Wie liest man Mathebücher gut? | Entfalten

Professor Li Tianyan (1945–2020) ist in China äußerst bekannt. Er verfügt nicht nur über sein akademisches Meisterwerk „Periode Drei bedeutet Chaos“, das vom berühmten Physiker Dyson als unsterblicher Schatz bezeichnet wurde, sondern er bewies auch eine mathematische Vermutung von Ulam, dem „Vater der Wasserstoffbombe“, und einen konstruktiven Beweis des berühmten Fixpunktsatzes des niederländischen Mathematikers Brouwer, wodurch er seinen akademischen Status in den beiden Bereichen chaotische dynamische Systeme und Homotopie-Fortsetzungsalgorithmen begründete. Ein solcher akademischer Gigant ist auch ein „Shi Tiesheng der Mathematik“, der etwa 20 große Operationen und unzählige kleinere Operationen durchlaufen hat.

Als Schüler von Li Tianyan hegt Professor Ding Jiu von der Fakultät für Mathematik der University of Southern Mississippi tiefe Gefühle für seinen Mentor. Als Professor Li starb, schrieb er unter Tränen „Unvergessliche 35 Jahre Lehrer-Schüler-Beziehung: Erinnerung an den legendären chinesischen Mathematiker Professor Li Tianyan“. Später sammelte er weitere Informationen und vollendete ein herzzerreißendes Werk: „Out of Chaos: Meine mathematische Beziehung zu Li Tianyan“. Eine ausführliche Einführung finden Sie in der Buchbesprechung am Ende des Artikels. Hier möchte ich das fünfte Kapitel des Buches „Magische Methoden des Lesens“ auszugsweise wiedergeben, um es mit Wissenschaftlern zu teilen.

Dieser Artikel darf ausschließlich aus Kapitel 5 „Magische Methoden des Lesens“ von „Out of Chaos: Meine Liebe zur Mathematik mit Li Tianyan“ (Shanghai Science and Technology Education Press) entnommen werden. Der Titel wurde vom Herausgeber hinzugefügt. Gehen Sie zum öffentlichen Konto „Fanpu“ und klicken Sie am Ende des Artikels auf „Originaltext lesen“, um dieses Buch zu kaufen.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Wie so oft in der Mathematik gehen wir, bevor wir die „Geheimnisse des Lernens“ im Detail besprechen, zunächst davon aus, dass die Lehrer des Fachs und die ausgewählten Lehrbücher zufriedenstellend sind; Beim Selbststudium gehen wir zudem davon aus, dass die Lernmotivation kein Problem darstellt. Darüber hinaus berücksichtigen wir die Rolle der Intelligenz nicht. Wie können wir angesichts dieser relativ idealen Hintergründe ein Mathematikbuch effektiv lesen?

Nach langjährigem Buchstudium und Forschungspraxis in Taiwan und den Vereinigten Staaten hat Professor Li Tianyan wertvolle Lesemethoden zusammengefasst. Auch zum Thema „Gute Bücher lesen“ habe ich im Laufe meiner jahrzehntelangen Lesetätigkeit einige Erkenntnisse gesammelt. Obwohl mein Lehrer nun schon dreißig Jahre nicht mehr bei mir ist, ist die Beziehung zwischen ihm und mir als Lehrer und Schüler nicht nur nicht abgebrochen, sondern hat sich sogar noch weiter verbessert. Einer der Schlüsselfaktoren besteht darin, dass wir in vielen Fragen des Lebens, Lernens, Lehrens, Forschens und Sprechens nahezu identische Ansichten haben und dass wir uns zudem an einen Verhaltenskodex halten, über den wir uns beide weitgehend einig sind. In diesem Kapitel geht es um „Wie man Mathematik lernt“, was sicherlich eine Zusammenfassung der lebenslangen Lektüre und Forschung von Professor Li Tianyan darstellt. Tatsächlich ist es auch mit meinem Verständnis vom Lesen und Lernen durchsetzt. Unsere Lehrer und Schüler sind sich alle darüber im Klaren, dass der wichtigste Weg, Mathematik gut zu lernen, darin besteht, die Konzepte zu beherrschen. Tatsächlich ist dies auch die allgemeine Erfahrung einiger meiner Kommilitonen am College, die über umfassende Kenntnisse in Mathematik verfügen. Da ich mich mit meinem Mentor Professor York beim Lehrer-Schüler-Treffen anlässlich des 70. Geburtstags von Professor Li im Juli 2015 ausführlich über pädagogische Themen austauschen konnte, werde ich auch einige Erkenntnisse Yorks zum Thema Lesen weitergeben.

In der Mathematik werden Axiome und Postulate als Prämissen, Definitionen als Leitlinien und Logik als Mittel verwendet, um schrittweise nützliche Aussagen abzuleiten, die die verschiedenen Eigenschaften von Konzepten und ihre Wechselbeziehungen mit anderen Konzepten offenlegen. Die Kunst des Denkens ist in diesem Prozess von entscheidender Bedeutung. Unsere gesamte Fähigkeit, Theorembeweise zu verstehen, stammt aus der euklidischen Geometrie, die wir in der Mittelschule gelernt haben. Deshalb war Wei Musheng, mein Kommilitone am College, der 1977 bei der Aufnahmeprüfung des Jiangsu Province College in Mathematik die volle Punktzahl erreichte, in einem Gespräch mit mir an der Michigan State University der Meinung, dass ebene Geometrie das wichtigste Mathematikfach in der Mittelstufe sei.

