Wenn Geometrie auf Physik trifft: Ist die Erde ein topologischer Isolator?

Mit der Entwicklung der Physik im 20. Jahrhundert wurde die Geometrie aus der Mathematik in die physikalische Theorie eingeführt. Einstein konstruierte die allgemeine Relativitätstheorie mit Hilfe der Riemannschen Geometrie, Yang Zhenning entdeckte die Entsprechung zwischen Eichfeldern und Faserbündeln und die Geburt der topologischen Quantenfeldtheorie nach den 1980er Jahren verhalf der Physik zu einem neuen Höhepunkt. Geometrische Theorien und verwandte Konzepte spielen in physikalischen Theorien eine so wichtige Rolle, dass viele Leute sagen: „Physik ist Geometrie“. Heute sind diese aus der Geometrie hervorgegangenen physikalischen Konzepte in viele Bereiche wie die Atmosphärenwissenschaften und die Informationswissenschaft vorgedrungen und haben auch der Geometrie neue Vitalität verliehen.

Geschrieben von Dong Weiyuan

Physikalische Theorien werden häufig übernommen und fachübergreifend verwendet. In den letzten Jahren haben Meteorologen bei der Untersuchung der Gesetze der Meeres- und Atmosphärenwellen die Erde mit einem topologischen Isolator verglichen [1-3]. Mithilfe der Methoden und Erkenntnisse der Physiker bei der Untersuchung topologischer Phasenübergänge gelang es ihnen, ein tiefes Verständnis des Entstehungsmechanismus äquatorialer Kelvinwellen zu erlangen.

Kelvinwellen sind Wellen im Ozean und in der Atmosphäre, die durch die Ablenkkraft der Erdrotation, auch Corioliskraft genannt, verursacht werden. Ihr größtes Merkmal besteht darin, dass die Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit entspricht, sodass sich diese Welle während ihrer Bewegung nicht auflöst. Es kann kontinuierlich Energie über Tausende von Kilometern transportieren und ist einer der wichtigen Faktoren bei der Entstehung von Klimaphänomenen wie El Niño.

Tatsächlich wurde dieser Wellentyp bereits 1879 entdeckt und nach seinem Entdecker benannt. Das stimmt, der Entdecker war das wissenschaftliche Allround-Genie Lord Kelvin, und die absolute Temperaturskala wurde nach ihm benannt. Ich glaube, der alte Herr hätte sich nie vorstellen können, dass die Meeres- und Atmosphärenschwankungen, die er mehr als 100 Jahre später entdeckte, auf so eigentümliche Weise mit der modernen Physik zusammenhängen würden. Selbst wenn der alte Herr mit einer Zeitmaschine in die Gegenwart reisen würde, würde er vermutlich nicht so schnell verstehen, warum es sich bei Kelvinwellen eigentlich um eine Art „Anregung unter topologischem Schutz“ handelt.

Die moderne Physik ist fast überall von geometrischen Konzepten und geometrischer Sprache durchdrungen, deren Tiefe und Breite für die Physiker des 19. Jahrhunderts einfach unvorstellbar sind.

Die Differentialgeometrie hält Einzug in die Physik

Die allgemeine Relativitätstheorie, die 1915 veröffentlicht wurde, war der erste Meilenstein in der Geometrisierung der Physik. Von da an wurde die Differentialgeometrie zu einer mathematischen Sprache, die Physiker beherrschen müssen.

Da das Wesen der Schwerkraft die Krümmung der Raumzeit ist und die Stärke des Gravitationsfeldes die Krümmung der Raumzeit, ist die Wissenschaft der Manipulation gekrümmter Mannigfaltigkeiten natürlich die wichtigste Voraussetzung für das Erlernen der allgemeinen Relativitätstheorie. Die sogenannte Mannigfaltigkeit kann als verschiedene Arten von Grafiken betrachtet werden. Beispielsweise ist die Oberfläche einer Kartoffel eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, während die von der allgemeinen Relativitätstheorie untersuchte Raumzeit eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit ist.

Um rechnen zu können, muss auf der Mannigfaltigkeit ein Koordinatensystem festgelegt werden. Wenn die Form der Mannigfaltigkeit selbst ungewöhnlich ist oder die Abdeckung des Koordinatensystems begrenzt ist und ein einziges Koordinatensystem nicht alle Punkte auf der Mannigfaltigkeit abdecken kann, müssen mehrere Punkte auf der Mannigfaltigkeit ausgewählt werden. Für jeden Punkt kann ein lokales Koordinatensystem eingerichtet werden, um die umliegenden Nachbarn abzudecken. Anschließend werden alle lokalen Koordinatensysteme so angeordnet, dass sie die gesamte Mannigfaltigkeit abdecken.

