Was ist die größte Zahl, die Ihnen einfällt? Es stellt sich heraus, dass Zählen auch eine Wissenschaft ist

Wenn man ein Kind fragt, welche Zahl ihm am größten ist, wird es oft „fünfzig Billionen“ herunterrasseln ...

Eine solche Zahl ist natürlich nach alltäglichen Maßstäben groß, vielleicht größer als die Zahl aller Lebewesen auf der Erde oder aller Sterne im Universum. Doch diese Zahlen verblassen im Vergleich zu den wirklich großen Zahlen, mit denen Mathematiker konfrontiert werden.

„Googologie“ ist eine Unterdisziplin, die sich auf die Untersuchung großer Zahlen spezialisiert ( bitte beachten Sie, dass es „Googologie“ und nicht „Googology“ heißt ).

Vor einigen Jahren veranstaltete das MIT eine „Big Numbers Championship“.

Die Regeln sind sehr einfach. Zwei Personen gehen zur Tafel und schreiben abwechselnd eine Zahl auf. Derjenige mit der größeren Zahl gewinnt. Es gibt einige Einschränkungen, z. B. können Sie nicht „die Zahl einer anderen Person + 1“ oder „unendlich“ schreiben, aber im Großen und Ganzen können Sie schreiben, was Sie wollen, solange die Zahlen klar definiert sind.

Das Poster der „Big Numbers Championship“ zeigt unten links den Champion Rayo. Merken Sie sich diese Person, da Sie später danach gefragt werden.

Wie kommt es also, dass das Zählen zu einer Wissenschaft und sogar zu einem Wettbewerb geworden ist?

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Das erste Gehirn, das über große Zahlen nachdachte

Archimedes gilt als einer der ersten Menschen, der sich ernsthaft mit Problemen mit großen Zahlen beschäftigte. Er wollte wissen, wie viele Sandkörner es auf der Welt gibt und wie viele Sandkörner in den gesamten Weltraum passen. In seinem Artikel „The Sand Counter“ schrieb er:

Ich weiß, dass manche Leute denken, die Zahl der Sandkörner sei unendlich, aber es gibt auch andere, die nicht glauben, dass die Zahl der Sandkörner unendlich ist, sondern dass es keine Zahl gibt, die sie überschreiten kann.

Um den Weg zu ebnen, begann Archimedes , das damals verfügbare Benennungssystem für große Zahlen zu erweitern – eine zentrale Herausforderung, der sich seither alle Mathematiker stellen mussten, die versucht haben, immer größere Ganzzahlen zu definieren.

Die Griechen nannten 10.000 murious , was „ unzählbar “ bedeutet. Archimedes verwendete „unendlich zahllos“ als Ausgangspunkt seiner Forschung, also 100.000.000, was in modernen Exponentialbegriffen 108 entspricht.

Archimedes nannte jede Zahl, die „unendlich unendlich“ erreicht, eine „ Zahl erster Ordnung “, und die Zahl, die „unendlich unendlich“ multipliziert mit „unendlich unendlich“ (1016) erreicht, eine „ Zahl zweiter Ordnung “ und so weiter.

Mit dieser Methode gelang es Archimedes, Zahlen mit 800.000.000 Ziffern zu beschreiben, was er als „ erste Stufe “ bezeichnete. Die Zahl 10800000000 selbst wird als Beginn der „ zweiten Phase “ angesehen, und der Prozess beginnt immer wieder von vorne. Jede Stufe ist 108 mal größer als die vorherige Stufe, bis zum Ende unzähliger Zyklen, schließlich kann er eine riesige Zahl bekommen

1080.000.000.000.000.000 oder „ unendlich oft unendlich oft unendlich oft “.

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Geheimnisvolle orientalische Macht

Was große Zahlen betrifft, kann Archimedes in der westlichen Welt als Zauberer angesehen werden, doch in der östlichen Welt machten die Gelehrten bald große Fortschritte bei der Erforschung großer Zahlen.

