Ein Student nahm während der Ferien einen Teilzeitjob an und widerlegte diese berühmte mathematische Vermutung

Ein Student und ein Doktorand im ersten Jahr halfen ihrem Betreuer während der Ferien bei einem Projekt. In weniger als einem Monat widerlegten sie mit ihrer Arbeit eine berühmte Vermutung der Spitzenmathematik. Zuvor waren fast alle Wissenschaftler auf diesem Gebiet davon überzeugt, dass diese Vermutung richtig sei. Das einzige Problem war, wie man es beweisen sollte. Jetzt ist der Glaube zusammengebrochen und ein neues Kapitel hat begonnen.

Geschrieben von | Jiawei

Der Wunsch nach Urlaub ist eine weit verbreitete menschliche Eigenschaft und hat nichts mit Bildungshintergrund, Studienfach usw. zu tun. Summer Haag, eine Studentin im ersten Jahr ihres Masterstudiums im Fachbereich Mathematik an der University of Colorado Boulder, und ihr Kommilitone Clyde Kertzer freuten sich bereits im Mai dieses Jahres auf die Sommerferien. Kertzer, der noch sein Grundstudium absolviert, plant, im Sommer ein wenig Fußball zu spielen und sich anschließend sorgfältig auf seine Bewerbung für die Graduiertenschule vorzubereiten. Haag freut sich darauf, in den Ferien zu entspannen und seinem Lieblingssport, dem Bergsteigen, nachzugehen.

Als sie jedoch hörten, dass ihre Mentorin, die Zahlentheorie-Expertin Katherine Stange, ein halbtägiges Sommerforschungsprogramm angekündigt hatte, kamen sie nach einigem inneren Kampf schließlich zu dem Schluss, dass ihre Leidenschaft für die mathematische Forschung ihren Wunsch nach Urlaub überwog, und sie beschlossen beide, sich für die Teilnahme zu bewerben.

Stange interessiert sich für „Probleme, die einfach erscheinen, aber eine reichhaltige Struktur haben“. Das mathematische Objekt, auf das sich ihr Team diesmal konzentriert, ist eine der ältesten geometrischen Strukturen in der Geschichte der Mathematik. Stanges üblicher Forschungsstil besteht darin, schwer fassbare offene Probleme der Zahlentheorie durch die Generierung großer Datensätze per Computer zu lösen. Als die beiden jüngsten Mitglieder des Projektteams waren Haag und Kertzer hauptsächlich für relativ einfache „körperliche Arbeiten“ verantwortlich – sie erweiterten die Algorithmen und anfänglichen Codes des Mathematikers James Rickards in der Gruppe, schrieben Programme, erzeugten große Mengen an Simulationsdaten und visualisierten schließlich die numerischen Entwicklungstrends, wenn die mathematische Struktur komplexer wurde.

Weniger als einen Monat, nachdem Haag und Kertzer dem Projektteam beigetreten waren, überraschte ihre Arbeit zur allgemeinen Überraschung das gesamte Feld der Zahlentheorie. Zahlreiche Daten deuteten darauf hin, dass die Vermutung, die Stanges Team ursprünglich beweisen wollte, tatsächlich falsch war. Zuvor glaubten fast alle Wissenschaftler auf diesem Gebiet, dass diese Annahme richtig sei. das einzige Problem war, wie man es beweisen sollte.

Diese Vermutung entstand aus dem ältesten Problem der Zirkel- und Linealkonstruktion und wurde erstmals in der Renaissance durch Descartes‘ wunderbares Theorem enthüllt. In der Mitte lieferte der Nobelpreisträger für Chemie Erkenntnisse, und nun hat es Einzug in das modernste Feld der Zahlentheorie gehalten ... Seine Ursprünge und seine Entwicklung sind wie ein Längen- und Breitengrad, der sich durch eine Miniaturgeschichte der Mathematik zieht. Ausgangspunkt war das antike Griechenland vor über zweitausend Jahren.

