Es gibt echte "Magie" in der Physik, und sie stellt eine Klasse von Quantenressourcen dar

Es gibt tatsächlich „Magie“ in der Physik, aber die Magie, die hier vorgestellt wird, bezieht sich nicht auf die magischen Phänomene in der Physik, sondern auf das Konzept der Quantenressourcentheorie, das die notwendige nicht-klassische Ressource zur Realisierung universeller Quantencomputer und Quantenvorteile darstellt. In den letzten Jahren konzentrierten sich viele Studien auf die Erforschung der Rolle der Magie in Quanten-Vielteilchensystemen, es mangelt jedoch noch immer an effektiven Forschungsinstrumenten für hochdimensionale und großflächige nicht-integrierbare Quanten-Vielteilchensysteme. Um diese Lücke zu schließen, stellt dieses Dokument einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von Mehrkörpermagie vor.

Geschrieben von Ding Yiming und Yan Zheng (Fakultät für Physik, Westlake University)

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Ressourcendenken

Stellen Sie sich vor, Sie leben in einer wunderbaren Welt, in der alle Nahrungsmittelzutaten unerschöpflich sind, außer Milch. In dieser Welt ist Milch, wie Öl in der realen Welt, eine äußerst wertvolle Ressource. Daher wird jedes Lebensmittel, das Milch enthält, als „Ressourcenlebensmittel“ bezeichnet, während Lebensmittel ohne Milch als „freie Lebensmittel“ bezeichnet werden.

Als begabter Feinschmecker verfügen Sie über ein äußerst ausgeprägtes Geschmacksempfinden und können sofort erkennen, ob es sich bei einem Gericht um kostenloses Essen oder Ressourcen-Essen handelt. Darüber hinaus können Sie auch genau bestimmen, wie viel Milch in Ihrem Essen enthalten ist. Wenn Sie noch einen Schritt weiter gehen, können Sie sogar die Verteilung und Struktur der Milch in Lebensmitteln analysieren und verstehen, wie diese Strukturen die Farbe, das Aroma und den Geschmack der Lebensmittel beeinflussen …

Durch die Einführung dieses „Ressourcenkonzepts“ in das Gebiet der Quanteninformation erhalten wir die Quantenressourcentheorie[1].

In der Quantenressourcentheorie zerlegen wir nicht mehr Lebensmittel, sondern Quantenzustände. Wir wählen eine Quanteneigenschaft als Standard und betrachten sie als Quantenressource. Um einen Quantenzustand vorzubereiten oder zu simulieren, wird dieser Zustand, wenn die Einführung der Quantenressource nicht erforderlich ist, als „freier Zustand“ bezeichnet, andernfalls spricht man von einem „Ressourcenzustand“.

Um ein einfaches Beispiel zu geben: Wenn wir die Quantenverschränkung als eine Quantenressource betrachten, dann ist der freie Zustand der trennbare Zustand (bei reinen Zuständen ist es der direkte Produktzustand) und der Ressourcenzustand ist der verschränkte Zustand. Zu diesem Zeitpunkt manifestiert sich die Ressourcenstruktur als Flächengesetz im Grundzustand des lokalen Interaktions-Hamiltonoperators (die Verschränkungsentropie nimmt linear mit der Verschränkungsgrenze zu), und ihre Korrektur kann wichtige Quanten-Vielteilcheneigenschaften wie Entartung, Goldstone-Modus, zentrale Ladung des konformen Feldes und topologische Ordnung widerspiegeln [2].

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Die Komplexität magischer und Quantenzustände

Der Protagonist dieses Artikels – Magie oder Nichtstabilisator – ist eine äußerst wichtige Quantenressource. In diesem Kontext ist der magische Zustand oder Nichtstabilisatorzustand der Ressourcenzustand und der freie Zustand der Stabilisatorzustand. Die Motivation, Magie als Quantenressource zu betrachten, ergibt sich aus dem berühmten Gottesman-Knill-Theorem [3]: Unter einem Clifford-Quantenschaltkreis kann jeder stabile Zustand unter Verwendung polynomialer Ressourcen auf einer klassischen Turingmaschine vorbereitet und simuliert werden. Um universelles Quantencomputing zu erreichen oder einen Quantenvorteil zu erzielen, reicht es nicht aus, nur stabile Zustände vorzubereiten (alle stabilen Zustände stellen nur einen Unterraum des vollständigen Hilbert-Raums dar). Dazu müssen wir Quantenoperationen einführen, die Wunder bewirken können, wie etwa Quanten-T-Gatter. Eine überraschende Tatsache ist, dass viele hochverschränkte Quantenzustände keine magischen Zustände sind[4].

