Diese große Errungenschaft in der Geschichte der Mathematik wird den Arabern zugeschrieben?

Dieser Artikel bietet eine kurze Einführung in die frühe Entwicklung der Algebra, einschließlich des Ursprungs des Wortes „Algebra“, des Algebra-Inhalts in „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“, des arabischen Mathematikers Al-Khwarizmi aus dem 9. Jahrhundert und des Hauptinhalts und Einflusses seiner „Algebra“. Durch umfangreiches historisches Material können wir die frühe Geschichte der Algebra besser verstehen.

Verfasst von Guo Yuanyuan (Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, Chinesische Akademie der Wissenschaften)

Algebra ist einer der wichtigsten Grundlagenzweige der Mathematik. Die Algebra kann entsprechend der Entwicklungsreihenfolge in elementare Algebra und abstrakte Algebra unterteilt werden. Unter elementarer Algebra versteht man die Gleichungslehre vor der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Dabei wird hauptsächlich untersucht, ob eine bestimmte Gleichung (Gruppe von Gleichungen) lösbar ist, wie alle Wurzeln der Gleichung (einschließlich ungefährer Wurzeln) gefunden werden und welche verschiedenen Eigenschaften die Wurzeln der Gleichung haben. Am Ende des 19. Jahrhunderts verlagerte sich die Algebra von der Gleichungstheorie hin zur Untersuchung algebraischer Operationen, was den Auftakt zur abstrakten Algebra bildete.

Wie ist die Algebra entstanden? Arithmetik gab es schon vor der Algebra. Der Hauptunterschied zwischen Algebra und Arithmetik besteht darin, dass in der Algebra unbekannte Variablen eingeführt und Gleichungen auf der Grundlage der Problembedingungen aufgestellt werden müssen. Anschließend müssen die Gleichungen gelöst werden, um die unbekannten Werte zu finden. Obwohl in frühen Zivilisationen wie dem alten Ägypten, Babylon, dem antiken Griechenland und dem antiken China vereinzelte algebraische Inhalte zu finden sind, gehören Algebra und Arithmetik schon seit langer Zeit zusammen. Die Entwicklung der Algebra als eigenständiger Zweig der Mathematik wird den Arabern im Mittelalter zugeschrieben. Das früheste algebraische Werk war das Buch der Reduktionen und Aufhebungen (abgekürzt „Algebra“, ca. 820) des arabischen Mathematikers Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī (ca. 780–ca. 850) im frühen 9. Jahrhundert, das die Geburtsstunde der elementaren Algebra markierte.

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Der Ursprung des Wortes „Algebra“

Tatsächlich stammt das Wort „Algebra“ im heutigen Chinesisch nicht aus der klassischen chinesischen Mathematik, sondern aus dem Titel von Al-Khwarizmis „Buch der Reduktionen und Aufhebungen“ (kitāb al-jabr wa-al-muqābala), in dem „al-jabr“ „Reduktion“ bedeutet. Al-Khwarizmi definierte es als eine Operation, bei der eine subtrahierte Menge auf der einen Seite einer Gleichung auf die andere Seite der Gleichung übertragen wird und zu einer addierten Menge wird. Beispielsweise wird aus 5x+1=2-3x 8x+1=2, was ein „Reduktionsprozess“ ist. Das „al-muqābala“ im Titel bedeutet, dass ähnliche positive Terme auf beiden Seiten einer Gleichung eliminiert werden, zum Beispiel wird aus 8x+1=2 8x=1, was ein „Aufhebungsprozess“ ist. Später verwendeten arabische Mathematiker den Begriff „Reduktion“ allmählich anstelle von „Reduktion und Aufhebung“, woraus sich langsam die heutigen verschiebbaren Terme und die Kombination ähnlicher Terme bei der Gleichungsvereinfachung entwickelten. Später wurde die arabische Algebra in Europa eingeführt und aus dem Wort „Reduktion (al-jabr)“ entwickelte sich das englische Wort „Algebra“.