Antikes Griechenland: Apollonius' Tangentialkreise

Apollonius von Perge, geboren vor 2.200 Jahren in Perge in Kleinasien (heute in der Türkei), war nach Euklid der zweite große Meister der antiken griechischen Geometrie. Die von ihm verfassten acht Bände der Kegelschnitte sind ein wahrer Klassiker der Mathematikgeschichte und stellen die größte Errungenschaft der griechischen Geometrie dar.

Apollonius von Perge | Quelle: Baidu Enzyklopädie

Im Folgenden werden wir jedoch über sein anderes Werk „Über Kontakte oder Tangenten“ sprechen.

Obwohl das Original von „Über Tangentialität“ verloren gegangen ist, können wir einige seiner Inhalte durch Zitate und Anmerkungen späterer Mathematikergenerationen noch immer verstehen. Die wichtigste Aufzeichnung stammt aus dem Buch Synagoge, das etwa 500 Jahre später von Pappus zusammengestellt wurde, der als der „letzte große Geometer“ der alexandrinischen Schule bekannt war.

Apollonius gilt als einer der großen Mathematiker der Antike. Sein Werk (hier in einer arabischen Übersetzung aus dem 9. Jahrhundert zu sehen) war eine Weiterentwicklung der geometrischen Ideen Euklids, die er etwa ein Jahrhundert zuvor entwickelt hatte. | Bildquelle: Bodleian Libraries/Oxford University

Apollonius hat in seinem Buch „Über die Tangentialität“ ein schwieriges geometrisches Problem aufgeworfen: Wie kann man bei drei Kreisen auf einer Ebene, deren Lagebeziehungen keine besonderen Einschränkungen aufweisen, mithilfe von Lineal und Zirkel einen vierten Kreis tangieren, der die drei vorhergehenden Kreise berührt? Dies ist das berühmte Apollonius-Problem.

Apollonius fand eine grafische Methode und wies darauf hin, dass es im allgemeinsten Fall insgesamt 8 mögliche Lösungen gibt.

Die obige Abbildung zeigt eine der acht Lösungen: Der violette Kreis enthält einen der drei schwarzen Kreise in allgemeiner Position und berührt alle drei. Der violette Kreis kann einen Kreis, zwei Kreise, alle Kreise oder keinen Kreis gleichzeitig enthalten, ist jedoch tangential zu allen Kreisen. | Bildquelle: Wiki Apollonische Dichtung

Offensichtlich gibt es bei einer Dreikreiskonfiguration mit relativ speziellen Positionen wahrscheinlich weniger als acht mögliche vierte Kreise, die alle von ihnen berühren können. Wenn beispielsweise drei Kreise so begrenzt sind, dass sie einander berühren, gibt es für den vierten Kreis nur zwei Möglichkeiten.

Wie in der Abbildung oben gezeigt, umfasst der rote Kreis, der die drei schwarzen Kreise gleichzeitig tangiert, entweder die drei schwarzen Kreise oder befindet sich im Bereich zwischen den drei Kreisen, wenn die drei schwarzen Kreise tangential zueinander stehen. | Bildquelle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

Wenn wir einen großen Kreis wählen, der die drei kleinen Kreise umschließt, können wir weiterhin mithilfe von Lineal und Zirkel die folgenden Operationen durchführen: Zeichnen Sie innerhalb des großen Kreises einen Kreis, sodass dieser die drei vorhandenen (gezeichneten) Kreise auf der Ebene berührt. Natürlich kann dieser Prozess unbegrenzt fortgesetzt werden, wobei immer kleinere Kreise die Lücken zwischen den Kreisen füllen. Die Wirkung ist wie folgt:

Bildquelle: Apollonische Dichtung – Wikipedia

Da diese großen und kleinen Scheiben wie Dichtungen wirken, wird die geometrische Struktur im Bild oben als apollinische Dichtung bezeichnet. Dies ist der „Protagonist“ dieses Artikels.

Bei der Lösung des Problems schien Apollonius zu einer scheinbar offensichtlichen Schlussfolgerung zu gelangen: Wenn die Berührungspunkte nicht zusammenfallen, können höchstens vier Kreise auf der Ebene gezeichnet werden, sodass zwei beliebige davon einander berühren. mit anderen Worten, egal wie die Radiusgröße und -position angepasst werden, es gibt keine fünf Kreise, von denen jeder die anderen vier Kreise tangiert.