Bereits im 3. Jahrhundert wurde im indischen Sanskrit-Text Prasanna Sutra ein Zahlensystem eingeführt, das mit Koti (10.000.000 auf Sanskrit) begann .

Vom Koti abwärts gibt es eine lange Zahlenfolge, von denen jede hundertmal größer ist als die vorherige: Hundert Kotis sind ein Ayuta , hundert Ayutas sind ein Niyuta und so weiter bis Tallakshana , das aus einer Eins gefolgt von 53 Nullen besteht. Gleichzeitig nannte er die größere Zahl dhvajhagravati, was 1099 entsprach, bis uttaraparamuarajapravesa, was 10421 entsprach.

Ein anderer buddhistischer Text, das Avatamsaka Sutra, beschreibt ein Universum mit unendlich vielen sich überschneidenden Schichten. In Band 30 erläutert Buddha erneut die Bildung großer Zahlen, beginnend mit 1010, das Quadrieren ergibt 1020, das erneute Quadrieren ergibt 1040 ... bis hin zu 10101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240. Wenn Sie diese Zahl quadrieren, erhalten Sie „ etwas, das zahllos ist “. Er fuhr fort, größere Zahlen als „unermesslich“, „grenzenlos“, „unvergleichlich“, „unzählig“, „unvorstellbar“, „unermesslich“ und „unaussprechlich“ zu bezeichnen, bis er den endgültigen Höhepunkt von „ unaussprechlich und unaussprechlich “ erreichte – 1010×(2^122). Diese Zahl stellt die höchste in Archimedes‘ Schriften erwähnte Zahl, die 1.080.000.000.000.000.000 lautete, in den Schatten.

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Das Universum kann keine riesigen Zahlen mehr enthalten

Im Jahr 1920 bat der amerikanische Mathematiker Edward Kasner seinen neunjährigen Neffen Milton Sirota, sich einen Namen für die Zahl 1 gefolgt von 100 Nullen auszudenken. Sirota kam auf „ Googol “. Nachdem „Googol“ in Kasners gemeinsam mit James Newman verfasstem Buch „Mathematics and the Imagination“ erwähnt wurde, fand es Eingang in den allgemeinen Wortschatz.

Sirota prägte auch den Begriff „ Googolplex “, was so viel bedeutet wie „Schreibe Nullen nach Einsen, bis du müde wirst.“ Wenn wir diese Untertreibung verfeinern, kann ein Googolplex präzise wie folgt ausgedrückt werden: Er besteht aus 10 Googol oder einer Eins gefolgt von einem Googol aus Nullen. Der Googolplex ist so groß, dass es auf der Erde nicht genug Papier gibt, um ihn aufzuschreiben. Selbst wenn jede Null so klein wie ein Proton oder Elektron wäre, gäbe es im gesamten beobachtbaren Universum nicht genügend Ziffern, um alles aufzuschreiben.

„Im bekannten Universum gibt es nicht genug Papier, um alle Nullen in einem Googolplex zu schreiben.“

Die Werte von Googolplex, Zoogol und Zoogolplex, abgeleitet von Googol

Der Googolplex ist größer als jede Zahl mit einem Namen in der Antike, einschließlich der „unaussprechlichen und unaussprechlichen Zahl“. Sie ist jedoch kleiner als eine Zahl – die „ Skeeves-Zahl “. Es wurde 1933 vom südafrikanischen Mathematiker Stanley Skives im Zuge seiner Untersuchung von Primzahlen entwickelt. Es bezieht sich auf die Obergrenze des Problems der Primzahlverteilung und der Wert beträgt 1010^8852142197543270606106100452735038,55.

Der berühmte britische Mathematiker Godfrey Harold Hardy beschrieb die „Skeeves-Zahl“ als „ die größte Zahl mit praktischer Bedeutung in der Geschichte der Mathematik “, und diese enorme Obergrenze selbst erfordert die Riemann-Hypothese.

