Abelpreisträger 2022 Sullivan: Ein mathematischer Steuermann, der verschiedene Felder verbindet

Der Abel-Preis 2022 wurde dem amerikanischen Mathematiker Dennis Parnell Sullivan für seine „bahnbrechenden Beiträge zur Topologie im weitesten Sinne, insbesondere zur Algebra, Geometrie und Dynamik“ verliehen. Der Mathematikmeister Sullivan ist einer der einflussreichsten Topologen der Gegenwart. Er hat grundlegende Beiträge zu vielen Zweigen der Topologie geleistet und auch in anderen Bereichen der Mathematik Erfolge erzielt. Seine Auszeichnung war wohlverdient. Auch mit über 80 Jahren ist Sullivan noch immer auf dem Weg der mathematischen Erforschung. Auf seinem Weg wurde er von vielen Freunden und Mathematiklehrern beeinflusst und wurde zum Steuermann der Mathematik, wie ein „Fahrer“, der die Richtung vorgab.

Geschrieben von | Ni Yi (Professor für Mathematik am California Institute of Technology)

Simmons' Fahrer

Als Kind habe ich folgende Geschichte gelesen: Nachdem Einstein berühmt geworden war, wurde er oft eingeladen, an verschiedenen Universitäten Vorträge zu halten. Einmal sagte sein Fahrer zu Einstein: „Ich habe mir Ihre Reden so oft angehört, dass ich sie selbst halten könnte. Das nächste Mal kann ich die Rede für Sie halten!“ Deshalb bat Einstein seinen Fahrer beim nächsten Mal, sich als er auszugeben und die Rede zu halten, während er sich als der Fahrer ausgab. Der Fahrer sprach sehr erfolgreich, aber nachdem er fertig war, stellte jemand aus dem Publikum eine Frage, und natürlich konnte der Fahrer sie nicht beantworten. Der Fahrer hatte plötzlich eine Idee, zeigte auf Einstein und sagte: „Diese Frage ist so einfach, dass sogar mein Fahrer sie beantworten kann!“ Dann kam Einstein auf die Bühne und beantwortete die Frage.

Diese Geschichte ist natürlich erfunden, aber sie ist weit verbreitet und wurde definitiv nicht von der chinesischen Gemeinschaft erfunden. Vor über einem Jahrzehnt besuchte ich eine akademische Vorlesung des berühmten Mathematikers und Wall-Street-Tycoons James Simons (1938-). Simmons erzählte diese Geschichte am Anfang und sagte dann: „Wenn Sie heute Fragen haben, die ich nicht beantworten kann, fragen Sie einfach meinen Fahrer …“

Der „Fahrer“, auf den sich Simmons bezog, war Dennis Parnell Sullivan (1941- ) im Publikum. In diesem Bericht sprach Simons über seine Arbeit mit Sullivan zur differentiellen Kohomologie. Das sogenannte „Geh und frag den Fahrer“ ist nur ein selbstironischer Witz, um die Atmosphäre aufzulockern. Bevor er an die Wall Street kam, war Simons bereits ein erstklassiger Mathematiker. 1976 gewann er den Veblen-Preis, die höchste Auszeichnung in Geometrie und Topologie. Die Chern-Simons-Theorie, die er in Zusammenarbeit mit Shiing-Shen Chern (1911–2004) vollendete, spielt eine sehr wichtige Rolle in der Geometrie, Topologie und theoretischen Physik. Die letzte Arbeit, die Simons vor seinem Ausscheiden aus der Wissenschaft veröffentlichte, war ein Klassiker auf dem Gebiet der „Differentialkohomologie“. Mehr als 20 Jahre später kehrte Simons zur mathematischen Forschung zurück und setzte seine Arbeit natürlich fort. Gemeinsam mit seinem Kollegen Sullivan verfasste er mehrere wichtige Artikel.

Simmons ist äußerst schlau und hat eine sehr umfassende Vision. Bevor er die akademische Welt verließ, hatte er insgesamt weniger als zehn Artikel veröffentlicht und seine Mitarbeiter waren allesamt Meister der Mathematik. Nach seiner Rückkehr zur mathematischen Forschung erlangte sein „Fahrer“ Sullivan, der mit ihm zusammenarbeitete, einen Meister der Mathematik und gewann zahlreiche Auszeichnungen. Sullivans jüngste Auszeichnung war der Abel-Preis, die höchste Auszeichnung in der Mathematik, die ihm am 23. März 2022 von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften verliehen wurde.