Beispielsweise kann ein vierdimensionales kartesisches Koordinatensystem mit der Erde als Ursprung zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht das Innere eines weit entfernten Schwarzen Lochs abdecken. Selbst nach unendlicher Zeit kann es nur einen Ort erreichen, der sehr nahe am Ereignishorizont des Schwarzen Lochs liegt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Raumzeit selbst am Ereignishorizont auseinandergerissen wird. Ein Astronaut in der Nähe des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs kann ein neues Koordinatensystem mit seiner eigenen Position und einem bestimmten Zeitpunkt als Ursprung erstellen. Dieses Koordinatensystem überschneidet sich mit unserem Koordinatensystem und stimmt mit anderen Koordinatensystemen innerhalb des Schwarzen Lochs überein. Mithilfe mehrerer Koordinatensysteme kann eine glatte Weltlinie gezeichnet werden, die die Erde mit dem Inneren des Schwarzen Lochs verbindet und so zeigt, dass die Raumzeit selbst am Ereignishorizont noch intakt ist.

Darüber hinaus müssen wir, um die Krümmung zu diskutieren, zunächst die Mannigfaltigkeit fixieren. Die Oberfläche einer zappelnden Qualle weist offensichtlich keine eindeutige Krümmung auf. Die Bedeutung des Stereotyps entspricht „zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Mannigfaltigkeit besteht ein bestimmter Abstand“, daher muss die Definition des Abstands auf der Mannigfaltigkeit der Definition der Krümmung vorausgehen.

Es wird als „Metrik“ bezeichnet und beantwortet die Frage, wie der Abstand zwischen jedem Punkt auf der Mannigfaltigkeit und seinen Nachbarpunkten berechnet wird. Wenn jeder Punkt einer Mannigfaltigkeit seine eigene Metrik hat, dann ist die gesamte Mannigfaltigkeit „versteinert“, und erst dann kann die Krümmung berechnet werden.

Es gibt mehrere mathematische Definitionen der Krümmung, und Physiker bevorzugen die Verwendung der Riemann-Definition. Die Riemann-Krümmung wird durch die Änderungen eines Vektors während seiner Bewegung spürbar. Bevor wir sie verstehen, müssen wir also auch verstehen, wie sich die Krümmung der Mannigfaltigkeit auf die Bewegung des Vektors auswirkt.

In einem flachen Raum kann ein Vektor beliebig verschoben werden, ohne dass sich dies ändert, in einem gekrümmten Raum besteht diese Freiheit jedoch nicht. Wenn wir beispielsweise einen Vektor auf der in der Abbildung oben gezeigten Kugel verschieben und außerdem die „Translation“ vom Äquator aus starten (beachten Sie, dass die Richtung eines Vektors in einer zweidimensionalen Kugel nur tangential zur Kugel sein kann), ist die Richtung des Vektors, der den Nordpol erreicht, nachdem er den orangefarbenen Pfad passiert hat, eine andere als die Richtung des Vektors, der den Nordpol erreicht, nachdem er den blauen Pfad passiert hat. Dieser Effekt wird durch die Krümmung der Kugel verursacht.

Die Riemann-Krümmung nutzt diesen Effekt, um die Krümmung jedes Punktes auf der Mannigfaltigkeit zu definieren. Der konkrete Ansatz besteht darin,

Dies ist offensichtlich eine Abbildung von drei Vektoren auf einen Vektor. Die „Maschine“, die diese Abbildungsfunktion bereitstellt, wird Tensor genannt. Die Riemann-Krümmung ist ein Tensor und wird daher auch Riemann-Tensor genannt. Übrigens ist auch die zuvor erwähnte Metrik ein Tensor. Tatsächlich ist die gesamte Gleichung der allgemeinen Relativitätstheorie eine Tensorgleichung.

Faserbündel und Eichfelder

Die Yang-Mills-Theorie, die 1954 ihr Debüt feierte, legte den Grundstein für die zweite Welle der Geometrisierung der Physik. Mehr als ein Jahrzehnt später entdeckten Physiker plötzlich, dass Faserbündel die am besten geeignete Sprache zur Beschreibung dieser Theorie waren.

