Der Nobelpreisträger hat dieses kontraintuitive Phänomen falsch eingeschätzt, der NBA-Star jedoch richtig

Fast jeder Basketballspieler, Trainer oder Fan glaubt, dass Spieler einen unglaublichen Hot-Hand-Effekt haben und dass sie, sobald der Spieler den Ball berührt, wie ein Gott werfen können. Allerdings ist man in der Wissenschaft schon lange davon überzeugt, dass es sich hierbei um eine weitverbreitete kognitive Illusion handelt. Erst in den letzten Jahren lieferten neue Forschungsergebnisse überzeugende Beweise für die Existenz des Hot-Hand-Effekts.

Geschrieben von | Jiawei

Bildquelle: Unsplash/CC0 Public Domain

Gehen Sie mit der heißen Hand.

——Ein Schlagwort unter Basketballfans

In dem März-Artikel „Der Junge, der einst vielleicht erblindet wäre, hat gerade die höchste Auszeichnung in Mathematik gewonnen“ gibt es eine Frage, die zeigt, wie kontraintuitiv die Wahrscheinlichkeit ist:

Angenommen, Sie werfen die Münze später 100 Mal. Dann können Sie sich eine Folge von Kopf (H) und Zahl (Z) ausdenken.

Nun haben Sie die Möglichkeit, die Punkteregelung auszuwählen.

Regel A: Für jedes HH in der Sequenz erhalten Sie einen Punkt; für jedes HT bekommt Ihr Gegner einen Punkt.

Regel B: Umgekehrt erhält Ihr Gegner für jedes HH in der Sequenz einen Punkt; für jedes HT erhalten Sie einen Punkt.

Beispielsweise erhalten Sie in der Sequenz HHHT gemäß Regel A 2 Punkte und Ihr Gegner 1 Punkt.

F: Welche Regel sollten Sie wählen, um mehr Punkte als Ihr Gegner zu haben? Oder anders ausgedrückt: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei beiden Regeln gleich?

Am Ende des Artikels weist der Autor darauf hin, dass die Antwort B ist. Denn obwohl die mathematischen Erwartungen von HH und HT gleich sind, unterscheiden sich ihre Punkteverteilungen. Zu diesem Zeitpunkt ist Ersteres zu konzentriert (3 Hs erhalten 2 Punkte), was zu einer niedrigeren Gewinnrate führt.

Dem Feedback in den Kommentarbereichen verschiedener Plattformen zufolge stehen viele Leser diesem Ergebnis skeptisch gegenüber. Das ist eigentlich verständlich.

Am 18. März veröffentlichte Daniel Litt, Assistenzprofessor am Institut für Mathematik der Universität Toronto, auf der sozialen Plattform X (ehemals Twitter) eine Umfrage mit der oben stehenden Frage. In nur zwei Tagen erhielt die Umfrage eine Million Aufrufe und fast 500 Reposts. Sie sollten wissen, dass Daniel kein Internet-Star ist. Normalerweise interagiert er mit einigen Mathematik-Enthusiasten oder Kollegen und teilt einige relativ Hardcore-Mathematikinhalte – also Inhalte, die die meisten Internetnutzer überhaupt nicht lesen möchten. Daher haben seine Beiträge normalerweise nur einstellige Repost- und Kommentarzahlen, aber die Popularität dieses Beitrags war völlig unerwartet.

Zu den Teilnehmern an der Weiterleitung und Diskussion zählten namhafte Wissenschaftler wie der Turing-Preisträger Yann LeCun und Nassim Nicholas Taleb, Autor des Bestsellers zur Finanzwahrscheinlichkeitswissenschaft „Der Schwarze Schwan“. Viele Leute haben ihre eigene Analyse abgegeben.

Nach 24 Stunden lag die Zahl der Wähler bei 50.000, obwohl nur 10 % von ihnen richtig geantwortet hatten.