Sullivan | Quelle: Stony Brook University, State University of New York

Sullivan hat den Abel-Preis wohlverdient. Er ist einer der einflussreichsten Topologen des letzten halben Jahrhunderts und hat grundlegende Beiträge zu vielen Zweigen der Topologie geleistet. Seine Arbeit beschränkt sich jedoch nicht nur auf Topologie, sondern umfasst auch dynamische Systeme, Differentialgeometrie, mathematische Physik und mehr. Die Werkzeuge, die er in seiner Forschung verwendet, sind äußerst breit gefächert und stammen aus der Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, theoretischen Physik und anderen Bereichen. In der Begründung zur Verleihung des Abel-Preises hieß es, der Preis sei „für seine bahnbrechenden Beiträge zur Topologie im weitesten Sinne, insbesondere in Algebra, Geometrie und Dynamik“ verliehen worden, was Sullivans Forschungsstil treffend zusammenfasst.

Der Anführer am Ruder

Sullivan besuchte sein Grundstudium an der Rice University. Sein erstes Hauptfach war Chemieingenieurwesen. Nachdem er im Mathematikunterricht den Riemannschen Abbildungssatz in der komplexen Analyse kennengelernt hatte, war er zutiefst schockiert und beschloss, zum Hauptfach Mathematik zu wechseln. Er erhielt seinen Ph.D. an der Princeton University im Jahr 1966 bei William Browder (1934-). Nach seinem Abschluss arbeitete er kurz an der University of Warwick, der University of California, Berkeley, dem Massachusetts Institute of Technology und der University of Paris-Süd. Sullivan war von 1974 bis 1997 Professor auf Lebenszeit am International Institute of Advanced Studies in Sciences (IHÉS) in Frankreich und ist seit 1996 Professor an der State University of New York in Stony Brook. Seit 1981 ist er außerordentlicher Albert-Einstein-Professor an der Graduate School der City University of New York.

An der City University of New York organisierte Sullivan das berühmte Einstein Lecture Seminar und lud Mathematiker aus der ganzen Welt ein, Vorträge zu halten. Für dieses Seminar gibt es keine Zeitbeschränkung und das Publikum kann gerne Fragen stellen. Unter normalen Umständen dauert ein Bericht mehr als drei Stunden, die längste Aufzeichnung dauert sechseinhalb Stunden.

Ein Bericht mit Sullivan würde nie langweilig werden, da er immer in der ersten Reihe sitzen und fast jedes Mal Fragen stellen würde. Bei einer Konferenz, die ich besuchte, kam ein Redner aufgrund eines Terminkonflikts nicht persönlich, sondern hielt seine Rede nur per vorab aufgezeichnetem Video. Allerdings gab es ein Problem mit der Tonanlage am Konferenzort und die Tonqualität war sehr schlecht. In diesem Fall verließ die überwiegende Mehrheit der Teilnehmer die Veranstaltung vorzeitig. Nur etwa ein Dutzend Leute blieben, um dem Vortrag zuzuhören, darunter auch Sullivan. Er saß noch immer in der ersten Reihe und verfolgte das Video mit großem Interesse, auch wenn es nicht mehr möglich war, Fragen zu stellen.

Sullivan war jungen Leuten gegenüber sehr freundlich und teilte seine Ideen oft großzügig mit ihnen. Während meiner Doktorarbeit trampte ich nach einer Konferenz und stieg mit ihm in dasselbe Auto. Zu dieser Zeit musste ich zufällig einen Satz über Blattstrukturen anwenden, den Sullivan in den 1970er Jahren vorgeschlagen hatte, aber ich brauchte eine stärkere Version und nutzte daher die Gelegenheit, ihn zu fragen, ob diese stärkere Version richtig sei. Sullivan erzählte mir sofort einige seiner Ideen und schlug vor, dass ich versuchen sollte, sie zu beweisen. Aufgrund meiner eingeschränkten Fähigkeiten verstand ich nicht ganz, was er sagte, aber ich konnte seine Begeisterung und Ehrlichkeit spüren. Dies war einer der wenigen persönlichen Kontakte, die ich mit ihm hatte.

