Können alle Berechnungen nur mit einem weißen Blatt Papier durchgeführt werden?

Obwohl viele Leute Origami als eine interessante, aber nutzlose Leistung betrachten, ist Origami tatsächlich als „Turing-vollständig“ erwiesen; Die Origami-Mathematik findet breite Anwendung, etwa bei der Konstruktion großer Solarmodule, die gefaltet und in den Weltraum transportiert werden können, bei Robotern, die im Wasser schwimmen und Umweltdaten sammeln können, bei Stents, die durch winzige Blutgefäße geführt werden können, und bei Werkzeugen, die die DNA-Faltung simulieren. Hunderte von Menschen verwenden heute Origami-Mathematik und -Algorithmen, um neue mechanische Strukturen zu entwerfen.

Geschrieben von | Jiawei

Im Jahr 1936 schlug der britische Mathematiker Alan Turing die Idee eines Allzweckcomputers vor. Es war ein einfaches Gerät: ein unendlich langes Band voller Nullen und Einsen und eine Maschine, die sich auf dem Band vor- und zurückbewegen konnte und dabei nach bestimmten Regeln Nullen in Einsen und umgekehrt änderte. Er demonstrierte, dass mit einem solchen Gerät beliebige Berechnungen durchgeführt werden können.

Turing hatte in seinem Gedankenexperiment nicht die Absicht, die Maschine zur Lösung realer Probleme einzusetzen. Stattdessen bietet es eine wertvolle Methode zur Erforschung der Natur der Informatik und ihrer Grenzen. In den Jahrzehnten seit dieser bahnbrechenden Idee haben Mathematiker eine Vielzahl weniger praktischer Rechenverfahren entwickelt. Prinzipiell könnten Spiele wie der Klassiker Minesweeper oder Magic: The Gathering als Allzweckcomputer eingesetzt werden. Dasselbe gilt für sogenannte zelluläre Automaten wie etwa John Conways „Spiel des Lebens“, ein Regelwerk zur Entwicklung schwarzer und weißer Quadrate auf einem zweidimensionalen Raster.

Über das Spiel des Lebens und zelluläre Automaten

1970 erfand der britische Mathematiker John Horton Conway einen zweidimensionalen zellulären Automaten, der die Evolution und Komplexität des Lebens simulieren kann.

Die Regeln des Spiels des Lebens sind sehr einfach und beinhalten nur das Überleben (hell) und den Tod (dunkel) jedes Pixels und seine Interaktion mit den acht umgebenden Zellen. Genauer gesagt hat jedes Pixel, das wir Zelle nennen, zwei Zustände: lebendig oder tot. Der Zustand jeder Zelle im nächsten Moment hängt von den folgenden vier Regeln ab:

1. Wenn eine Zelle von weniger als zwei lebenden Zellen umgeben ist, stirbt sie an Einsamkeit.

2. Wenn eine Zelle von zwei oder drei überlebenden Zellen umgeben ist, wird sie weiter überleben.

3. Wenn eine Zelle von mehr als drei lebenden Zellen umgeben ist, stirbt sie aufgrund von Gedränge.

4. Wenn eine tote Zelle von genau drei lebenden Zellen umgeben ist, wird sie wiederbelebt.

Der Reiz von Conways Spiel des Lebens liegt darin, dass es mit extrem einfachen Regeln extrem komplexe und vielfältige Phänomene hervorbringt. Im Verlauf des Spiels können verschiedene Zellstrukturen entstehen, manche sind stabil, manche periodisch, manche bewegen sich, manche wachsen, manche sind interaktiv und manche sind sogar berechenbar.

Obwohl es abstrakt und obskur ist, zeigt dieses Video tatsächlich den Prozess der Suche nach Primzahlen mithilfe der Raumschiffform, die aus Conways Spiel des Lebens konstruiert wurde. Mit anderen Worten: Wir haben das Spiel des Lebens in einen verallgemeinerten Computer verwandelt, der ein Programm zur Berechnung von Primzahlen ausführen kann. Diese Raumschiffe stellen zufällig Primzahlen dar. Es wurde 1991 von Dean Hickerson erfunden. Quelle: Conway's Game of Life (conwaylife.com)

Im September 2023 bewiesen Inna Zakharevich von der Cornell University und Thomas Hull vom Franklin and Marshall College, dass alles, was berechnet werden kann, auch mit Origami berechnet werden kann. Sie bewiesen, dass Origami „Turing-vollständig“ ist – das heißt, dass es wie eine Turingmaschine jedes berechenbare Problem lösen kann, wenn genügend Zeit dafür zur Verfügung steht.