Screenshot einer Abstimmung über Wahrscheinlichkeitsfragen, initiiert von Daniel Litt, Assistenzprofessor im Fachbereich Mathematik der Universität Toronto | Quelle: [email protected].

Natürlich können wir für dieses Wahrscheinlichkeitsproblem ein strenges mathematisches Argument liefern, aber ich fürchte, das ist nicht das, was die meisten Leser „sehen wollen“. Darüber hinaus ist es wirklich ein Schandfleck, den wahren Hintergrund dieses Problems zu vertuschen! Schließlich ist es viel anschaulicher und interessanter, mathematische Modelle anhand des Status von Spielern in NBA- und NCAA-Spielen zu verstehen.

Nassim Nicholas Taleb, Autor von „Der Schwarze Schwan“, wurde programmiert, um die Ergebnisse eines Münzwurfs zu simulieren | Quelle: nntaleb @twitter.com

March Madness und der Hot-Hand-Effekt

Am 9. April besiegte die University of Connecticut im Finale der NCAA March Madness National Championship die Purdue University mit 75:60. Das Basketballteam der University of Connecticut hat sechsmal das NCAA-Finale erreicht und sechs Meisterschaften gewonnen!

Die NCAA (National Collegiate Athletic Association) ist ein Sportverband, dem mehr als tausend Colleges und Universitäten in den Vereinigten Staaten und Kanada angehören. Es beherbergt Ligen für eine Vielzahl von Sportarten, darunter Basketball, Fußball, Baseball, Eishockey, Leichtathletik, Gymnastik, Ringen und mehr. Zu den meistgesehenen Spielen zählt die NCAA Division I-Meisterschaft im Basketball der Männer, die jedes Jahr im März stattfindet und allgemein als „March Madness“ bekannt ist. Die Veranstaltung zieht zahlreiche Zuschauer und Sportler an und ist für amerikanische College-Studenten zu einem der wichtigsten Events geworden. Live-Übertragungen von Veranstaltungen, einschließlich der NBA, werden wichtige Ereignisse während March Madness vermeiden. Auch in China gibt es viele Fans, die sich dieses Ereignis jedes Jahr ansehen.

Viele Fans erinnern sich sicher noch an Stephen Currys übermenschliche Leistung bei der NCAA 2008: Er führte den Außenseiter Davidson College zum Sieg und besiegte in der zweiten Hälfte das starke Team von Gonzaga fast im Alleingang. War es sein Können, sein Glück oder war es etwas Besonderes an ihm an diesem Tag, das den jungen Curry zu dem machte, was er heute ist?

Fast jeder Basketballspieler, Trainer oder Fan wird zustimmen, dass manche Spieler einen unheimlichen Hot-Hand-Effekt haben – was manche für besser bekannt halten als Zonen- oder Flow-Zustand.

Heiße Hände bedeuten im Grunde, dass die Spieler in einen besonderen Zustand geraten, in dem ihre Fähigkeiten und ihre Sicht auf dem Höhepunkt sind und ihre Schläge göttlich inspiriert sind. In der Vergangenheit führten Basketballkommentatoren Momente wie den von Craig Hodges, der 19 Dreier in Folge erzielte, oder den von Stephen Curry, dem Point Guard der Golden State Warriors, der im Training 105 Dreier in Folge erzielte, oft darauf zurück, dass „der Ballkontakt kam“ oder „die Hände heiß wurden“.

Um es mit den Worten einiger NBA-Spieler auszudrücken: Sie erkennen, dass Ihr Körper koordiniert, Ihr Geist konzentriert und Ihre Emotionen zuversichtlich sind – der Erfolg ist also vorprogrammiert und Sie werfen den Ball mühelos in den Korb.

Doch selbst auf der offiziellen Website der NCAA lautet die seit langem bestehende Erklärung für den Hot-Hand-Effekt: Er existiert nicht. Das ist bloß eine Illusion, denn wir Menschen neigen dazu, Zufälligkeiten mit inhärenten Mustern zu verwechseln. Tatsächlich vertreten Wissenschaftler, die sich mit Verhalten und Entscheidungsfindung beschäftigen, diese Ansicht bereits seit 30 Jahren.

