Eine Struktur, die ein Kind erstellen kann, gibt der mathematischen Gemeinschaft seit 50 Jahren Rätsel auf

Vor nicht allzu langer Zeit gab der berühmte Mathematiker Richard Evan Schwartz bekannt, dass er die 50 Jahre alte Halper-Weaver-Vermutung bewiesen habe. Mit den Worten von Tabachnikov, einem Mathematiker an der University of Pennsylvania, besteht Schwartz' akademischer Stil darin, „Probleme anzugehen, die einfach und klar sind, aber allgemein als schwierig gelten. Und er sieht normalerweise Dinge, die früheren Forschern entgangen sind.“

Geschrieben von | Jiawei

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Das Möbiusband ist ein tiefgründiges, wichtiges und grundlegendes Konzept in der Analysis, Topologie und Geometrie. Überraschend ist jedoch, dass es im Gegensatz zu anderen Forschungsobjekten der modernen Mathematik nicht abstrakt und schwer verständlich, sondern sehr konkret und intuitiv ist: Selbst ein Kind kann problemlos aus einem dünnen Papierstreifen ein Modell eines Möbiusbandes herstellen.

Ein Möbiusband mit einem dünnen Papierstreifen herstellen | Bildquelle: Buch „From Möbius to Chern: Möbius Transformation and Möbius Strip“, Liu Peijie, Harbin Institute of Technology Press

Ich frage mich jedoch, ob Sie schon einmal über die folgende Frage nachgedacht haben: Wenn wir kein dünnes Papierband verwenden, sondern stattdessen ein „breites“ Papierband wählen, beispielsweise ein quadratisches Stück handgeschöpftes Papier (Verhältnis Länge zu Breite 1:1), können wir dann ein Möbiusband herstellen, ohne das Papier zu zerreißen? (Achtung, Spoiler: Wenn keine weiteren Bedingungen bestehen, lautet die Antwort „Ja“. Allerdings ist hierfür eine sehr clevere Methode erforderlich, daher sollten Sie vielleicht zuerst selbst darüber nachdenken.)

Wenn wir das obige Problem weiter „mathematisch“ aufschlüsseln und fragen: „Was ist das Mindestverhältnis von Länge zu Breite des breiten Papierbandes, damit wir ein glattes Möbiusband herstellen können?“ Tatsächlich war die mathematische Gemeinschaft in den vergangenen 50 Jahren nicht in der Lage, das obige Problem zu lösen – bis zum 24. August dieses Jahres, als der berühmte Mathematiker Richard Evan Schwartz die Antwort auf sehr clevere Weise gab (mehr als einen halben Monat später, am 13. September, aktualisierte er seine Abhandlung).

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Was das Möbiusband in der Topologie betrifft, so entdeckten zwei deutsche Mathematiker, August Ferdinand Möbius und Johann Benedict Listing, diese geometrische Struktur 1858 unabhängig voneinander. (Moira Chas, eine Mathematikerin an der Stony Brook University, hat gezeigt, dass Gauß die Existenz dieser einseitigen Oberfläche bereits früher erkannt hatte.)

Der Mathematiker und Astronom Möbius gilt auch als Pionier der Topologie. Er war der Erste, der die Natur der Topologie klärte. In seiner 1863 veröffentlichten Theorie der Elementaren Verwandschaft betrachtete er zwei Figuren, deren Punkte eine Eins-zu-eins-Entsprechung bildeten, wobei benachbarte Punkte benachbarten Punkten entsprachen, und er war der Erste, der vorschlug, die Beziehung zwischen zwei derart verbundenen Figuren zu untersuchen. Im Laufe der folgenden 160 Jahre erlebte die Topologie – die Lehre davon, wie geometrische Figuren oder Räume ihre Eigenschaften behalten, nachdem sie ihre Form kontinuierlich verändert haben – eine Blütezeit und wurde zu einem der wichtigsten Zweige der Mathematik. Auch das Möbiusband scheint von außerordentlicher Bedeutung zu sein. Es selbst verfügt über viele wunderbare Eigenschaften, die bis heute nicht vollständig enthüllt wurden.

