Wenn ich den Abholcode des Selbstabholschranks wiederholt eintippe, lässt sich die Schranktür öffnen?

Um die Dinge abzuholen, die ich online gekauft habe, gehe ich oft zum Selbstbedienungsschließfach. Der Abholvorgang am Selbstabholschrank läuft wie folgt ab: Beim Eintreffen der gekauften Artikel sendet das Logistiksystem einen Abholcode (z. B. D333EA) an Ihr Mobiltelefon. Anschließend begeben Sie sich zum Selbstabholschrank und geben den Abholcode ein, um Ihre gekauften Artikel zu entnehmen.

Jeder ist an diesen Vorgang gewöhnt, aber hat sich schon einmal jemand Gedanken über diese Frage gemacht: Ein großer Selbstabholschrank verfügt über Hunderte von Fächern. Wenn ich nichts kaufe, es aber immer wieder vor dem Selbstabholschrank probiere oder beim Abholen den falschen Code eingebe, kann es dann passieren, dass ich versehentlich einen Schrank öffne und fremde Waren mitnehme?

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Die Antwort ist nein. Warum? Wir können dies mithilfe der Mathematik beantworten.

Wenn Sie 24 Tage lang ohne Essen und Trinken vor dem Selbstbedienungsschließfach stehen können und nicht weggebracht werden

Angenommen, ein Selbstabholschrank verfügt über 1.000 Schränke und jeder Schrank entspricht einem Abholcode mit einer Länge von 6 Ziffern. Jeder Abholcode enthält nur die Zahlen 0–9 und die Buchstaben A–Z. Wenn Sie den Abholcode zufällig eingeben, wie oft müssen Sie ihn eingeben, um ein Schließfach zu öffnen?

Dies ist eine Wahrscheinlichkeitsfrage. Zunächst einmal wissen wir, dass die Abholcodes der Selbstabholschränke annähernd zufällig generiert werden. Für jeden der 6-stelligen Abholcodes (10 Ziffern + 26 Buchstaben) gibt es also 36 Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit, einmal den richtigen Abholcode einzugeben, beträgt also 1/(36^6). Die Wahrscheinlichkeit, einen von 1000 Schränken gleichzeitig zu öffnen, beträgt 1000/(36^6).

Wenn Sie diese Zahl nicht kennen, berechnen wir, wie oft Sie sie eingeben müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 einen der Schränke zu öffnen. Die Berechnungsformel für diese Zahl n lautet:

Die Berechnungsergebnisse zeigen, dass n≈210720, also ungefähr das 210.000-fache ist. Angenommen, die Eingabe des Abholcodes dauert 10 Sekunden, dann müssten Sie dort mehr als 24 Tage lang stehen, ohne zu essen oder zu trinken. Beachten Sie, dass dies nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/10 ist.

Mit mathematischem Denken die Wahrscheinlichkeit für das Öffnen des Selbstbedienungsschließfachs untersuchen

Wenn wir die komplexen Berechnungen oben beiseite lassen und die Frage, warum es so schwierig ist, ein Schließfach durch zufällige Versuche zu öffnen, in einem Satz beantworten, liegt es daran, dass die Abfragecodes, mit denen die Schließfächer geöffnet werden können, zu spärlich verteilt sind. Erklären Sie, was mit dünner Verteilung gemeint ist. Angenommen, vor Ihnen stehen einige Schließfächer, jedes Schließfach hat seinen eigenen Abholcode und der Abholcode wird innerhalb eines bestimmten Bereichs zufällig generiert.

Um dem Leser ein besseres Verständnis zu ermöglichen, betrachten wir nun den einfachsten Fall. Dabei gehen wir davon aus, dass es nur 10 Schränke gibt und der Abholcode nur eine Ziffer hat. Dann muss der Abholcode zwischen diesen 10 Zahlen und 26 Buchstaben liegen. Wir können uns eine gerade Linie mit 36 ​​Punkten vorstellen (siehe Abbildung 6-1), wobei jeder Punkt einer Zahl oder einem Buchstaben entspricht. Dann sind die Abholcodes, die diese 10 Schränke öffnen können (10 große Punkte im Bild), 10 der 36 Punkte auf dieser Geraden.

Wie aus Abbildung 6-1 ersichtlich ist, ist es einfach, einen großen Punkt auszuwählen, indem man zufällig einen Punkt auswählt. Dies bedeutet auch, dass es einfacher ist, einen Schrank durch Ausprobieren eines zufälligen Abholcodes zu öffnen.

Angenommen, der Abholcode hat zwei Ziffern, dann betrachten wir die erste Ziffer des Abholcodes als die horizontale Achse mit 36 ​​Punkten und die zweite Ziffer des Abholcodes als die vertikale Achse mit 36 ​​Punkten. Daher befinden sich alle möglichen Aufnahmecodes am Schnittpunkt einer zweidimensionalen Ebene, wie in Abbildung 6-2a dargestellt. Das Bild zeigt außerdem 10 zufällig generierte große Punkte, die den Abrufcodes entsprechen, mit denen der Schrank geöffnet werden kann. Wir können sehen, dass die Verteilung dieser 10 Punkte zu diesem Zeitpunkt sehr spärlich ist. Es ist schwierig, die Position des großen Punkts auszuwählen, wenn Sie es zufällig versuchen.