In der Mathematik werden bei der Definition eines neuen Konzepts notwendigerweise andere Konzepte verwendet, und die dazugehörigen Aussagen beziehen sich lediglich auf die Natur, Verwendung oder Beziehung des Konzepts zu anderen Konzepten. Bei der Darstellung eines Satzes müssen alle beteiligten Begriffe klar und eindeutig definiert sein, sonst ist selbst ein Genie nicht in der Lage, den Satz zu verstehen. Daher sind die mathematischen Konzepte, die in ihren Beweisen vorkommen, überall zu finden. Wenn Sie auf ein Konzept stoßen, sollten Sie daher ein vollständiges Bild davon im Kopf haben. So gibt es beispielsweise in der Reihentheorie der Differential- und Integralrechnung einen einfachen Satz: Wenn eine unendliche Reihe konvergiert, dann muss die allgemeine Folge der Reihe gegen 0 streben. Dieser Satz enthält zwei grundlegende Nomenbegriffe, nämlich „Reihe“ und „Folge“, sowie einen äußerst wichtigen Begriff der „Konvergenz“, der jeweils für Reihe und Folge verwendet wird. Daher müssen wir uns beim Beweis dieser Aussage über die Definitionen dieser Konzepte und die Beziehung zwischen ihnen im Klaren sein. Wenn selbst die Definition der Konvergenz einer Reihe vage bleibt oder wenn wir die Beziehung und Unterscheidung zwischen der allgemeinen Folge einer Reihe und den Teilen und Folgen der Reihe noch nicht herausgefunden haben, wie können wir dann aus der Konvergenz einer Reihe die notwendigen Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe ableiten, dass ihre allgemeine Folge gegen 0 strebt?

Obwohl Konzepte so wichtig sind, nehmen zu viele Studenten sie nicht ernst oder wissen einfach nicht, dass es sich beim Lesen um ein leistungsstarkes Hilfsmittel zur „Beherrschung von Konzepten“ handelt. Einer der Gründe dafür könnte sein, dass sie in der Grundschule und in der weiterführenden Schule, bevor sie an die Universität kamen, durch den Staffelstab der Hochschulaufnahmeprüfung und die Taktik der Fragenflut in die Irre geführt wurden und nur auf das Auswendiglernen aus waren. Ein weiterer Grund, warum sie diese schlechteste Art des Lesens passiv akzeptieren, liegt vielleicht darin, dass es für sie einfacher und entspannter ist, Definitionen auswendig zu lernen, als sie zu verstehen. Das Aufsagen von Definitionen ist lediglich ein mechanisches Verhalten, genau wie die Privatschullehrer früherer Zeiten, die ihren Schülern beibrachten, alte Bücher durch Kopfschütteln aufzusagen. Um Konzepte zu verstehen, muss das Gehirn nachdenken. Die Begriffsdefinitionen in gut geschriebenen Mathematiklehrbüchern sind sehr klar formuliert und die Formulierungen und der Satzbau sind sehr sparsam, das heißt, die Sätze enthalten keine überflüssigen Wörter und jedes Wort hat eine Bedeutung. Um die Bedeutung einer komplexen Definition mit vielen logischen Konjunktionen vollständig zu verstehen, muss man sie keineswegs auswendig lernen. Es erfordert ständige Meditation beim Lesen der Definition und Kopfzerbrechen, um sie vollständig zu verstehen. Eine gute Möglichkeit, um zu testen, ob Sie eine Definition wirklich verstehen, besteht darin, sich zu fragen, was Sie sagen würden, wenn die Definition nicht zutrifft. Wenn Sie es nicht aufschreiben können, sind Sie wahrscheinlich noch weit davon entfernt, die Definition wirklich zu verstehen.

Wenn Professor Li Tianyan im Unterricht ein abstraktes Konzept lehrt und erklärt, veranschaulicht er es gerne anhand von Beispielen. Als ich seinen Vortrag in Guangzhou zum ersten Mal hörte, war ich fasziniert von seiner Methode, „das Komplexe zu vereinfachen“. Ich habe auch sein Verhalten aufgezeichnet, als er in seinem ersten Semester in den Vereinigten Staaten Professor Yan vertrat. Das war das erste Mal, dass ich seinem Unterricht in den Vereinigten Staaten zuhörte. Nehmen wir nun ein Beispiel und versuchen, eine mathematische Aussage zu negieren. Beginnen wir mit der Infinitesimalrechnung, die jeder Student der Naturwissenschaften und des Ingenieurwesens gelernt hat. Es wird davon ausgegangen, dass der Leser die strenge Definition der Grenze der „ε-δ“-Sprache gelernt hat. Erinnern wir uns zunächst an die Definition: Es sei f eine reellwertige Funktion einer reellen Variable x und es sei eine reelle Zahl a im Definitionsbereich der Funktion gegeben. Wenn es eine reelle Zahl L gibt, so dass für jede positive Zahl ε eine positive Zahl δ existiert, so dass, wenn x im Intervall liegt, die Ungleichung 0 erfüllt ist

Der Versuch, nur auswendig zu lernen und sich zu weigern, nachzudenken, ist ein großer Fehler, den viele Menschen heute beim Mathematiklernen machen. Dies wurde auch von Professor Li Tianyan kritisiert. Während meiner Studienzeit an der Michigan State University hörte ich ihn mehrmals über eine wahre Geschichte sprechen, die sich in der Fakultät für Mathematik der University of Maryland zugetragen hatte, seiner Alma Mater, an der er seine Promotion machte. Ein ausländischer Studierender muss zur Promotionsreifeprüfung eine mündliche Prüfung ablegen. Der Prüfer forderte die Prüflingin auf, den berühmten Satz von Tichonow in der Punktmengentopologie zu beweisen, verlangte von ihr jedoch nur, eine vereinfachte Version in zwei Dimensionen zu beweisen: Das Produkt zweier kompakter Mengen ist auch in der Produkttopologie eine kompakte Menge. Doch die Doktorandin bat den Professor, ihr den Beweis des allgemeinen Tichonow-Theorems zu erlauben: Das Produkt beliebiger kompakter Mengen ist auch eine kompakte Menge unter der Produkttopologie. Der Grund dafür ist, dass sie den Beweis dieser allgemeinen Schlussfolgerung von Anfang bis Ende auswendig gelernt hat, aber den Sonderfall des Theorems nicht beweisen kann.