Sullivan ist großzügig, wenn es darum geht, seine jüngeren Kollegen zu loben. Beeindruckt hat mich eine Konferenz, auf der Mohammed Abouzaid einen Vortrag über die Vermutung benachbarter Lagrange-Mannigfaltigkeiten hielt. Nach dem Bericht teilte Sullivan dem Moderator mit, dass er einen Kommentar habe. Nachdem er das Mikrofon genommen hatte, stieß Sullivan nur einen Ausruf aus: „Wow!“ Das ist das außergewöhnlichste Lob für einen Reporter, das ich je erlebt habe.

Im Jahr 2011 fand in Stoney Brook eine Konferenz zu Ehren von Sullivans siebzigstem Geburtstag statt. Solche Konferenzen dauern in der Mathematik-Community normalerweise höchstens eine Woche, aber Sullivan war in so vielen Bereichen aktiv und sein Einfluss war so weitreichend, dass die Konferenz zu seinem Geburtstag zehn Tage dauerte. Es wurde vereinbart, dass am vorletzten Abend eine große Party in Simmons‘ Haus stattfinden sollte. Alle Teilnehmer treffen sich vor dem Veranstaltungsort und fahren gemeinsam mit dem Bus. Dies hatte zur Folge, dass an diesem Nachmittag plötzlich viele unbekannte Gesichter im Veranstaltungsort zu sehen waren. Viele von ihnen sahen nicht so aus, als würden sie Mathematik studieren. Bei den meisten handelte es sich um Freunde und Verwandte der Teilnehmer, die gemeinsam essen, trinken und die Villa des Milliardärs besichtigen wollten.

Am Ende wurde die Zahl der Bankettteilnehmer vorsichtigen Schätzungen zufolge mehr als doppelt so hoch wie die übliche Teilnehmerzahl, was die Konferenzorganisatoren stark unter Druck setzte. Abgesehen von allem anderen reicht es bei weitem nicht aus, im Voraus lediglich eine Stretchlimousine für die Abholung und den Rücktransport zu bestellen. Nach dem letzten Bericht am Nachmittag kam eine Sekretärin auf die Bühne und sagte, es seien zu viele Leute da und es sei unmöglich, alle beim Bankett unterzubringen. Damit Herr Simmons in Zukunft Bankette für alle ausrichten kann, müssen die Sekretärinnen sie dieses Mal überprüfen, und nur diejenigen, die sie genehmigen, dürfen in den Bus einsteigen. Natürlich waren viele Menschen sehr enttäuscht, aber sie hatten auch Verständnis für die Bedenken der Organisatoren.

Zu diesem Zeitpunkt sah Sullivan grimmig aus. Er nahm sein Mobiltelefon und verließ telefonierend den Veranstaltungsort. Nach einer Weile kehrte Sullivan zum Veranstaltungsort zurück und winkte: „Kein Problem, jeder kann gehen!“ Angesichts von Sullivans Stil würde er Simmons wahrscheinlich direkt anrufen und ihn bitten, einer Ausweitung des Banketts zuzustimmen. Letztendlich schickten die Organisatoren viel mehr Fahrzeuge und stellten mehr Personal und Material bereit, um den Erfolg des Banketts sicherzustellen und sowohl den Gästen als auch den Gastgebern eine angenehme Atmosphäre zu bieten.

Man kann sagen, dass Sullivan das Temperament eines Anführers hat. Er verfügt nicht nur über herausragende akademische Leistungen, sondern auch über eine charismatische Führungspersönlichkeit. Aus dieser Perspektive war Simmons Beschreibung von Sullivan als „Fahrer“ nicht ganz im Scherz. Er ist zweifellos ein führender Kopf der mathematischen Welt.

Rationale Homotopietheorie

Sullivans früheste Arbeit befasste sich mit sehr reiner Topologie. In seiner Doktorarbeit entwickelte Sullivan die Theorie der Chirurgie in der Topologie erheblich weiter und nutzte dieses Werkzeug, um die „Hauptvermutung“ der kombinatorischen Topologie in die Berechnung spezifischer Kohomologieklassen umzuwandeln. Diese 200 Seiten umfassende Doktorarbeit wurde nicht offiziell in einer wissenschaftlichen Zeitschrift veröffentlicht. Sullivan veröffentlichte lediglich einen dreiseitigen Forschungsbericht im Bulletin of the American Mathematical Society, der ihm 1971 den Veblen-Preis einbrachte. (Gemäß den Regeln für die Verleihung des Veblen-Preises muss die prämierte Arbeit innerhalb der letzten sechs Jahre in einer offiziellen Zeitschrift veröffentlicht worden sein. Sullivans tatsächlich preisgekrönte Arbeit war in einer nicht offiziell veröffentlichten Doktorarbeit enthalten; der Preis galt daher diesem veröffentlichten Forschungsbericht.)