Ende des 16. Jahrhunderts kamen europäische Jesuitenmissionare nach China und markierten damit den Beginn der Verbreitung westlicher Gelehrsamkeit im Osten während der späten Ming- und frühen Qing-Dynastie. Etwa im 51. Jahr der Herrschaft von Kaiser Kangxi (1712) führte der Jesuitenmissionar Jean-Françoise Foucquet (1665-1741) erstmals die symbolische Algebra in China ein und schrieb für Kaiser Kangxi „Die neue Methode der Algebra“. „Algebara“ ist die Transliteration von Algebra. Darüber hinaus kann das Wort auch mit „Al-Jubar“, „Al-Jebada“ und „Al-Jebala“ übersetzt werden. In Bezug auf die obige chinesische Übersetzung heißt es in den „Aufzeichnungen chinesischer und westlicher Nachrichten“ aus der späten Qing-Dynastie:

In dem arabischen Land gibt es ein Mathematikbuch mit dem Titel „Ala Rebalai Ala Mogabala“. Die Bedeutung des Namens ist die Methode der Ergänzung und auch die Methode der Eliminierung. [Ala bedeutet „sein“, Rebalai bedeutet „Energie“ und der Algorithmus zum Umwandeln von Brüchen in ganze Zahlen. Mogabala bedeutet relativ, verglichen und gleich, was bedeutet, sich gegenseitig auszutauschen. ] Im Laufe der Jahre wurde es zur Ergänzung Arjebala genannt.

Nach Kangxi wurden Aljebalas Lehren fälschlicherweise als „östliche Methode“ interpretiert und fanden weite Verbreitung, wo sie als Grundlage für die Theorie dienten, dass „westliches Lernen seinen Ursprung im Osten hat“. Zur gleichen Zeit akzeptierte Kaiser Kangxi den Vorschlag von Chen Houyao (1648–1722), einem Jinshi aus Taizhou, „Bücher über Mathematik zum Nutzen der Welt zusammenzustellen“. Im 51. Jahr der Herrschaft von Kaiser Kangxi (1712) erließ er ein Edikt zur Eröffnung von Mengyangzhai (Mengyangzhai ist im Westen als die Kaiserliche Akademie Chinas bekannt). Er verlieh außerdem Mei Yucheng (1681–1763), dem Enkel von Mei Wendi (1633–1721), den Titel Juren und ernannte ihn zum Verfasser des Mengyangzhai. Gemeinsam mit Yunzhi, Yunlu und anderen begann er mit der Zusammenstellung von „Das Wesen der Mathematik und Logik“, die im 61. Regierungsjahr von Kaiser Kangxi (1722) abgeschlossen wurde. Das Buch fasst westliches mathematisches Wissen zusammen, das in der späten Ming-Dynastie nach China kam, und nimmt einige Forschungsergebnisse chinesischer Mathematiker jener Zeit auf. Die Bände 31–36 des zweiten Bandes von „The Essence of Mathematics“ enthalten „Borrowing Roots to Square Proportions“, das die Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsregeln von Polynomen vorstellt und Konzepte wie Pluszeichen, Minuszeichen, Gleichheitszeichen und Transposition einführt, um mithilfe algebraischer Methoden Lösungen für Gleichungen höherer Ordnung zu finden. In Band 31 heißt es: „Das Ausleihen von Wurzeln und Quadratzahlen ist eine Methode zur Ermittlung reeller Zahlen unter Verwendung von Wurzelzahlen und Quadratzahlen.“ Die „Wurzelzahl“ ist die unbekannte Zahl und die „Quadratzahl“ ist die positive Exponentialpotenz der Wurzelzahl. Mei Jucheng glaubte, dass der westliche Name „Jiegenfang“ „Arjebada“ „die Methode aus dem Osten“ sei. Es war das Produkt der „Li Tianyuanyi“-Methode während der Song- und Yuan-Dynastien, die sich in den westlichen Regionen und dann wieder zurück verbreitete. Auf diese Weise regte die westliche Algebra „Jiegenfang“, die während der Ming- und Qing-Dynastien eingeführt wurde, die Gelehrten der Qianlong- und Jiaqing-Dynastie dazu an, die mathematischen Klassiker der Song- und Yuan-Dynastien zu erforschen, und bot westlichen Gelehrten wie Alexander Wylie (1815–1887) die Möglichkeit, die chinesische und die westliche mathematische Kultur zu vergleichen, auszutauschen und voneinander zu lernen.