Zakarevich ist ein Origami-Enthusiast. Im Jahr 2021 begann sie, über diese Frage nachzudenken, nachdem sie zufällig ein Video gesehen hatte, in dem die Turing-Vollständigkeit des „Spiels des Lebens“ erklärt wurde. „Ich dachte, Origami ist viel komplizierter als das Spiel des Lebens“, sagte Zakarevich. „Wenn das Spiel des Lebens Turing-vollständig ist, dann sollte Origami auch Turing-vollständig sein.“

Die Natur des Rechnens

In der wissenschaftlichen Gemeinschaft gibt es eine Nischenansicht, die als breite rechnergestützte Weltanschauung bezeichnet wird (Computationalismus im engeren Sinne ist eine Art Erkenntnistheorie). Die radikalsten Vertreter dieser Theorie, wie etwa Stephen Wolfram (Entwickler der berühmten Mathematiksoftware Wolfram Mathematica), glauben, das gesamte Universum sei nichts weiter als ein zellulärer Automat. Unsere physikalischen Gesetze und sogar die Materie selbst sind das Ergebnis irgendeiner Art von Berechnung. Genau wie das Spiel des Lebens. Und in der echten Wissenschaft geht es darum, die grundlegenden Rechenregeln zu finden. In den vergangenen zwei Jahren hat er sogar bewiesen, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik das Ergebnis bestimmter Rechenregeln ist.

Angesichts der Allgegenwärtigkeit von Computern kann man ihm kaum vorwerfen, dass er Unrecht hat.

Gängige Beispiele für Berechnungen sind mathematische Gleichungen und Computeralgorithmen. Als Computer (im engeren Sinne) wird ein mechanisches oder elektronisches Gerät (oder historisch auch ein Mensch) bezeichnet, das bestimmte Berechnungen durchführt.

Eine wohldefinierte Aussage oder Berechnung ist eine, die eindeutig anhand der Anfangsparameter einer Turingmaschine ausgedrückt werden kann. Eine Turingmaschine ist ein abstraktes Computermodell, das jeden berechenbaren Prozess simulieren kann. Daher wird jede mathematische Aussage oder Berechnung mit wohldefinierten Eigenschaften als berechenbar bezeichnet, und die Aussage oder Berechnung selbst wird als Berechnung bezeichnet. Diese Forschung bildet das Gebiet der Berechenbarkeit, ein Teilgebiet der mathematischen Logik und der Informatik.

Berechnungen können jedoch auch als rein physikalischer Prozess betrachtet werden, der in einem geschlossenen physikalischen System stattfindet. Turings Beweis aus dem Jahr 1937 zeigte, dass eine formale Äquivalenz zwischen berechenbaren Aussagen und bestimmten physikalischen Systemen besteht, die zusammenfassend (im weiteren Sinne) als Computer bezeichnet werden.

Kann man also durch Falten eines Blattes Papier nach einigen gängigen Regeln Papier auch in einen Computer verwandeln?

Leider war die Informatik nicht Zakarevichs Fachgebiet. Obwohl sie Origami schon seit ihrer Kindheit liebt – „Wenn Sie mir etwas super Kompliziertes geben wollen, für das man ein 24-Zoll-Blatt Papier braucht und das 400 Schritte umfasst, mache ich es selbst“, sagt sie –, umfasst ihre mathematische Forschung abstraktere Bereiche wie algebraische Topologie und Kategorientheorie. Also schickte sie Hull eine E-Mail, der sich voll und ganz der Mathematik des Origami widmete.

„Sie hat mir aus heiterem Himmel eine E-Mail geschickt und ich dachte: Warum fragt mich ein algebraischer Topologe das?“ sagte Hull. Doch ihm wurde klar, dass er nie darüber nachgedacht hatte, ob Origami Turing-vollständig sein könnte. „Ich dachte, vielleicht, aber ich war mir nicht wirklich sicher.“

Also machten er und Zakarevich sich daran zu beweisen, dass man aus Origami einen Computer machen kann. Zunächst mussten sie Recheneingaben und -ausgaben sowie grundlegende logische Operationen wie UND und ODER in Origami-Konfigurationen kodieren. Wenn sie zeigen können, dass ihr Schema andere bekannte Turing-vollständige Berechnungsmodelle simulieren kann, haben sie ihr Ziel erreicht.

