Verstehen Tiere und Pflanzen auch die Fibonacci-Folge? Handelt es sich hierbei um eine „verborgene Fähigkeit“ der Evolution der Natur?

Im Allgemeinen haben Schüler, die die Oberstufe der Grundschule abschließen, wahrscheinlich schon einmal von dem mathematischen Problem der Fibonacci-Folge gehört. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen diesem mathematischen Problem und der Biomechanik? Immer noch „schön“? !

Lange Zeit waren Mathematik und Mechanik eigentlich untrennbar miteinander verbunden, heute befinden sie sich in einem Zustand der „Nähe und doch Ferne“ und „Verbundenheit“. Das geht zu weit! Konzentrieren wir uns auf die biomechanische Schönheit der Fibonacci-Folge und darauf, wie schön sie ist.

1. Was ist die Fibonacci-Folge?

1. Definition und Generierungsregeln der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge wurde ursprünglich von Leonardo Fibonacci (1175-1250), einem mittelalterlichen italienischen Mathematiker, entdeckt, als er das Phänomen und Gesetz der Kaninchengeburt untersuchte. Wenn jedes Kaninchenpaar (ein Männchen und ein Weibchen) jeden Monat ein Paar Kaninchenbabys zur Welt bringen kann (vorausgesetzt, es handelt sich ebenfalls um ein Männchen und ein Weibchen, dasselbe gilt unten) und Kaninchen sich zwei Monate nach der Geburt fortpflanzen können und wenn nicht alle Kaninchen sterben, wie viele Kaninchenpaare können dann nach einem Jahr gezüchtet werden? Nehmen wir als Beispiel ein Paar neugeborener Kaninchen. In Abbildung 1 können wir sehen, wie Kaninchen im Laufe der Monate wachsen und sich vermehren.

Abbildung 1 Kaninchen wachsen und vermehren sich im Laufe der Monate

Schließlich bildet die Gesamtzahl der Kaninchen eine Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … Dies ist die Fibonacci-Folge, auch „Kaninchen-Folge“ genannt. Die Generierungsregel dieser Folge lautet: Ab dem dritten Term ist jeder Term die Summe der ersten beiden Terme in der Folge, zum Beispiel: 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5...

2. Die Beziehung zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt

Der Goldene Schnitt bedeutet, ein Ganzes in zwei Teile zu teilen, wobei das Verhältnis des größeren Teils zum Ganzen dem Verhältnis des kleineren Teils zum größeren Teil entspricht. Das Verhältnis beträgt ungefähr 0,618 (wie in Abbildung 2 dargestellt) und der Kehrwert dieser Zahl ist 1,618. Ist das nicht ein perfekter Zufall? Dieses Verhältnis gilt als das ästhetisch ansprechendste Verhältnis und wird daher auch Goldener Schnitt genannt (im Englischen wird „golden XX“ oft verwendet, um die perfekte und maßgebliche Bedeutung von XX zu beschreiben). Es erscheint häufig in der Natur und Kunst und gilt als Symbol der Schönheit.

Abbildung 2 Goldene Schnittlinie

Sehen wir uns nun die Beziehung zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt an. Hier gibt es ein sehr interessantes Phänomen. Wenn Sie das Verhältnis zweier benachbarter Zahlen in der Fibonacci-Folge betrachten, werden Sie feststellen, dass sich das Verhältnis des vorherigen zum nächsten Term mit zunehmender Anzahl von Termen immer mehr dem Goldenen Schnitt annähert. Wenn wir insbesondere zwei größere aufeinanderfolgende Zahlen in der Fibonacci-Folge nehmen und ihr Verhältnis berechnen, nähert sich das Verhältnis dem Goldenen Schnitt. Beispielsweise 21/34 ≈ 0,6176, 89/144 = 0,6181, was sehr nahe am Goldenen Schnitt liegt. Daher wird die Fibonacci-Folge auch als Golden-Schnitt-Folge bezeichnet.

Wir sind alle „zählbare“ Menschen. Welche Bedeutung hat es also, diese Zahl zu kennen?