Seit den 1720er Jahren war es Missionaren verboten, auf dem Festland zu predigen, bis sie nach dem Opiumkrieg gezwungen waren, Häfen zu öffnen. Die Einführung der westlichen Mathematik wurde grundsätzlich unterbrochen und dauerte bis etwa 1850. 1847 kam der Brite Alexander Wylie nach Shanghai, um Chinesisch zu studieren. Im Jahr 1853 schrieb er „Mathematical Enlightenment“ auf Chinesisch, um die westliche Mathematik vorzustellen. **Alexander Wylie sagte im Vorwort zu „Einführung in die Mathematik“: „Es gibt Bücher über Algebra und Differentialrechnung …“ Dies war das erste Mal, dass das chinesische Wort „Algebra“ als Name eines Zweigs der Mathematik verwendet wurde. **1859 übersetzten Li Shanlan (1811–1882) und Alexander Wylie „Zehn Schritte zur Differential- und Integralrechnung“ und „Algebra“ ins Englische. Die Grundlage von „Zehn Schritte zur algebraischen Analysis“ ist „Analytical Geometry and Calculus“ des amerikanischen Mathematikers E. Loomis (1881–1889) aus dem Jahr 1851. Der Originaltext von „Algebra“ ist „Elements of Algebra“ des Briten Augustus De Mogan (1806–1871; der Übersetzungsname stammt aus alten Büchern und wird heute im Allgemeinen als „De Morgan“ übersetzt). Bei der Übersetzung ins Chinesische erhielt es den Namen „Algebra“. Dies ist das erste Buch in meinem Land mit dem Titel „Algebra“. **Das Buch weist darauf hin, dass das Wort „Algebra“ „Zeichen zur Darstellung von Zahlen verwenden“ bedeutet, d. h., die Elemente A, B, C, D zur Darstellung bekannter Zahlen und die Elemente Himmel, Erde und Menschen zur Darstellung unbekannter Zahlen verwenden. Die algebraischen Begriffe in der Übersetzung sind aus der traditionellen chinesischen Algebra Tianyuanshu abgeleitet, es wird jedoch bestritten, dass es sich bei der „Methode der entlehnten Wurzel“ um eine „östliche Methode“ handelt. Mehr als zehn Jahre nach der Veröffentlichung von „Algebra“ verlief die Verbreitung der symbolischen Algebra in China nicht reibungslos. Erst 1872 wurde die Übersetzung von „The Principle of Algebra“ von Hua Hengfang (1833–1902) und John Fryer (1839–1928) veröffentlicht, und die westliche symbolische Algebra wurde populär und verbreitete sich.

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Algebra vor Al-Khwarizmi

Verglichen mit arithmetischen Operationen zwischen Zahlen liegt die Feinheit der elementaren Algebra in der Tatsache, dass der Prozess der Behandlung von Problemen mit unbekannten Zahlen normalerweise mechanisiert ist: Zuerst wird die unbekannte Zahl als „etwas“ oder „eine Menge“ festgelegt (heute im Allgemeinen als x festgelegt) und eine Gleichung aufgestellt; dann kann dieses „Etwas“ oder diese „Menge“ beim Vereinfachen der Gleichung in eine Standardform an Operationen wie bekannten Zahlen teilnehmen, etwa „Terme übertragen“, „Zusammenführen“ oder „Aufheben“ usw., was den komplexen Prozess der bedingten Analyse ersetzen kann, den das menschliche Gehirn ursprünglich durchführen muss. Dies ist vergleichbar mit der Verwendung eines Abakus zum Ausführen von Rechenoperationen. Durch die Form, die Formeln und die mechanischen Perlen des Abakus kann man viel Kopfarbeit ersetzen und kann so über lange Zeit hinweg genau rechnen.

Manche Leser sind vielleicht neugierig. Bereits vor 2.300 Jahren konnte der antike griechische Mathematiker Euklid (ca. 330–275 v. Chr.) in seinen „Elementen“ komplexe grafische Probleme lösen und legte damit den Grundstein für die heutige Geometrie. Warum lassen sich die oben genannten, scheinbar „einfachen“ algebraischen Ideen nur bis ins frühe 9. Jahrhundert n. Chr. zurückverfolgen? Tatsächlich finden sich die oben genannten elementaren Algebra-Inhalte mehr oder weniger in den früheren mathematischen Zivilisationen des antiken Griechenlands, des antiken Indiens und des antiken Chinas wieder. Im Folgenden wird das Gleichungskapitel der „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ der klassischen chinesischen Mathematik als Beispiel verwendet.