Während der Verteidigung von Sullivans Doktorarbeit fragte das Komiteemitglied Norman Steenrod (1910–1971): „Ihre Theorie ist großartig, aber wie berechnen Sie diese Kohomologieklassen?“ Sullivan kannte die Antwort damals nicht und konnte sich nur beschweren: „Niemand hat die gleiche Frage zur Hirsch-Mazur-Glättungstheorie gestellt!“

Sullivan hat Stingrods Reaktion damals nicht aufgezeichnet, aber er war mit der Antwort offensichtlich nicht zufrieden. Während der anschließenden Schiffsreise nach England grübelte er über das Problem nach und warf seine Notizen aus Verzweiflung einmal ins Meer. Schließlich fand er eine Teilantwort, die ihn zu einem seiner bedeutendsten Werke inspirierte: der rationalen Homotopietheorie.

Es gibt zwei grundlegende Invarianten in der Topologie: Homologiegruppen und Homotopiegruppen. Darunter gibt es fertige Algorithmen zur Berechnung der Homologiegruppe, aber die Berechnung der Homologiegruppe ist sehr schwierig und es gibt keine allgemeine Berechnungsmethode. Im Jahr 1951 entwickelte der französische Mathematiker Jean-Pierre Serre (1926-) die Methode der „Spektralsequenz“ und berechnete damit die Homotopiegruppe der rationalen Koeffizienten der Kugel (abgekürzt als rationale Homotopiegruppe). Searle gewann 1954 die Fields-Medaille und war damit der jüngste Gewinner bis dahin.

Searles Arbeit erinnert uns daran, dass Berechnungen auf rationalen Homotopiegruppen viel einfacher sind als Berechnungen auf allgemeinen Homotopiegruppen. Um 1969 begründeten Sullivan und Quillen (Daniel Quillen, 1940–2011, Träger der Fields-Medaille 1978) die Theorie der rationalen Homotopie und ermöglichten damit die Berechnung rationaler Homotopiegruppen. Sullivans Ansatz unterschied sich von dem von Quillen und gilt allgemein als besser berechenbar. Laut Étienne Ghys, einem Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften, war Sullivans Schöpfung der rationalen Homotopietheorie „ein wunderbares Kunstwerk“ und „ein großer Moment in der Geschichte der Mathematik“.

Bei der Etablierung der rationalen Homotopietheorie kombinierte Sullivan Ideen und Methoden aus vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik. Er verallgemeinerte die Differentialform von Differentialmannigfaltigkeiten auf Räume ohne Differentialstrukturen und stellte den entsprechenden Satz von de Rham auf. Er wandte die Ideen der „Lokalisierung“ und „Vollständigkeit“ aus der algebraischen Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie auf den topologischen Raum an und führte die in der Zahlentheorie häufig vorkommende „absolute Galois-Gruppe“ in die Topologie ein. Mit dieser algebraischen Methode bewies er unabhängig die Adams-Vermutung in der Homotopietheorie. (Quillenn hat die Adams-Vermutung auch mit einem anderen Ansatz bewiesen.)

Sullivans MIT-Vorlesungsnotizen | Quelle: Amazon

Der Großteil von Sullivans Arbeiten zur rationalen Homotopietheorie existierte zunächst nur in Form von Vorlesungsmitschriften und nur ein kleiner Teil wurde als Artikel in einer Zeitschrift veröffentlicht. Seine „MIT Lecture Notes“ aus dem Jahr 1970 kursierten mehr als 30 Jahre lang in der Runde und wurden erst 2005 in einem Buch zusammengestellt. Dieses Phänomen ist unter Mathematikmeistern keine Seltenheit. Sullivan war auf dem Höhepunkt seiner Schaffenskraft und verfügte über eine Fülle neuer Ideen. Für solche Spitzenmathematiker ist es besser, neue Gebiete zu erforschen und die Details anderen zu überlassen, anstatt Zeit und Energie in die Feinabstimmung ihrer Arbeiten und die Beantwortung zahlreicher Fragen von Gutachtern zu investieren. Auf diese Weise leisten sie einen größeren Beitrag zur Mathematik.