Über Origami

In den Augen der Chinesen ist Origami möglicherweise eine triviale Fertigkeit, die es nicht wert ist, in einem formellen Rahmen gezeigt zu werden. Für Vorschulkinder ist es in Ordnung, damit zu spielen, aber sobald sie in die Schule kommen, haben sie im Allgemeinen keine Zeit mehr, mit Origami zu spielen. Die Japaner sehen das anders. Sie betrachten Origami als nationalen Schatz. Sie haben nicht nur einen Origami-Verein, sondern machen Origami auch zu einem Pflichtfach an Grundschulen im ganzen Land. Die Japaner haben sich nicht einfach deshalb dazu entschieden, Origami als Pflichtkurs einzuführen, weil es eine traditionelle Kunst ist; Blumenstecken und Teezeremonie, die ebenfalls zu den traditionellen Künsten des Landes zählen, waren nicht als Pflichtkurse vorgesehen.

In den 1970er Jahren wandte der japanische Gelehrte Akira Yoshizawa seine Aufmerksamkeit der Mathematik des Origami zu, was später zu einem Höhepunkt der Forschung zur Mathematik des Origami in Japan führte. Es wurden mehrere Forschungsgruppen gegründet und zahlreiche Monographien veröffentlicht.

Diese frühen Forscher waren angenehm überrascht, als sie feststellten, dass Origami sogar Gleichungen bis zum kubischen Grad lösen kann und rationale Zahlen wie 1/n auf natürliche Weise berechnet (ausgedrückt) werden können. Darüber hinaus können mit Origami Probleme gelöst werden, die mit der Konstruktion von Lineal und Zirkel nicht gelöst werden können: die Dreiteilung eines Winkels und die Verdoppelung des Würfels (die Quadratur des Kreises kann damit allerdings immer noch nicht gelöst werden, da π eine transzendente Zahl ist).

Bis heute wurde Origami im akademischen Bereich eingehend mathematisch analysiert. Zu den Interessensgebieten zählen die flache Faltbarkeit bestimmter Papiermodelle (ob ein dreidimensionales Modell zu einer flachen Oberfläche komprimiert werden kann, ohne beschädigt zu werden) und die Verwendung von Origami zum Lösen rationaler Gleichungen.

Es gibt auch das berühmte Serviettenfaltproblem: Ist es möglich, ein quadratisches oder rechteckiges Stück Papier so zu einer ebenen Figur zu falten, dass ihr Umfang größer ist als das ursprüngliche Quadrat?

Wenn wir unsere gefalteten Papierkreationen schneiden, haben wir auch das wunderbare Falt- und Schneidetheorem : Jede Form mit geraden Seiten kann aus einem einzigen Blatt (idealisiertem) Papier hergestellt werden, indem man es flach faltet und einen einzigen geraden Schnitt macht. Zu diesen Formen gehören Polygone (die konkav sein können), Formen mit Löchern und Sammlungen solcher Formen (d. h. die Regionen müssen nicht verbunden sein).

Computational Origami ist ein neuer Zweig der Informatik, der sich mit Algorithmen zur Lösung von Origami-Problemen beschäftigt. Auch das Gebiet des computergestützten Origami hat große Fortschritte gemacht, seit Robert Lang in den 1990er Jahren den TreeMaker-Algorithmus vorschlug, der dabei helfen soll, die Basis präzise zu falten. Beim Origami-Faltproblem besteht das Ziel darin, etwas mithilfe der Falten einer Anfangskonfiguration zu falten. Die Ergebnisse des Origami-Designproblems sind leichter zu verstehen als die Ergebnisse des Origami-Faltbarkeitsproblems. Computergestütztes Origami erfordert ein hohes Maß an Kenntnissen in Mathematik und Computergrafik und hat in vielen Bereichen, beispielsweise bei Materialien für die Luft- und Raumfahrt, große Beiträge geleistet, anstatt sich nur auf die Ebene des Origami-Handwerks zu beschränken.