Die im achten Kapitel der „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ aus der Han-Dynastie beschriebene Gleichungsmethode entspricht der heutigen Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme und ist eine der herausragendsten mathematischen Errungenschaften der „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“. Die erste Frage dieses Kapitels stellt die Gleichungsmethode vor, die den Überblick über das gesamte Kapitel gibt. Alle 18 Aufgaben in diesem Kapitel müssen mit der Gleichungsmethode gelöst werden. Die zweite Frage wirft die Frage nach der Gewinn- und Verlustmethode auf, einer Methode zum Aufstellen von Gleichungen. Die dritte Frage wirft die Frage nach positiven und negativen Methoden auf, also nach Methoden zum Umgang mit negativen Zahlen im Eliminationsprozess oder beim Auftreten der Gleichung selbst. Es ist eine notwendige Ergänzung zur Gleichungsmethode.

Wenn x, y und z die tatsächliche Anzahl von dou in der ersten Frage der Neun Kapitel über die mathematische Kunst darstellen, erhalten wir das lineare Gleichungssystem:

Verwenden Sie dann die direkte Division, um die Variablen zu eliminieren. Die sogenannte direkte Divisionsmethode besteht darin, die gesamte Zeile von der gesamten Zeile zu subtrahieren. Die Gleichungsaufstellung und die Eliminationstransformation erfolgen hierbei im Positionssystem. Jede Zahl muss nicht mit dem Element gekennzeichnet werden, dessen Koeffizient sie ist, sondern wird durch ihre Position dargestellt, was mit der Methode der Trennungskoeffizienten in der modernen Mathematik übereinstimmt. Die Darstellung der Gleichungen in „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ entspricht der Auflistung ihrer erweiterten Matrix, und der Eliminationsprozess entspricht der Matrixtransformation. Beispielsweise ist der Eliminationsprozess in Frage 1 äquivalent zur erweiterten Matrixtransformation:

Die Verlust-Gewinn-Methode ist eine wichtige Methode, die beim Aufstellen von Gleichungen in „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ verwendet werden muss. Die zweite Frage im Gleichungskapitel lautet: Verlust wird Gewinn genannt und Gewinn wird Verlust genannt. „Verlust heißt Gewinn“ bedeutet, dass, wenn ein Ende einer Beziehung einen bestimmten Betrag verliert, dies gleichbedeutend ist mit einem Gewinn des gleichen Betrags am anderen Ende; Ähnlich verhält es sich mit „Gewinn wird Verlust genannt“, wenn ein Ende einer Beziehung einen bestimmten Betrag gewinnt, ist dies gleichbedeutend mit einem Verlust desselben Betrags am anderen Ende. Die Gewinn- und Verlustmethode entspricht dem Verschieben eines Terms in einer aktuellen Gleichung von einer Seite des Gleichheitszeichens auf die andere Seite und dem Ändern des Vorzeichens nach dem Verschieben des Terms. Der ursprüngliche Titel der zweiten Frage lautet beispielsweise: „Jetzt gibt es sieben Bündel Oberkorn, ein Dou Korn wird reduziert und zwei Bündel Unterkorn werden hinzugefügt, und das Korn beträgt jetzt elf Dou.“ Wenn wir davon ausgehen, dass die Körner der oberen und unteren Garben jeweils x und y sind, ergibt sich daraus die folgende Beziehung: (7x-1)+2y=10. Mithilfe der Gewinn- und Verlustmethode kann diese Gleichung wie folgt umgewandelt werden: 7x+2y=11. Das Gleichungskapitel der „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ führte auch negative Zahlen ein und schlug Additions- und Subtraktionsregeln für positive und negative Zahlen vor, die sich nicht von den heutigen Methoden unterscheiden. Die Einführung negativer Zahlen ist eine weitere wichtige Erweiterung des Zahlensystems und eine wichtige Errungenschaft des alten China.

Die „Verluste und Gewinne“ im Gleichungskapitel von „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“

Während wir die Leistungen der alten chinesischen Mathematiker bewundern, sollten wir uns auch darüber im Klaren sein, dass die Verbreitung und Entwicklung des alten mathematischen Wissens zwischen den Zivilisationen normalerweise kein Prozess der „Whig-Geschichte“ von einem „Meilenstein“ zum nächsten ist, sondern ein sehr komplexer und vielfältiger Prozess. Bisher gibt es keine Beweise dafür, dass die oben erwähnten alten chinesischen algebraischen Ideen Al-Chwarizmi beeinflusst haben. Ebenso fehlt in Al-Chwarizmis „Algebra“ jede Spur von Algebra, die in antiken griechischen mathematischen Werken wie Euklids „Elementen“ und Diophantus‘ (ca. 246–330) „Arithmetik“ zu finden ist. Obwohl Al-Khwarizmis „Algebra“ in einigen einzelnen Problemen die Merkmale der indischen Mathematik widerspiegelt, wird ihre Originalität im Hinblick auf den sprachlichen Ausdruck, die Kapitelanordnung und die Präsentation der Ideen deutlicher.