Wie bereits erwähnt, bereitet dieses „einfache“ Problem Topologen seit einem halben Jahrhundert Rätsel auf: Wenn ein rechteckiges Papierband eine Breite als Längeneinheit hat, wie lang muss das Band dann mindestens sein, damit wir daraus ein „glattes“ Möbiusband herstellen können?

Obwohl das Papierband in den Köpfen der Mathematiker eine Art ideales mathematisches Objekt ist – eine einfache Oberfläche, die manipuliert werden kann (die Dicke muss nicht berücksichtigt werden), behält es dennoch die grundlegenden Eigenschaften eines „physischen“ Papierbandes: 1. Papier ist nicht elastisch und kann daher nicht gedehnt werden. 2. Das Papierband kann offensichtlich nicht ohne Beschädigung durch sich selbst hindurchgehen.

Was die „Glätte“ betrifft, bedeutet dies für Laien, dass das hergestellte Möbiusband keine Falten aufweisen sollte. Aus fachlicher Sicht bedeutet eine glatte Oberfläche, dass an jedem Punkt der Oberfläche eine eindeutige Tangentialebene vorhanden ist. Punkte auf Falten können jedoch, wie scharfe Punkte auf einer Ebene, Tangentialebenen in mehreren Richtungen haben.

Die Bedingung der Glätte ist notwendig, da sonst die Länge des Papierbandes kleiner sein kann als seine Breite – was einer Änderung der Art des Problems gleichkommt. Kehren wir zur vorherigen Frage zurück: Können wir aus einem quadratischen Stück handgeschöpftem Papier ein Möbiusband herstellen, ohne das Papier zu zerreißen?

Die Antwort ist ja. Falten Sie das quadratische Kraftpapier einfach zu einer ziehharmonikaförmigen Faltstruktur, wie unten gezeigt. Behandeln Sie die gesamte „Papierorgel“ wie einen Papierstreifen und drehen Sie sie dann um 180 Grad (eine halbe Drehung), wie Sie es mit einem normalen Möbiusband tun würden. Kleben Sie dann die beiden Enden mit Klebstoff zusammen. Es bildet ein „komprimiertes“ Möbiusband, das im Wesentlichen dasselbe ist wie das gewöhnliche Möbiusband, außer dass wir es nicht zu einem normalen Möbiusband ausdehnen können, ohne die Papierstruktur zu zerstören. Daher kann ein Papierband mit einem Seitenverhältnis von 1 zur Herstellung eines Möbiusbandes verwendet werden, wenn keine Glätte erforderlich ist.

Das ziehharmonikaförmige Möbiusband | Quelle: Dreißig Vorlesungen über klassische Mathematik

Das gängigste glatte Möbiusband sieht so aus, ohne „Falten“. Allerdings gibt es einen Unterschied im Aussehen zwischen einem Möbiusband aus unelastischem Papierband und diesem. | Bildquelle: Der Autor hat das Bild mithilfe mathematischer Methoden erstellt

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Im Jahr 1977 erforschten die Mathematiker Charles Sidney Weaver und Benjamin Riggler Harper Jr. von der Princeton University die Idee, mit Papierklebeband glatte Oberflächen herzustellen.

Serge Tabachnikov ist Mathematiker an der Pennsylvania State University, dessen Mentor der weltberühmte Topologiemeister Dmitry Fuchs ist. Sie sind gemeinsam Autoren des Lehrbuchs Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics (vorläufig übersetzt als „30 Vorlesungen über klassische Mathematik“). In Vorlesung 14 haben sie das Papierband-Möbiusband und die Halper-Weaver-Vermutung ausführlich vorgestellt.

Im Jahr 2019 las Richard Schwartz, Professor für Mathematik an der Brown University, im Rahmen seiner Zusammenarbeit mit Tabachnikov ihr klassisches Lehrbuch. „Als ich dieses Kapitel gelesen hatte, war ich sofort gefesselt“, sagte er später.