Der erst vor kurzem verstorbene Wirtschaftsnobelpreisträger Daniel Kahneman sagte einmal unverblümt: „Der Hot-Hand-Effekt ist eine gewaltige und weit verbreitete kognitive Illusion.“

Daniel Kahneman gilt als Vater der Verhaltensökonomie. Sein Bestseller „Schnelles Denken, langsames Denken“ ist ein Aufklärungsbuch, das unzählige Menschen dazu gebracht hat, über ihre eigenen Entscheidungsmethoden und Denkmuster nachzudenken. Ein so renommierter Gelehrter wie Kahneman ist kein Faulpelz; Diese Behauptung stammt aus einer wegweisenden Arbeit der Psychologen Thomas Gilovich, Robert Vallone und Amos Tversky aus dem Jahr 1985 mit dem Titel „The Hot Hand in Basketball: The Myth of Random Sequences“[1]. Das Dokument wird manchmal mit den Initialen seiner drei Autoren, GVT, bezeichnet.

Bei der Untersuchung historischer NCAA-Wurfdaten stellte GVT fest, dass die Reihenfolge der Würfe und Fehlschüsse nicht von der Reihenfolge von Kopf und Zahl zu unterscheiden war, die bei wiederholten Münzwürfen zu beobachten ist.

So wie ein Spieler beim Münzwurf gelegentlich eine Reihe von Kopfwürfen hat, kann es auch bei einem Basketballspieler beim Basketballwerfen gelegentlich zu einer Reihe von Körben kommen. GVT kam zu dem Schluss, dass die Hot Hand eine „kognitive Illusion“ ist; Menschen neigen dazu, Muster in der Zufälligkeit zu „erkennen“ und völlig typische Zufallsphänomene als nicht zufällig zu interpretieren.

Seitdem bezeichnet die wissenschaftliche Gemeinschaft den Hot-Hand-Effekt als „Hot-Hand-Fehlschluss“.

Noch wichtiger ist, dass GVT herausfand, dass professionelle Spieler (NBA-Spieler und -Trainer) nicht nur Opfer kognitiver Illusionen waren, sondern dass ihr Glaube an die Hot Hand auch hartnäckig war. In entscheidenden NBA-Spielen neigen Trainer und Spieler dazu, Wurfchancen an Spieler zu geben, die in Topform zu sein scheinen.

Die Ergebnisse der GVT haben tiefgreifende Auswirkungen auf die Denkweise von Psychologen und Ökonomen über fundierte Entscheidungen. Als die Ergebnisse von GVT über Basketball hinaus extrapoliert wurden, wurde der Trugschluss der Hot Hand zu einem kulturellen Mem. Dies spiegelt sich in allen Bereichen wider, von Finanzinvestitionen bis hin zum E-Sport.

Aber ist das wirklich so?

Leistung von NBA-Spielern auf dem Platz und bedingte Wahrscheinlichkeit

Unabhängig von der Meinung der Wissenschaftler glauben die meisten Basketballfans weiterhin an den Hot-Hand-Effekt, der sich sogar in Videospielen wie NBA Jam widerspiegelt. Wenn der Spieler im Spiel den Spieler so steuert, dass er den Ball mehrere Male hintereinander in den Korb wirft, wird der Ball von Flammen bedeckt.

Als die vom Verein beauftragten sportwissenschaftlichen Berater den Spielern und Trainern die Forschungsergebnisse von GVT erläuterten, ignorierten viele Spieler sie. Der legendäre Trainer der Boston Celtics, Arnold Jacob „Red“ Auerbach, sagte einmal: „Wer ist dieser Typ (GVT)? Er hat eine Studie gemacht, aber das ist mir egal.“

Der Widerstand aus der akademischen Gemeinschaft war ebenso stark, doch Tversky und Gilovich verteidigten ihre Argumente erfolgreich und wiesen gleichzeitig auf schwerwiegende Mängel in den Gegenartikeln hin. Obwohl es noch immer vereinzelt Skeptiker gibt, gelten die Ergebnisse der GVT als Konsens der wissenschaftlichen Gemeinschaft (aber nicht der Basketball-Community).