Aber gemäß dem Axiomatiksystem der modernen Mathematik kann und sollte der Satz, dass „es nicht fünf Kreise gibt, von denen jeder die anderen vier Kreise berührt“, bewiesen werden. Ich lasse es hier als Frage stehen, über die Sie nachdenken können.

Renaissance: Descartes' wunderbarer Satz

Bis zur Renaissance versuchten spätere Mathematiker, die ursprünglichen Entdeckungen des Apollonius anhand von Pappus’ Zusammenfassung der Tangente zu reproduzieren. Der wahre Erbe des Geistes von Apollonius war jedoch René Descartes. Er führte das kartesische Koordinatensystem ein, das geometrische Probleme in algebraische Probleme umwandelte, indem es Koordinatenachsen auf der Ebene und entsprechende Punkte zu reellen Zahlen einführte. Diese bahnbrechende Idee ebnete den Weg für die spätere Entwicklung der Mathematik.

Noch interessanter ist, dass es speziell im Hinblick auf das Apollonius-Problem – als wolle er seinen Status als Nachfolger demonstrieren – Descartes selbst war, der nach Apollonius die wichtigste Entdeckung machte: den „großartigen“ Descartes-Satz.

Um diesen schönen Satz einzuführen, müssen wir zwangsläufig das Konzept der Krümmung einbeziehen. Kurz gesagt ist die Krümmung ein Maß dafür, wie gekrümmt eine Kurve an verschiedenen Stellen ist.

Stellen Sie sich zunächst eine gerade Linie vor. Es weist keine Biegungen auf, daher beträgt seine Krümmung Null. Betrachten Sie als nächstes einen Kreis. Egal, wo Sie auf den Kreis blicken, seine Krümmung ist dieselbe. Die Krümmung eines Kreises scheint eine Konstante zu sein. Interessanter wird es jedoch, wenn wir uns Parabeln ansehen. Die Krümmung einer Parabel ist an verschiedenen Orten unterschiedlich, da sie nicht gleichmäßig gekrümmt ist.

Wir können die Krümmung auch durch ein intuitives physikalisches Bild verstehen: Stellen Sie sich ein Auto vor, das eine Kurve entlangfährt. Wenn das Auto eine Kurve fährt, muss es eine Kraft in Richtung Mittelpunkt ausüben, die wir Zentripetalkraft nennen. Die Stärke dieser Zentripetalkraft hängt von der Geschwindigkeit des Autos und dem Radius des Bogens ab, der beim Abbiegen beschrieben wird. Wenn der Radius einer Kurve klein ist, ist die Zentripetalkraft größer, was bedeutet, dass die Kurve an diesem Punkt stärker gekrümmt ist.

Basierend auf dem obigen physikalischen Bild können wir die Krümmung wie folgt definieren: Für einen Punkt A auf einer Kurve ist die Krümmung des Punkts der Kehrwert des Radius des größten Kreises, der die Kurve am Punkt A tangiert.

Dabei ist zu beachten, dass der Tangentialkreis in der Krümmungsdefinition der „größte Kreis“ sein muss. Offensichtlich gilt: Je größer die Krümmung, desto gekrümmter ist die Kurve. Bei einem Kreis ist die Krümmung jedes Punkts auf seinem Umfang der Kehrwert seines eigenen Radius; Bei einer Geraden kann der Radius des Kreises, der sie tangiert, beliebig groß sein, sodass die Krümmung einer Geraden der Kehrwert von Unendlich, also 0, ist.

Mit dem Konzept der Krümmung können wir Descartes‘ Entdeckung bei der Untersuchung von Tangentialkreisen ausdrücken. Der große Philosoph behauptete, dass die Krümmungen von vier Kreisen, solange sie einander berühren (die Berührungspunkte fallen nicht zusammen), der folgenden einfachen Beziehung genügen müssen:

Die Summe der Quadrate aller Krümmungen ist gleich der Hälfte des Quadrats der Summe der Krümmungen.