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Basierend auf seinem am 24. August auf arXiv.org veröffentlichten Artikel gab Schwartz bekannt, dass er die Halper-Weaver-Vermutung bewiesen habe. Nach einer kurzen Überprüfung durch andere Mathematiker wird sein Beweis nun von der Topologie-Gemeinschaft allgemein akzeptiert.

Schwartz selbst ist eine Autorität auf dem Gebiet der geometrischen Gruppen. Die geometrische Gruppentheorie ist ein relativ neues Gebiet der Mathematik, das etwa Ende der 1980er Jahre entstand; Es untersucht endlich erzeugte Gruppen und sucht nach Verbindungen zwischen ihren algebraischen Eigenschaften und den geometrischen Räumen, auf denen diese Gruppen wirken. Er leistete auch wichtige Beiträge zum Bahnproblem von Billardkugeln, einem dynamischen System, das auf planaren konvexen Formen basiert.

Seine Forschungsgebiete umfassen dynamische Systeme, hyperbolische Geometrie, Iterationstheorie, Topologie usw. Im Jahr 2002 wurde Schwartz eingeladen, auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Peking einen 45-minütigen Vortrag zu halten. 2003 erhielt er das Guggenheim-Stipendium.

Richard Evan Schwartz erklärt Thomsons 5-Punkte-Problem am Newton Mathematical Institute am 22. März 2023 | Bildquelle: Rothschild-Vorlesung: Thomsons 5-Punkte-Problem – YouTube

Der Grund für die schnelle Akzeptanz der neuesten Abhandlung ist jedoch neben Schwartz' akademischem Status und seiner historischen Glaubwürdigkeit die von ihm verwendete Technik: Es gelang ihm, das Problem in überschaubare Teile zu zerlegen, für deren Lösung im Wesentlichen nur grundlegende (moderne) geometrische Techniken erforderlich sind. „Dieser Beweis ist ein Akt purer Eleganz und Schönheit“, sagte Max Wardetzky, Mathematiker an der Universität Göttingen in Deutschland.

Starke mathematische Kreativität. „Es ist immer schwierig, mit einer Formel zwischen sich selbst schneidenden und sich nicht selbst schneidenden Oberflächen zu unterscheiden“, sagte Fox, Autor von 30 Lectures on Classic Mathematics. „Um diese Schwierigkeit zu überwinden, braucht man (Schwartz‘) geometrische Einsicht. Aber die ist so selten!“

Interessanterweise machte Schwartz gleich zu Beginn einen Anfängerfehler, der ihn mehrere Jahre kostete. Wenn dieser Fehler nicht gewesen wäre, „hätte ich dieses Problem schon vor drei Jahren gelöst!“ sagte Schwartz etwas reumütig.

Wenn in der Geometrie mindestens eine gerade Linie durch einen beliebigen Punkt einer Oberfläche verläuft, wird die Oberfläche als Regelfläche bezeichnet. Eine andere gebräuchliche Ausdrucksweise lautet: Wenn eine Oberfläche durch kontinuierliche Bewegung aus einer geraden Linie konstruiert werden kann, spricht man von einer Regelfläche. Am Beispiel des dreidimensionalen euklidischen Raums sind die häufigsten Regelflächen Ebenen, Zylinder, Kegel und Sattelflächen. Auch das berühmte Möbiusband ist eine Regelfläche. Für Regelflächen gibt es Methoden zur Zerlegung der Fläche in einfachere planare Strukturen.

Ein völlig unelastischer Papierstreifen erzeugt die Grundform eines Möbiusbandes. | Quelle: Greg Egan, ein berühmter australischer Science-Fiction-Autor

Das oben abgebildete Möbiusband ist ebenfalls eine Regelfläche. | Quelle: Greg Egan, ein berühmter australischer Science-Fiction-Autor

Aufgrund einer vorgefassten Meinung glaubte Schwartz in seiner Arbeit von 2021 fälschlicherweise, dass die aus dem Möbiusband zerlegte Struktur ein Parallelogramm sein müsste. Dies führte zum Scheitern.