Tatsächlich kommt dieses Phänomen recht häufig vor. Einige Schüler haben die oben genannte Definition des Grenzwerts bereits auswendig gelernt, verstehen aber immer noch nicht die Bedeutung hinter dieser Definition. Sobald sie es in bestimmten Situationen verwenden oder etwas anspruchsvollere Grenzwertprobleme lösen, geraten sie in einen Nebel und wissen nicht, wo sie anfangen sollen. Noch schwieriger ist es zu beweisen, dass der Grenzwert nicht existiert oder dass sein Wert, selbst wenn er existiert, keine bestimmte Zahl ist. Beim Lesen eines schwer verdaulichen Mathematikbuchs fällt es Ihnen oft schwer, komplexe Definitionen oder schwierige Theoreme zu verstehen. Seien Sie in diesem Fall nicht zu pessimistisch oder enttäuscht. Dies erfordert ausreichend Geduld und Vertrauen. Ein Blick zurück auf vergangene Konzepte ist oft die richtige Entscheidung. Hier könnten wir uns ebenso gut einen Lesetipp zunutze machen, den der herausragende amerikanische Physiker Richard Feynman (1918-1988) seiner neun Jahre jüngeren Schwester gab, als er 23 Jahre alt war: „Lesen Sie von Anfang an und lesen Sie so viel Sie können, bis Sie überhaupt nichts mehr fühlen, und beginnen Sie dann wieder von vorne. Lesen Sie weiter, bis Sie alles verstanden haben.“ Diese Methode ist effektiv und eignet sich am besten für Autodidakten, die ohne Lehrer lernen möchten. Feynmans Schwester nutzte diese Methode, um ein Buch über Astronomie zu lesen und zu verstehen, und die Freude über den Erfolg veranlasste sie, dieses Fach zu ihrer Lebensaufgabe zu machen. Ich lerne schon seit langer Zeit im Selbststudium und verwende diese Hin- und Her-Methode oft, um jedes Kapitel und jeden Abschnitt eines Mathematikbuchs durchzuarbeiten. Professor Li beschäftigt sich seit langem mit der Lösung von Polynomgleichungen. Er brachte sich selbst die nichtkommutative Algebra bei, die eng mit der algebraischen Geometrie verwandt ist. Ich glaube, sein Ansatz stimmt mit dem von Feynman überein. Diejenigen meiner Kommilitonen im College, die über solide Grundlagen in analytischer Mathematik verfügten, müssen genauso gedacht haben wie Feynman: Wenn sie beim Lesen auf etwas stießen, das sie nicht verstanden, fingen sie wieder von vorne an, machten Schritt für Schritt stetige Fortschritte und beherrschten schließlich das gesamte Kapitel oder den gesamten Abschnitt.

Das Verstehen von Beweisen und die Fähigkeit, deren Durchführung zu erlernen, ist ein wichtiger Schritt beim Lesen von Mathematikbüchern. Was Professor Li Tianyan am meisten am Lernen von Mathematik hasst, ist das Auswendiglernen von Beweisen, ohne sie zu verstehen. Wenn seine Studenten ihm also den Beweis eines Theorems vortragen möchten, wird er Sie nie bitten, die allgemeine Schlussfolgerung zu beweisen, sondern Sie bitten, einen bestimmten einfachen Fall zu beweisen, um zu sehen, ob Sie ihn wirklich verstehen. Dies forderte er nicht nur von seinen Schülern, sondern bewies es auch durch sein eigenes Handeln. Als er in seinen späteren Jahren kurz vor seiner Pensionierung stand, wurde er eingeladen, mehreren Gaststudenten aus seinem Heimatland seinen Beweis zu erläutern, dass „die Existenz einer Dreipunktperiodizität einer kontinuierlichen Funktion die Existenz einer n-Punktperiodizität impliziert“. Einer dieser Studenten, Xu Shistein, ist jetzt ein offiziell zugelassener Doktorand in der Abteilung. Auf einem Foto, das er mir von Professor Li bei der Demonstration eines Beweises geschickt hat, sah ich an der Tafel den Beweis für den Sonderfall n = 4 geschrieben, und die Idee, zu beweisen, dass die Schlussfolgerung für allgemeine positive ganze Zahlen n gültig ist, wird in diesem speziellen Beweis vollständig demonstriert. Um ein Student von Professor Li zu werden, müssen Sie daher in der Lage sein, die speziellen Schlussfolgerungen zu beweisen, wenn n = 3 oder 4.