Das sogenannte Faserbündel kann man sich grob als eine mit Haaren bedeckte Mannigfaltigkeit vorstellen, wobei jedes Haar einem Punkt auf der unteren Mannigfaltigkeit entspricht. Das Haar bzw. die Faser hat hier eine eher abstrakte Konnotation und stellt in verschiedenen Faserbündeltheorien unterschiedliche Anhänge an die Mannigfaltigkeit dar. Diese Zusätze können entweder natürlich sein oder als Dekoration hinzugefügt werden.

Die intuitivste Art von Faser ist der Tangentialraum jedes Punktes auf der Mannigfaltigkeit. Wie der Name schon sagt, ist es der Raum, in dem sich alle Vektoren an diesem Punkt befinden. Die linke Seite der Abbildung unten zeigt ein spezielles Beispiel, bei dem die untere Mannigfaltigkeit M eine 2D-Kugel ist und die blaue Ebene der Schnittpunkt P auf M ist.

Eine abstrakte Malmethode dieser Art von Beziehung.

Bei der Einführung der Krümmung habe ich die „Translation“ eines Vektors auf einer Mannigfaltigkeit vage erwähnt.

Das Konzept des Tangentialbündels ist intuitiv und leicht zu verstehen, für Physiker ist es jedoch keine mächtige Waffe. Was Physiker wirklich daran lieben, ist ein Faserbündel, das Symmetrie enthalten kann. Weil es so grundlegend und wichtig ist, wird es einfach als Hauptpaket bezeichnet.

Wenn wir über Symmetrie sprechen, müssen wir zwischen globaler und lokaler Symmetrie unterscheiden, zwei völlig unterschiedlichen Konzepten. Ersteres ist die Symmetrie der gesamten Mannigfaltigkeit, während Letzteres die Eigenschaft jedes einzelnen Punktes ist. Die folgenden Inhalte werden zeigen, dass lokale Symmetrie in der Physik weitaus wichtiger ist als globale Symmetrie.

Die zur Beschreibung von Symmetrien verwendete mathematische Sprache ist „Gruppe“, und jede Symmetrie entspricht einer bestimmten Gruppe. Beispielsweise entsprechen die O(n)-Gruppe und die SO(n)-Gruppe Rotationssymmetrien im n-dimensionalen Realraum, während die U(n)-Gruppe und die SU(n)-Gruppe Rotationssymmetrien im n-dimensionalen komplexen Raum darstellen.

In dem dreidimensionalen Raum, in dem wir leben, kann jede Rotationsoperation in eine Kombination der drei grundlegenden Rotationsoperationen um die x-, y- und z-Achse zerlegt werden. Mit anderen Worten: Wenn die SO(3)-Gruppe selbst als Raum betrachtet wird, beträgt ihre Dimension ebenfalls genau 3. Bei der SO(4)-Gruppe ist das jedoch anders. Rotationen im 4-dimensionalen Raum bestehen aus sechs Grundoperationen[4], daher ist die Dimension der SO(4)-Gruppe selbst 6 und nicht 4.

Die Gruppe selbst kann ebenso wie der intuitive Tangentialraum als Raum betrachtet werden, sodass sie auch als eine in die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit eingefügte Faser betrachtet werden kann, mit der Ausnahme, dass der durch jede Faser dargestellte Raum eine andere Anzahl von Dimensionen haben kann als die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit.

Dieses Faserbündel mit Gruppenstruktur ist das Hauptbündel. Die durch die Faser dargestellte lokale Symmetrie bedeutet, dass, wenn sich die Funktion Φ(x) auf der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit entlang der Faser ändert, der Wert von Φ(x) an jedem Punkt unverändert bleibt, sodass verschiedene Abschnitte auf dem Hauptbündel äquivalent zu Φ(x) sind. In der Physik werden Felder mit lokaler Symmetrie wie Φ(x) zusammenfassend als Eichfelder bezeichnet.

In den Augen der Physiker ist die Raumzeit selbst ein Faserbündel, und verschiedene grundlegende Wechselwirkungen haben ihren Ursprung in verschiedenen Eichfeldern, die Verbindungen zwischen Hauptbündeln mit unterschiedlichen Symmetriegruppen darstellen. Das Gravitationsfeld entspricht SO(3, 1), das elektromagnetische Feld und die schwache Kraft entsprechen U(1)×SU(2) und die starke Kraft entspricht SU(3).

