Warum ist die Physik so mächtig bei der Schaffung neuer Mathematik?

Die Entwicklung der Physik im 20. Jahrhundert profitierte von der Anwendung mathematischer Werkzeuge, doch die Mathematik hat sich auch ganz allein weiterentwickelt. Erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts förderte die Stringtheorie die Entwicklung der Mathematik direkt, und Mathematik und Physik entwickelten sich Hand in Hand, als ob sie in die Anfänge der Wissenschaft zurückgekehrt wären. Niemand bestreitet, dass die Mathematik als Grundlage für den Fortschritt der Physik dienen kann, aber warum kann die Physik umgekehrt auch neue Mathematik hervorbringen? Cheats können auch in der realen Welt vorkommen.

Geschrieben von | Ananyo Bhattacharya

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Bildquelle: Tuchong Creative

Die Mathematik bildet seit langem die Grundlage für Fortschritte in der Physik. Als Einstein 1915 entdeckte, dass die über ein halbes Jahrhundert rein mathematischer Arbeit entstandene Gravitationstheorie die Struktur von Raum und Zeit perfekt beschrieb, pries er die allgemeine Relativitätstheorie als einen „wahren Triumph“ der Mathematik. Wie, so staunte er später, konnte eine Mathematik, die ohne Rücksicht auf ihre Anwendung konzipiert wurde, jemals „so bewundernswert an reale Objekte angepasst werden“?[1]

Heute wird es oft als selbstverständlich angesehen, die Mathematik in den Dienst der Physik zu stellen. Dies hat seine Wurzeln in ihren Ursprüngen. Schließlich wurde die Mathematik erfunden, um die physikalische Welt zu messen, zu quantifizieren und zu verstehen. In Mesopotamien entwickelten die Sumerer ein Zählsystem und hinterließen Tontafeln mit Multiplikationstabellen. Was ist ihr Zweck? Wird zur Bestandsaufnahme von Waren und Eigentum verwendet. Was ursprünglich als Schmiermittel für die Abläufe in Regierung und Wirtschaft diente, entwickelte in den darauffolgenden Jahrtausenden schließlich ein Eigenleben. Auch wenn die Mathematik in abstrakte Bereiche vordrang, die so obskur waren, dass man sie nur nach jahrelanger Ausbildung beherrschen konnte, bildete sie weiterhin die Grundlage für die großen Durchbrüche in der Physik.

Allerdings hat sich die Situation vor kurzem geändert. Heute führen Erkenntnisse und Intuitionen aus der Physik unerwartet zu Durchbrüchen in der Mathematik. Nachdem Mathematiker im 20. Jahrhundert größtenteils ihre eigenen Wege gegangen waren, ließen sie sich nun zunehmend von Regelmäßigkeiten und Mustern in der Natur inspirieren. Ein Bereich, der seit Jahrzehnten stagniert, wartet auf die nächste Generation. Sogar Philosophen haben begonnen, sich mit der Frage zu befassen, warum die Physik, wie ein Philosoph es kühn formulierte, in der Mathematik „ohne Grund funktioniert“. Der springende Punkt ist, dass zwischen den Regeln, die das Verhalten des Universums bestimmen, und den abstraktesten Betrachtungen des menschlichen Geistes weitgehend unbeachtete, rätselhafte und tiefgreifende Zusammenhänge bestehen.

Warum liefert die Physik – deren Wurzeln im Verständnis realer Dinge in der Welt wie Äpfeln und Elektronen liegen – so wirksame Hinweise zur Lösung einiger der schwierigsten Probleme der Mathematik? Bei diesen Problemen geht es um schwer fassbare Dinge wie Funktionen und Gleichungen.

„Physiker legen weniger Wert auf strenge Beweise als Mathematiker“, sagte Timothy Gowers, Mathematiker und Fields-Medaillenträger am Collège de France. Manchmal, sagt er, ermöglicht dies „Physikern, mathematische Bereiche schneller zu erforschen als Mathematiker.“ Während Mathematiker dazu neigen, einen kleinen Ausschnitt des Gebiets eingehend zu untersuchen, neigen Physiker eher dazu, große Teile des weitgehend Unbekannten schnell zu überfliegen. Aus dieser Perspektive können Physiker zufällig neue und wirkungsvolle mathematische Konzepte und Zusammenhänge entdecken, und Mathematiker können auf diese Konzepte und Zusammenhänge zurückkommen und versuchen, sie zu beweisen (oder zu widerlegen).