Professor Li unterrichtet Studenten 2017 über Chaostheorie

Das Problem besteht darin, dass die Autoren in Lehrbüchern oder Monographien den Beweis des spezifischen Theorems für n = 3 oder 4 nicht aufschreiben und die Beschreibung des Theorems und seines Beweises im Grunde allgemein sind. Wie kann man den komplexen und langen Beweis verstehen? Lesen wir den Rat von Professor York:

Studierende (und auch Professoren) sollten versuchen, die Kerngedanken des Beweises zu verstehen und vorzugsweise zwei Kerngedanken zu finden. Diese Kerngedanken müssen nicht unbedingt in Form von Lemmata auftreten, da das Buch sonst zu viele scheinbar plausible Schlüsselhinweise liefern könnte. Tatsächlich ist es oft der Kerngedanke, der Studierende überrascht, sodass verschiedene Personen unterschiedliche Kerngedanken in einem Beweis erkennen. Sie sind die Schlüsselelemente, die unser Verständnis verbessern. Ein Kerngedanke kann einen komplizierten Beweis haben, daher sollten Studierende im Laufe des Prozesses zwei Kerngedanken entdecken.

In einer langen E-Mail an mich im Juli 2015 gab Professor York zwei Beispiele, um zu veranschaulichen, wie man die Schlüsselideen in einem Beweis findet. Vielleicht weil der „Zwischenwertsatz“ über kontinuierliche Funktionen in der Differential- und Integralrechnung in seinen berühmtesten Artikeln und denen seiner Schüler eine Schlüsselrolle spielte, verwendete er den Beweis dieses Theorems als erstes Beispiel. Die geometrische Bedeutung des Theorems ist für die meisten Menschen verständlich: Jede durchgehende Kurve, die einen bekannten Punkt auf beiden Seiten einer Geraden verbindet, muss mindestens einmal durch die Gerade verlaufen. Seine strenge mathematische Aussage lautet: Wenn f eine reellwertige kontinuierliche Funktion ist, die auf dem geschlossenen Intervall [a, b] definiert ist, dann existiert für jede Zahl d zwischen den Funktionwerten f(a) und f(b) ein Punkt c in [a, b], sodass f(c)=d. Der erste Schlüsselgedanke beim Beweis des Theorems besteht darin, dass, wenn wir das Intervall [a, b] durch den Mittelpunkt des Intervalls in zwei abgeschlossene Teilintervalle mit jeweils der halben Länge des ursprünglichen Intervalls aufteilen, dann muss die Zahl d zwischen den beiden Funktionwerten von f an den beiden Endpunkten eines der beiden abgeschlossenen Teilintervalle liegen, und das durch diese Eigenschaft bestimmte Teilintervall wird das ursprüngliche Intervall ersetzen. Die zweite Kernidee besteht darin, dass, solange d nicht der Funktionswert von f an einem der Endpunkte des aktuell erhaltenen Teilintervalls wird, die Idee der obigen Intervallhalbierung wiederholt wird und die Eigenschaft beibehalten wird, dass die Zahl d immer zwischen den Funktionwerten an den beiden Endpunkten des Intervalls liegt. Wenn der erforderliche Funktionswert d nicht in jedem Schritt des obigen Prozesses erreicht werden kann, kann eine unendliche Folge geschlossener Intervalle erhalten werden, wobei die Länge jedes Mal um die Hälfte reduziert wird und der vordere Teil den hinteren Teil umschließt. Die Längen dieser Intervalle nähern sich schließlich 0, sodass der „Satz der verschachtelten abgeschlossenen Intervalle“ über reelle Zahlen sicherstellt, dass sie nur einen gemeinsamen Punkt c haben. Gemäß der Annahme, dass f eine kontinuierliche Funktion ist, muss der Punkt c die Gleichung f(c)=d erfüllen. Die beiden oben genannten Ideen sind die Schlüsselideen, die zum Beweis des Zwischenwertsatzes erforderlich sind.

Vielleicht aufgrund der bezeichnenden „mündlichen Abschlussprüfung“ in der Geschichte der Fakultät für Mathematik an der University of Maryland, deren Leiter er gewesen war, war das zweite Beispiel, das Professor York anführte, der Standardbeweis des oben erwähnten Tichonow-Theorems. Dieser Beweis ist naturgemäß wesentlich schwieriger und erfordert zudem das Auswahlaxiom der Mengenlehre von Ernst Zermelo (1871-1953), das nicht von jedem Mathematiker anerkannt wird, weshalb ich hier nicht im Detail darauf eingehen werde, sondern nur darauf hinweisen möchte, dass es zwei Schlüsselideen sind, die zum Beweis führen. Leser, die über Grundkenntnisse in Topologie verfügen und dem Beweis auf den Grund gehen möchten, können die Einzelheiten im Anhang „Professor York spricht über Bildung“ meines Buches „Personal Experience of American Education: Thirty Years of Experience and Thinking“ nachlesen, das 2016 bei Commercial Press erschienen ist.