Es gibt viele Beispiele für diese nichtlineare Eigenschaft des alten mathematischen Wissens im Prozess der zivilisationsübergreifenden Verbreitung und Entwicklung. So verwendete beispielsweise der persische Mathematiker al-Kāsh (ca. 1380–1429) im frühen 15. Jahrhundert die numerische Lösung der kubischen Gleichung, um den beliebig genauen Wert von sin1° zu erhalten und so die Genauigkeit der Sinustabelle zu verbessern. Dieser Algorithmus wurde in Europa jedoch nicht eingeführt. Mitte des 16. Jahrhunderts begann der österreichische Mathematiker Rheticus (1514–1574) mit der Lösung hochpräziser Sinustafeln. Erst ein halbes Jahrhundert später erreichte der deutsche Mathematiker Pitiscus (1561–1613) in seinem 1595 veröffentlichten Buch „Trigonometrie“ Cassies Leistung, die fast 200 Jahre zuvor erreicht worden war. Als der deutsche Missionar Jean Terrenz (1576–1630) 1631 auf der Grundlage der „Trigonometrie“ „Da Ce“ zusammenstellte und in China einführte, nahm er den obigen Algorithmus nicht in „Da Ce“ auf; Erst 1722 erforschten und beherrschten chinesische Mathematiker in „Summary of Mathematics“ den obigen Algorithmus unabhängig voneinander, aber zu diesem Zeitpunkt waren bereits 300 Jahre vergangen, seit Cassie das Problem gelöst hatte.

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Al-Khwarizmis Leben und die wichtigsten Inhalte der Algebra

Es gibt nur sehr wenige Informationen über das Leben von Al-Khwarizmi, der unter den berühmten Mathematikern der Antike kein Einzelfall ist. So gibt es beispielsweise auch sehr wenige Informationen über das Leben des antiken griechischen Mathematikers Euklid sowie der antiken chinesischen Mathematiker Liu Hui (3. Jahrhundert n. Chr.) und Jia Xian (11. Jahrhundert). Al-Khwarizmis vollständiger Name ist Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī. Gemäß den Merkmalen arabischer Namen müsste sein Name Muhammad sein. „Ben“ bedeutet Sohn, also weist „Ben Musa“ darauf hin, dass sein Vater Musa hieß. Das letzte Wort weist darauf hin, dass er aus der Choresmien-Region Zentralasiens stammte, wir wissen jedoch nichts darüber, wann seine Väter oder früheren Vorfahren nach Bagdad kamen. Wir wissen nur, dass er in Bagdad lebte und nirgendwo anders hinging. Al-Khwarizmi verfasste 12 Werke zu einem breiten Themenspektrum, darunter Mathematik, Astronomie, Chronologie, Topographie und Geschichte. Zu seinen mathematischen Werken gehört neben „Algebra“ auch ein Buch mit dem Titel „Buch der indischen Arithmetik“, in dem erstmals in der arabischen Welt das indische Dezimalsystem und zugehörige Rechenmethoden systematisch vorgestellt wurden.

Es war kein Zufall, dass im frühen 9. Jahrhundert im arabischen Raum ein großer Wissenschaftler wie Al-Khwarizmi auftauchte. Es war das Ergebnis des Zusammenwirkens zahlreicher Faktoren, darunter Politik, Wirtschaft und Kultur. Man geht davon aus, dass Al-Khwarizmi im letzten Jahrzehnt des 8. Jahrhunderts n. Chr. geboren wurde und in Bagdad seine Ausbildung erhielt, wo Bildung zu dieser Zeit weit verbreitet war. Der siebte Kalif der Abbasiden-Dynastie, al-Ma'mūn (813-833), erbaute in Bagdad das „Haus der Weisheit“ und rief die „Bewegung des Jahrhunderts der Übersetzung“ ins Leben. Während dieser Zeit wurde Al-Khwarizmi eingeladen, im „Haus der Weisheit“ zu arbeiten, wo er „Algebra“ fertigstellte und im Vorwort des Buches seinen Respekt und seine Dankbarkeit gegenüber Mamun zum Ausdruck brachte. Al-Khwarizmi lebte noch bis 847 n. Chr., als der neunte Kalif al-Wāthiq (regierte 842–847) starb.