Wenn die Krümmungen der vier Tangentialkreise jeweils a, b, c und d sind, dann kann der obige Satz algebraisch wie folgt ausgedrückt werden: 2(a2+b2+c2+d2)=(a+b+c+d)2

Die Entdeckung des Theorems von Descartes ist ein Meilenstein in der Mathematik, denn er stellt die Verschmelzung von Algebra und Geometrie sowie den geschickten Einsatz algebraischer Werkzeuge zur Lösung geometrischer Probleme dar. Aus einer anderen Perspektive erscheint es natürlich, dass der Vater der analytischen Geometrie der erste war, der die schöne algebraische Beziehung in der geometrischen Struktur der Tangentialkreise entdeckte.

Darüber hinaus sind zwei weitere Bemerkungen erforderlich.

Erstens müssen wir bei der Verwendung des Theorems von Descartes aus irgendeinem Grund das Vorzeichen der Krümmung künstlich definieren. Wenn ein Kreis von drei anderen Kreisen umschrieben wird, dann ist die Krümmung jedes Kreises positiv. Aber wie in der Abbildung unten gezeigt, enthält der große Kreis drei einbeschriebene Kreise, daher definieren wir die Krümmung des großen Kreises als negative Zahl. Auf diese Weise sind die Krümmungen der vier Tangentialkreise jeweils a, b, c und d. Wenn a, b und c bekannt sind, kann der Wert von d positiv oder negativ sein.

Zweitens haben wir im vorherigen Abschnitt diesen Satz erwähnt: „Wenn die Tangentialpunkte nicht zusammenfallen, können höchstens vier Kreise auf der Ebene gezeichnet werden, sodass zwei beliebige davon tangential sind.“ Die Bedingung „die Berührungspunkte fallen nicht zusammen“ in der Aussage ist notwendig. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, gilt der Satz aus dem vorherigen Abschnitt nicht, wenn mehrere Kreise einen Punkt berühren, und auch der Satz von Descartes gilt nicht.

Bildquelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

20. Jahrhundert: Eine mathematische Hymne eines Nobelpreisträgers für Chemie

Frederick Soddy FRS war ein britischer Chemiker, der wichtige Beiträge zur Radiochemie und Atomphysik leistete. Gemeinsam mit Ernest Rutherford erklärte er den Mechanismus, durch den die Transmutation von Elementen zu Radioaktivität führt. Er wies auch die Existenz bestimmter radioaktiver Isotope von Elementen nach. 1921 erhielt er den Nobelpreis für Chemie „für seine Beiträge zur chemischen Kenntnis radioaktiver Substanzen“.

Soddy interessierte sich auch sehr für Mathematik, insbesondere für Probleme im Zusammenhang mit Kreisen oder Kugeln.

Im Jahr 1936 entdeckte er unabhängig davon den Satz von Descartes im vorherigen Abschnitt. Als Soddy weiter untersuchte, wie man den Apollonius-Kreis ausfüllt, bemerkte er sofort ein Phänomen, das von Mathematikern über 200 Jahre lang ignoriert worden war: Wenn der Kreis kleiner und die Krümmung größer wurde, erwartete er, einige komplexe Zahlen mit Quadratwurzeln oder unendlichen Dezimalzahlen zu erhalten. Wenn jedoch die Krümmungen der ersten drei Tangentialkreise ganzzahlig sind, dann sind auch die Krümmungen aller nachfolgenden Kreise ganzzahlig. Dies ist eine ziemlich einfache Konsequenz des Theorems von Descartes, die jedoch Hunderte von Jahren lang unbemerkt blieb.

Soddy war so aufgeregt, dass er sich dazu inspirieren ließ, ein Gedicht über Mathematik zu schreiben, und reichte es direkt bei der Zeitschrift Nature ein. Er beschrieb den Inhalt des Theorems von Descartes in poetischer Sprache.

Der Titel des Gedichts lautet „Der präzise Kuss“. Hier einige Auszüge aus der Übersetzung:

Um zwei Paar Lippen zum Küssen zu bringen, ist möglicherweise/nicht unbedingt Trigonometrie erforderlich.