Diese Situation änderte sich erst im Jahr 2017, als eine bahnbrechende Arbeit [2] zeigte, dass die klassische Studie zur German Vitality Test (GVT) – und darauf aufbauende Folgestudien – einen kleinen, aber signifikanten Selektionsbias aufwiesen, der die statistischen Ergebnisse beeinflusste. Im Grunde genommen hat die Art und Weise, wie das Forschungsteam seine Proben bei der Suche nach dem Streak- oder Hot-Hand-Phänomen auswählte, ihr mathematisches Modell ungültig gemacht. Als die Forscher die Verzerrung in ihre Berechnungen einbezogen, hätte der Hot-Hand-Effekt vorhanden sein müssen. Wenn Spieler in Topform sind, sind sie auf dem Spielfeld eine Macht, mit der man rechnen muss.

Zwei Forscher aus den Bereichen Informationswissenschaft, Betriebswirtschaft und Entscheidungstechnologie, Joshua Miller, außerordentlicher Professor am Institut für Entscheidungswissenschaften der Bocconi-Universität, und Adam Sanjurjo, außerordentlicher Professor für Wirtschaftswissenschaften an der Universität Alicante, überprüften das Wahrscheinlichkeitsmodell von GVT erneut und stellten fest, dass es auf der impliziten Annahme beruhte, dass, wenn die Abfolge der 100 Schussergebnisse jedes Spielers durch einen Münzwurf bestimmt wurde, die Statistiken seiner Trefferserien ebenfalls der gleichen Verteilung folgen müssten.

Überraschenderweise ist diese intuitiv offensichtliche Prämisse falsch. Beachten Sie, dass hier das Basketballspiel mit dem Wahrscheinlichkeitsproblem am Anfang des Bandes verknüpft ist!

Miller und Sanjurjo sind der Ansicht, dass für die Erstellung eines mathematischen Modells des Hot-Hand-Effekts nicht nur die durch zufälliges Werfen einer Münze erhaltenen Kopf- (H, entspricht einem erfolgreichen Wurf) und Zahl- (T, entspricht einem Fehlwurf) Sequenzen erforderlich sind, sondern auch Kopf-Kopf- (HH, aufeinanderfolgende Punkte, ein Zeichen für eine Hot Hand) und Kopf-Zahl-Sequenzen (HT, ein Fehlwurf nach einem Punktgewinn). Wie ich jedoch immer betont habe, treten HH und HT zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, ersteres kommt jedoch häufiger vor! Diese Tatsache macht das GVT-Argument ungültig.

Die vollständige Argumentation findet sich in [2], das online verfügbar ist. Die Argumentation basiert hier auf dem sogenannten Prinzip der eingeschränkten Auswahl, das beim Bridge vorkommt und die intuitive Idee hinter dem standardmäßigen mathematischen Verfahren zur Aktualisierung von Überzeugungen als Reaktion auf neue Informationen darstellt – bekannt als Bayessche Inferenz. Die Ergebnisse von Miller und seinem Duo stehen im Zusammenhang mit verschiedenen Wahrscheinlichkeitsrätseln und statistischen Abweichungen, und die einfachste Version des Problems ist fast identisch mit dem berühmten Monty-Hall-Problem, das den berühmten Mathematiker Paul Erdős und viele andere kluge Köpfe vor ein Rätsel gestellt hat.