Zu den geometrischen Figuren, die mit dem Goldenen Schnitt in Zusammenhang stehen, gehören beispielsweise das „Goldene Rechteck“ und die „Goldene Spirale“. Das Verhältnis der Länge zur Breite eines goldenen Rechtecks ​​ist der Goldene Schnitt; das heißt, die kürzere Seite des Rechtecks ​​ist 0,618-mal so lang wie die längere Seite. Machen Sie auf drei Seiten des goldenen Rechtecks ​​ein Quadrat, und der verbleibende Teil wird ein weiteres goldenes Rechteck sein. Anschließend können Sie abwechselnd ein Quadrat und ein goldenes Rechteck erstellen und den Vorgang immer wieder wiederholen (Abbildung 3, links) …

Abbildung 3 Goldenes Rechteck (links) und goldene Spirale (rechts)

Die goldene Spirale, auch als Fibonacci-Spirale bekannt, ist eine Spirale, die auf der Grundlage der Fibonacci-Folge gezeichnet ist. Es wird folgendermaßen gemacht: Zeichnen Sie einen 90-Grad-Sektor in ein Rechteck, das aus Quadraten mit Fibonacci-Zahlen als Seiten besteht (also ein Goldenes Rechteck), und die verbundenen Bögen stellen die Fibonacci-Spirale dar (Abbildung 3, rechts). In der Natur gibt es viele Fibonacci-Spiralstrukturen (Abbildung 4), die dem perfekten Goldenen Schnitt entsprechen. Dies ist ein exquisites Design der Natur. In der Biologie folgen die Wachstumsprozesse vieler Tiere und Pflanzen den Regeln der Fibonacci-Folge, beispielsweise die Anzahl der Blütenblätter und die Anordnung der Schuppen auf der Oberfläche einer Ananas. Dieses Phänomen wird „Fibonacci-Phänomen“ genannt und ist ein Gesetz, das universell in der Natur existiert.

Abbildung 4 Verschiedene Fibonacci-Spiralstrukturen in der Natur

Warum haben diese Tiere und Pflanzen die Fibonacci-Folge als ihren „Design-Bauplan“ gewählt? Welcher wissenschaftliche Mechanismus verbirgt sich dahinter? Es ist so zufällig und so schön, es muss einen Grund geben.

3. Anwendung der Fibonacci-Zahlen in der Mathematik und anderen Bereichen

Im Bereich der Mathematik wird die Fibonacci-Folge häufig verwendet. Aufgrund dieser Eigenschaft des Goldenen Schnitts wird die Fibonacci-Folge häufig in der Geometrie und Kunst verwendet. Der Schatten des Goldenen Schnitts ist beispielsweise in der Architektur, der Malerei und der Bildhauerei zu erkennen. Darüber hinaus hat die Fibonacci-Folge auch wichtige Anwendungen in der Algebra, der kombinatorischen Mathematik und der Zahlentheorie. In der Algebra ist beispielsweise die allgemeine Formel für die Fibonacci-Folge ein klassisches Beispiel für einen „rekursiven Algorithmus“.

In der kombinatorischen Mathematik können viele kombinatorische Probleme in das Problem der Lösung der Fibonacci-Folge umgewandelt werden. In der Zahlentheorie untersuchen wir die Verteilung der Primzahlen in der Fibonacci-Folge, die modularen Operationseigenschaften der Fibonacci-Folge usw.

In der Informatik kann die Fibonacci-Folge zur Implementierung effizienter Such- und Sortieralgorithmen wie der Fibonacci-Suche und der Fibonacci-Sortierung verwendet werden. Gleichzeitig wird die Fibonacci-Folge auch häufig in der Kryptographie, Datenkomprimierung und anderen Bereichen verwendet.

Im Finanzbereich wird die Fibonacci-Folge auch zur Analyse von Aktienkursen und Markttrends verwendet. Fibonacci-Retracement-Levels sind ein beliebtes Tool der technischen Analyse, um Punkte zu identifizieren, an denen die Preise wahrscheinlich steigen oder umkehren.

Wenn man ins Detail geht, ist es eine lange Liste. Hier zieht es vorbei wie der Wind. Kommen wir nun zum Thema Biomechanik.

2. Die biomechanische Schönheit der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge in der Natur ist ein erstaunliches Phänomen. Was ist der Grund? In der Biomechanik.