Die Nährstoffe, die die Physik der Mathematik liefert

Tatsächlich ist der Prozess, in dem die Physik die Mathematik inspiriert, so alt wie die Wissenschaft selbst. Der antike griechische Mathematiker und Erfinder Archimedes beschrieb, wie die Gesetze der Mechanik einige seiner wichtigsten mathematischen Entdeckungen inspirierten. Da waren Newton und sein Zeitgenosse, der deutsche Universalgelehrte Gottfried Wilhelm Leibniz, die eine völlig neue Art der Mathematik entwickelten – die Infinitesimalrechnung –, während sie versuchten, die Bewegung fallender Objekte zu verstehen.

Doch Mitte des 20. Jahrhunderts war der Zustrom neuer mathematischer Erkenntnisse aus der Physik fast versiegt. Was auf der anderen Seite passiert, interessiert weder Physiker noch Mathematiker besonders. In der Mathematik versuchte eine einflussreiche Gruppe junger französischer Mathematiker, die als Bourbaki-Schule bekannt ist, die Mathematik so präzise wie möglich zu machen. Sie arbeiteten daran, das gesamte Feld von Grund auf neu aufzubauen und veröffentlichten ihre gemeinsame Arbeit in der Hoffnung, zukünftige mathematische Entdeckungen anzuregen. Gleichzeitig entwickelten Physiker mit Begeisterung bahnbrechende Ideen wie das Standardmodell – das bis heute die beste Theorie der Physiker über die atomare und subatomare Welt darstellt. Für viele von ihnen war die Mathematik lediglich ein praktisches Werkzeug und sie waren nicht an der ernsthaften mathematischen Vision interessiert, die die Bourbaki-Schule vertrat.

Allerdings ist eine Versöhnung im Gange, die vom verstorbenen libanesisch-britischen Geometer Michael Atiyah angeführt wird. Mit seltener Intuition und etwas Glück fielen Atiyah, der auch die Fields-Medaille erhielt, häufig Bereiche auf, die später das Interesse theoretischer Physiker erregten.

„Mitte der 1970er Jahre gelangte er zu der Überzeugung, dass die theoretische Physik die bei weitem vielversprechendste Quelle für neue Ideen sei“, schrieb Nigel Hitchin, ein Mathematiker und emeritierter Professor in Oxford, der mit Atiyah zusammengearbeitet hatte, im Jahr 2020. „Von da an wurde er zu einem Vermittler der Interaktion zwischen Mathematikern und Physikern, indem er auf mathematische Herausforderungen der Physiker reagierte, rein mathematische Ergebnisse mithilfe von Ideen aus der Physik bewies und Physikern moderne mathematische Inhalte vermittelte, die er für wichtig hielt, mit denen sie jedoch nicht vertraut waren.“

Der mathematische Physiker Edward Witten ist einer von Atiyahs langjährigen Mitarbeitern. Die beiden trafen sich erstmals im Jahr 1977. Witten, der über 20 Jahre jünger ist als Atiyah, entwickelte sich zu einem Pionier der Stringtheorie. Diese geht davon aus, dass winzige eindimensional vibrierende Saiten die fundamentalen Bausteine ​​des Universums sind und nicht die Teilchen des Standardmodells.

Die Stringtheorie wurde ursprünglich als mögliche „Theorie von allem“ gefeiert, die die Quantentheorie mit Einsteins Gravitationstheorie vereinen würde. Bis heute hat sie jedoch vermutlich einen größeren Einfluss auf einige der abstraktesten Bereiche der Mathematik – etwa die algebraische Geometrie und die Differentialtopologie – als auf die Physik gehabt. In diesen Bereichen konnten Witten und andere Stringtheoretiker präzise Vermutungen aufstellen, die Mathematiker erst später bewiesen haben.