Um nicht vom Gebiet der reinen Mathematik überholt zu werden, haben Physiker auch im Bereich der Physik einige große Zahlen vorgeschlagen, um einige ungewöhnliche Probleme zu lösen. Ein früher Vorreiter der Physik in diesem Kampf der großen Zahlen war der französische Mathematiker, theoretische Physiker und Universalgelehrte Henri Poincaré . In vielen seiner Arbeiten stellte er die Frage: Wie lange dauert es genau, bis ein physikalisches System in einen bestimmten Zustand zurückkehrt? Diese Zeit wird als „ Wiederkehrzeit “ bezeichnet. Der kanadische Theoretiker Don Page (ein ehemaliger Schüler von Stephen Hawking) schätzt, dass die Poincaré-Wiederkehrzeit für das beobachtbare Universum 1010^10^10^2,08 Jahre beträgt, eine Zahl zwischen dem Googolplex und der Skives-Zahl.

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Neue Symbole? Neue Zaubersprüche!

Als Exponentialsymbole zu häufig und für den Schriftsatz unpraktisch wurden, führte der amerikanische Informatiker Donald Knuth die „ Aufwärtspfeilnotation “ ein. In dieser Nomenklatur werden Exponentialoperationen durch einen einzelnen nach oben gerichteten Pfeil ↑ dargestellt, beispielsweise kann googol(10100) als 10↑100 und 33 als 3↑3 dargestellt werden. Wiederholte Exponentialoperationen (für die wir keine alltäglichen Symbole haben) werden durch zwei nach oben gerichtete Pfeile ↑↑ dargestellt und als „ iterative Potenzen “ bezeichnet. Dies ist sehr rechenintensiv. Nehmen wir als Beispiel die sehr kleine Zahl 3:

3↑↑3=33^3 =327

Sein Wert ist: 7.625.597.484.987

Von der exponentiellen zur iterativen Leistung führt das Hinzufügen eines Aufwärtspfeils zu einem dramatischeren Wachstum. Wenn diese Berechnung so weitergeht, kann die Länge dieses Kraftwerksturms bis zur Sonne reichen. Diese Zahl wird Tritri genannt und ist viel größer als alle Zahlen, die wir bisher genannt haben, und liegt einfach jenseits des Vorstellungsvermögens von uns gewöhnlichen Wesen. Aber wir fangen gerade erst an . Obwohl Tritri so großartig ist, ist es im Vergleich zum großen Gipfel der Grammatik immer noch wie ein unbedeutendes Staubkorn.

Ronald Graham

Mathematiker, Akrobat, Zauberer

Ein echter „Slash-Mensch“

Seine Frau ist Jin Fangrong, eine chinesische Expertin für Graphentheorie.

Daher nahm er auch den chinesischen Namen „Ge Liheng“ an.

Fügen wir der Zahl, die wir gerade gesehen haben, einen Aufwärtspfeil hinzu, und wir sehen: 3↑↑↑↑3=3↑↑https://pqnoss..cn↑↑3=3↑↑↑tritri .

Die erste Ebene ist 3 .

Die zweite Schicht ist 3https://pqnoss..cn3=7,625,597,484,987 .

Die dritte Schicht ist 3https://pqnoss..cn3↑3…↑3——das heißt, es gibt 7.625.597.484.987 3er (das heißt Tritri) .

Die vierte Schicht ist 3https://pqnoss..cn3↑3…↑3, also Tritri 3 .

Analog dazu ist 3↑↑↑↑3 der Kraftturm von Tritri.