Lassen Sie uns zunächst ein Konzept verstehen: die Morphologie.

Morphologie ist die Lehre von der äußeren Form und Struktur von Organismen. Im Mittelpunkt steht die Frage, wie sich Organismen an die Umwelt anpassen und ihre Funktionen durch ihre Form erreichen. Aus biomechanischer Sicht wählen Tiere und Pflanzen die Fibonacci-Folge als Grundlage ihrer morphologischen Merkmale, wahrscheinlich weil sie im langen Prozess der natürlichen Selektion entdeckt haben, dass sich solche Strukturen besser an die Umwelt anpassen und die Erfolgsrate des Überlebens und der Fortpflanzung verbessern können . Dies ist das Ergebnis von Überlebenswettbewerb und Optimierung. Es kann als eine Optimierungsstrategie verstanden werden , die Organismen dabei hilft, die besten Ergebnisse bei Wachstum, Entwicklung und Anpassung an die Umwelt zu erzielen. Dies ist natürlich nur eine allgemeine Aussage. Nachfolgend wird das Prinzip detailliert erläutert. Aus morphologischer Sicht sind Stabilität und Anpassungsfähigkeit zwei Schlüsselaspekte der Form und Funktion eines Organismus, die eng miteinander verbunden sind .

Stabilität bezeichnet die Fähigkeit eines Organismus, seine Morphologie und Struktur trotz äußerer Störungen beizubehalten. In der Morphologie wird Stabilität oft mit der strukturellen Stärke und Steifheit eines Organismus in Verbindung gebracht.

Anpassungsfähigkeit bezeichnet die Fähigkeit eines Organismus, seine Morphologie und Struktur an seine Lebensumgebung und Bedürfnisse anzupassen, um seine Überlebens- und Fortpflanzungschancen zu erhöhen.

Morphologisch manifestiert sich Anpassung als Übereinstimmung zwischen der Form und Struktur eines Organismus und seiner Lebensumgebung.

( 1 ) Analyse der mechanischen Probleme der Fibonacci-Folge aus der Perspektive der Festigkeit

Durch die Übernahme der Fibonacci-Folge sind Organismen in der Lage, Raum und Ressourcen effizient und optimal zu nutzen und gleichzeitig ihre strukturelle Stabilität aufrechtzuerhalten. Beispielsweise entspricht die Verzweigung von Ästen und Blättern von Bäumen der Fibonacci-Folge (geometrische Parameter wie Astlänge und -durchmesser in Abbildung 5), und die Stämme von Bäumen widerstehen durch ihre dicke Basis und Verzweigungsstruktur den Auswirkungen von Wind und Schwerkraft und behalten so ihre Gesamtstabilität .

Abbildung 5 Die Morphologie von Baumzweigen (links) und die Morphologie des menschlichen Gefäßbaums (rechts)

Durch die Simulation der Kraftanalyse des Windes auf Pflanzenstrukturen kann der Einfluss der Fibonacci-Folge auf die Stabilität von Pflanzenstrukturen untersucht werden. Um das Konzept zu vereinfachen und klar zu erklären, simulieren wir die Äste des Baumes als Kragbalken für die Kraftanalyse (Abbildung 6). Unabhängig davon, ob der Kragträger (Ast) einer konzentrierten Kraft oder einer gleichmäßig verteilten Windkraft ausgesetzt ist, ist das Biegemoment, das er aufnimmt, an der Wurzel am größten und an der Spitze am kleinsten. Bei gleicher Querschnittsgröße des Kragträgers ist auch die resultierende Spannungsverteilung an der Wurzel am größten und an der Spitze am kleinsten. Die Folge ist, dass die Wurzel aufgrund zu hoher Krafteinwirkung und zu geringer Festigkeit leicht abbrechen kann. Um dies zu vermeiden, ist der Durchmesser der Äste an der Wurzel relativ groß und nimmt von der Wurzel zur Spitze hin allmählich ab . Die Äste sind alle so lang, dass es für jeden leicht verständlich ist. Dies ist ein mechanisches Problem, das die Fibonacci-Folge aus der Perspektive der Stärke analysiert .