York ist qualifiziert, die wahren Geheimnisse eines guten Mathematikstudiums zu lehren, denn er ist ein weltbekannter Meister des Chaos, für den er sich 2003 den Japan-Preis mit dem „Vater der Fraktale“ Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) teilte. In den Augen seiner Schüler genießt sein Forschungsteam für chaotische dynamische Systeme an der University of Maryland den besten akademischen Ruf in den Vereinigten Staaten. Für einen so kreativen Mathematiker und Forscher lag seine beste Punktzahl in allen Mathematikkursen an der High School jedoch nur bei 87 Punkten und er erhielt keine einzige „ausgezeichnete“ Note. Dies sind keine „Fake News“ vom Hörensagen, das kann ich anhand aller Highschool-Zeugnisse, die er mir per E-Mail geschickt hat, deutlich erkennen. Ich habe jedoch gehört, dass viele Grund- und Sekundarschüler in China, deren durchschnittliche Mathematiknote bei etwa 95 Punkten liegt, trotzdem nach der Schule „Nachhilfeunterricht“ bei Privatlehrern nehmen müssen, um weiter an ihrem Studium zu arbeiten, weil sie die „perfekte“ Note noch nicht erreicht haben. Doch York sagte mir: „Ich habe Mathe in der High School gelernt.“ So belegte er bei einem Mathematikwettbewerb an einer High School in seinem Heimatstaat New Jersey den dritten Platz. Nachdem York zum Bachelor-Studium an der Columbia University zugelassen worden war, waren seine Zeugnisse immer noch „nicht beeindruckend“. Er hielt seine Schüler mit den Worten „Ich habe im College keine Zweien bekommen“ in Atem. Li Tianyan dachte zunächst: „Alles Einsen“, aber die Antwort, die er bekam, war: „C oder schlechter.“ Professor Li Tianyan, der ein sehr gutes Mathematikzeugnis von der Universität vorweisen kann, schrieb jedoch in seinem Artikel „Rückblick auf den Weg in die Zukunft“:

Obwohl meine Leistungen damals überragend waren, weiß ich heute, wenn ich zurückdenke, eigentlich gar nichts und hatte keine Ahnung, was ich tat. In der Schule konnte ich mir nur Theoreme und Logik merken, um mit den Prüfungen klarzukommen. Nach dem Abitur und dem Militärdienst hatte ich das meiste wieder vergessen. Ehrlich gesagt wollte ich vor meiner Auslandsreise eigentlich mit der Mathematik aufhören. Später traf ich in den USA meinen Mentor, Professor York. Durch ihn erlangte ich allmählich ein erstes Verständnis für das Lernen und Erforschen von Mathematik, und dieses Verständnis prägte meine Vision und Herangehensweise an mein zukünftiges Mathematikstudium maßgeblich.

Was für eine herzliche Aussage! Zumindest im Mathematikstudium spielen Noten keine Rolle, denn im Mathematikstudium geht es nicht darum, das Gedächtnis zu trainieren, sondern darum, die Fähigkeit zu trainieren, die Welt zu verstehen. Die Unterschiede zwischen östlicher und westlicher Kultur wirken sich auch auf die Lese- und Lerngewohnheiten aus. Im Osten, insbesondere im heutigen China, lernen die Schüler Mathematik, indem sie passiv dem logischen Denkprozess in den Lehrbüchern folgen und nur versuchen, sich den Stoff einzuprägen, nicht zu denken. Sie wissen nur, warum dieser Schritt zum nächsten Schritt führt und der nächste Schritt zum nächsten Schritt und schließlich zur Schlussfolgerung des Theorems. Ich scheine den Beweisprozess zu verstehen, verstehe ihn aber nicht wirklich und komme nur mit der Prüfung zurecht. Gute westliche Studenten fragen beim Lernen oft „Warum“: Warum ist das so? Warum das tun? Diese Fragen werden in Prüfungen wahrscheinlich nicht vorkommen, bei Recherchen treten sie jedoch häufig auf. Deshalb sagt Yorke jungen Studenten im Scherz: „Wenn Sie nur die Prüfung bestehen wollen, lernen Sie einfach den Beweis des Theorems auswendig. Aber wenn Sie forschen wollen, müssen Sie die beiden Schlüsselideen des Beweises wirklich verstehen.“

Das Bearbeiten von Übungen ist ein unverzichtbarer Teil des Mathematiklernprozesses. Doch durch wissenschaftliches Bearbeiten spart man nicht nur Zeit, sondern erzielt mit halbem Aufwand auch das doppelte Ergebnis. Während meiner Collegezeit wurde es für Mathematikstudenten im ganzen Land zum Trend, sich mit den „Mathematical Analysis Exercises“ des belarussischen Mathematikers Boris Pavlovich Demidovich (1906–1977) zu beschäftigen. Dieses Buch hat einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung der Denkfähigkeit der Menschen geleistet. Man kann sogar sagen, dass es nicht weniger wichtig ist als das berühmte Werk „Ein Kurs in Analysis“ des sowjetischen Mathematikers Gregori Michailowitsch Fichtenholz (1888-1959), ein mehrbändiges außerschulisches Nachschlagewerk, das damals fast jeder Mathematikstudent besaß. Mein Kommilitone Tian Gang bearbeitete während seines Grundstudiums über 20.000 Übungen und legte damit den Grundstein für sein späteres herausragendes mathematisches Leben. In einem Interview mit Reportern äußerte er jedoch seine Missbilligung darüber, dass heutige College-Studenten so viele Fragen stellen und zu „Fragenlösungsmaschinen“ ausgebildet werden, ganz im Sinne des übertriebenen Bildes, „in die Maschine gerollt zu werden“, das der Komödienmeister Charles Chaplin (1889–1977) im Filmklassiker „Moderne Zeiten“ hinterließ. Aufgrund des Drucks der Aufnahmeprüfungen für das College und des Wunsches, auf eine renommierte Schule zu gehen, haben chinesische Gymnasiasten in den Jahren vor ihrem 18. Lebensjahr zahllose Fragen aktiv oder passiv beantwortet. Wenn sie jedoch an die Universität kommen, stellen viele fest, dass ihre Begeisterung für die Übungen wie aus einem leeren Ball gewichen ist. Keiner der beiden Extreme ist ein kluger Ansatz. Wie können wir unter normalen Umständen „Fragen wissenschaftlich beantworten“? Der Zweck der Übungen besteht darin, das Verständnis von Konzepten zu festigen und die Fähigkeit zur Anwendung von Konzepten zu stärken. Wenn Sie die Bedeutung der Konzepte vor dem Ausführen der Übungen noch nicht verstanden haben, sollten Sie die Übungen daher nicht in aufgabenartiger Weise ausführen. Zu den Aufgaben in guten Lehrbüchern gehören neben einigen wenigen „Routinefragen“, die der Wiederholung von Konzepten oder der direkten Anwendung von Aussagen dienen, auch eine Reihe anspruchsvoller Fragen, die das i-Tüpfelchen auf dem i darstellen und eine hohe Herausforderung darstellen. Einige gut geschriebene Lehrbücher enthalten im Übungsteil sogar einige fortgeschrittene Ergebnisse, um die Leser herauszufordern und zu sehen, wer sich der Herausforderung stellt. Seien Sie mutig genug, sich an diese Art von Fragen zu wagen, und stellen Sie nicht zu viele „Routinefragen“, die kaum Nachdenken erfordern. Dies ist eine gute Möglichkeit, Ihre mathematischen Fähigkeiten und Ihre zukünftigen Innovationsfähigkeiten zu verbessern.