Wenn ein klassisches System das gesamte Verhalten eines anderen Quantensystems mit polynomialen Mitteln vollständig simulieren kann, ist dieses Quantensystem dann immer noch „quantenmäßig“ genug? Die Antwort auf diese Frage bleibt offen. Aufgrund der Schwierigkeiten der Komplexitätstheorie ist es noch nicht gelungen, die genaue Beziehung zwischen Komplexitätsklassen wie P (leicht mit klassischen Computern lösbar), NP (schwierig mit klassischen Computern lösbar, aber leicht zu überprüfen), BQP (Quantenversion von P) und QMA (Quantenversion von NP) zu klären. Dies veranlasst uns jedoch dazu, die Komplexität von Quantenzuständen ebenso wie die Verschränkung als eine ihrer wichtigen physikalischen Eigenschaften zu betrachten. Da jedes Quantensystem als Entwicklung aus einem trivialen Anfangszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Vergangenheit betrachtet werden kann, verfügt die Quantenkomplexität als Ergebnis einer möglichen historischen Entwicklung über das Potenzial, einige wichtige Eigenschaften über die Verschränkung hinaus zu charakterisieren. Diese Ansicht deckt sich mit Leonard Susskinds Aussage aus dem Jahr 2014, dass „Verschränkung nicht ausreicht“, wenn man die Physik Schwarzer Löcher untersucht[5].

Tatsächlich ist Magie nicht streng äquivalent zu der Quantenkomplexität, die wir diskutieren, weil nicht alle magischen Zustände von klassischen Computern mit polynomischen Ressourcen vorbereitet werden können. Beispielsweise können Grundzustände von Hamiltonoperatoren ohne Vorzeichenprobleme effizient mit Monte-Carlo-Methoden simuliert werden und weisen normalerweise auch eine von Null verschiedene Magie auf. Darüber hinaus ist die magische Größe eines Quantenzustands nicht unabhängig von der Wahl der Basis (ähnlich dem Vorzeichenproblem). Dennoch ist das Studium der Magie als wichtiges „Schlachtfeld“ der Quantenkomplexität vieler Körper äußerst wichtig und dringend. In den letzten Jahren widmen sich immer mehr Forscher der Erforschung der Mehrkörpermagie. Viele wichtige Ergebnisse zur Magie sind in Bereichen wie Kritikalität, Quantenchaos und AdS-CFT entstanden. Allerdings fehlen uns noch immer wirksame Forschungsinstrumente für hochdimensionale und große nicht-integrierbare Quanten-Vielteilchensysteme. Eine aktuelle Arbeit füllt diese Lücke - wir schlagen einen effizienten Monte-Carlo-Algorithmus zur Berechnung des Vielteilchen-Magiewerts und seiner Ableitungen vor und verwenden ihn zur Untersuchung von Kritikalität, Volumenanteil (die Magie steigt linear mit der Systemgröße an) und nichtlokaler Magie [6].

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Stabile Entropie und Ableitung des Transversalfeld-Ising-Modells

So wie es viele physikalische Größen gibt, die die Quantenverschränkung charakterisieren können, gibt es auch viele Größen, die die Magie charakterisieren können. Die magische Größe, die wir hier betrachten, ist die Stabilisatorentropie zweiter Ordnung, die ein gutes Maß für reine Magie ist und die Monotonie nach dem Clifford-Schema erfüllt [7]. In der Sprache der zufälligen Reihenentwicklung und des imaginären Zeitpfadintegrals entspricht es der folgenden Mannigfaltigkeit (Abbildung 1).

Abbildung 1: In der obigen Abbildung gibt es vier Replikate. In jeder Replik stellt die vertikale Achse die räumlichen Freiheitsgrade dar (z. B. den ersten Gitterpunkt) und die horizontale Achse die zeitlichen Freiheitsgrade. Der Zustand jedes Gitterpunkts wird sequenziell durch den Pauli-String beeinflusst, der aus Operatoren und anderen Operatoren besteht, die mit dem Hamilton-Operator in Zusammenhang stehen, und entwickelt sich auf der Zeitachse. Die linken und rechten Pfeile auf der Zeitachse zeigen an, dass die Zeit periodisch ist, d. h., der von allen Operatoren entwickelte Endzustand ist derselbe wie der Anfangszustand.