Abbildung 6: Simulation eines Astes als Kragträger für die Kraftanalyse

Auch aus kraftanalytischer Sicht ist die weitverbreitete Anwendung der Fibonacci-Folge in der Natur sinnvoll. Diese Stabilität hilft dem Baum nicht nur, in rauen Umgebungen zu überleben, sondern bietet ihm auch eine stabile Stütze, die es ihm ermöglicht, nach oben zu wachsen und seine Äste und Blätter zur Photosynthese auszubreiten.

Dieser Zuschauer sagte: „Nicht alle Äste wachsen so, oder?“ ! Ja, die Form der Äste wird auch von anderen Faktoren beeinflusst (z. B. Materialien, äußere Umgebung usw.). Darauf wird hier nicht näher eingegangen. Ähnlich der Form von Ästen hat auch der Gefäßbaum im menschlichen Kreislaufsystem eine astähnliche Form, die ebenfalls von den Prinzipien der Biomechanik beeinflusst wird (wie etwa dem Mori-Gesetz, dem Prinzip der gleichen Scherspannung usw.) . Lassen wir das beiseite und fahren mit der Analyse der Fibonacci-Folge fort.

Bei Pflanzen und Tieren weisen viele Strukturen die Form der Fibonacci-Spirale auf, beispielsweise die Blütenblätter von Sonnenblumen, die Schuppen von Kiefernzapfen und die Schalen von Meeresschnecken. Diese Spiralformen sind nicht nur schön, sondern verfügen auch über eine hohe strukturelle Stabilität. Die Eigenschaften der Fibonacci-Folge ermöglichen es diesen Spiralformen, während des Wachstums eine stabile Form beizubehalten und gleichzeitig die Auswirkungen äußerer Kräfte effektiv zu zerstreuen, wodurch die Lebensfähigkeit des Organismus verbessert wird.

Stellen wir uns nun ein vereinfachtes Modell der Kräfte vor, die auf ein Sonnenblumenblatt wirken. Gehen Sie davon aus, dass jedes Blütenblatt zwei Hauptkräften ausgesetzt ist: die eine ist die Stützkraft des Blütenstiels und die andere ist die Druckkraft der benachbarten Blütenblätter. Im Idealfall wäre die Struktur der gesamten Blüte sehr stabil, wenn jedes Blütenblatt einer gleichmäßigen Kraft ausgesetzt wäre . Die Fibonacci-Folge funktioniert hier so, dass sie die Kräfte auf jedes Blütenblatt indirekt beeinflusst, indem sie die Anzahl und Anordnung der Blütenblätter beeinflusst . Aufgrund der Eigenschaften der Fibonacci-Folge ändert sich der Winkel zwischen zwei benachbarten Blütenblättern (wenn wir die Blütenblätter als Punkte betrachten, die um die Mitte der Blume angeordnet sind) allmählich, und diese Änderung folgt einem bestimmten Gesetz. Dieses Muster stellt sicher, dass jedes Blütenblatt genügend Platz zum Wachsen hat, und gewährleistet gleichzeitig die strukturelle Stabilität der gesamten Blüte. Insbesondere wenn eine äußere Kraft (wie etwa Wind oder die Berührung eines Insekts) auf eine Blume einwirkt, wird die Kraft entlang der spiralförmigen Anordnung der Blütenblätter verteilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fibonacci-Folge wird diese Kraft sehr gleichmäßig verteilt, ohne dass ein Teil übermäßigem Druck oder Zug ausgesetzt wird. Es ist wie in einer eng verbundenen Armee: Jeder Soldat kann den äußeren Druck gleichmäßig verteilen und so die Stabilität des gesamten Teams aufrechterhalten .

Interessierte und fähige Freunde können versuchen, mit der Methode des Strukturtopologieoptimierungsdesigns zu berechnen , warum Sonnenblumenkerne rautenförmig sind und in Form einer Fibonacci-Spirale verteilt sind . Das Ergebnis der Optimierung aus mathematischer und mechanischer Sicht ist das wahre Erscheinungsbild der Sonnenblume, die wir sehen.

