Er verliebte sich wegen des Tangrams in Mathe-Puzzles und hat nun ein jahrhundertealtes Problem gelöst

Ende Mai dieses Jahres löste ein Finne, der sich als Kind aufgrund von Tangram-Puzzles in das Lösen von Puzzles und das anschließende Erstellen von Puzzles verliebt hatte, ein jahrhundertealtes mathematisches Puzzle. Vor ihm hatte bereits ein chinesischer Origami- und Rätselmeister wichtige Beiträge zur Lösung dieses schwierigen Problems geleistet.

Geschrieben von | Jiawei

Es scheint, dass Menschen Puzzlespiele lieben. In verschiedenen Zivilisationen und Epochen wurden immer wieder unterschiedliche Arten von Puzzles erfunden. Dem berühmten Archimedes-Palimpsest zufolge zerbrach Archimedes einst ein Quadrat in 14 Teile und überlegte, wie er die Teile auf unterschiedliche Weise wieder zu einem Quadrat zusammensetzen könnte. Tangram stammt aus China und ist ein Lernspielzeug, das Kindern auf der ganzen Welt endlosen Spaß bereitet. Ende Mai dieses Jahres löste ein Finne, der sich als Kind aufgrund von Tangram-Puzzles in das Lösen von Puzzles und das anschließende Erstellen von Puzzles verliebt hatte, ein jahrhundertealtes mathematisches Puzzle.

Archimedes' Ostomachion-Puzzle, ein quadratisches Puzzle mit 14 Teilen.

Das Puzzle aufteilen

Die Popularität dieser Rätsel stieg im späten 19. Jahrhundert erheblich an, als Zeitungen und Zeitschriften begannen, ihre Seiten mit verschiedenen Rätseln zu füllen. Am beliebtesten waren der amerikanische Puzzle-Erfinder Sam Loyd und der britische Puzzle-Erfinder Henry Dudeney. Seitdem werden Puzzles und ähnliche Rätsel zur Unterhaltung und zum Mathematikunterricht eingesetzt.

Lloyd stellte der Öffentlichkeit einmal eine intellektuelle Herausforderung: In wie viele Stücke (die Mindestanzahl an Stücken, die erforderlich ist) muss ein Zimmermann ein Holzbrett in Form einer Bischofskrone (ein Quadrat, von dem 1/4 abgeschnitten ist, d. h. nach dem Entfernen eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks) schneiden, damit es nach dem Zusammenfügen wieder zu einem kleinen Quadrat zusammengesetzt werden kann? Lloyd gab später seine eigene Antwort, aber leider war seine Konstruktion falsch. Lloyd glaubt, dass es ausreicht, es in vier geeignete kleine Stücke aufzuteilen.

Das Ding, das der Mann auf dem Bild hält, ist die sogenannte Mitra.

In der Mathematik wird das Zerlegen regelmäßiger Polygone und anderer einfacher geometrischer Formen in mehrere Teile und deren anschließendes Zusammensetzen zu einer anderen Form als ebene Flächenzerlegung bezeichnet. Dissection ist sozusagen eine professionelle, verbesserte Version des Puzzlespiels: Die Spieler müssen das Puzzle nicht mehr mit Hilfe bekannter Fragmente vervollständigen, sondern können nun selbst geeignete Fragmente entwerfen und ausschneiden, um die Grafik neu anzuordnen.

Die Dissektion wurde später im November 1961 zum Thema von Martin Gardners Kolumne „Mathematical Games“ im Scientific American. In seiner Kolumne stellte er der Öffentlichkeit erneut Lloyds Problem vor – das „Mitre-Dissection Puzzle“. Obwohl die Leser eifrig mitmachten, konnte niemand herausfinden, wie man die vier Teile zusammenfügt. Die ursprüngliche Form musste zunächst in mindestens 5 Teile zerlegt werden, bevor man diese zu einem Quadrat zusammensetzen konnte.

Erst am 27. Mai 2024, mehr als hundert Jahre nach Lloyds Tod, postete ein Benutzer namens Vesa Timonen aus der Mathstodon-Community das folgende Bild:

4-teiliges Puzzle

Lassen Sie mich zunächst erklären, was auf dem Bild zu sehen ist.