Wenn der Abholcode dreistellig ist, wird er als Punkt im dreidimensionalen Raum dargestellt. Wir zeigen die Punkte an, die allen möglichen Abholcodes entsprechen, und 10 zufällig generierte Punkte (große Punkte), die den Schrank in Abbildung 6-2b öffnen können. Es ist zu erkennen, dass diese 10 Punkte spärlicher geworden sind.

Wir können uns vorstellen, dass der echte Abholcode aus 6 Ziffern besteht, jeder Abholcode ein Punkt im sechsdimensionalen Raum ist und die Punkte des Abholcodes, die den Abholschrank öffnen können, sehr spärlich verteilt sind. Das Erraten der Artikelnummer gleicht der Suche nach der Nadel im Heuhaufen, es ist fast unmöglich, dies mit Glück zu erreichen. Daher ist die Spärlichkeit der Schlüssel zur Sicherheit des Abholcodes.

Das mathematische Denken sagt uns, dass die Welt spärlich ist

Im Bereich der Mathematik gibt es eine klare Definition von „Spärlichkeit“. Wenn ein Zeitsignal spärlich ist, dann sind die Werte der meisten Positionen dieses Zeitsignals Null. Abbildung 6-3a zeigt ein solches spärliches Zeitsignal.

Wenn ein Bild spärlich ist, dann sind die meisten Pixelwerte in diesem Bild Null (die entsprechende Farbe ist Schwarz). Abbildung 6-3b zeigt ein spärliches Bild.

Schauen wir uns ein reales Zeitsignal an:

Smart-Armbänder erfreuen sich mittlerweile großer Beliebtheit und können den Trainingszustand von Menschen messen, wie in Abbildung 6-4a dargestellt. Smartarmbänder verwenden Beschleunigungsmesser, um die ursprünglichen Signale der Armbeschleunigung beim Training zu erfassen und diese Signale dann zu verarbeiten, um entsprechende Informationen zu erhalten, darunter die Anzahl der zurückgelegten Schritte, die gelaufene Distanz usw. Wenn wir das Rohbeschleunigungssignal anzeigen, sollte es ähnlich wie in Abbildung 6-4b aussehen.

Das ursprüngliche Beschleunigungssignal sieht völlig anders aus als in Abbildung 6-3a und ist nicht spärlich.

Ich möchte Ihnen jedoch sagen, dass das Rohsignal dieser Beschleunigung zwar nicht spärlich aussieht, aber spärlich ist, wenn es in Fourier-Reihen ausgedrückt wird. (Siehe Abbildung 6-6).

Wir können sehen, dass unter allen Sinuswellen, die zur Darstellung des ursprünglichen Signals verwendet werden, nur wenige Sinuswellen höhere Frequenzen aufweisen, während die Frequenzen der anderen Sinuswellen sehr niedrig sind. Dies bedeutet, dass mit Ausnahme einiger weniger Sinuswellen die Koeffizienten vor den meisten Sinuswellen nahezu gleich Null sind.

Mit anderen Worten: Die Frequenzbereichsdarstellung dieses Zeitsignals ist spärlich.

Abgesehen von zeitlichen Signalen sind Bilder in unserem täglichen Leben tatsächlich spärlich. Das Prinzip ist dem eines Smart-Armbands sehr ähnlich. Obwohl das Originalbild in Abbildung 6-8 nicht spärlich ist, können wir ein mathematisches Werkzeug namens Singulärwertzerlegung verwenden, um das Bild in eine Überlagerung einer Reihe sehr einfacher Bilder zu zerlegen. Die Bilder auf der rechten Seite der Gleichung sind sehr einfach. Wenn Sie genau hinsehen, können Sie feststellen, dass diese einfachen Bilder aus horizontalen und vertikalen Balken bestehen, die Positionen der horizontalen und vertikalen Balken sind in verschiedenen einfachen Bildern jedoch unterschiedlich.

Wir können sagen, dass jedes einfache Bild einem Muster im Originalbild entspricht.

Obwohl das Originalbild reichhaltig und nicht spärlich aussieht, können wir es mit nur wenigen einfachen Bildern darstellen.

Manche Leute fragen sich vielleicht: Was ist der Vorteil, es auf diese Weise auszudrücken? Der Vorteil liegt hauptsächlich in der Datenkomprimierung.

Einfache Bilder benötigen viel weniger Speicherplatz als Rohbilder. Mit dieser Methode müssen wir nur eine kleine Anzahl einfacher Bilder mit relativ großen Koeffizienten zusammen mit den entsprechenden Koeffizienten speichern, um das Originalbild wiederherzustellen. Dadurch wird der benötigte Speicherplatz erheblich reduziert.

Sie sehen also, dass mathematisches Denken in unserem täglichen Leben allgegenwärtig ist. Spärlichkeit ist bei jedem Schritt vorhanden, den wir machen, bei jedem Bild, das wir speichern, und bei jedem Abholcode, den wir eingeben. Hinter vielen scheinbar komplexen Phänomenen stecken tatsächlich einfache Regeln, sofern Sie lernen, mathematisch zu denken.

Der Artikel wurde vom Science Popularization China-Starry Sky Project (Erstellung und Kultivierung) erstellt. Bei Nachdruck bitten wir um Quellenangabe.

Autor: Liu Xuefeng, außerordentlicher Professor und Doktorvater an der Universität für Luft- und Raumfahrt in Peking

Gutachter: Deng Qingquan, Außerordentlicher Professor, Fakultät für Mathematik und Statistik, Central China Normal University