Tatsächlich würde die Simulation einer solchen Mannigfaltigkeit einige Vorzeichenprobleme (negative Wahrscheinlichkeiten) erzeugen. Einer der Kernpunkte unserer Arbeit besteht darin, die Symmetrie der Pauli-Gruppe zu nutzen, um die Simulation der obigen Mannigfaltigkeit in ein Problem der Abtastung eines reduzierten Pauli-Strings im reduzierten Konfigurationsraum umzuwandeln, wodurch das Vorzeichen eliminiert und anschließend der Wert und die Ableitung der stabilen Entropie berechnet werden.

In dieser Arbeit diskutieren wir hauptsächlich den Grundzustand der 1D- und 2D-Ising-Modelle mit transversalem Feld.

Es gibt Abbildungen (die linke Unterabbildung ist standardmäßig das 1D-Ergebnis, die rechte Unterabbildung ist das 2D-Ergebnis), da sich das Verhalten des Parameters J und die Anzahl der Gitterpunkte N ändern. Beim 1D-Modell erreicht die Magie ihren Maximalwert am Phasenübergangspunkt, was vielen traditionellen physikalischen Größen ähnelt. Die Leser könnten denken, dass der Maximalwert durch die Divergenz der Korrelationslänge beim Phasenübergang verursacht wird, aber unsere weitere Untersuchung des 2D-Systems ergab, dass der Maximalwert innerhalb der ferromagnetischen Phase und nicht am Phasenübergangspunkt existiert. Dies ist ein sehr interessantes Ergebnis, das uns zeigt, dass Phasenübergangspunkte auf klassischen Maschinen nicht unbedingt schwieriger zu simulieren sind als einige einfache Phasen. Andererseits zeigt es uns auch, dass selbst bei gleicher physikalischer Phase (unter Aufhebung der gleichen Symmetrie) Änderungen in einigen Details zu erheblichen Änderungen der Simulationsressourcen führen können.

Abbildung 3: Das Verhalten der zweiten Ableitung der stabilen Entropiedichte in Bezug auf den Parameter J in 1D (links) und 2D (rechts).

Da das System selbst einen Phasenübergang zweiter Ordnung aufweist und der Teil der stabilen Entropiedichte, der durch die freie Energie bereitgestellt wird, natürlich zur Singularität beiträgt, ist es schwierig zu bestimmen, ob die Vielteilchenmagie des Systems in direktem Zusammenhang mit der Kritikalität stehen kann. Glücklicherweise ermöglicht unser Ansatz, den trivialen Beitrag von der freien Energie (dem Z-Teil) zu trennen und den Eigenfunktionsbeitrag (den Q-Teil) übrig zu lassen, der enger mit der Magie zusammenhängt. Überraschenderweise stellen wir fest, dass der nichttriviale Q-Teil sowohl des 1D- als auch des 2D-Ising-Modells mit transversalem Feld Singularitäten aufweist (wie in Abbildung 4 dargestellt). Darüber hinaus ist die Singularität der Ableitung zweiter Ordnung der stabilen Entropiedichte das Ergebnis der kombinierten Wirkung von partiellen und partiellen Singularitäten.

Abbildung 4: Wettbewerb zwischen dem trivialen Z-Teil und dem magiebezogenen Q-Teil der Ableitung zweiter Ordnung der stabilen Entropiedichte in 1D (links) und 2D (rechts).

Die Ergebnisse in Abbildung 4 legen auch nahe, dass bei allgemeinen Quanten-Vielteilchensystemen die Magie nicht unbedingt am (konformen) kritischen Punkt ihr Extrem erreicht. Sein Verhalten kann komplex und vielfältig sein und hängt eng mit der Reihenfolge des Phasenübergangs zusammen.

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Nicht-lokale Magie

Wenn wir über globale (systemweite) Magie in einem Quantenzustand sprechen, kann das banal sein. Wenn beispielsweise ein Quantenzustand das Tensorprodukt von N lokalen magischen Zuständen ist, dann ist das Volumenverhältnis der Magie streng erfüllt (globale Magie besteht aus lokaler Magie), und es macht nicht viel Sinn, über die Größe der globalen Magie zu diskutieren. Wenn wir zum Beispiel den folgenden Phase-GHZ-Zustand betrachten