Aber wenn sich die vier Kreise küssen, muss jeder die anderen drei Partner gleichzeitig küssen.

Die Summe der Krümmungen der vier Kreise ist gleich der Hälfte der Summe ihrer Quadrate.

Wenn Sie ihre Größe wissen möchten, lösen Sie einfach meine Gleichung.

…

Obwohl sie ihr Geheimnis vor Euklid bewahrten, müssen sie nicht auf Erfahrung beruhen.

Nullkrümmung wird zu einer Geraden / konkave Krümmung sollte mit einem negativen Vorzeichen gekennzeichnet werden,

Lassen Sie es mich noch einmal sagen: Die Summe der Quadrate aller vier Krümmungen ist die Hälfte des Quadrats ihrer Summe.

…

Auf jeden Fall demonstrierte Soddy nicht nur seine Liebe zur Schönheit der Mathematik und zur Kunst der Poesie, sondern lieferte auch ein wichtiges Werkzeug für spätere Forschungen.

Während der Satz von Descartes die grundlegendste algebraische Beziehung aus dem antiken euklidischen Geometrieproblem leicht herausarbeitete, wies Soddys „Leck“-Entdeckung darauf hin, dass diese Beziehung reichhaltige arithmetische Eigenschaften enthält.

Arithmetik ist Zahlentheorie.

Aufklärung und Vernunft: Gauss' Uhrenzähler und das quadratische Reziprozitätsgesetz

Die Zahlentheorie ist der älteste und zugleich jüngste Zweig der Grundlagenmathematik.

Man sagt, es sei antik, weil der älteste Satz der Zahlentheorie in Euklids „Elementen“ enthalten war und durch Widerspruch bewiesen wurde: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Darüber hinaus hinterließ der antike Grieche Diophantus ein „Epitaph des Diophantus“, ein mathematisches Rätsel, und dieses ist daher als die berühmteste unbestimmte Gleichung bekannt (eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der nur ganze Zahlen als unbekannte Zahlen verwendet werden können). Genau aufgrund dieses Ursprungs wird die unbestimmte Gleichung auch diophantische Gleichung genannt.

Die Zahlentheorie gilt als jung, denn in den folgenden zweitausend Jahren der Mathematikgeschichte gab es zwar eine große Zahl von Giganten, die die Entwicklung der Zahlentheorie vorangetrieben haben, wie etwa Fermat, Euler und Legendre, doch war es Carl Friedrich Gauß, der als Fürst der Mathematik gilt, der diesem Zweig der Mathematik wirklich zu Strenge und Systematik verhalf.

Im ersten Kapitel seiner „Arithmetischen Forschungen“ führte Gauss das Konzept der Kongruenz ein. Er war der erste Mathematiker, der die modulare Arithmetik klar formulierte, die grundlegendste Sprache der Arithmetik und zugleich ein Werkzeug, das die tiefgründigsten Ideen enthält.

Um das Verständnis des folgenden Textes zu erleichtern, folgt hier eine kurze Einführung in modulare Operationen.

Die grundlegendste Beziehung unter den ganzen Zahlen ist die Teilbarkeit. Für ganze Zahlen m und n. Wenn es eine andere ganze Zahl k gibt, sodass m = k × n, dann sagen wir, dass n ein Teiler von m ist. Beispielsweise ist 2 gleich 4, 7 gleich 56 und so weiter.

Gauss bewies einen arithmetischen Satz namens quadratische Reziprozität. Privat pries Gauß das quadratische Reziprozitätsgesetz als ein Juwel der Arithmetiktheorie. Sie wird auch „Mutter der Zahlentheorie“ genannt und nimmt in der Zahlentheorie eine sehr hohe Stellung ein.

Leider ist das quadratische Reziprozitätsgesetz relativ komplex und eignet sich nicht für die Einführung in diesen Artikel.

Modern: Bachelorarbeit widerlegt berühmte Vermutung in der Spitzenmathematik

Die Beherrschung modularer Operationen bedeutet auch, dass wir endlich das Ende dieser mathematischen Reise erreicht haben.