Die oberste Ebene ist das von Lloyd im Jahr 1901 gestellte Problem: Teilen Sie die Figur auf der linken Seite und fügen Sie sie wieder in die Figur auf der rechten Seite (ein Quadrat) ein.

Die zweite Ebene von oben nach unten ist die von Lloyd selbst gegebene Antwort. Wie auf dem Bild zu sehen ist, versuchte er, mit der Technik versetzter Schritte ein Quadrat zu konstruieren. Eine einfache Berechnung zeigt jedoch, dass es unmöglich ist, ein Quadrat zu erhalten.

Die dritte Ebene ist die fünfteilige Struktur, die Henry Dewdney in der Geschichte vorgegeben hat. Natürlich gibt es neben Dudney auch andere, die ihre eigenen 5-teiligen Zerlegestrukturen bereitgestellt haben, darunter ein einheimischer Origami- und Rätselmeister namens Fu Wei. Sogar in den später von Vesa Timonen aufgeführten Referenzen gab es einen von Fu Wei auf dem öffentlichen WeChat-Konto veröffentlichten Artikel mit dem Titel „Eine neue Lösung für ein jahrhundertealtes mathematisches Problem mithilfe von Origami-Ideen“ (d. h. Referenz 2 am Ende des Artikels, in der der Autor eine neuartige 5-Block-Lösung angab).

Timonen ist der Ansicht, dass der Artikel von Fu Wei das beste Dokument zur Klärung dieses ihm vorliegenden Problems ist. Obwohl er kein Chinesisch verstand, las er den gesamten Text mit Hilfe einer Übersetzungssoftware. Interessierte Freunde können es lesen. Es enthält auch sehr detaillierte Berechnungen, die erklären können, warum Lloyds Methode nicht funktioniert. Da keine 4-teilige Aufteilung gefunden werden konnte, neigten die Leute eine Zeit lang dazu zu glauben, dass es keine 4-teilige Lösung gäbe …

Bei der vierten Schicht handelt es sich um die von Timonen selbst entdeckte 4-teilige Zerlegungsmethode.

Es ist schwierig, eine Methode zur Segmentierung zu entwickeln, aber die Validierung einer vorhandenen Methode ist ziemlich einfach. Nach vorläufiger Prüfung in der Mathematik-Community fragten sich einige Leute: Wer ist Vesa Timonen? Wie hat er das gemacht?

Doppelte Identität

Vesa Timonen hat eine doppelte Identität. Tagsüber arbeitet sie als Embedded Software Engineer, was sie hasst. Nachts ist sie eine talentierte, intellektuelle Designerin von Spielzeugpuzzles. Obwohl er in Mathematikkreisen relativ unbekannt ist, ist Timonen einer der bekanntesten Designer von Lernspielzeug in Finnland und einer der wenigen verbliebenen Puzzle-Designer. Es ist sogar unter einheimischen Liebhabern von intellektuellen Spielzeugen (wie dem Qiaohuan und dem Luban-Schloss) wohlbekannt.

Vesa Timonen bei der Arbeit

Er interessierte sich schon seit seiner Kindheit für Magie, doch als er älter wurde, interessierte er sich mehr für das Knacken von Zauberei. Später brachte ihm sein Onkel das Tangram-Spiel bei und sie begannen, die Tangram-Puzzles eins nach dem anderen zu lösen. Als Erwachsener begann er, seine eigenen Puzzles zu entwerfen. Viele seiner Werke sind in der Hanayama Cast-Reihe enthalten. Hanayama ist ein japanisches Spielzeugunternehmen, das unter Puzzle-Liebhabern großen Einfluss genießt.

Timonen glaubt, dass jeder durch ständiges Ausprobieren und Analysieren seiner Fehler ein einzigartiges Puzzle erstellen kann. Er betonte auch, dass Misserfolge zum kreativen Prozess gehören und jeder Misserfolg neue Erkenntnisse und Inspirationen mit sich bringt.

Das Notizbuch des Puzzledesigners ist voller geometrischer Formen und mathematischer Berechnungen.

Dieses Mal hat Timonen eine Software geschrieben, mit der er hofft, dass sie mithilfe der Rechenleistung moderner Computer verschiedene Dissektionsprobleme systematisch lösen kann. Als erstes wählte er das Problem der Bischofsmitra und fand die Antwort ganz leicht. Tatsächlich können Sie durch Verschieben der Grenze eine unendliche Anzahl von 4-Block-Zerlegungen erstellen.