Eine Gedenkbriefmarke von Al-Khwarizmi aus dem Jahr 1983

Der Haupttext von Al-Khwarizmis „Algebra“ ist in vier Teile gegliedert: Theorie der quadratischen Gleichungen, Handelsprobleme (Methode der drei Kurse), geometrische Messprobleme und Vererbungsprobleme. Das Buch beginnt mit der Einführung von sechs Arten von Standardgleichungen, die aus Wurzeln (d. h. linearen Termen), Quadraten (d. h. quadratischen Termen) und Zahlen (d. h. konstanten Termen) bestehen:

1. Quadrat ist gleich Wurzel (ax^2=bx);

2. Das Quadrat ist gleich der Zahl (ax^2=c);

3. Die Wurzel ist gleich der Zahl (bx=c);

4. Die Summe des Quadrats und der Wurzel ist gleich der Zahl (ax^2+bx=c);

5. Die Summe des Quadrats und der Zahl ist gleich der Wurzel (ax^2+c=bx);

6. Die Summe der Wurzel und der Zahl ist gleich dem Quadrat (ax^2=bx+c, wobei a, b, c＞0).

Beim Aufstellen von Gleichungen berücksichtigte Al-Khwarizmi nur Gleichungen mit positiven Wurzeln. Die vereinfachte Gleichung in Standardform muss so lauten, dass die Summe einiger positiver Terme gleich der Summe anderer positiver Terme ist. Unter der Voraussetzung, dass die Existenz positiver Wurzeln sichergestellt ist, entsprechen die obigen sechs Gleichungen der Standardform der modernen quadratischen Gleichung ax^2+bx+c=0(a, b, c∈R). Die Lösungen der ersten drei Gleichungstypen sind relativ einfach. Für die letzten drei Gleichungstypen reduzierte Al-Khwarizmi zunächst die Koeffizienten der quadratischen Terme auf 1 und erläuterte dann die Formel zur Wurzelfindung in Worten. Beispielsweise ist der fünfte Gleichungstyp gleichbedeutend mit:

Al-Khwarizmis Algebra (Ausgabe 1342)

Die sechs oben aufgeführten Gleichungen liegen in Standardform vor, die gemäß der Frage aufgeführten Gleichungen weisen jedoch normalerweise unterschiedliche Formen auf, sodass Al-Khwarizmi anschließend eine Methode zur Vereinfachung der Gleichungen angab, nämlich einfache Regeln für Polynomoperationen. Der zweite und dritte Teil des Buches – Handelsprobleme und geometrische Messprobleme – sind sehr kurz. Die zweite Hälfte des Buches dient der Erläuterung von 58 Erbschaftsproblemen des islamischen Erbrechts, bei denen es sich im Wesentlichen um komplexe lineare Gleichungen handelt. Nehmen wir als Beispiel die erste Frage, die zugleich die einfachste ist:

Ein Mann stirbt, hinterlässt zwei Söhne und vermacht ein Drittel seines gesamten Vermögens einem Fremden. Er hinterließ ein Erbe von zehn Dirham und da einer seiner Söhne Schulden bei seinem Vater hatte, wollte er keinen Anteil an den zehn Dirham haben.

Ein Sohn hat bei seinem Vater eine Schuld. Angenommen, die Schulden des Sohnes betragen x. Nach Hinzurechnung zum väterlichen Nachlass und der Aufteilung beträgt das Gesamterbe 10+x. Das Erbe des Sohnes wird mit seinen ursprünglichen Schulden verrechnet:

Der Fremde erhielt 5 Dirham, einer der Söhne erhielt 5 Dirham und der andere Sohn, der Schulden hatte, erhielt ein Erbe, das mit seiner ursprünglichen Schuld verrechnet wurde. Der Akt der algebraischen Lösung des komplexen Erbteilungsproblems des islamischen Erbrechts spiegelt die gute Symbiose zwischen Mathematik und Religion zu dieser Zeit wider. Tatsächlich zieht sich diese Symbiose durch das gesamte goldene Zeitalter der Entwicklung der islamischen Mathematik im Mittelalter. Ebenso führte das Qibla-Problem, das entstand, als Gläubige nach der genauen Richtung suchten, in die sie beim Gebet in Richtung Mekka blicken mussten, zur raschen Entwicklung der arabischen Trigonometrie. Wichtige religiöse Themen geben Impulse für die Entwicklung der Mathematik und verleihen ihr gleichzeitig ein höheres Ansehen und einen höheren Status. All dies spiegelt die vielfältigen kulturellen Merkmale der Mathematik in ihrem Entwicklungsprozess wider.