Schwartz probierte viele andere Strategien aus, und es dauerte fast zwei Jahre, bis er einen erfolgreichen Beweis fand. Er beschloss vor Kurzem, sich erneut mit dem Thema zu befassen, weil ihn eine nagende Ahnung beschlich: Der Ansatz, den er im Jahr 2021 verfolgte, sollte wirksam sein. In gewisser Weise war sein Instinkt richtig.

In diesem Sommer beschloss Schwartz, mit Betonpapierband zu experimentieren. Während dieser Experimente zerlegte Schwartz ein Möbiusbandmodell und stellte fest: „Oh mein Gott, die resultierende ebene Struktur ist überhaupt kein Parallelogramm. Es ist ein Trapez !“ Als Schwartz seinen Fehler bemerkte, war er zunächst verärgert, dann aber entschlossen, die neuen Informationen für eine Neuberechnung zu nutzen. „Die überarbeitete Berechnung ergab die vermuteten Zahlen“, sagte er. „Ich war fassungslos. … Ich habe ungefähr drei Tage lang nicht geschlafen, nur um den Beweis zu schreiben.“

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Endlich wurde diese 50 Jahre alte Vermutung bewiesen. „Es erfordert viel Mut, zu versuchen, ein seit langem bestehendes Problem zu lösen“, sagte Tabachnikov. „Das ist Richard Schwartz’ Stil: Er widmet sich gerne Problemen, die einfach zu formulieren sind, aber allgemein als schwierig gelten. Und er entdeckt oft Dinge, die früheren Forschern entgangen sind.“

In diesem Zusammenhang ist den Mathematikern bereits bekannt, dass es für die Länge eines Möbiusbandes, das sich einbetten kann, keine Begrenzung gibt (obwohl es mühsam wäre, sie physikalisch herzustellen). Allerdings wusste niemand, wie kurz der Papierstreifen sein könnte, wenn er ein Möbiusband bilden würde, das sich dreimal statt nur einmal dreht. „Die Frage nach dem optimalen Seitenverhältnis für ein Möbiusband mit einer ungeraden Anzahl von Windungen“, sagte Tabachnikov. „Ich gehe davon aus, dass sich in naher Zukunft jemand mit diesem allgemeineren Problem befassen wird.“

Aus einer anderen Perspektive ist Schwartz' Beweis nicht das Ende des Problems. Sein Beweis funktionierte nur für glatte Möbiusbänder, nicht für solche mit Ecken oder Falten. Diese nicht glatten Möbiusbänder sollten kleinere Größen haben (siehe vorherige Frage), da sie an den Rändern zusammenfalten können.

Unter glatten Bedingungen kann das Minimum des Seitenverhältnisses nicht erreicht werden. Um das Infimum zu erreichen, können wir nur dieses entartete dreieckige Möbiusband erhalten. | Bildquelle: Das optimale Papier-Möbiusband, 2308.12641.pdf (arxiv.org)

Aus einer breiteren Perspektive betrachtet, gehört die Untersuchung von Papierband-Möbiusbändern zu einem sehr jungen Zweig der Mathematik – der Papierblattgeometrie (oder „Origami-Geometrie“).

Die Papierblattgeometrie ist die Mathematik, die sich mit den Formen, Eigenschaften und Transformationen von Papier befasst. Es geht darum, wie man aus Papier verschiedene geometrische Figuren wie Polygone, Flächen und Körper herstellt und wie man Papier zum Lösen geometrischer Probleme wie Falten, Schneiden und Zeichnen verwendet. Eine seiner wichtigsten Anwendungen ist die Origami-Kunst, auch bekannt als Origami. Origami ist eine Technik, bei der ein flaches Blatt Papier in verschiedene komplexe dreidimensionale Formen wie Tiere, Blumen und Sterne gefaltet wird. Origami verfügt über eine Reihe von Regeln und Grundsätzen, die beschreiben, wie Papier gefaltet und konstruiert werden kann.