Wenn die beiden letzteren zusammengeführt werden, ist das Hauptbündel mit der Struktur U(1)×SU(2)×SU(3) ein großer Raum, in dem alle Wechselwirkungen im Universum außer der Schwerkraft auf wunderbare Weise zu einem Objekt verschmelzen. Dabei handelt es sich um die Yang-Mills-Theorie, die mit der Allgemeinen Relativitätstheorie vergleichbar ist und den wichtigsten theoretischen Grundstein des Standardmodells der Elementarteilchen bildet.

Unterstützung durch die topologische Theorie

Topologie wird oft scherzhaft als die Wissenschaft des Spielens mit Plastilin bezeichnet. Dabei geht es ihm nicht um die konkrete Form oder Größe geometrischer Figuren, sondern er konzentriert sich nur auf die unveränderlichen Bestandteile der Figuren bei kontinuierlichen Veränderungen. Eine Kaffeetasse kann kontinuierlich in einen Donut verwandelt werden. Aus topologischer Sicht sind eine Kaffeetasse und ein Donut also dasselbe Objekt, da sie die gleiche Anzahl von Löchern haben. Offensichtlich ist die Anzahl der Löcher eine topologische Invariante.

Wenn Mathematiker jedoch sagen, dass A und B im topologischen Sinne gleich sind, verwenden sie unterschiedliche Begriffe, um die Bedeutung von „gleich“ auszudrücken. Zu den gängigen Begriffen zählen Isomorphismus, Homöomorphismus, Homomorphismus, Homotopie, Homologie usw. Daraus können wir ersehen, dass die topologische Theorie nicht so einfach ist wie das Kneten von Ton.

Darüber hinaus ist die Position der topologischen Theorie auf dem großen Baum der Mathematik weder ein Zweig mit klaren Grenzen noch auf das Gebiet der Geometrie beschränkt, sondern ähnelt eher einer Rebe, die sich überallhin verstrickt. Aus diesem Grund kann es oft seine außergewöhnliche Fähigkeit zur Vereinfachung vieler Probleme unter Beweis stellen.

Es gibt einen interessanten Satz namens „Theorem vom haarigen Ball“, der besagt, dass ein glattes Tangentialvektorfeld auf einer Kugel mit gerader Dimension Nullstellen haben muss. Der zweidimensionale Fall dieses Theorems ist sehr intuitiv. Es bedeutet eigentlich, dass man einen Fellknäuel nie ganz glätten kann, daher hat der Satz auch seinen Namen.

Im Gegensatz dazu können wir auch intuitiv erkennen, dass das Tangentialvektorfeld auf dem Torus überall ungleich Null sein kann, was zeigt, dass die allgemeinen topologischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit eng mit den Eigenschaften des Vektorfelds darauf zusammenhängen.

Wenn der Leser das Gefühl hat, dass dieser Satz nichts Besonderes ist, kann er genauso gut die elektromagnetische Welle betrachten, die von einer Punktquelle ausgesendet wird. Ihre Wellenfront ist eine zweidimensionale Kugel, und die elektromagnetische Welle ist eine Transversalwelle, sodass die Richtung der Feldstärke immer tangential zur Wellenfront ist. Nach dem Hairy-Ball-Theorem muss es auf der Wellenfront einen Nullpunkt der Feldstärke geben[5]. Jeder Punkt auf der Wellenfront hat jedoch die gleiche Schwingungsphase und ist in Bezug auf eine Punktquelle vollständig symmetrisch. Riechen Sie den Duft der Magie?

Wenn sich elektromagnetische Wellen in bestimmten speziellen Medien ausbreiten, können in ihrem Parameterraum auch Situationen auftreten, in denen das Hairy-Ball-Theorem gilt. Obwohl die vielen partiellen Differentialgleichungen, die den dynamischen Prozess beschreiben, schwer zu lösen sind, lässt sich allein anhand der topologischen Eigenschaften feststellen, dass mit Sicherheit Nullpunkte auftreten werden. Dieser spezielle Punkt, der ausschließlich durch topologische Eigenschaften erzeugt wird, entspricht oft einer Art „topologischer Anregung“.