Eine Sache, die aus der Studentenzeit nicht wegzudenken ist, sind „Ergebnisse“. Natürlich freut sich jeder über gute Ergebnisse genauso wie über Schönheit. Natürlich sind die Testergebnisse wichtig, denn nur so kann die Schule beurteilen, wie gut die Schüler den Kurs gelernt haben und sie spiegeln grundsätzlich den Grad der Wissensbeherrschung wider. Ein gutes Transcript als Nachweis Ihres Studienverlaufs kann Ihnen ein Leben lang Freude bereiten. In diesem Jahr erreichte ich bei der nationalen Deutschprüfung ein Rekordergebnis. Als ich das Zeugnis von der Sekretärin des Dekans für Graduiertenangelegenheiten erhielt, war ich etwas begeistert, als ich das Büro verließ. Obwohl ich in der Antwort meines Tutors wegen der voreiligen Mitteilung der guten Neuigkeit verspottet wurde, glaubte ich immer noch fest daran, dass „eine hohe Punktzahl immer besser ist als eine niedrige.“ Das ist sicherlich richtig, aber Tatsache ist, dass ich in den letzten 33 Jahren nie die Gelegenheit hatte, einen mathematischen Artikel auf Deutsch oder Russisch zu lesen. Einmal wollte ich unbedingt die Beschreibung und den Beweis eines klassischen Ergodensatzes aus dem Jahr 1950 lesen, aber der Artikel war auf Französisch verfasst, was ich nicht verstehen konnte.

Wenn ein Highschool-Absolvent auf dem chinesischen Festland bei der Aufnahmeprüfung für ein College nur einen Punkt weniger erreicht, kann er oder sie den lang ersehnten Zugang zu einer erstklassigen Universität verpassen. Daher bewundern viele Eltern, die möchten, dass ihre Kinder Erfolg haben, die hohen Ergebnisse bei den College-Aufnahmeprüfungen der Hengshui-Mittelschule, die ihren Erfolg durch extreme Methoden und teuflisches Training erreicht hat. Im aktuellen Hochschulaufnahmeprüfungssystem ist dieses Ergebnis tatsächlich äußerst wichtig. Der Nobelpreisträger für Physik, Herr Tsung-Dao Lee (1936-), sagte jedoch, er habe keinen Nobelpreisträger (selbstverständlich auch nicht) gefunden, der der beste Schüler seiner Klasse gewesen sei, aber er habe von einigen gehört, die die letzten in ihrer Klasse gewesen seien. Dieser Satz ist sehr aufschlussreich: Der Zweck des Studiums besteht nicht darin, die besten Noten zu erzielen, sondern die Wahrheit zu erforschen, die Wahrheit zu verstehen und schließlich in der Lage zu sein, Erfindungen zu schaffen und die Wahrheit herauszufinden, nachdem man ins Berufsleben eingetreten ist. Legt ein Schüler zu viel Wert auf Testergebnisse und fehlt ihm die Weitsicht, und konzentriert er sich den ganzen Tag nur auf die Lehrbücher, auf denen die Prüfungen basieren, ohne fleißig außerschulische Bücher zu lesen, um seinen Horizont zu erweitern, kann er es auf lange Sicht bereuen, selbst wenn seine Testergebnisse zu den besten der Klasse gehören. Ein Student mit hohen Ambitionen sollte darüber nachdenken, sich umfassend zu informieren und so eine solide Grundlage für seine glänzende Zukunft in zehn oder zwanzig Jahren zu legen.