Schematische Darstellung (es kann so aussehen, als ob die Seiten des Graphen unterschiedlich lang wären, aber tatsächlich ist der Fehler sehr gering)

Jin-Hoo Ahn, ein Mathematik-Doktor der Yonsei-Universität in Südkorea, lieferte einen nicht-textuellen Beweis für Timonens Lösung, den Sie sich ansehen können.

Bildquelle: DAS MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)

Jin-Hoo Ahn ist übrigens auch ein Puzzle-Enthusiast und kann intellektuelle Spielzeuge wie beispielsweise Mechanismusboxen herstellen. Vielleicht kam ich deshalb mit dem Protagonisten dieses Artikels in Kontakt.

Mehr Mathematik

Timonens 4-Block-Zerlegung weist einen Fehler auf: Die grünen Blöcke auf beiden Seiten sind tatsächlich spiegelsymmetrisch. Mit anderen Worten: Beim Lösen des Puzzles wird bei den grünen Blöcken nicht zwischen Vorder- und Rückseite unterschieden. Timonen versuchte, eine Segmentierungsmethode zu finden, die keine Spiegelsymmetrie beinhaltete, war jedoch erfolglos. Stattdessen fand das Programm mehr als 50 5-Block-Lösungen ohne Spiegelsymmetrie. Vielleicht gibt es also keine 4-teilige nicht spiegelbildliche Zerlegung, aber wir konnten es bisher nicht beweisen. Dies ist zugleich das letzte fehlende Teil dieses jahrhundertealten Puzzles.

In der Mathematik gibt es den berühmten Satz von Wallace, Bolyai und Gerwien (1807): Von zwei beliebigen Polygonen kann eines in eine endliche Anzahl kleiner Polygone zerlegt werden, die dann durch Translation und Rotation zu einem zweiten großen Polygon zusammengefügt werden können.

Der obige Satz garantiert die Durchführbarkeit der Aufteilung. Wenn das „Endliche“ jedoch auf einen bestimmten Wert beschränkt ist (das heutige Problem besteht beispielsweise aus 4 Teilen), gibt es keine Garantie dafür, dass die Teile allein durch Translation und Rotation erfolgreich zusammengesetzt werden können. Möglicherweise müssen Sie die Kachel umdrehen, um ein Spiegelbild zu erhalten.

Zusätzlich zur Einschränkung der Flip-Mirror-Nutzung werden manchmal stärkere Einschränkungen hinsichtlich der Partitionierung festgelegt. Wie zum Beispiel die berühmte Scharnierdissektion.

In der Geometrie ist ein Gelenknetz (auch Schwenkgelenknetz oder Dewdney-Netz genannt) ein Netz, bei dem alle Teile durch Scharniergelenke zu einem Ganzen verbunden sind. Auf diese Weise kann durch kontinuierliches Wackeln der Kette eine Neuanordnung von einer Figur zur anderen erfolgen, ohne dass dabei Verbindungen unterbrochen werden (und ohne dass dies möglich wäre). Normalerweise gehen wir davon aus, dass sich Fragmente beim Falten und Entfalten überlappen dürfen.

Das Konzept der artikulierten Unterteilung wurde von dem oben erwähnten Henry Dewdney populär gemacht. In seinem 1907 erschienenen Buch „The Canterbury Puzzles“ stellte er seine berühmte Methode vor, ein Quadrat mithilfe von Scharnieren in Dreiecke zu teilen.

Ist es jedoch möglich, den Wiener Satz von Wallace, Poey und German auf artikulierte Zerlegungen zu verallgemeinern? Mit anderen Worten: Können zwei Polygone gleicher Fläche durch eine artikulierte Zerlegung notwendigerweise ineinander zerlegt werden? Diese Frage bleibt ungeklärt.