Freundschaft zwischen Meistern

Im Jahr 1974 hielt Sullivan auf dem Internationalen Mathematikerkongress einen Plenarvortrag mit dem Titel „Inside and Outside of Manifolds“. Er wies darauf hin, dass nach der Etablierung der rationalen Homotopietheorie die topologische Klassifizierung hochdimensionaler einfach zusammenhängender Mannigfaltigkeiten nahezu abgeschlossen sei. Die nächsten Forschungsbereiche, auf die man sich konzentrieren sollte, sind dynamische Systeme, blattartige Strukturen usw., die die internen geometrischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten besser widerspiegeln können. Er ergriff persönlich Maßnahmen und verbrachte die nächsten zwanzig Jahre mit dem Studium der geometrischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten, einschließlich dynamischer Systeme, hyperbolischer Geometrie, Gruppenwirkungen und so weiter. Seine Arbeit auf diesem Gebiet wurde stark von William Thurston (1946–2012, Gewinner der Fields-Medaille 1983) beeinflusst.

Thurston in seiner Jugend | Quelle: philosophyofscienceportal.blogspot.com

1971 besuchte Sullivan Berkeley. Eines Tages hörte er sich einen Vortrag über zweidimensionale dynamische Systeme an. Nachdem der Redner seine Rede beendet hatte, hatten die in der ersten Reihe sitzenden älteren Mathematiker keine Einwände. Ein junger Mann mit großem Bart und langen Haaren in der hinteren Reihe stand jedoch auf und sagte, dass der im Bericht verwendete Algorithmus falsch sei. Dann ging der junge Mann zum Podium und zeichnete ein Beispiel an die Tafel. Wendet man den Algorithmus im Bericht auf dieses Beispiel an, wird die Grafik immer komplexer, sodass der Algorithmus nicht mehr funktioniert. Bei diesem jungen Mann handelte es sich um Thurston, der zu dieser Zeit noch Doktorand war, während Sullivan bereits Veblen-Preisträger und einer der weltweit führenden Topologen war. Trotzdem bewunderte Sullivan weiterhin Thurstons geometrische Intuition.

Einige Tage später wurde Sullivan von Berkeley-Studenten eingeladen, im Gebäude ein Wandgemälde zu malen. Thurston zeichnete eine sehr komplizierte Kurve an die Wand und fragte Sullivan: „Denken Sie, dass es sich lohnt, das zu zeichnen?“

Sullivan fragte: „Was ist das?“

"Eine einfache geschlossene Kurve."

„Sie können darauf wetten, dass es unterhaltsam genug ist!“

Also verbrachten Thurston und Sullivan mehrere Stunden damit, das Wandgemälde fertigzustellen. Das Gemälde blieb fast vierzig Jahre lang im Mathematikgebäude von Berkeley, bevor es überdeckt wurde.

Wandgemälde von Thurston und Sullivan | Quelle: Mitteilungen des AMS

Eine einfache geschlossene Kurve hat nur einen Zweig, kann aber sehr komplex sein. Damals war dies nicht einmal Spitzentopologen wie Sullivan bewusst. Thurston erklärte Sullivan, wie man eine solche Kurve konstruiert und wie man sie schön zeichnet. Für Sullivan war dies zweifellos eine Taufe des geometrischen Denkens. Sullivan sagte, dass er Thurstons Arbeit zur Oberflächenkartierung Jahre später ohne große Mühe verstehen konnte, weil er die Ideen in den wenigen Stunden, die er mit dem Bemalen der Wand verbrachte, gelernt hatte.

In den späten 1970er Jahren führte Thurston die hyperbolische Geometrie in die Untersuchung der niedrigdimensionalen Topologie ein und verknüpfte die niedrigdimensionale Topologie mit vielen Bereichen wie der hyperbolischen Geometrie, Kleingruppen, der Teichmüller-Theorie und komplexen dynamischen Systemen. Sullivan hat in diesen verwandten Bereichen viel grundlegende Arbeit geleistet. Sein wichtigster Beitrag war nicht der Beweis bestimmter Theoreme, sondern der Vorschlag eines grundlegenden Leitprinzips aus philosophischer Sicht – „Sullivans Wörterbuch“.

