschichte oder das Lösen eines Falls. Wenn die Hinweise zusammenkommen und in die Zukunft weisen, wird einem die unaussprechliche Pracht bewusst.