Der Zweck dieses Artikels ist genau das Gegenteil von dem, was Miller und Sanjurjo beabsichtigen. Die beiden suchten ursprünglich nach einem mathematischen Modell für den Hot-Hand-Effekt, während wir nach einem realen Szenario suchten, in dem das mathematische Modell intuitiv verständlich war, um die ursprüngliche Frage zu beantworten! Daher können wir nun anhand der Leistung der NBA-Stars interpretieren, warum die Antwort auf die ursprüngliche Frage B ist.

Wenn die Form eines NBA-Spielers schwankt und er in Topform (zufällig und unkontrolliert) 80 Punkte pro Spiel erzielen kann, seine Punktzahl aber in schlechteren Zeiten auf einstellige Werte sinkt, und seine Teamkollegen haben den gleichen Punktedurchschnitt pro Spiel, aber ihre Punktzahlen schwanken um maximal 5 Punkte pro Spiel, dann trägt er tatsächlich nicht so viel zum Team bei wie seine Teamkollegen, die pro Spiel gleichmäßiger punkten.

Regel A in der ursprünglichen Frage ist ein „Spieler“, der mit etwas Glück extrem hohe Punktzahlen erzielen kann. Dieser Spieler hat seinen Gegner in bestimmten Spielen mit hohen Punktzahlen geschlagen, aber wenn man nur die Durchschnittspunktzahl betrachtet, ist seine Punktzahl gleich der seines Gegners und sein Gegner gewinnt jedes Mal mit einem kleinen Vorteil. Dies bedeutet, dass Regel A nach einer „Saison“ mehr verliert als gewinnt.

Wenn Sie sich also für Regel A entscheiden, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass Sie mit 70 oder 80 Punkten mit großem Vorsprung gewinnen, in Wirklichkeit reichen jedoch 50 Punkte aus. Weitere Punkte werden verschenkt. Wenn Sie Regel B wählen, beträgt die maximale Punktzahl nur 50 Punkte. Jedes Mal, wenn Regel B gewinnt, sind die Punktzahlen also gleichmäßiger verteilt. Wenn Sie dieses Spiel wiederholt spielen (die Münze 100 Mal pro Spiel werfen), gewinnen Sie häufiger, wenn Sie B wählen.

Ein Benutzer namens vevan von der Geek-Website Jiandan.net hat in der CodePen-Online-Community einen Codeausschnitt geteilt, der dieses Problem simuliert [5] und das Spiel jedes Mal 100.000 Mal ausführt. Wie Sie sehen, gewinnt HH etwa 46.000 Mal und HT etwa 48.000 Mal. Regel B hat einen kleinen Vorteil.

Miller beteiligte sich auch an der Diskussion der ursprünglichen Frage und gab eine intuitive Erklärung. | Bildquelle: [email protected]

Die Auswirkungen des Hot-Hand-Effekts

Bei der Untersuchung des Hot-Hand-Effekts geht es nicht nur um die NBA und das Basketballspiel selbst – obwohl die NBA ebenfalls ein Multimilliarden-Dollar-Geschäft ist –, sondern auch um Entscheidungen über Informationsverhalten und die richtige Anwendung statistischer Werkzeuge in der realen Welt.

Remy Levin, außerordentlicher Professor für Wirtschaftswissenschaften an der University of Connecticut, bewertete die Arbeit von Miller und Sanjurjo sehr positiv: „Sie ist sehr spannend und gehört zu den Dingen, die ich jedes Jahr am liebsten in den Verhaltenswissenschaften lehre. Die äußerst interessanten und kontraintuitiven Ergebnisse endlicher Stichproben haben einen erheblichen Einfluss auf die Messpraxis der bedingten Wahrscheinlichkeit. Gleichzeitig ist dies auch eines meiner liebsten wissenschaftlichen Ergebnisse.“

Kommen wir nun zurück zu den Daten von GVT. GVT unterteilte Schüsse in drei aufeinanderfolgende (oder mehr) Punkte und drei aufeinanderfolgende (oder mehr) Fehlschüsse und verglich die Verteilung jeder Kategorie. Miller und sein Team kamen zu einer überraschenden mathematischen Schlussfolgerung (die auch für uns Anlass zum Nachdenken ist!) und stellten fest, dass in historischen Daten nach aufeinanderfolgenden Schüssen und Toren die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Schuss ein Tor zu erzielen, um 11 Prozentpunkte höher ist als erwartet!