Die früheste Version von Sullivans Wörterbuch, aus seiner Originalarbeit

Sullivan entdeckte, dass Kleingruppen und komplexe dynamische Systeme viele Ähnlichkeiten aufweisen und viele Konzepte und Theoreme einzeln zugeordnet werden können. Mithilfe dieser Entsprechung, die als „Sullivans Wörterbuch“ bekannt ist, können wir versuchen, bestehende Konzepte und Theorien eines Fachgebiets auf ein anderes Fachgebiet zu übertragen oder die Denkmethoden eines Fachgebiets zu nutzen, um unbekannte Probleme eines anderen Fachgebiets zu lösen. „Sullivans Wörterbuch“ hat eine große Menge an Forschung zu Kleingruppen und komplexen dynamischen Systemen hervorgebracht und wurde erfolgreich zur Lösung vieler schwieriger Probleme eingesetzt, wodurch das Gesicht dieser beiden Disziplinen grundlegend verändert wurde. Sullivan selbst nutzte dieses Prinzip, um ein 65 Jahre altes Problem von Fatou und Julia, den Begründern komplexer dynamischer Systeme, zu lösen. Auch Thurstons Geometrisierungsprogramm war stark von Sullivans Wörterbuch beeinflusst.

Die Mandelbrot-Menge ist ein wichtiges Objekt bei der Untersuchung komplexer dynamischer Systeme und hat auch einen Platz in Sullivans Wörterbuch. Quelle: Wikipedia

Wie Sullivans wichtigstes Werk blieb Thurston unveröffentlicht und existierte lediglich als Vorlesungsmitschrift an der Princeton University. In dieser Vorlesung entdeckte Thurston das Konzept der „Kreispackung“ wieder. Allerdings war die Mathematik in Thurstons Vorlesungsnotizen so umfangreich, dass das Ausfüllen von Kreisen von der akademischen Gemeinschaft zunächst nicht ernst genommen wurde. In einer Vorlesung im Jahr 1985 vermutete Thurston, dass die Kreispackung einen einfachen konstruktiven Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes in der komplexen Analyse liefern könnte. Thurstons Vermutung wurde 1987 von Burt Rodin und Sullivan bewiesen. Von diesem Zeitpunkt an erhielt das Füllen von Kreisen große Aufmerksamkeit und entwickelte sich allmählich zu einem eigenständigen Gebiet mit zahlreichen Anwendungen in der Computervisualisierung.

Ein Beispiel für das Füllen von Kreisen. Die Kreisfüllung innerhalb des Dreiecks und des Kreises in der Abbildung weist das gleiche Kombinationsmuster auf, aber die Kreise innerhalb des Dreiecks haben die gleiche Größe, während die Kreise innerhalb des Kreises unterschiedliche Größen aufweisen.丨Bildquelle: Mitteilungen des AMS

Die Freundschaft zwischen Sullivan und Thurston dauerte mehr als vierzig Jahre und beide profitierten sehr davon. Nachdem Thurston an einer Krankheit gestorben war, schrieb Sullivan in einem Rutsch seine Memoiren und erzählte darin elf Geschichten, die sich während ihrer Beziehung zugetragen hatten.

Einfluss der Physik

Seit den 1980er Jahren hat die Physik einen unerwarteten Einfluss auf die reine Mathematikforschung gehabt. Die bekanntesten Beispiele in dieser Hinsicht sind Simon Donaldson (1957-, Gewinner der Fields-Medaille 1986), der die Eichfeldtheorie nutzte, um die Invarianten vierdimensionaler Differentialmannigfaltigkeiten zu konstruieren, und der Einfluss der Stringtheorie, die von Physikern wie Witten (1951-, Gewinner der Fields-Medaille 1990) entwickelt wurde, auf viele Bereiche der Mathematik. Auch bei diesem großen Trend, der durch die Physik ausgelöst wurde, stand Sullivan an der Spitze seiner Zeit.

Im Jahr 1989 arbeitete Sullivan mit Donelson zusammen, um die Donelson-Theorie auf vierdimensionale quasikonforme Mannigfaltigkeiten auszuweiten. Dies ist eine seiner wenigen topologischen Arbeiten aus den 1980er Jahren.

Im Jahr 1999 definierten Sullivan und seine jetzige Frau Moira Chas, teilweise inspiriert von Witten, die „String-Topologie“ und entdeckten die obige algebraische Lie-Struktur. Der Name „Stringtopologie“ lässt darauf schließen, dass ihre Ideen aus der Stringtheorie stammen. (Das einfachste Beispiel einer Stringtopologie wurde zuvor von Thurstons Schüler William Goldman entdeckt.) Die Stringtopologie findet breite Anwendung sowohl in der symplektischen Geometrie als auch in der Quantenfeldtheorie und ist ein aktueller Forschungsschwerpunkt.