Seit der britische Chemiker Soddy die poetische Erkenntnis lieferte, dass, wenn die Krümmungen der ersten drei Tangentialkreise ganzzahlig wären, auch die Krümmungen aller nachfolgenden Kreise ganzzahlig wären, haben Zahlentheoretiker die arithmetischen Eigenschaften antiker geometrischer Konstruktionen untersucht.

Betrachten Sie den Ausdruck des Theorems von Descartes: 2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2. Wenn alle drei bekannten Zahlen ganze Zahlen sind, handelt es sich offensichtlich um eine diophantische Gleichung.

Wenn Sie beispielsweise drei Kreise mit den Krümmungen 11, 14 und 15 haben, können Sie diese Zahlen in die Gleichung des Satzes von Descartes einsetzen und die Krümmung des Kreises berechnen, der dazwischen passt: 86.

Experten der Zahlentheorie sind sehr daran interessiert, Informationen über die Lösung dieser diophantischen Gleichung zu erfahren. Wenn wir beispielsweise einen großen Kreis kontinuierlich mit Apollonius-Kreisen füllen, wird mit zunehmender Verkleinerung des Radius des Kreises seine Krümmung immer größer und die vier angrenzenden Kreise werden durch den Satz von Descartes eingeschränkt. welche Art von Muster werden die ganzzahligen Werte der Krümmung zu diesem Zeitpunkt zeigen?

Im Jahr 2010 zeigte Elena Fuchs, heute Zahlentheoretikerin an der University of California in Davis, dass die Krümmung einer bestimmten Beziehung folgt.

Wenn wir jeden Krümmungswert modulo 24 nehmen, ergibt sich eine Regel. Einige Konfigurationen haben nur Krümmungen, die mit 0, 1, 4, 9, 12 oder 16 übereinstimmen. Andere hinterlassen nur Krümmungen mit Resten von 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 oder 22.

Bald begannen Mathematiker, mithilfe endlicher Modelle tatsächlicher Konstruktionen, zu glauben, dass, wenn es in einer apollinischen Pad-Struktur eine Reihe von Krümmungen gibt, deren Werte teilerfremd sind und die jeweils kongruent (mod 24) mit einer bekannten ganzen Zahl r sind, diese Reihe von Krümmungen mit wenigen Ausnahmen alle ganzen Zahlen x enthalten sollte, die die folgende Übereinstimmung erfüllen:

Diese Idee wird als lokal-globale Vermutung bezeichnet. Tatsächlich gibt es in der Mathematik viele Vermutungen mit der Bezeichnung „lokal-global“. Hier beziehen wir uns speziell auf die Lokal-Global-Vermutung zum Apollonius-Kreis.

Zurück zum Anfang dieses Artikels: Summer Haag, eine Studentin im ersten Jahr im Fachbereich Mathematik an der University of Colorado Boulder, und Clyde Kertzer, ein Student im letzten Jahr, verzichteten auf ihren Urlaub und schlossen sich dem Sommerforschungsprojekt ihres Mentors an. Ihre Beraterin, Katherine Stange, hofft, die lokal-globale Vermutung zum Apollonius-Pad-Kreis beweisen zu können.

Sie beauftragte Haag und Kertzer, ein Programm zu schreiben, das eine große Anzahl von Apollonius-Pad-Kreisen generiert, um in den Daten verborgene Muster zu finden. Haag hat einige Python-Skripte erstellt, um eine große Anzahl von Simulationen gleichzeitig darzustellen. Als Stange die Schule vorübergehend verließ, um an einer wissenschaftlichen Konferenz in Europa teilzunehmen, unternahm Haag einen großen Schritt.

Haag hat kartiert, wie 1.000 Ganzzahlen miteinander interagieren – ein Datensatz, der größer ist, als er klingt, da er eine Million möglicher Zahlenpaare umfasst. Dann passte sie die Parameter auf 10.000 mal 10.000 an. Im resultierenden Diagramm wollten die schwarzen Punkte in den Zeilen und Spalten einfach nicht verschwinden. Es sieht überhaupt nicht so aus, wie es die lokal-globale Vermutung vorhersagt.