Erst 2007 haben Erik Demain et al. bewies, dass eine solche gegliederte Partition existieren muss, und stellte einen Konstruktionsalgorithmus zur Generierung einer gegliederten Partition bereit. Der Beweis gilt auch, wenn sich die Komponenten beim Schwingen nicht überlappen, und kann auf jedes Paar dreidimensionaler Formen mit einem gemeinsamen Querschnitt verallgemeinert werden. Allerdings besteht im dreidimensionalen Raum keine Garantie dafür, dass sich Komponenten beim erneuten Zusammenbau nicht überlappen. Eine Überlappung auf einer zweidimensionalen Ebene lässt sich physikalisch sehr einfach erreichen – man muss es sich nur so vorstellen, als würde man während der Bewegung die obere und untere Schicht trennen. Allerdings ist es unmöglich, dass sich dreidimensionale Komponenten überlappen, was bei starren Körpern physikalisch unmöglich ist. Es kann nur als ein mathematisch immaterieller Gegenstand betrachtet werden.

Die Quadratur des Kreises

In der bisherigen Diskussion ging es immer nur um die aus geraden Linien gebildeten Figuren. Können die aus geschwungenen Linien gebildeten Figuren also auch aufgeteilt und neu angeordnet werden? Das ultimative Problem der Segmentierung besteht vielleicht darin, die Quadratur des Kreises zu erreichen.

Um 450 v. Chr. stellte Anaxagoras, ein Philosoph, Astronom und Mathematiker, der glaubte, dass „die Vernunft die Welt regiert“, während er wegen Gotteslästerung im Gefängnis saß, ein heute berühmtes mathematisches Problem: Kann man nur mit einem Zirkel und einem unmarkierten Lineal ein Quadrat zeichnen, das die gleiche Fläche wie ein gegebener Kreis hat?

Die Antwort auf diese Frage kam 1882, als der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewies, dass dies ein Problem ist, das nicht mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann. Er bewies, dass Pi eine besondere Zahl ist, die als transzendente Zahl bezeichnet wird (zu den transzendentalen Zahlen gehört auch e).

Die Geschichte hätte hier enden können. Doch im Jahr 1925 formulierte Alfred Tarski, einer der bedeutendsten Logiker der Menschheitsgeschichte, das Problem neu, indem er die Regeln anpasste. Er fragte: Ist es möglich, eine Scheibe in eine endliche Anzahl kleiner Stücke zu schneiden und diese dann zum Rekonstruieren eines Quadrats zu verwenden?

Im Jahr 1988 beantwortete Miklós Laczkovich Tarskis Frage direkt: Ein Kreis kann geteilt und in ein Quadrat umgestaltet werden, wozu der Kreis in etwa 10^50 Teile zerlegt werden muss. Doch schon seit geraumer Zeit sind bei der Methode der Quadratur des Kreises immer auch Komponenten vorhanden, die sich nicht intuitiv darstellen und konstruieren lassen: Es gibt Fragmente, deren Fläche nicht definiert werden kann (nicht messbare Mengen nach Lebesgue) und Fragmente, deren Fläche 0 ist (Mengen mit Nullmaß).

Erst vor einigen Jahren lieferten die Mathematiker Andrew Marks von der UCLA und Spencer Unger, heute an der Universität Toronto, den ersten völlig konstruktiven Beweis für die Quadratur des Kreises: Jedes Teil hat ausnahmslos eine bestimmte Fläche.

Der Preis hierfür ist, dass der Kreis in 10^200 Teile zerlegt werden muss. Obwohl dies theoretisch konstruierbar ist, ist der Prozess zu kompliziert, um ihn zu demonstrieren.

Im Februar 2022 fügte ein online veröffentlichtes Papier von Andras Máthé und Oleg Pikhurko von der University of Warwick und Jonathan Noel von der Victoria University dieser alten Frage neue Elemente hinzu. Obwohl ihr Werk den Kreis ebenfalls in etwa 10.200 Teile unterteilt, sind die Formen einfacher und leichter vorstellbar. Sie können sogar ein Demonstrationsvideo erstellen.

Mathematiker haben bereits Ideen, wie man die Puzzleteile weiter vereinfachen und sowohl die Gesamtzahl als auch die Ungleichmäßigkeit verringern könnte. Von Marks durchgeführte Computersimulationen legen nahe – beweisen es aber nicht –, dass die Zerlegung mit nicht mehr als 22 Teilen durchgeführt werden kann. Seiner Meinung nach könnte die untere Zahl niedriger sein.

„Ich wette, Sie könnten die Quadratur des Kreises für weniger als 20 Dollar schaffen“, sagte er. „Aber ich würde keine 1.000 Dollar wetten.“

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