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Der weitreichende Einfluss der Algebra von Al-Khwarizmi

Leser, die Al-Khwarizmis „Algebra“ zum ersten Mal lesen, scheinen davon nicht gerade begeistert zu sein. Dies ist kein riesiges Werk, sondern ein etwas dünnes Büchlein; Das Buch enthält keine komplizierten Fragen und kann von den heutigen Mittelschülern ohne Schwierigkeiten gelesen werden. Das Buch enthält keine algebraischen Symbole und alles wird im Text ausgedrückt, was den Leuten ein „primitives“ Gefühl vermittelt. Aufgrund seiner klaren Erklärung der Gleichungsideen, seines praktischen Werts und seines offiziellen Hintergrunds erregte das Buch jedoch schnell große Aufmerksamkeit. Viele Mathematiker aus der gleichen Zeit wie Al-Chwarizmi und etwas später beteiligten sich an der eingehenden Diskussion der Algebra. Beispielsweise ergänzte Ibn Turk (9. Jahrhundert) zur gleichen Zeit Al-Khwarizmis geometrischen Beweis der Richtigkeit der Formel zum Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen; Thabit ibn Qurra (826–901), der etwas später kam, war der erste, der eine eingehende vergleichende Studie zwischen Euklids Elementen und Al-Khwarizmis Algebra durchführte. Abū Kāmil (ca. 850–ca. 930) übernahm die algebraischen Ideen von Al-Khwarizmi vollständig und entwickelte sie weiter. Einerseits haben die Arbeiten von Ibn Tuq, Tabi ibn Qura, Kamil und anderen die algebraischen Ideen von Al-Khwarizmi weiter verdeutlicht und späteren arabischen Mathematikern eine breitere Forschungsperspektive und reichhaltigere Forschungsinhalte auf dem Gebiet der Vereinfachung und des Lösens von Gleichungen geboten; Andererseits wurden die Namen der oben genannten Mathematiker gerade aufgrund ihrer Beteiligung an der Erforschung von Al-Khwarizmis „Algebra“ in das „Verdienstbuch“ der Mathematikgeschichte eingraviert.

Die Methode der „Reduktion und Aufhebung“ in Al-Khwarizmis Buch „Algebra“ ist seit langem als grundlegendes Merkmal der Algebra erhalten geblieben. Gleichzeitig legte das Buch im Wesentlichen die beiden Hauptentwicklungslinien der Gleichungsvereinfachung und der Gleichungslösung in der späteren arabischen Algebra fest. Der erste Durchbruch auf dem Gebiet der Gleichungsvereinfachung war al-Karaji (953–ca. 1029). Seine Arbeit machte die Algebra weiter „unabhängig“, was gleichbedeutend war mit der systematischen Anwendung der grundlegenden Rechenmethoden Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Proportion und Quadratwurzel auf algebraische Ausdrücke. Das nachfolgende al-Samaw'al (ca. 1130–ca. 1180) entwickelte Kairajis Theorie weiter. Schließlich entwickelten sich diese grundlegenden Rechenschritte und einfachen Rechenmethoden, die sich aus dem Prozess der Vereinfachung von Gleichungen ableiteten, durch die Bemühungen arabischer Mathematiker zu einer relativ vollständigen Theorie.

Mathematiker wie Al-Khwarizmi, Tabi ibn Qura und Kamil haben relativ vollständige Ergebnisse bei den algebraischen, geometrischen und numerischen Lösungen quadratischer Gleichungen erzielt. Der erste Mensch, dem ein Durchbruch bei der Lösung allgemeiner Gleichungen höherer Ordnung gelang, war Omar Khayyam (1048–1131). Khayyams größter Beitrag besteht darin, dass er auf der Grundlage griechischer mathematischer Kenntnisse eine geometrische Lösung für die kubische Gleichung lieferte, die im Wesentlichen eine qualitative Beschreibung der Lösung der Gleichung mithilfe der Schnittpunkte von Kegelschnitten darstellt. Der erste Durchbruch auf dem Gebiet der numerischen Lösung allgemeiner kubischer Gleichungen gelang Sharaf al-Dīn al-Tūsī (ca. 1135–1213). Damit legte er den Grundstein für die hochpräzise Berechnung numerischer Lösungen durch spätere Mathematiker.