Als Stange aus Europa zurückkehrte, zeigten Haag und Kertzer dem Projektteam bei ihren wöchentlichen Treffen Diagramme mit den anomalen Daten. Beide gaben zu, dass sie nicht wüssten, wo der Fehler aufgetreten sei.

Ihr Lehrer starrte auf die Grafik und sagte plötzlich: „Was ist, wenn die Lokal-Global-Vermutung nicht zutrifft?“

„Ich war aufgeregt. Es kommt selten vor, dass uns etwas wirklich überrascht“, sagte Stange später. „Aber das ist die Magie der Daten.“

Nachdem Stanges Team die richtige Richtung gefunden hatte, konnte es innerhalb weniger Wochen einen stichhaltigen Beweis vorlegen, der die Vermutung widerlegte, die sie ursprünglich beweisen wollten.

Die Krümmungen der ersten vier Kreise sind (-23, 48, 49, 52) und es werden ungefähr 15.000 Kreise erzeugt. In der aktuellen Struktur gilt die Global-Lokal-Vermutung für keine Restklasse modulo 24. | Quelle: Papier
Die lokale-globale Vermutung für apollonische Kreispackungen ist falsch

Gestützt auf Erfahrung, Ästhetik und sogar philosophische Aussagen haben viele Mathematiker eine Intuition entwickelt, die es ihnen ermöglicht, mit hoher Wahrscheinlichkeit zu erraten, ob eine Vermutung richtig ist oder nicht, selbst wenn sie nicht wissen, wie sie diese beweisen können. Beispielsweise glauben fast alle zeitgenössischen Mathematiker, dass die den Chinesen wohlbekannte Goldbach-Vermutung (jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden) richtig ist, obwohl bisher niemand weiß, wie man sie beweisen kann.

Fast alle Zahlentheorie-Experten glaubten einst, dass die Lokal-Global-Vermutung über den Apollonius-Kreis wahr sei. Es gibt nicht nur viele bekannte ähnliche Schlussfolgerungen, die ihre Annahmen stützen, sondern diese Experten können auch keine Einschränkungen erkennen, die dazu führen würden, dass die Vermutung scheitert. Dies führte dazu, dass der Glaube dieses Mal zusammenbrach.

Es stellt sich heraus, dass die Krümmung dieser Kreise zwar den Satz von Descartes erfüllt, aber in unerwarteter Weise dem quadratischen Reziprozitätsgesetz (dem im vorherigen Abschnitt erwähnten Konzept) unterliegt.

„Es ist schwer vorstellbar, dass [sie] dies ohne viele Simulationen direkt durch Glück entdeckt haben könnten“, sagte Fuchs.

„Es war reiner Zufall“, gab Haag zu. „Wenn ich die Daten nicht groß genug gemacht hätte, wäre es uns nicht aufgefallen.“

Diese Arbeit verheißt Gutes für die Zukunft der Zahlentheorie. Viele Zahlentheoretiker begannen, über sich selbst nachzudenken. Im Bereich der Kettenbrüche gibt es beispielsweise die Zaremba-Vermutung, von der viele Mathematiker zuvor glaubten, dass sie ebenfalls wahr sei. Doch nachdem die Lokal-Global-Hypothese widerlegt wurde, begann das Vertrauen der Menschen zu schwinden. „Man entwickelt ein empirisches Verständnis für Mathematik durch Intuition und Beweise“, sagte Stange, „und man glaubt daran, weil man viel Zeit damit verbringt, darüber nachzudenken. Aber gegen Daten lässt sich nicht argumentieren.“

An dieser Stelle kann die Geschichte um den Kreis des Apollonius vorläufig beendet werden. Vielleicht ist er nicht so großartig und tiefgreifend wie der Beweis des Großen Fermatschen Theorems, aber diese Tangentialkreise haben eine lange Geschichte, die der jedes anderen Zweigs der Mathematik in nichts nachsteht. Sie verfügen über einfache, aber sehr anspruchsvolle algebraische Merkmale sowie über äußerst tiefgreifende arithmetische Eigenschaften, die bisher nur die Spitze des Eisbergs enthüllt haben.