( 2 ) Analyse der mechanischen Probleme der Fibonacci-Folge aus der Perspektive der Steifigkeit

Die Verteilung der Blattadern weist häufig den Goldenen Schnitt auf . Das Team von Professor Guo Xu von der Technischen Universität Dalian hat das Geheimnis der goldenen Schnittverteilung der Blattadern in der Natur eingehend erforscht. Basierend auf der bionischen Forschung zur Optimierungstheorie der Strukturtopologie untersuchten sie die Konfiguration der Blattaderverteilung, die die Steifigkeit der Blätter maximiert (Abbildung 7).

Abbildung 7 Optimale Blattaderverteilung eines typischen Blattes

Die Studie ergab, dass die strukturelle Steifheit des Blattes am größten ist, wenn das erste und zweite Segment des Hauptaderstamms (A/B) ungefähr in einem goldenen Schnitt verteilt sind. Das heißt, die Verformung des Blattes ist am geringsten , wodurch es die größte äquivalente Lichtfläche erhält und die Photosyntheseeffizienz des Mesophyllgewebes verbessert wird. Die obigen Ergebnisse bestätigen vorläufig, dass die Verteilung der Blattadern das Ergebnis einer Evolution ist, die durch die Optimierung mechanischer Eigenschaften vorangetrieben wird . Die Forschungsergebnisse können nicht nur das Rätsel der Blattaderverteilung lösen, sondern liefern auch sehr aufschlussreiche Leitlinien für die Konstruktion versteifter Platten- und Schalenstrukturen wie Antennen und flexibler elektronischer Geräte .

( 3 ) Fibonacci-Zahlen der Tiere

Auch die Skelett- und Muskelstrukturen vieler Tiere weisen eine abgestufte und gegabelte Form ähnlich der Fibonacci-Folge auf, die nicht nur die Bewegungseffizienz der Tiere verbessert, sondern sie auch wirksam vor äußeren Schäden schützt . Die Schale der Muschel weist eine logarithmische Spiralform auf (Abbildung 8 links), die nicht nur schön ist, sondern auch eine extrem starke strukturelle Stabilität aufweist. Bei Einwirkung äußerer Kräfte kann diese logarithmische Spiralstruktur die Aufprallkraft effektiv verteilen und das weiche Gewebe im Inneren der Muschel vor Schäden schützen.

Abbildung 8 Fibonacci-Zahlen in Muscheln (links) und Katzen (rechts)

Auch die Knochen- und Muskelstruktur der Gliedmaßen von Tieren kann durch die Fibonacci-Folge beeinflusst werden. Studien haben beispielsweise gezeigt, dass das Längenverhältnis der Gliedmaßenknochen von Katzen nahe an der Fibonacci-Folge liegt (Abbildung 8, rechts) und diese Struktur dazu beitragen kann, die Bewegungseffizienz und Stabilität des Tieres zu verbessern. Durch die Simulation der Kräfte, die während der Bewegung auf Tiere einwirken, können wir den Einfluss der Fibonacci-Folge auf die Stabilität der Tierbewegung untersuchen, die ihnen hilft, ihren Überlebens- und Wettbewerbsvorteil aufrechtzuerhalten . Der Wachstumsprozess biologischen Gewebes kann ebenfalls der Fibonacci-Folge folgen. Studien haben beispielsweise gezeigt, dass einige Zellteilungsmuster der Fibonacci-Folge folgen können und dass dieses Wachstumsmuster dazu beitragen kann, die Stabilität der Gewebestruktur aufrechtzuerhalten (genau wie die Legesequenz von Kaninchen). Durch die Simulation der Stressbedingungen während der Zellteilung können wir den Einfluss der Fibonacci-Folge auf die Wachstumsstabilität biologischer Gewebe untersuchen.

( 4 ) Verständnis der Stabilität der Fibonacci-Folge aus der Perspektive des Prinzips der kleinsten Wirkung

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist ein Grundprinzip der Physik, auch als Hamilton-Prinzip bekannt, und ein Grundprinzip der klassischen Mechanik. Es besagt, dass in der Natur die Evolution physikalischer Systeme immer einem Pfad folgt, der die Wirkung minimiert . In statischen oder Gleichgewichtssituationen ist dieses Prinzip eng mit dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie verwandt, da das System dazu neigt , einen Zustand minimaler potentieller Energie anzustreben, der einen stabilen Zustand darstellt .