Im Jahr 1991 beispielsweise wandten die Physiker Philip Candelas, Xenia de la Ossa und ihre Kollegen die Stringtheorie auf ein Jahrzehnte altes Problem der abzählbaren Geometrie an. Die enumerative Geometrie ist ein alter Zweig der Mathematik, der sich mit der Zählung der Anzahl von Lösungen geometrischer Probleme beschäftigt. Die einfachsten Fragen lauten: „Wie viele Linien können durch zwei Punkte in einer Ebene verlaufen?“ (1); oder Apollonius‘ berühmte Frage: „Wie viele Kreise können gezeichnet werden, die drei gegebene Kreise berühren?“ (8)

Candelas und seine Mitarbeiter konnten Werkzeuge aus der Stringtheorie nutzen, um ein besonders heikles Problem der abzählbaren Geometrie zu lösen: das Zählen der Anzahl eines bestimmten Kurventyps in Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, den seltsamen sechsdimensionalen Formen, die den Kern der Stringtheorie bilden. Ihr Ergebnis verknüpft zwei Geometrien, die „symplektische Geometrie“ und die „komplexe Geometrie“, die Mathematiker jahrzehntelang isoliert untersucht hatten, weil sie glaubten, sie bestünden nicht miteinander. Diese Art von Fortschritt – die Verknüpfung zweier Bereiche, die als unabhängig voneinander galten – gilt in der Mathematik als „tiefgreifendes“ Ergebnis: Man kann plötzlich Werkzeuge aus einem Bereich verwenden, um Probleme in einem anderen zu lösen und so den Fortschritt in der Mathematik zu ermöglichen und zu beschleunigen.

Ein heikles Problem: Der Physiker Philippe Candelas und seine Kollegen nutzten Werkzeuge aus der Stringtheorie, um ein heikles Problem der enumerativen Geometrie zu lösen: das Zählen der Anzahl von Kurven einer bestimmten Art in einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit (abgebildet). Diese seltsamen sechsdimensionalen Formen bilden den Kern der Stringtheorie. Bildquelle: Wikimedia Commons

Nur wenige Jahre später, im Jahr 1995, schlug Witten fünf verschiedene Versionen der Stringtheorie vor, die jeweils 10 Dimensionen erforderten und alle unterschiedliche Aspekte einer einzigen 11-dimensionalen Konzeptualisierung darstellten, die er „M-Theorie“ nannte. Obwohl die M-Theorie noch immer unbewiesen ist, hat die Abbildung von Entsprechungen zwischen verschiedenen Theorien zu erstaunlichen mathematischen Entdeckungen geführt. „Es fühlt sich an, als ob die Stringtheorie den Mathematikern jeden Monat neue Strukturen auf eine Art und Weise bietet, wie es sie noch nie zuvor gegeben hat“, sagt Yang-Hui He, ein mathematischer Physiker am Institute of Mathematical Sciences in London.

Die Stringtheorie ist eine reiche Quelle unerwarteter Beziehungen oder „Dualität“ zwischen zwei mathematischen Welten, die Mathematiker auch heute noch begeistern. Er und sein Mitarbeiter, der Stringtheoretiker Federico Carta, ebenfalls vom London Institute, untersuchten den einfachsten Typ einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, die K3-Oberfläche, als sie zufällig auf die Beziehung zwischen der „Homotopiegruppe“ der Oberfläche (die in der Topologie zur Klassifizierung von Formen verwendet wird) und einer Symmetriegruppe namens Mathieu 24 stießen. Die Entdeckung des Duos enthüllte eine unerwartete Verbindung zwischen zwei unterschiedlichen Bereichen der reinen Mathematik – der Topologie, der Lehre von Formen, und einem Bereich der modernen Algebra namens Gruppentheorie, der sich mit den Arten von Symmetrien von Objekten befasst.