Während diese Techniken im Wesentlichen geometrischer Natur sind und klare und clevere Konstruktionen für bestimmte Probleme liefern, möchten Zakarevic und Hull nun herausfinden, ob sie die abstrakte Funktionalität einer Turingmaschine theoretisch implementieren können, indem sie ein Blatt Papier unter Anwendung einiger offensichtlicher Origami-Regeln falten.

Eine logische Operation nimmt eine oder mehrere Eingaben entgegen (jede als „wahr“ oder „falsch“ geschrieben) und gibt gemäß einer bestimmten Regel einen Wert von „wahr“ oder „falsch“ aus. Um Berechnungen „auf dem Papier“ durchführen zu können, entwickelten Mathematiker ein Liniendiagramm, ein sogenanntes Knickmuster, das die Positionen der Knicke vorgab. Die Falten im Papier stellen die Eingabe dar. Wenn Sie entlang einer Linie im Knickmuster falten, klappt die Falte zur Seite und zeigt damit einen wahren Eingabewert an. Wenn Sie das Papier jedoch entlang einer anderen (nahegelegenen) Linie falten, wird die Falte auf die gegenüberliegende Seite geklappt, was „falsch“ anzeigt.

Knicke und Fältchen stellen logische Wahrheitswerte dar | Bildquelle: quantamagazine

Zwei der Eingabefalten werden in ein Gadget zur Kompilierung komplexer Faltmathematik eingespeist. Das Gadget kodiert die logischen Operationen. Um alle diese Faltungen zu erreichen und dabei das Papier trotzdem flach zu falten – eine Anforderung von Hull und Zacharevich – fügten sie eine dritte Falte hinzu, um es zu zwingen, sich auf eine bestimmte Art und Weise zu falten. Wenn die Falten in eine Richtung umgedreht werden, lautet die Ausgabe „true“. Wenn es auf die andere Seite umkippt, ist die Ausgabe „false“.

Mathematiker haben verschiedene Geräte entwickelt, die Eingaben auf der Grundlage verschiedener logischer Operationen in Ausgaben umwandeln. „Wir haben lange mit Papier herumgespielt, uns gegenseitig Bilder geschickt … und dann strenge Beweise dafür geschrieben, dass diese Dinge so funktionierten, wie wir es gesagt hatten“, sagte Hull.

Seit Ende der 1990er Jahre ist bekannt, dass ein einfacheres eindimensionales Analogon zu Conways Spiel des Lebens Turing-vollständig ist. Hull und Zaharievich haben herausgefunden, wie man diese Version des Spiels des Lebens mithilfe logischer Operationen schreibt, die durch Origami dargestellt werden. „Letztendlich mussten wir nur vier Gatter verwenden: AND, OR, NAND und NOR. Um diese verschiedenen Gatter zu kombinieren, mussten wir jedoch neue Geräte entwickeln, die irrelevante Signale absorbieren und anderen Signalen ermöglichen, sich umzukehren und zu kreuzen, ohne sich gegenseitig zu stören“, sagte Zacharevich.

Dies sei der schwierigste Teil, glaubt Zacharevich. Um herauszufinden, wie alles richtig ausgerichtet wird. Nachdem sie und Hull ihr Gerät erfolgreich zusammengebaut hatten, konnten sie alles, was sie brauchten, in die Falten des Papiers kodieren und damit beweisen, dass Origami Turing-vollständig ist.

Origami-Computer sind höchst ineffizient und unpraktisch. Aber im Prinzip könnten wir mit einem großen Blatt Papier und viel Zeit mithilfe von Origami beliebig große Ziffern von π berechnen, die besten Routen für alle Lieferfahrer der Welt ermitteln oder ein Programm zur Wettervorhersage ausführen. „Letztendlich wird die Anzahl der Falten wirklich riesig sein“, sagte Hull. „Das ist körperlich sehr anstrengend, aber theoretisch sollte es perfekt funktionieren.“ (Wir können ein Blatt Papier kaum sieben Mal in der Mitte falten!)