Obwohl Professor Li Tianyan im College hervorragende akademische Leistungen erbrachte, nahm er diese Leistung nie ernst. In diesen Jahren erinnerte er seine Doktoranden oft daran, „Kernkompetenzen“ zu erlernen und über „echtes Talent und Wissen“ zu verfügen. Wenn ich auf meine Studienzeit an der Nanyang Technological University zurückblicke, bin ich froh, dass ich nicht studiert habe, um hervorragende Prüfungsergebnisse zu erzielen. Stattdessen hoffte ich, möglichst viel nützliches Wissen wie ein Schwamm aufzusaugen. Es ist zu meiner Gewohnheit geworden, beharrlich eine große Anzahl außerschulischer Bücher zu lesen, darunter auch Bücher aus den Bereichen Mathematik und Geisteswissenschaften. Normalerweise verbringe ich nicht viel Zeit mit dem Lesen von Lehrbüchern. Vor jeder Unterrichtsstunde habe ich mir jedoch einen groben Überblick über die Themen des Lehrers verschafft. Nach dem Unterricht spitzte ich einfach die Ohren und hörte aufmerksam zu, ohne mir Notizen zu machen. Allenfalls habe ich die Inhalte, die ich plötzlich über das Buch hinaus gehört habe, in die leeren Stellen des Lehrbuchs geschrieben. Nachdem ich im Unterricht aufmerksam aufgepasst hatte, hatte ich das Gefühl, dass sich die Konzepte in mein Gedächtnis eingeprägt hatten. Doch nachdem ich in die USA gegangen war, stellte ich fest, dass viele amerikanische Professoren ihren Unterricht nicht nach Lehrbüchern ausrichteten oder schlicht keine Lehrbücher verwendeten. Sie führten nur wenige Nachschlagewerke auf und verließen sich beim Verkauf ihres Wissens auf ihre eloquente Art. Also habe ich „ein neues Kapitel aufgeschlagen“ und angefangen, mir im Unterricht Notizen zu machen. Ich bevorzuge jedoch Professoren, die nicht Schritt für Schritt lehren, sondern die Studierenden zum Weiterdenken anregen.

Wenn wir uns die drei wichtigsten mathematischen Beiträge von Professor Li Tianyan noch einmal ansehen, werden wir feststellen, dass er sich während seiner Doktorandenzeit mit mehreren unterschiedlichen Gebieten der Mathematik beschäftigt hat, was erstaunlich ist. In China habe ich nur eines seiner Werke verstanden, aber nachdem ich in die Vereinigten Staaten gekommen war, hat er mich tief beeinflusst. Ich habe mich nicht darauf beschränkt, ein Handwerk zu beherrschen, sondern versucht, seine Forschungsergebnisse klar zu verstehen. Dies hinterließ wahrscheinlich einen so guten Eindruck bei ihm, dass ich, als mir die Universität meines Arbeitgebers nach Arbeitsbeginn bei der Beantragung einer Green Card half, das Empfehlungsschreiben der Personalabteilung sah, das er mir geschrieben hatte. Darin hieß es, dass er unter all seinen Studenten „der Einzige ist, der alle meine Forschungsgebiete versteht“.

Lesen zu lernen bietet eine solide Grundlage für diejenigen, die sich in Zukunft in der Forschung und Entdeckungsreise engagieren möchten, um den ersten Schritt in der akademischen Forschung zu machen.

Buchrezension

Wenn die Liebe tief ist, ist sie natürlich. Wenn die Liebe tief ist, wie können wir es ertragen, sie aufzugeben?

——Empfehlen Sie „Out of Chaos: Meine mathematische Beziehung zu Li Tianyan“

Geschrieben von Wang Tao (Institut für Geschichte der Naturwissenschaften, Chinesische Akademie der Wissenschaften)

Professor Li Tianyan (1945–2020) ist in China äußerst bekannt und selbst gewöhnliche Leser kennen seinen Namen. Sein Aufsatz „Period Three Implies Chaos“ ist so berühmt, dass F. Dyson vom Institute for Advanced Study in Princeton ihn in seiner berühmten Rede „Birds and Frogs“ als einen unsterblichen Schatz der mathematischen Literatur bezeichnete. Die Fähigkeit, eine solche Leistung zu erbringen, reicht aus, um in die Geschichte einzugehen. Darüber hinaus hat Li Tianyan noch zwei weitere Meisterwerke geschaffen – den Beweis einer mathematischen Vermutung durch den „Vater der Wasserstoffbombe“ Ulam (S. Ulam) und den konstruktiven Beweis des berühmten Fixpunktsatzes durch den niederländischen Mathematiker L. Brouwer, der seinen akademischen Status in den beiden Bereichen chaotische dynamische Systeme und Homotopie-Fortsetzungsalgorithmen begründete.

Als Schüler von Li Tianyan hegt Professor Ding Jiu von der Fakultät für Mathematik der University of Southern Mississippi tiefe Gefühle für seinen Mentor und hat den einheimischen Lesern Li Tianyans mathematische Errungenschaften, seine akademischen Ideen und seinen unerschütterlichen Willen schon oft vorgestellt. Nach Li Tianyans Tod war Ding Jiu so traurig, dass er sich kaum beherrschen konnte. Er blätterte in den Tagebüchern, die er viele Jahre lang gehütet hatte, und in der Korrespondenz der beiden aus den letzten 35 Jahren, rief sich jedes Detail der Vergangenheit ins Gedächtnis und schrieb wie wild, wobei er die Ratschläge von Freunden und die Erwartungen der Leser berücksichtigte. Er brauchte zweieinhalb Monate, um dieses herzzerreißende Werk fertigzustellen – „Out of Chaos: Meine mathematische Beziehung zu Li Tianyan“ (im Folgenden „Out of Chaos“ genannt).