Sullivan ist ein Mathematiker, der der Physik gegenüber aufgeschlossen ist. Er interessiert sich für viele Bereiche der Physik, nicht nur für grundlegende Theorien wie die Eichfeldtheorie und die Stringtheorie. Seine Arbeit zur Feigenbaum-Konstante ist ein Beispiel.

Im Jahr 1975 entdeckte Mitchell Feigenbaum (1944–2019), ein Physiker am Los Alamos National Laboratory, die „Periodenverdoppelungsbifurkation“ durch numerische Berechnungen, während er die Iteration der Einzelpeak-Abbildung untersuchte. Dies ist ein wichtiges Chaosphänomen mit breiter Anwendung in vielen Bereichen der Physik. Für diese Arbeit wurde Feigenbaum 1986 mit dem Wolf-Preis für Physik ausgezeichnet.

Bifurkationsdiagramm einer unimodalen Abbildung. Die Grenze des Verhältnisses der Länge jeder Gabelung zur Länge der nächsten Gabelung ist die erste Feigenbaum-Konstante, und die Grenze des Verhältnisses der Breite jeder Gabelung zur Breite der nächsten Gabelung, die entsprechend ausgewählt wird, ist die zweite Feigenbaum-Konstante. Quelle: Wikipedia

In der Periodenverdoppelungs-Bifurkation treten zwei Konstanten 4,669201... und 2,502907... auf, die als erste bzw. zweite Feigenbaum-Konstante bezeichnet werden. Feigenbaum und andere verwendeten die von Physikern allgemein verwendete Methode der „Renormierung“ und bewiesen mithilfe von Computern, dass diese beiden Konstanten in einer großen Klasse dynamischer Systeme den gleichen Wert haben und universelle Konstanten wie π und e sind. Geometrisch bedeutet dies, dass die Bifurkationsdiagramme in diesen dynamischen Systemen ähnliche Formen haben.

Aus der Sicht eines Mathematikers sind die Beweise der Physiker jedoch nicht streng und die Computerunterstützung erschwert es Menschen, ihre Bedeutung wirklich zu verstehen. Viele Experten für dynamische Systeme begannen mit der Suche nach einem rein mathematischen Beweis für die Universalität der Feigenbaum-Konstante. Sullivan spielte dabei eine Schlüsselrolle. Er skizzierte einen mathematischen Beweis unter Verwendung der Teichmüller-Theorie und bewies die Konvergenz der Renormierungsabbildung. Sein Student Curtis McMullen (1958-, Gewinner der Fields-Medaille 1998) bewies, dass dieses Problem in Sullivans Wörterbuch Thurstons Existenztheorem der hyperbolischen Struktur auf dem Abbildungstorus entspricht. Schließlich lieferte Sullivans Kollege in Stony Brook, der ukrainische Mathematiker Mikhail Lyubich (1959-), im Jahr 1999 den ersten mathematischen Beweis der Universalität.

Sullivan hat sich schon immer sehr für Strömungsmechanik interessiert. Während seines Studiums an der Rice University absolvierte er in den Sommerferien häufig Praktika bei Ölfirmen, wo er mithilfe von Computern die linearisierten Navier-Stokes-Gleichungen lösen musste. In den letzten drei Jahrzehnten hat Sullivan aus der Perspektive der algebraischen Topologie über die Strömungsmechanik, insbesondere die Navier-Stokes-Gleichungen, nachgedacht. Dies ist ein übermäßig komplexes Feld. Obwohl Sullivan zahlreiche Arbeiten, auch in Top-Journalen, veröffentlicht hat, liegen ihm bisher keine Zwischenergebnisse vor, die ihn zufriedenstellen. Er selbst sagt, er verstehe das Thema immer besser, versuche es aber immer noch.

Oft heißt es, Mathematik sei ein Fach für junge Leute. Doch Sullivan, der über 80 Jahre alt ist, ist immer noch in der wissenschaftlichen Forschung tätig, informiert sich aktiv über die neuesten Entwicklungen in verschiedenen Bereichen und versucht, weitere Forschungsrichtungen zu erkunden. Für Sullivan gibt es keine verbotenen Bereiche und kein Ende der mathematischen Erforschung.

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