He Yanghui sprach darüber, warum die Physik eine so interessante Mathematik hervorbringt, was eine „tiefgründige Frage“ sei. Es gebe zahllose Muster und Strukturen, die Mathematiker untersuchen könnten, „aber diejenigen, die aus der Realität stammen, sind diejenigen, die wir bis zu einem gewissen Grad intuitiv verstehen.“

Hitchin stimmte zu. „Mathematische Forschung findet nicht im luftleeren Raum statt“, sagte er. „Man kann nicht einfach eine neue Theorie erfinden, nur um sie zu erfinden. Man muss glauben, dass es da draußen etwas gibt, das untersucht werden muss. Neue Ideen müssen sich um eine Vorstellung von der Realität drehen, oder vielleicht um die Idee von irgendjemandem.“

Dies wirft die Frage auf, ob die Physik die Mathematik lediglich dadurch nährt, dass sie den Mathematikern eine stärkere Motivation zur Erforschung und einen Fokus für ihre Energien bietet. Geleitet von Intuitionen darüber, wie die Welt funktionieren sollte, und scheinbar plausiblen Endpunkten können Mathematiker bei der Lösung eines Problems manchmal schneller vorankommen, als dies sonst der Fall wäre.

Es könnte auch eine merkwürdige Tatsache erklären: „Schlechte“ Physik kann manchmal zu guter Mathematik führen.

Die Wirbeltheorie beispielsweise war ein früher Versuch des britischen mathematischen Physikers William Thomson, auch bekannt als Lord Kelvin, zu erklären, warum es relativ wenige Arten von Atomen gibt. Er stellte sich Atome als rotierende Ringe vor, die zu komplizierten Knoten verknüpft werden könnten, wobei jeder Knoten einem anderen chemischen Element entspräche. Nach der Entdeckung des Elektrons wurde die Theorie aufgegeben – ihre Mathematik führte jedoch zur Entwicklung der Knotentheorie. Seitdem ist die Knotentheorie zu einem fruchtbaren Boden für die Erforschung reiner Mathematiker geworden, die überraschende Anwendungen in der Strömungsdynamik und beim Verständnis verwickelter Moleküle wie der DNA gefunden haben.

Besteht das Universum aus Mathematik?

Für Atiyah liegt die mysteriöse Beziehung zwischen Physik und Mathematik im menschlichen Gehirn begründet. „Der Mensch ist das Produkt einer langen Evolution, in der ein großes Gehirn von Vorteil war. Ein solches Gehirn entwickelte sich in einer physischen Welt, daher wird evolutionärer Erfolg am physiologischen Erfolg gemessen“, erklärte er in einem Interview 2018. „Das menschliche Gehirn hat sich also zur Lösung physikalischer Probleme entwickelt, was die Entwicklung korrekter Mathematik durch das Gehirn erforderte.“ Dazu muss sich das Gehirn auch anpassen, um mathematische Muster in der Natur zu erkennen und zu würdigen. Atiyah wirkte 2014 sogar an einer Studie zur Bildgebung des Gehirns mit, die zu dem Schluss kam, dass das Erleben mathematischer Schönheit dieselben Teile des Gehirns stimuliert wie schöne Musik, Kunst oder Poesie. Dies könnte erklären, warum die Physik für Mathematiker eine richtungsweisende Rolle spielen kann: Die Art von Mathematik, die aus der Untersuchung der Realität hervorgeht, ist tendenziell die Art von Mathematik, die unserem Gehirn gefällt.

Im Jahr 2010 betonte Atiyah in einem gemeinsam mit Hitchin und dem niederländischen theoretischen Physiker Robbert Dijkgraaf, damals an der Princeton University, verfassten Artikel[2] die erfolgreiche Anwendung der Physik in der Mathematik. Seitdem wurde jedoch wenig unternommen, um dieses Phänomen zu verstehen.

Einer der Personen, die sich in jüngster Zeit erneut mit dieser Frage befasst haben, ist der Philosoph Daniele Molinini von der Universität Bologna. In seinem 2023 im British Journal for the Philosophy of Science[3] veröffentlichten Artikel reagierte er auf einen oft zitierten Artikel des Physik-Nobelpreisträgers Eugene Wigner aus dem Jahr 1960 mit dem Titel „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“. Molininis unverblümte Antwort bestand jedoch darin, „Die unangemessene Wirksamkeit der Physik in der Mathematik“ zu untersuchen. Er gab eine überraschende Antwort: Einige Gesetze der Physik könnten ebenso unbestreitbar sein wie mathematische Theoreme. „Wir müssen einige Prinzipien der realen Welt als grundlegend akzeptieren“, sagte er.