„Out of Chaos“ verwendet als Titel das zeitlose wissenschaftliche Konzept „Chaos“, das zugleich Li Tianyans wichtigste Bezeichnung ist. Wie entdeckte Li Tianyan das Chaos? Welche spannenden Geschichten stecken dahinter? Ding Jiu, der als Mathematiker geboren wurde, verfügt sowohl über die Vision eines Wissenschaftshistorikers als auch über den Schreibstil eines Wissenschaftsautors. Er geht oft von historischen Hinweisen aus und verwendet schöne Worte, um Li Tianyans mathematische Beiträge und verwandte mathematische Theorien auf einfache, klare und transparente Weise zu erklären, sodass die Leser „aus dem Chaos herauskommen“ können. Man kann sagen, dass dieses Buch eine Halblebensbiografie von Li Tianyan ist. Was die Leser am meisten bewegte, war möglicherweise Li Tianyans starker Wille. Er kämpfte fast sein ganzes Leben lang gegen seine Krankheit, gab die Hoffnung jedoch nie auf. Der Akademiker Yan Jianan von der Chinesischen Akademie der Wissenschaften schrieb ein Lobgedicht auf ihn und sagte, er sei „in der Literaturwelt mit Shi Tiesheng vergleichbar“. Professor Chen Guanrong von der City University of Hong Kong hat seinetwegen sogar eine Redewendung erfunden: „Tianyan Tiesheng“.

Allerdings ist die Biografie nicht das einzige Thema dieses Buches. Wie der Untertitel schon andeutet, steht die Beziehung des Autors zu seinem Mentor in Mathematik im Mittelpunkt dieses Buches. Dieses Buch bietet den Lesern eine seltene Gelegenheit, die Beziehung zwischen Mathematikern, Lehrern und Schülern zu verstehen. Nach der Lektüre des gesamten Buches werden die Leser feststellen, dass die „Beziehung“ zwischen dem Autor und Li Tianyan als „Beziehung zwischen Vater und Sohn“ und „Beziehung zwischen Liebenden“ beschrieben werden kann.

In der ersten Hälfte des Buches wird hauptsächlich erzählt, wie der Autor Li Tianyans Schüler wurde. Die beiden Protagonisten sind an der Nanjing University in China und an der Michigan State University in den USA tätig. In den 1980er Jahren, wenn der Autor zu Li Tianyans Student werden wollte, brauchte er wirklich etwas Glück, so dass "die beiden sich treffen konnten, obwohl sie dazu bestimmt waren." Glücklicherweise fungierte die Homology -Kurve als Brücke für den Autor und Li Tianyan, um sich zum ersten Mal in Guangzhou, China, zu treffen. Wie ein Jungen und ein Mädchen, das verliebt ist, fühlte sich der Autor oft glücklich, fühlte sich oft glücklich, aber gelegentlich auch gestresst. Nachdem der Autor eine Reihe von Tests wie TOEFL, English Test und Doctoral Qualification Examination bestanden hatte, wurde er im Januar 1987 schließlich zu Li Tianyans offiziellem Jünger. Während des Lesens können die Leser die Aufrichtigkeit des Autors spüren. Er hat die Rückschläge und Misserfolge, denen er begegnet ist, nie vermieden. Daher ist dieses Buch auch ein wertvolles Memoir.

Das Chinesen glauben, dass "einst Lehrer, immer Vater". Als der Autor in dem Buch zugab, hatte Li Tianyan abgesehen von seinen Eltern den größten Einfluss auf ihn. Besonders während seines Studiums und seiner Arbeit in den Vereinigten Staaten war Li Tianyan wie ein freundlicher, aber strenger Elternteil, der ihm die Geheimnisse des Lesens und die Art und Weise beibrachte, Forschung zu betreiben. In diesem Prozess sprach der Autor auch über seine Gedanken und Erfahrungen in Bezug auf Bildung und Kultur in China und den Vereinigten Staaten im Laufe der Jahre. Diese Inhalte bilden die zweite Hälfte des Buches. Li Tianyan ist so besorgt über diese "Kinder", dass er sich über ihre gelegentliche Ablegung besorgt, aber auch mit ihrem kontinuierlichen Wachstum zufrieden ist. Er lehrt sie auch Schritt für Schritt, wie sie Reden halten können, insbesondere Interviewberichte, damit sie nach dem Abschluss einen zufriedenstellenden Job finden und populäre Lehrer werden können. Was den Autor einen tiefen Eindruck hinterließ, war Li Tianyans Liebe zu seiner Heimat. Er hatte tiefe Gefühle für sein Mutterland und lehrte seine "Kinder", Ausländer mit Würde zu behandeln und nicht servil zu sein.

Nachdem ich dieses Buch gelesen habe, werden die Leser glaube, dass Leser von Li Tianyans persönlichem Charme angezogen werden und auch von den wahren Gefühlen des Autors bewegt werden, seinen Mentor zu verpassen. Während des Leseprozesses können sich die Leser auf die beiden anderen Bücher des Autors beziehen, „die Verwirrung der Weisen: ein weitläufiges Gespräch über Chaos und Fraktale“ und „persönliche Erfahrung der amerikanischen Bildung: dreißig Jahre Erfahrung und Denken“, sondern können nicht nur ihr Verständnis von Li Tianyan und seinen mathematischen Leistungen vertiefen, sondern auch mehr über die wahre Bildung in China und die Vereinigten Staaten in China und den Vereinigten Staaten und den Vereinigten Staaten.

Li Tianyan kann durch die Tatsache getröstet werden, dass sein Schüler Ding Jiu eine so wundervolle Arbeit zur Mathematikkultur geschrieben hat, die es einer großen Anzahl chinesischer Leser ermöglichte, etwas über Li Tianyans wundervolles Leben zu lernen und seinen Namen tief im Herzen des Volkes verwurzelt zu haben. Wir hoffen, dass der Autor eines Tages in der Zukunft eine vollständigere Biographie von Li Tianyan schreiben kann, die den Lesern ein größeres Geschenk sein wird.