↑↑↑, das ist ein unglaublich großer Fortschritt. Bisher sind wir jedoch nur bis G1 geklettert, der ersten Zahl in der Reihe der Graham-Zahlen und dem Ausgangspunkt der Graham-Zahlen selbst. Was ist G2? 3↑↑↑↑…↑3, G1 Pfeil nach oben. Schon auf den ersten Blick ist die Zahl etwas schwindelerregend. Wir können weiterhin spekulieren, dass G3 G2-Aufwärtspfeile und G4 G3-Aufwärtspfeile hat … und wie groß ist die Graham-Zahl? Es ist G64 .

Und es ist immer noch nicht die größte Zahl, die der Mensch derzeit schaffen kann.

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„Theoretische Zahlen“

Erinnern Sie sich an den großen Zahlen-Showdown am Anfang?

Dieser Mathe-Wettstreit, eine Mischung aus Comedy, komplexer Mathematik, Logik und philosophischem Denken, ist äußerst dramatisch und unterhaltsam. Der Champion ist der MIT-Philosoph Agustín Rayo (Spitzname „Das mexikanische Wuchermonster“), und der Herausforderer ist der Philosoph Adam Elgar von der Princeton University (Spitzname „Dr. Evil“). Die beiden wetteifern darum, wer eine größere Ganzzahl definieren kann.

Elgar eröffnete mit der Nummer 1, aber Rayo konterte schnell mit dem gesamten Einser-Board. Um nicht übertroffen zu werden, löschte Elgar sofort alles außer den ersten beiden Einsen und machte daraus eine 11, gefolgt von einer Reihe von Fakultätszeichen (!).

Es fällt unter die Fair-Use-Regel

Im Laufe dieser Duelle gingen die Zahlen schließlich über den Bereich der vertrauten Mathematik hinaus, bis die Gegner gezwungen waren, ihre eigenen Symbole zu erfinden, um größere Zahlen darzustellen.

Schließlich versetzte Rayo den tödlichen Schlag. Er beschrieb diese Zahl als „ die kleinste positive ganze Zahl, die größer ist als jede endliche positive ganze Zahl, die durch ein beliebiges Symbol benannt wird, das in der Sprache der Mengenlehre erster Ordnung, einschließlich des Googol-Symbols, ausgedrückt werden kann, oder kleiner .“

Wir können nicht wissen, wie groß diese Zahl ist, und werden es vielleicht nie erfahren. Es gibt nicht genug Zeit und Platz: Rayo-Zahlen sind nicht berechenbar, genauso wie das Halteproblem nicht berechenbar ist .

Wenn es nun um die größten positiven ganzen Zahlen geht, die wir leicht wahrnehmen können, markieren Rayo-Zahlen mehr oder weniger die Grenze zwischen dem, was wir wissen und dem, was wir nicht wissen.

Es wurden einige größere Zahlen erstellt, die bemerkenswerteste davon ist „ BIG FOOT “, das 2014 herauskam. Doch um einen Blick auf BIG FOOT zu erhaschen, muss man ein seltsames Reich namens „ Ooodleverse “ betreten und die Sprache der „Ooodle-Theorie erster Ordnung“ erlernen – ein großes Abenteuer, dessen Lösung ein höheres Maß an Mathematik und Humor erfordert. Schließlich basieren alle größten jemals erreichten benannten Zahlen auf demselben System wie die Layo-Zahlen.

Man könnte leicht meinen, dass riesige Zahlen wie Rayos Zahlen uns der Unendlichkeit näher bringen. **Aber das ist nicht der Fall. **Unendliche Zahlen können verwendet werden, um endliche Zahlen zu erzeugen, aber egal, wie hoch die Zahlen sind, die wir finden, **es wird nie einen Punkt geben, an dem „endlich“ und „unendlich“ verschmelzen. **Tatsächlich bringt uns das Finden größerer endlicher Zahlen der Unendlichkeit keinen Schritt näher als das Zählen von 1, 2, 3 in unserer Kindheit.

Aber wir landen immer irgendwo mit einem größeren Radius.

——Interaktionsprobleme——

Was ist die größte Zahl, die Sie sich vorstellen können?

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