Darstellung der Khayyam-Lösung für x^3+c=bx (der Schnittpunkt der Parabel und der Hyperbel stellt die Wurzel der Gleichung dar)

Al-Khwarizmis Algebra wurde im 12. Jahrhundert ins Lateinische übersetzt und begann sich in Europa zu verbreiten. Aus der lateinischen Übersetzung von Al-Khwarizmi entstanden später zwei englische Wörter: „algorism“ und „algorithm“. Das erste Wort bedeutet „arabische Nummerierung“; Aus dem letztgenannten Wort entwickelte sich in der Mathematik der Fachbegriff „Algorithmus“, der die einzelnen Rechenschritte zur Lösung eines bestimmten Problems bezeichnet.

Im frühen 13. Jahrhundert beschrieb der italienische Mathematiker Fibonacci (ca. 1175–ca. 1250) den algebraischen Inhalt von Kamils ​​Buch in seinem Meisterwerk „Das Buch der Abrechnung“. In der Randnotiz auf Seite 406 wurde Maumeht (also Muhammad) erwähnt, um deutlich zu machen, dass die Lösung der quadratischen Gleichung von Al-Khwarizmi stammte. Seit dem 13. Jahrhundert besteht der Ursprung des wissenschaftlichen Strebens in Europa darin, die Werke von Gelehrten wie Fibonacci zu verarbeiten, aufzunehmen und zu übertreffen. In der Folgezeit wurden auch viele europäische Mathematiker von der arabischen Algebra angezogen und widmeten sich der Suche nach algebraischen Lösungen für allgemeine kubische Gleichungen. Im Jahr 1545 veröffentlichte der italienische Mathematiker Cardano Girolamo (1501–1576) in Nürnberg ein lateinisches Buch über Algebra mit dem Titel „Archaem“. Die Wurzelformeln allgemeiner kubischer und quartischer Gleichungen wurden schließlich veröffentlicht, was auch bedeutete, dass die Europäer tatsächlich den von den Arabern überlieferten mathematischen Staffelstab übernahmen. Nach unermüdlichen Bemühungen gelang es europäischen Mathematikern im frühen 19. Jahrhundert schließlich, zu beweisen, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades keine algebraische Lösung hat. Dies eröffnete den Weg für das Studium der modernen Algebra. Im frühen 19. Jahrhundert erregte die mittelalterliche arabische Mathematik die Aufmerksamkeit europäischer Mathematikhistoriker und Al-Khwarizmis „Algebra“ wurde ins Englische, Französische, Russische und andere Sprachen übersetzt.

Die chinesische Übersetzung von Al-Khwarizmis Algebra, die 2020 vom Autor veröffentlicht wurde

Verweise

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[2]Martin Levey, die Algebra von Abu Kamil, Kitab fi al-jabr wa'l-muqabala[M], in einem Kommentar von Mordecai Finzi, hebräischer Text, Übersetzung und Kommentar mit besonderem Bezug auf den arabischen Text, University of Wisconsin Press: Madison, Milwaukee und London, 1966.

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[5]R.Rahed, Sharaf al-Din al-Tushi, CEuvres Mathematiques[M], Algebra et Geometrie au XII siècle. Sammlung Science et Philosophie Arabes. Paris: Societe d'edition, 1986. (Band I, II.)

[6] Jamshid al-Kāshī. Miftah al-Hisab (Schlüssel zur Arithmetik)[M]. AS al-Demerdash.MH al-Cheikh (Hrsg.). Kairo: Dār al-kātib al-ʿarabī, 1967.

[7] Bartholomæi Pitisci Grunbergensis Silesij Trigonometriæ Siue De dimensione Triangulor[um] Libri Qvinqve; Item Problematvm Variorv[M], nempe Geodæticorum, Altimetricorum, Geographicorum, Gnomonicorum und Astronomicorum Libri Decem. Augsburg, 1612.

[8] Chen Zhihui. Die Wiederbelebung, der Austausch und das gegenseitige Lernen der mathematischen Forschung der Song- und Yuan-Schule[J]. Chinesische Sozialwissenschaften heute. 2024.1.24.A05.

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