Der Grund für die große Aussagekraft der topologischen Theorie liegt darin, dass sie Verbindungen zwischen verschiedenen topologischen Invarianten und verschiedenen integralen Ergebnissen im physikalischen Bereich herstellt. Wie im vorherigen Teil des Artikels erwähnt, entspricht die Feldstärke im physikalischen Feld der Krümmung im geometrischen Sinne und das Entfernungsverhältnis der Metrik. Wenn ein bestimmtes Integralergebnis im physikalischen Feld unabhängig von der Feldstärke und der Länge des Integralpfads ist, dann ist das Ergebnis, in die geometrische Sprache übersetzt, unabhängig von der Krümmung und Metrik der Mannigfaltigkeit, sodass sich das Integralergebnis auch dann nicht ändert, wenn sich die Mannigfaltigkeit wie eine Qualle windet. Dann sollte dieses Ergebnis nur durch eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit bestimmt werden.

Basierend auf dieser Idee sind Physiker sehr daran interessiert, verschiedene Integrationsergebnisse zu untersuchen, insbesondere Integrationsergebnisse bei geschlossenen Schleifen oder geschlossenen Oberflächen. Wenn tatsächlich eine physikalische Größe entdeckt wird, die sowohl von der Feldstärke als auch von der Weglänge unabhängig ist, werden die Menschen aufgeregt in das Lager der Topologie eilen, um nach den damit verbundenen topologischen Invarianten zu suchen.

Was den Integrationspfad betrifft, sind kluge Physiker sicherlich nicht bereit, sie einzeln manuell auszuprobieren, sondern möchten Forschungsstrategien verwenden, die „großflächig“ anwendbar sind.

Beginnen wir mit einer dummen Frage. Auf wie vielen Wegen kann man eine geschlossene Kurve auf einer Ebene zeichnen, indem man von einem festen Punkt ausgeht und schließlich zum festen Punkt zurückkehrt? Die Antwort liegt auf der Hand. Zwei beliebige Zeichenarten sind topologisch identisch. Mit anderen Worten: Alle Pfade sind homotop.

Wenn in einer Ebene ein Loch gegraben wird, sind offensichtlich nicht mehr alle Pfade homotop, da einige Pfade auf einen Punkt geschrumpft werden können, während andere Pfade beim Schrumpfen durch das Loch blockiert werden und nicht auf einen Punkt geschrumpft werden können. Wir haben festgestellt, dass alle Pfade entsprechend der Anzahl der Schleifen um die Löcher in mehrere Kategorien unterteilt werden können und dass Pfade mit der gleichen Anzahl von Schleifen um die Löcher homotop sind.

Die Gruppe kann durch alle ganzen Zahlen dargestellt werden, wobei jede ganze Zahl einen Homotopiepfad mit einer Windungszahl darstellt, die dieser ganzen Zahl entspricht. Da die Wicklungen im oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgen können, können sich die beiden gegenseitig aufheben, sodass es natürlich Wicklungszahlen mit negativen ganzen Zahlen gibt.

Ich werde sie nicht im Detail vorstellen, sondern nur kurz die Anzahl der Löcher auf der Mannigfaltigkeit und die Verschränkungszahl im Ein-Strich-Zeichenspiel erwähnen. Dies sind typische topologische Invarianten. Darüber hinaus gehört auch die Klassifizierung von Knoten in der Knotentheorie zu den topologischen Invarianten.

Die intuitivste topologische Invariante ist die „Euler-Charakteristik“, die bei Mathematikolympiaden in der Grundschule auftaucht. Ein dreidimensionales konvexes Polyeder erfüllt immer V-E+F=2, wobei V die Anzahl der Eckpunkte, E die Anzahl der Kanten und F die Anzahl der Flächen ist. Da die Oberflächen dreidimensionaler konvexer Polyeder isomorph zur 2D-Kugel sind, haben sie alle

Allerdings sind Mannigfaltigkeiten mit der gleichen Euler-charakteristischen Zahl nicht unbedingt alle isomorph. Beispielsweise haben eindimensionale Ringe, zweidimensionale Torus, Möbiusbänder und Kleinsche Flaschen die Euler-charakteristische Zahl 0, sie sind jedoch offensichtlich nicht homomorph und sogar einige grundlegende Eigenschaften sind sehr unterschiedlich.

Neben der Euler-Charakteristik gibt es noch viele weitere topologische Invarianten, die ich hier aus Platzgründen und aufgrund meiner eigenen Kenntnisse jedoch nicht alle auflisten werde. Es gibt jedoch eine topologische Invariante, die für die moderne Physik sehr wichtig ist und erwähnt werden muss, und das ist die Chern-Simons-Wirkung.

Wie der Name schon sagt, entspricht diese topologische Invariante natürlich einem physikalischen Produkt.

