Logarithmen: Die mathematische Entdeckung, für die alle Astronomen dankbar sein sollten

Logarithmische Tabellen sind seit Jahrhunderten ein sehr nützliches Werkzeug für Wissenschaftler und Ingenieure. Aufgrund ihrer engen Verbindung zu Exponentialfunktionen sind Logarithmen auch heute noch mathematisch äußerst interessant.

Von Richard Elwes

Übersetzungen | Qi Ruihong, Fang Chao, Yu Huan

Im Laufe der Jahre haben sich viele Menschen angewöhnt, eine Logarithmentabelle griffbereit zu haben, die ihnen bei Multiplikations- und Divisionsoperationen hilft. In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurden die Logarithmentafeln durch tragbare Rechner endgültig der Vergangenheit angehören. Doch diese faszinierende Entdeckung im tiefen mathematischen Bereich der Reihen- und Infinitesimalrechnung stellte sicher, dass die Logarithmen selbst nie obsolet werden würden.

Im späten 16. Jahrhundert begann John Napier, Zahlen zu untersuchen, die er zunächst „künstliche Zahlen“ nannte. Er entdeckte einen Weg, die komplexe Operation der Multiplikation in die relativ einfache Operation der Addition umzuwandeln. Um das Produkt zweier Zahlen zu finden, beispielsweise 4587 und 1962, berechnete er zunächst die künstlichen Zahlen der beiden Zahlen und ermittelte deren Summe. Führen Sie dann die inverse künstliche Zahlenoperation mit der Summe dieser beiden künstlichen Zahlen durch, d. h. berechnen Sie die ursprüngliche Zahl so, dass ihre künstliche Zahl diese Summe ist. Obwohl dieser Vorgang keine Multiplikation beinhaltet, ist das Ergebnis tatsächlich das Produkt der beiden ursprünglichen Zahlen – 8.999.694.

Seismographen werden verwendet, um die Stärke von Erdbeben zu messen. Die international verwendete Richterskala zur Messung der Erdbebenintensität ist logarithmisch: Ein Erdbeben der Stärke 3 ist zehnmal so stark wie ein Erdbeben der Stärke 2.

Napiers Logarithmus

Bald gab Napier seinen künstlichen Zahlen einen neuen und besseren Namen: Logarithmen. Heute wissen wir, dass Logarithmen lediglich die Umkehrung der Potenzierung sind. Unter Potenzierung versteht man das wiederholte Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. „2 hoch 3“ bedeutet also, drei Mal mit 2 zu multiplizieren.

Briggs' logarithmische Tabelle

Kurz nachdem John Napier die Logarithmen erfunden hatte, begann Henry Briggs, sie in ein nützliches Werkzeug umzuwandeln. Da wir zur Darstellung von Zahlen das Dezimalsystem verwenden, entschied sich Briggs, die Basis 10 als Basis für Logarithmen zu verwenden und machte sich daran, eine „Logarithmentabelle“ zu erstellen – die Logarithmen aller ganzen Zahlen von 1 bis 1000. Im Laufe der nächsten Jahre verallgemeinerten Briggs und andere Mathematiker die Tabelle auf größere Zahlenmengen.

Natürlich handelt es sich bei den meisten ganzen Zahlen nicht um ganzzahlige Logarithmen, daher müssen die Forscher den von ihnen ermittelten Logarithmen eine gewisse Genauigkeit zuschreiben. Im späten 18. Jahrhundert beaufsichtigte Gaspard de Prony die Erstellung einer außergewöhnlichen Reihe mathematischer Tabellen, 17 große Doppelbände, die die Logarithmen positiver ganzer Zahlen bis 200.000 mit einer Genauigkeit von bis zur 19. Dezimalstelle (bei größeren Zahlen bis zur 24.) enthielten.

Eine der frühesten Logarithmentabellen wurde in John Napiers Abhandlung „A Description of a Marvelous Table of Logarithms“ aus dem Jahr 1614 verwendet. John Napier arbeitete mit Logarithmen, die als „natürliche Logarithmen“ bekannt wurden, während Henry Briggs mit Logarithmen zur Basis 10 arbeitete, die als „dekadische Logarithmen“ bekannt wurden.

Natürlicher Logarithmus

Seit ihrer Entdeckung durch Napier sind Logarithmen für Mathematiker sehr nützlich. Der brillante Wissenschaftler Pierre-Simon Laplace sagte: „Die Entdeckung der Logarithmen hat durch die Einsparung von Arbeit die Lebenserwartung der Astronomen verdoppelt.“ Die mathematische Bedeutung von Logarithmen ist jedoch wichtiger und weitreichender als ihre Verwendung als Rechenwerkzeug. Dies wurde erstmals im Jahr 1650 von Pietro Mengoli erkannt. Seine Arbeit über Reihen verband sich unerwartet mit seinem Interesse an Logarithmen.

Diese alternierende Reihe hat eine bestimmte Grenze, die ungefähr 0,693147 entspricht. Mangoli hat bewiesen, dass diese Grenzzahl der natürliche Logarithmus von 2 ist (normalerweise als In2 ​​geschrieben, aber als log2 gelesen). Der natürliche Logarithmus ist wie jeder andere Logarithmus, außer dass er eine spezielle Basis hat, nämlich e, die ungefähr 2,71828 beträgt. Tatsächlich erlangte eine der wichtigsten Funktionen der Mathematik, die Exponentialfunktion, durch natürliche Logarithmen und Mangolis Schlussfolgerung an Bedeutung.

Tatsächlich gab die Suche nach genaueren Logarithmentabellen der Entwicklung der Theorie der abstrakten Reihen einen starken Impuls. Im Jahr 1668 veröffentlichte Nikolaus Mercator ein Werk mit dem Titel „Zur Technik der Logarithmen“, in dem er die Reihenformel für natürliche Logarithmen entdeckte:

Dieser schöne Satz ist eine Verallgemeinerung von Mangolis Ergebnis, das dem Sonderfall x=1 entspricht.

Infinitesimalrechnung und Logarithmen

Der Satz von Mercator wies auf die „Natürlichkeit“ natürlicher Logarithmen hin, die Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz erzählt jedoch eine umfassendere Geschichte.

Dieser Artikel darf aus dem 26. Kapitel „Logarithmen“ von „Eine kurze illustrierte Geschichte der Mathematik: 100 wichtige Durchbrüche, die Sie in der Welt der Mathematik kennen müssen“ entnommen werden.

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