Bei aufeinanderfolgenden Schüssen ist die relative Verbesserung der Schussgenauigkeit um 11 Prozentpunkte nicht zu vernachlässigen. Tatsächlich entspricht dies in etwa dem Unterschied in der Trefferquote zwischen dem durchschnittlichen Punktesammler und dem besten Drei-Punkte-Werfer in der NBA. Somit zeigten die Daten von GVT im Vergleich zu den ursprünglichen Ergebnissen einen erheblichen und statistisch signifikanten Hot-Hand-Effekt!

Darüber hinaus sind die Beweise, die den Hot-Hand-Effekt stützen, nicht eindeutig. Tatsächlich haben wir in jüngsten Untersuchungen festgestellt, dass dieser Effekt im NBA-3-Punkte-Wettbewerb und in anderen kontrollierten Studien vorhanden ist. Andere Forscher haben diese Annahme anhand von Freiwurf- und Spieldaten weiter untermauert. Darüber hinaus besteht eine gute Chance, dass der Hot-Hand-Effekt wichtiger ist als wir schätzen, und zwar aufgrund eines weiteren subtilen statistischen Problems, das als „Messfehler“ bezeichnet wird.

Der Mechanismus hinter dem Hot-Hand-Effekt ist zweifellos sehr komplex. Studien haben ergeben, dass es einem Spieler, der selbst nicht an den Hot-Hand-Effekt glaubt, ähnlich wie beim Placebo-Effekt schwerfällt, ein besseres Gefühl als sonst zu bekommen.

Eine Studie aus dem Jahr 2022[3] stellte außerdem fest, dass „heiße Hände“ nicht bedeuten, dass ein Spieler plötzlich von überall auf dem Spielfeld werfen kann. Für NBA-Spieler sind Hot Hands das Auffinden einer ausnutzbaren Lücke im Spiel – vielleicht ein kleinerer Spieler, der sie verteidigt – und das Ausnutzen dieser Lücke, indem sie häufiger von einer bestimmten Art von Würfen abzielen.

Obwohl diese Annahme vernünftig ist, ist sie möglicherweise nicht der einzige Faktor, der zu heißen Händen führt. Könnte die kurzfristige Neuroplastizität – die Fähigkeit des Gehirns eines Spielers, sich schnell an Spielbedingungen anzupassen – ein Grund sein? Wie steht es um Konzentration und mentale Vorbereitung? Was auch immer der Grund sein mag, die vorliegende Forschung liefert überzeugende Belege für die Existenz des Hot-Hand-Effekts.

Daher ist es überraschend, dass die Erfahrungen dieser NBA-Stars tatsächlich immer richtig sind. Heute wurde auf der offiziellen Website der NCAA die Webseite gelöscht, die den Hot-Hand-Effekt auf einen kognitiven Fehlschluss zurückführte.

Verweise

[1]Die heiße Hand im Basketball: Über die Fehlwahrnehmung zufälliger Sequenzen - ScienceDirect

[2] Überrascht von den Trugschlüssen des Spielers und der Hot Hand? Eine Wahrheit im Gesetz der kleinen Zahlen von Joshua B. Miller, Adam Sanjurjo :: SSRN

[3] Die heiße Hand in der Wildnis | PLOS ONE

[4]OSF-Vorabdrucke | Überrascht vom Hot-Hand-Irrtum? Eine Wahrheit im Gesetz der kleinen Zahlen

Momentum ist keine Zauberei – Die Rechtfertigung der Hot Hand mit der Mathematik der Serien (theconversation.com)

[5] https://codepen.io/lunar-dark/pen/NWmpKpM

[6] Die Hot Hand und ihre Auswirkungen auf die NBA: arXiv:2010.15943

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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