Nützliche und nutzlose Origami-Mathematik

Mathematiker sind seit Jahrzehnten von Origami fasziniert. Für Erik Demaine, einen Informatiker am MIT, „sieht es sowohl interessant als auch nutzlos aus.“

Die bahnbrechende Arbeit in der Computergeometrie und im Computerorigami erschien 1999, als Eric DeMaine, damals Doktorand an der University of Waterloo, einen Algorithmus beschrieb, der bestimmen konnte, wie man ein Blatt Papier in jede erdenkliche dreidimensionale Form faltet. Allerdings erzeugt diese Methode kein wirklich praxisnahes Faltmuster, sondern veranschaulicht vor allem die theoretische Machbarkeit.

Auf einer Konferenz zur Computergeometrie im Juli 2017 fanden De Moines und der Computergeometer Tomohiro Tachi von der Universität Tokio einen Algorithmus mit den wenigsten Nähten.

Forscher haben einen allgemeinen Algorithmus zum Falten von Origami-Formen entwickelt, der die Anzahl der Nähte minimiert. Bildquelle: Christine Daniloff/Massachusetts Institute of Technology

Robert Long, Mitglied der American Mathematical Society, ist der renommierteste zeitgenössische Forscher auf dem Gebiet der Origami-Mathematik und des Computer-Origami. Er hat bewiesen, dass Origami-Arbeiten, egal wie komplex sie sind, mithilfe der Mathematik modelliert werden können. Sein Buch „Origami Design Secrets“ gilt als die Bibel des Origami.

Doch in letzter Zeit hat Origami auch die Aufmerksamkeit von Ingenieuren auf sich gezogen.

Im Bereich der Origami-Mathematik gibt es mehrere sehr berühmte Probleme. Beispielsweise wird beim Problem des starren Origami die Falte als Scharnier betrachtet und die Papierbereiche auf beiden Seiten der Falte sind zwei starre Ebenen, die durch das Scharnier verbunden sind. Die Forschung auf diesem Gebiet hat einen großen praktischen Wert. Bei der Miura-Kartenfalte handelt es sich beispielsweise um eine starre Falte, die schon seit langem zum Aufstellen großer Solarpanel-Arrays für Satelliten im Weltraum verwendet wird.

Früher wurden Satellitenschüsseln in Vierer- oder Achterstapeln übereinander gestapelt. Allerdings erfordert diese Faltmethode nicht nur komplizierte Abläufe im Betrieb, sondern verschwendet auch viel Platz und ist verschleißanfällig, sodass häufige Reparaturen und Wartungen erforderlich sind. Zu diesem Zweck hat sich der japanische Wissenschaftler Miura der Entwicklung einer neuen Technologie verschrieben, mit der die oben genannten Probleme gelöst werden können. Als Ergebnis stellte er fest, dass die faltige Struktur auf der Oberfläche des elliptischen Zylinders Platz sparen, Verluste vermeiden und eine hohe Festigkeit aufweisen kann[3]. Dies brachte ihn schließlich dazu, eine Faltmethode zu erfinden, bei der „die diagonalen Enden gezogen werden, um den Gegenstand auszudehnen, und sie in entgegengesetzte Richtungen gedrückt werden, um ihn zusammenzufalten.“ Quelle: Miura-Faltung – Wikipedia

Mithilfe der Origami-Mathematik wurden unter anderem große Solarmodule entworfen, die gefaltet und in den Weltraum transportiert werden können, Roboter, die im Wasser schwimmen und Umweltdaten sammeln können, Stents, die durch winzige Blutgefäße navigieren können, und Werkzeuge, die die Faltung von DNA simulieren. „Es gibt jetzt Hunderte und Aberhunderte von Menschen, die die gesamte Origami-Mathematik und die Algorithmen, die wir entwickelt haben, nutzen, um neue mechanische Strukturen zu entwerfen“, sagte DeMaine.

„Je mehr wir solche Dinge tun“, sagte Hull, „desto mehr Möglichkeiten haben wir meiner Meinung nach, tiefe Schnittstellen zwischen Origami und etablierten Zweigen der Mathematik zu schaffen.“

Ergänzender Inhalt

Kubische Gleichungen mit Origami lösen

In der Mathematik ist Lills Verfahren eine intuitive Methode zum Finden der reellen Nullstellen eines univariaten Polynoms beliebiger Potenz, die 1867 vom österreichischen Ingenieur Eduard Lill vorgeschlagen wurde. Später erkannten Forscher der Origami-Geometrie, dass diese Technologie auch der Kernalgorithmus für Origami zum Lösen kubischer Gleichungen ist. Im Folgenden wird hauptsächlich gezeigt, wie Lear die Wurzeln von Polynomen und Gleichungen visualisiert. Überspringen Sie den speziellen Origami-Prozess und -Beweis.