Philosophen sind sich im Allgemeinen einig, dass mathematische Wahrheiten insofern „notwendig“ sind, als sie in allen möglichen Welten wahr sein müssen. Bei natürlichen Wahrheiten, empirischen Tatsachen, ist das anders – sie hängen von den Umständen ab. Licht bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, doch in einem anderen Universum wäre dies möglicherweise nicht der Fall. Das heißt, mathematische Wahrheiten sind und bleiben immer wahr, egal was passiert.

Gibt es bestimmte physikalische Gesetze, die auf die gleiche Weise „unvermeidlich“ sind? In seinem Aufsatz argumentiert Molinini, dass das Erhaltungsgesetz ein solches Gesetz sein könnte. In der Physik ändern sich bestimmte Eigenschaften eines Systems nicht, beispielsweise Energie oder Impuls. Beispielsweise wandelt ein Radfahrer, der im Leerlauf einen Hügel hinunterfährt, seine potentielle Gravitationsenergie in kinetische Energie um, die Gesamtenergie, die er und sein Fahrrad besitzen, bleibt jedoch gleich.

Molini glaubt, dass, wenn diese Erhaltung ein „notwendiges Produkt“ ist, dies erklären könnte, warum Archimedes durch mechanisches Denken erfolgreich auf die Wahrheit geometrischer Beweise schließen konnte. Anders wäre diese Leistung schwer zu erklären. In diesem Fall sind Physik und Mathematik zwei Seiten derselben Medaille: Beide sind richtig, weil sie denselben zugrunde liegenden Prinzipien folgen.

Eine andere Ansicht, die Galileo Galilei im frühen 17. Jahrhundert berühmt machte und die oft von Mathematikern vertreten wird, besagt, dass das Universum in der Sprache der Mathematik geschrieben ist. Diese Idee hat antike Ursprünge, die zumindest auf Pythagoras und seine Anhänger zurückgehen. Eine neuere und extremere Version ist jedoch Max Tegmarks Hypothese des mathematischen Universums – die Idee, dass das Universum selbst nicht nur durch Mathematik beschrieben, sondern durch Mathematik konstituiert wird.

In Tegmarks Darstellung ist unser Universum nur eines von unzähligen Paralleluniversen und alle unendlichen Möglichkeiten der Mathematik – jeder Lehrsatz, jeder Beweis – werden irgendwo in diesem Multiversum verwirklicht. Es ist kein Wunder, dass die Physik zu neuen Entdeckungen in der Mathematik inspiriert – die von der Physik beschriebene Realität ist schließlich mathematisch. „Es besteht eine enge Verbindung zwischen empirischer Wissenschaft und Mathematik“, sagt Mark Colyvan, ein Philosoph an der Universität Sydney, der die Beziehung zwischen Mathematik und Physik erforscht. „Eine Schlussfolgerung, die wir ziehen können, ist, dass die Welt selbst irgendwie Mathematik ist.“

In beiden Formulierungen dürfte die Mathematik, die aus der Physik hervorgeht, jedoch außerordentlich umfangreich sein. Doch die Mathematik, die die bekannte Physik hervorbringt, macht nur einen kleinen Teil der gesamten Mathematik aus (und fast alles davon ist wahrscheinlich nicht so interessant). Die Tatsache, dass das Universum vollständig aus Mathematik besteht, erklärt dieses Problem nicht.