Es handelt sich nicht nur um ein gewöhnliches Integral, sondern um den Kern der Erzeugung aller dynamischen Eigenschaften des gesamten physikalischen Feldes. Ich glaube, viele Leser sind bereits mit der Routine vertraut, die Bewegungsgleichung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung abzuleiten.

Der Grund, warum diese topologische Invariante von Natur aus so physikfreundlich ist, liegt darin, dass sie aus den Händen von Physikern stammt – entwickelt von Witten, dem einzigen Physiker, der die Fields-Medaille gewonnen hat. Natürlich beruht seine Arbeit größtenteils auf den frühen Errungenschaften von Shiing-Shen Chern und anderen, insbesondere auf einem mathematischen Objekt namens „Chen-Simons 3-Form“, sodass diese von Witten und anderen in die Physik eingeführte Theorie noch immer als „Chen-Simons-Theorie“ bezeichnet wird.

Mit diesem Kern haben Witten, Schwartz und andere einen neuen Zweig der Quantenfeldtheorie eröffnet – die topologische Quantenfeldtheorie (TQFT). In gewissem Sinne hat die Entstehung der topologischen Quantenfeldtheorie die geometrische Färbung der modernen Physik insgesamt weiter verstärkt.

Zusammenfassung

Im Entwicklungsprozess der letzten Jahrzehnte haben sich die moderne Physik und die moderne Geometrietheorie nicht nur gegenseitig ergänzt und sind zusammengewachsen, sondern sie haben auch gemeinsam viele vielseitigere theoretische Werkzeuge entwickelt, die in der Informationswissenschaft, den Wirtschaftswissenschaften, den Sozialwissenschaften und anderen Bereichen breite Anwendung finden. Die zu Beginn des Artikels erwähnten meteorologischen Forschungsergebnisse stellen genau die Beiträge dar, die die topologische Quantenfeldtheorie auf diesem Gebiet geleistet hat.

Yang Zhenning sagte einmal zu Shiing-Shen Chern: „Die konzeptionelle Konsistenz des nichtkommutativen Eichkörpers und der wunderbaren Theorie der Faserbündel ist für mich ein Wunder. Vor allem, da sich Mathematiker bei ihrer Entdeckung nicht auf die physikalische Welt bezogen. Ihr Mathematiker habt es euch aus der Luft gegriffen.“ Shiing-Shen Chern dementierte dies sofort: „Nein, nein, diese Konzepte sind nicht aus der Luft gegriffen, sie sind natürlich und real!“

Referenzen und Hinweise

[1] Delplace, P., Marston, JB, & Venaille, A. (2017). Topologischer Ursprung äquatorialer Wellen. Science, 358(6366), 1075–1077. https://doi.org/10.1126/science.aan8819

[2] Tong, D. (2022). „Eine Eichtheorie für flaches Wasser“. arXiv:2209.10574.

[3] McCormick, Katie (18. Juli 2023). „Wie Quantenphysiker die oszillierenden Wettermuster der Erde erklärten“ . Quanta-Magazin.

[4] Die Rotationsachse im vierdimensionalen Raum ist eine Ebene und keine Linie. Die vier Koordinatenachsen sind paarweise zusammengefasst, insgesamt gibt es sechs Grundachsenebenen.

[5] Bormashenko, Edward (23.05.2016). ​​„Hindernisse, die der Poincaré-Brouwer-Satz („haariger Ball“) der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auferlegt“. Zeitschrift für elektromagnetische Wellen und Anwendungen. 30 (8): 1049–1053. Bibcode:2016JEWA...30.1049B. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. ISSN 0920-5071. S2CID 124221302

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

Besondere Tipps

1. Gehen Sie zur „Featured Column“ unten im Menü des öffentlichen WeChat-Kontos „Fanpu“, um eine Reihe populärwissenschaftlicher Artikel zu verschiedenen Themen zu lesen.

2. „Fanpu“ bietet die Funktion, Artikel nach Monat zu suchen. Folgen Sie dem offiziellen Account und antworten Sie mit der vierstelligen Jahreszahl + Monat, also etwa „1903“, um den Artikelindex für März 2019 zu erhalten, usw.

Copyright-Erklärung: Einzelpersonen können diesen Artikel gerne weiterleiten, es ist jedoch keinem Medium und keiner Organisation gestattet, ihn ohne Genehmigung nachzudrucken oder Auszüge daraus zu verwenden. Für eine Nachdruckgenehmigung wenden Sie sich bitte an den Backstage-Bereich des öffentlichen WeChat-Kontos „Fanpu“.