Daraus können wir uns vorstellen, dass die außergewöhnliche und interessante Magie die nicht-lokale Magie sein sollte, also der Teil, der übrig bleibt, wenn man die gesamte lokale Magie von der globalen Magie abzieht. Wenn ein Quantenzustand nicht-lokale Magie besitzt, können wir ihn nicht mit einem lokalen Nicht-Clifford-Quantengatter löschen. Das ist vergleichbar mit der Tatsache, dass eine Fernverschränkung nicht durch ein lokales Quantengatter gelöscht werden kann. Daher verfügt nichtlokale Magie über das Potenzial, physikalische Phasen wie die topologische Ordnung zu erkennen und zu charakterisieren. In früheren Studien wurde allgemein über gegenseitige Magie im binären System A+B [8] gesprochen, das die Form von

wobei F die magische Metrik des gemischten Zustands ist. Da stabile Entropie kein gültiges Maß für Magie in gemischten Zuständen ist, ist die Definition gegenseitiger Magie anhand stabiler Entropie mit Einschränkungen verbunden. Wie wir jedoch bereits zuvor besprochen haben, wird sich nichtlokale Magie zwangsläufig in der Volumenratenkorrektur der stabilen Entropie widerspiegeln, was ein wichtiger Punkt ist, der in früheren Studien übersehen wurde. Im thermodynamischen Grenzfall muss jeder lokale magische Beitrag in den Koeffizienten der Volumenrate aufgenommen werden. Bei endlicher Größe sind die Volumenratenkorrekturen auf beiden Seiten des Phasenübergangspunkts im Allgemeinen unterschiedlich, da die durch die Assoziationen auf beiden Seiten hervorgerufenen magischen Strukturen ebenfalls unterschiedlich sind. Durch Anpassen der Korrekturterme b1 und b2 der 1D- und 2D-Modelle stellen wir fest, dass sie am Phasenübergangspunkt Anzeichen von Extremwerten und Diskontinuitäten aufweisen (siehe Abbildung 5) und dass die magischen Strukturen auf beiden Seiten des Phasenübergangspunkts ebenfalls unterschiedlich sind. Das heißt, obwohl die globale Magie am Phasenübergangspunkt möglicherweise nicht die größte ist, weil sie von der lokalen Magie dominiert wird, wird die nicht-lokale Magie drastisch durch die Divergenz der Korrelationslänge am Phasenübergangspunkt beeinflusst. Tatsächlich ist es schwer vorstellbar, dass all diese nichtlokale Magie mit nur einer Handvoll Quantengattern erreicht werden kann. Daher spekulieren wir, dass die Korrektur der Volumenrate eine weitaus aussagekräftigere physikalische Größe ist als die Magie des globalen Quantenzustands.

Abbildung 5: Volumenratenkorrektur der stabilen Entropie in 1D- (links) und 2D-Systemen (rechts).

05

Abschluss

Im Laufe der Forschung der letzten paar hundert Jahre haben die Physiker nach und nach erkannt, dass Informationen physikalischer Natur sind und in der Quanten-Vielteilchenphysik eine entscheidende Rolle spielen. Diskussionen über die Komplexität physikalischer Systeme, die für die Informatik relevant sind, insbesondere über die Quantenkomplexität, sind jedoch nach wie vor relativ begrenzt. Angesichts der kontinuierlichen Entwicklung der Quanteninformationswissenschaft haben wir Grund zu der Annahme, dass uns ein Ansatz aus der Perspektive der Computerwissenschaften in Zukunft zu einem tieferen Verständnis komplexer und interessanter Quantenverhaltensweisen verhelfen wird.

Verweise

[1] E. Chitambar und G. Gour, Quantenressourcentheorien, Rev. Mod. Phys. 91, 025001 (2019).

[2] N. Laflorencie, Quantenverschränkung in kondensierten Materiesystemen, Physics Reports 646, 1 (2016).

[3] S. Aaronson und D. Gottesman, Verbesserte Simulation von Stabilisatorschaltungen, Phys. Rev. A 70, 052328 (2004).

[4] MA Nielsen und IL Chuang. Quantenberechnung und Quanteninformation: 10. Jubiläumsausgabe. Cambridge: Cambridge University Press (2010).

[5] L. Süßkind, Verschränkung ist nicht genug, Fortschritte der Physik 64, 49 (2016).

[6] Y.-M. Ding, Z. Wang, Z. Yan. Bewertung der Rényi-Entropie des Vielteilchenstabilisators durch Stichprobennahme reduzierter Pauli-Strings: Singularitäten, Volumengesetz und nichtlokale Magie. arxiv:2501.12146

[7] L. Leone, SFE Oliviero und A. Hamma, Stabilizer Rényi Entropy, Phys. Ehrw. Lett. 128, 050402 (2022).

[8] CD White, C. Cao und B. Swingle, Konforme Feldtheorien sind magisch, Phys. Rev. B 103, 075145 (2021).

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