Lears Methode besteht darin, gerade Liniensegmente im rechten Winkel zu zeichnen, von denen jedes eine Länge hat, die dem Koeffizienten des Polynoms entspricht. Die Nullstellen eines Polynoms können ermittelt werden, indem man die Steigungen seiner rechtwinkligen Pfade nimmt, die ebenfalls Start- und Endpunkte verbinden, deren Scheitelpunkte sich jedoch auf der Geraden des ersten Pfades befinden.

Verwenden Sie Origami, um die Wurzeln -1/2, -1/√2 und 1/√2 der kubischen Gleichung 4x3+2x2-2x-1=0 mit ganzzahligen Koeffizienten zu finden, wobei der Schwerpunkt darauf liegt, intuitiv zu zeigen, wie mit negativen Koeffizienten umgegangen wird und wie Liniensegmente verlängert werden.

Grafische Methode für kubische algebraische Gleichungen | Bildquelle: Lills Methode – Wikipedia

Um diese Methode zu verwenden, müssen Sie mit dem Zeichnen vom Ursprung aus beginnen. Zeichnen Sie entsprechend der Größe des ersten Koeffizienten (des Koeffizienten mit dem Term mit der höchsten Potenz) ein Liniensegment nach rechts (wenn der Koeffizient also negativ ist, liegt der Endpunkt des Liniensegments links vom Ursprung). Zeichnen Sie vom Ende des ersten Liniensegments ein weiteres Liniensegment um die Größe des zweiten Koeffizienten nach oben, dann um die Größe des dritten Koeffizienten nach links, dann um die Größe des vierten Koeffizienten nach unten und so weiter. Die Reihenfolge der Richtungen (nicht der Kurven) ist immer rechts, oben, links, unten und wiederholen. Daher erfolgt jede Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn. Dies gilt für jeden Koeffizienten des Polynoms (einschließlich Null), bei negativen Koeffizienten ist es jedoch „umgekehrt“ – genau dies ist bei negativen Koeffizienten im Beispiel der Fall. Der letzte erreichte Punkt, also das Ende des Liniensegments, das dem konstanten Term der Gleichung entspricht, ist der Endpunkt.

Zeichnen Sie anschließend die farbigen Linien nach bestimmten Regeln in das Bild ein. Nehmen wir die rote Linie als Beispiel: Die rechten Winkel der von ihr gebildeten unterbrochenen Linien betragen alle 90°, und die rote Linie fällt schließlich auf den Endpunkt. Wenn wir die rote Linie bestimmen können, können wir mithilfe der Symmetrie die erste blaue Linie bestimmen, die mit dem Ursprung verbunden ist, und dann den Endpunkt der blauen Linie basierend auf der rechtwinkligen Linie finden.

Jede auf der farbigen Linie angezeigte Zahl ist das Gegenteil ihrer Steigung und ist auch eine reelle Wurzel des Polynoms.

Daher besteht das Problem im Wesentlichen darin, mit der Origami-Methode die Steigung der roten Linie ausgehend vom Ursprung zu bestimmen, um sicherzustellen, dass das rote Liniensegment schließlich auf den Endpunkt fallen kann. Die konkrete Argumentation ist ziemlich kompliziert und Interessierte können für detaillierte Informationen auf die Referenz [7] verweisen.

siehe

[1] [2309.07932v1] Flaches Origami ist Turing-vollständig (arxiv.org)

[2] Wie man einen Origami-Computer baut | Quanta Magazin

[3] Mathematik des Papierfaltens – Wikipedia

[4] Origami-Axiom – Wikipedia

[5] TTs Seite (tsg.ne.jp)

[6] Lills Methode – Wikipedia

[7] Origami-Mathematik - Werfen Sie die Werkzeuge weg und Sie können weiter gehen (IV) Lillies Gesetz - Bilibili (bilibili.com)

[8] Nathaniel Johnston » Generieren von Primzahlfolgen in Conways Spiel des Lebens

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

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