Als ich vorhin erwähnte, dass „eine Regel erscheint, wenn jeder Krümmungswert Modulo 24 ist“, fragte ich mich, ob Sie das Auftreten der Zahl 24 als sehr abrupt empfinden.

Tatsächlich hat diese 24 bereits angedeutet, dass wir uns in einem gewissen Tiefpunkt der Mathematik befinden. Diese Zahl ist überall im theoretischen Grenzbereich zu finden und verbindet verschiedene Disziplinen auf überraschende Weise.

Dank einer Reihe von „Zufällen“, deren Verständnis gerade erst beginnt, spielen die Zahlen 12 und 24 eine zentrale Rolle in der Mathematik. Der erste Hinweis auf diese Tatsache war Eulers bizarrer „Beweis“:

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12.

Die obige Eulergleichung kann nun mithilfe der Riemannschen Zetafunktion mit einer strengen mathematischen Bedeutung versehen werden und erklärt in der Physik, warum die bosonische Stringtheorie in den Dimensionen 26=24+2 am besten funktioniert.

Gleichzeitig stellt die Tatsache, dass 1^1+2^2+3^2+…+24^2=70^2 ist, eine seltsame Verbindung zwischen der Stringtheorie, dem Leech-Gitter (die dichteste Art, Kugeln im 24-dimensionalen Raum anzuordnen, also schon wieder 24!) und Monsterschwärmen her. Eine bekanntere und eng verwandte Tatsache ist das Phänomen der 12-Perioden in der Theorie der „modularen Formen“. Mathematiker tun ihr Bestes, um tiefe Geheimnisse zu lüften.

Das Apollonius-Pad selbst entspricht tatsächlich der Umlaufbahn einer Gruppe (der „Apollonischen Gruppe“), die auf einem hyperbolischen Raum wirkt. Tatsächlich ist die Apollo-Gruppe eine diskrete Untergruppe der Lorentz-Gruppe, die in der speziellen Relativitätstheorie sehr berühmt ist! Physiker, die Spinoren erforschen, sind damit vertraut! Am schwierigsten sind jedoch die in diesem Artikel beschriebenen Probleme der Zahlentheorie. Es handelt sich um ein sehr seltenes mathematisches Objekt, das die Quelle der Mathematik – die antike griechische Geometrie – mit einem der modernsten Gebiete der modernen Mathematik – den automorphen Formen – verbindet.

Verweise

[1].Zwei Studenten enträtseln eine weit verbreitete mathematische Vermutung | Quanta Magazin

[2].DIE LOKAL-GLOBALE VERMUTUNG FÜR DIE APOLLONISCHE KREISPACKUNG IST FALSCH, 2307.02749.pdf (arxiv.org)

[3]. Übersetzungsreihe populärer Mathematikklassiker: Wunderbare und interessante Geometrie, von David Wells, übersetzt von Yu Yinglong, Shanghai Education Press

[4].ONTHELOCAL-GLOBALCONJECTUREFOR INTEGRALAPOLLONIAN GASKET, 1205.4416.pdf (arxiv.org)

[5]. Apollonius (antiker griechischer Mathematiker)_Baidu-Enzyklopädie (baidu.com)

[6].Descartes' Theorem – Wikipedia

[7]. „Elementare Mathematik durch eine Linie verbunden“, von Zhang Jingzhong, Science Press

[8].Apollony-Fraktal (paulbourke.net)

[9].Soddys Hexlet – Wikipedia

[10].Hexlet – von Wolfram MathWorld

[11].Apollinische Kreispackungen: Zahlentheorie - ScienceDirect

[12]. Diophantus – Wikipedia, die freie Enzyklopädie (wikipedia.org)

[13]. Modulare Arithmetik – Wikipedia, die freie Enzyklopädie (wikipedia.org)

[14].Apollonische Dichtung – Wikipedia

[15].John Carlos Baez: „Hier ist eine ‚apollinische Dichtung‘.…“ – Mathstodon

[16].faculty.math.illinois.edu

[17].Meine Lieblingszahlen (ucr.edu)

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

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Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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