Molinini stellt eine populäre philosophische Theorie der Anwendbarkeit der Mathematik in Frage, nämlich das „Mapping“[4], das seiner Meinung nach nicht erklärt, warum gute Mathematik aus der Physik hervorgehen kann. Die Abbildungstheorie besagt, dass man durch die Übersetzung eines physikalischen Konzepts wie Masse oder Abstand in ein mathematisches Objekt, wie etwa die Gleichungen für Newtons Gravitationsgesetz, damit etwas berechnen und es dann wieder auf eine physikalische Eigenschaft abbilden kann – die Anziehung zwischen zwei Objekten. Molinini argumentiert jedoch, dass der Abbildungsprozess scheitert, wenn man versucht, ihn umzukehren, um zu erklären, wie die Mathematik aus der Physik entstand.

Er sagte, dass das Interesse an dieser Frage unter Philosophen zunimmt. Sie konzentrieren sich auf die umgekehrte Frage, warum Mathematik auf die empirische Wissenschaft angewendet werden kann: Warum kann aus der empirischen Wissenschaft Mathematik entstehen?

„Die moderne Physik hat den Mathematikern eine Vielzahl neuer Werkzeuge und unerwarteter Hinweise geliefert“, sagte He Yanghui. „In Zukunft müssen Physik und Mathematik enger zusammenarbeiten, um einige der größten Probleme der reinen Mathematik zu lösen.“

Er sagte, das von Robert Langlands in den 1960er Jahren konzipierte Langlands-Programm sei ein solcher Bereich und werde oft als „große vereinheitlichte Theorie der Mathematik“ bezeichnet. Es wird gesagt, dass ein Zweig dieses Programms, das geometrische Langlands-Programm, kürzlich von einem Team von Mathematikern gelöst wurde, und der von ihnen vorgeschlagene Beweis umfasst fünf Artikel und 800 Seiten (Anmerkung des Herausgebers: siehe „Die Vision der großen Vereinheitlichung der Mathematik, die im Gefängnis entstand, ist ihrer Verwirklichung einen großen Schritt näher gekommen“). Der Kern des Beweises basiert auf Erkenntnissen, die ursprünglich aus der konformen Feldtheorie stammen, einem Zweig der Physik, der einen Eckpfeiler der Stringtheorie und anderer Bereiche bildet. He Yanghui ist der Ansicht, dass Mathematiker mehr physikalische Erkenntnisse heranziehen müssen, um die Auswirkungen des Beweises zu erforschen und in anderen Aspekten des Langlands-Programms Fortschritte zu erzielen.

In ähnlicher Weise haben Mathematiker mithilfe der Physik versucht, Fortschritte bei der Riemann-Hypothese und der Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung zu erzielen, zwei der schwierigsten ungelösten Probleme der Mathematik. He Yanghui ist der Ansicht, dass die Kombination dieser beiden Bereiche der Schlüssel zur endgültigen Lösung dieser großen Fragen sein wird.

„Physik und Mathematik beginnen wieder zu verschmelzen, genau wie zu Zeiten von Newton und Gauß“, sagte He, der als theoretischer Physiker ausgebildet wurde, aber zunehmend versuchte, physikalische Ideen auf rein mathematische Probleme anzuwenden.

Es ist eine faszinierende Idee. Die Geschichte des Universums kann in der Sprache der Mathematik geschrieben werden. Doch so rosig diese Geschichte auch klingt, es gibt Anzeichen dafür, dass wir, um mehr zu lernen, als die Physiker bereits wissen, zunehmend exotischere und komplexere mathematische Werkzeuge benötigen, von denen einige erst noch erfunden werden müssen. Der Abbau der Barrieren zwischen diesen beiden Bereichen kann für beide Seiten neue Welten des Verständnisses eröffnen.

Über den Autor

Ananyo Bhattacharya ist Chef-Wissenschaftsautor am Institute of Mathematical Sciences in London. Vor seiner Karriere im Journalismus arbeitete Ananyo als medizinischer Forscher am Burnham Institute in San Diego, Kalifornien. Er hat einen Abschluss in Physik von der Universität Oxford und einen Doktortitel in Proteinkristallographie vom Imperial College London. Er hat als leitender Redakteur bei Nature, Chemistry World und Research Fortnight sowie als Wissenschaftsreporter bei The Economist gearbeitet. Er ist der Autor von „Der Mann aus der Zukunft“, einer Biografie von John von Neumann.

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