In der biologischen Morphologie lässt sich dieses Prinzip so erklären, dass Organismen im Laufe des Evolutionsprozesses eine morphologische Strategie wählen, die ihren Energieverbrauch minimiert, ihre Ressourcennutzung maximiert und sie mit Umweltherausforderungen fertig werden lässt . Beispielsweise sind die Blütenblätter einer Sonnenblume in einem Spiralmuster angeordnet, das der Fibonacci-Folge folgt. Dadurch kann sich die Blüte beim Öffnen möglicherweise vollständig entfalten und gleichzeitig ihre strukturelle Stabilität bewahren. Diese Stabilität schützt die Blüten vor äußeren Schäden und ermöglicht ihnen außerdem eine effizientere Photosynthese. Beispielsweise können die Aststruktur von Bäumen und die Skelettmorphologie von Tieren die potenzielle Energie durch Verringerung von Biegung und Verdrehung reduzieren und so die Stabilität erhöhen. Strukturen wie die Schuppen von Kiefernzapfen und die Schalen von Nautilus weisen eine anmutige Spiralform auf, die sich möglicherweise durch Minimierung des Energieverbrauchs und Maximierung der strukturellen Stabilität entwickelt hat.

( 5 ) Verständnis der Anpassungsfähigkeit der Fibonacci-Folge aus der Perspektive des Prinzips der kleinsten Wirkung

Die Formen und Strukturen vieler Organismen weisen Merkmale der Fibonacci-Folge auf, wie etwa die Anzahl der Blütenblätter und die Anordnung der Schuppen bei Kiefernzapfen. Das Charakteristische an dieser Zahlenreihe ist, dass sich das Verhältnis ihrer beiden benachbarten Glieder allmählich dem Goldenen Schnitt annähert, wodurch die Form optisch harmonischer wird. Nicht diese harmonische Schönheit der Erscheinung ist der Zweck, sondern die grundlegende biomechanische Schönheit ist der Grund. Tatsächlich handelt es sich bei dieser Anordnung der Fibonacci-Zahlen um eine Strategie zur Raumausfüllung , die es den Blütenblättern ermöglicht, sich in einem begrenzten Raum maximal auszubreiten und so die Menge an Sonnenlicht und Photosynthese zu maximieren. Dies hilft den Pflanzen, Raum und Ressourcen während des Wachstums und der Entwicklung auf die effizienteste Weise zu nutzen und erhöht so ihre Überlebens- und Fortpflanzungschancen . Daher kann die morphologische Manifestation der Fibonacci-Folge als adaptive Strategie angesehen werden.

3. Zusammenfassung

Es besteht tatsächlich eine mysteriöse und interessante Verbindung zwischen der Fibonacci-Folge und der Natur. Diese Verbindung demonstriert nicht nur den Reiz der Mathematik, sondern enthüllt auch die verborgenen Geheimnisse der Mechanik in der Natur. Aus biomechanischer Sicht kann das Vorkommen der Fibonacci-Folge in der Natur als Optimierungsstrategie verstanden werden, die Organismen dabei hilft, die besten Ergebnisse bei Wachstum, Entwicklung und Anpassung an ihre Umwelt zu erzielen. Die Eigenschaften dieser Reihe ermöglichen es Organismen, Raum und Ressourcen auf die effizienteste Weise zu nutzen, eine stabile Form beizubehalten und die Auswirkungen äußerer Kräfte wirksam zu zerstreuen, wodurch die Anpassungsfähigkeit und Überlebensfähigkeit von Organismen verbessert wird .

Natürlich ist unser derzeitiges Verständnis der Beziehung zwischen der Fibonacci-Folge und der Natur nur die Spitze des Eisbergs, und es wird in Zukunft noch weitere wissenschaftliche Probleme geben, die wir erforschen und beantworten müssen. Wir freuen uns auf Freunde aus allen Gesellschaftsschichten, die weitere interessante Fragen stellen, weitere professionelle Interpretationen liefern und weitere spannende Entdeckungen ans Licht bringen.