Eine weitere Anwendung der Papierbogengeometrie ist die Kartontechnik Cartonage (Kartonverpackung, französisches Wort). Kartonieren ist eine Technik zum Schneiden, Falten und Kleben mehrerer Papp- oder Kartonbögen zu verschiedenen praktischen Gegenständen wie Schachteln, Ordnern und Büchern.

Bei der Kartonherstellung müssen auch die Dicke, Festigkeit und Stabilität des Kartons berücksichtigt werden. Die Papierblattgeometrie wird mit anderen Bereichen der Mathematik wie Topologie, Algebra und Kombinatorik kombiniert, um viele schwierige Probleme zu schaffen, die den heutigen Mathematikern Rätsel aufgeben.

Solche mathematischen Felder können nicht nur die Komplexität abstrakter Objekte intuitiv erhellen, sondern auch die Mathematik mit unserem täglichen Leben verbinden und so faszinierende Themen schaffen. Das Möbiusband ist nicht auf die Mathematik beschränkt. Es gibt auch einige interessante Anwendungen im täglichen Leben.

Auch in der Industrie wird das Prinzip des Möbiusbandes genutzt. Das Mobius-Band ist ein speziell entwickeltes Förderband, das das ursprüngliche Flachband von zwei Innen- und Außenflächen in eine umlaufende „einseitige“ Oberfläche umwandelt. Die Belastung des Förderbandes durch das transportierte Material ändert sich von einseitiger Belastung auf beidseitige Belastung und verlängert so die Lebensdauer des Förderbandes.

Gleichzeitig ist das Möbiusband aufgrund seiner sehr „zugänglichen“ Natur in Kunstwerken weit verbreitet. Tatsächlich handelt es sich in der Wissenschaft um den „Stern“-Begriff nach dem Schwarzen Loch. Künstler verwenden diese Form häufig, um die einzigartigen Eigenschaften von Raum und Form zu erforschen. Die Unendlichkeit des Möbiusbandes und seine Verflechtung mit Zeit und Raum haben es zu einer Quelle der Inspiration und einem Bestandteil vieler Kunstwerke gemacht.

So wird beispielsweise im Animationsfilm „Mobile Suit Gundam: Char’s Counterattack“, der 1988 in Japan erschien, das Möbiusband als Metapher für das Schicksal verwendet: Der Mensch ist wie eine Ameise, die auf einem Möbiusband läuft. Er kann diesem Teufelskreis nie entkommen, macht immer wieder dieselben Fehler und immer wieder ereignen sich ähnliche Tragödien.

Zum Schluss möchte ich noch eine Anekdote dazu erzählen. Die Protagonisten sind der jugendliche amerikanische Physiker Richard Feynman und seine damalige Freundin Arline (Arline Greenbaum, die später Feynmans Frau wurde). Arlene erwähnte, dass ihr Philosophielehrer ein Motto hatte: „Alles hat zwei Seiten, genau wie Papier.“ Feynman sagte, dass diese Ansicht selbst überdacht werden müsse, dann nahm er ein Stück Papier heraus und formte auf der Stelle vor seiner Freundin einen Möbius-Papierring, wobei er das Wissen verwendete, das er aus der Enzyklopädie erlangt hatte. Arlene war sehr überrascht und brachte den Papierring am nächsten Tag mit zur Schule. Als die Lehrerin ein Blatt Papier nahm und begann, anhand von Beispielen zu veranschaulichen, dass alles zwei Seiten hat, hielt sie aufgeregt den Möbius-Papierring hoch und überraschte damit alle anwesenden Lehrer und Schüler.

Nachtrag

Vor zehn Jahren las ich zufällig „30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ und war vom Möbius-Papierringproblem in Vorlesung 14 des Buches fasziniert. Daher verfüge ich über ein gewisses intuitives Verständnis für die Schwierigkeit der Halper-Weaver-Vermutung.

Daher war es für mich völlig unerwartet und aufregend, zehn Jahre später mit eigenen Augen zu sehen, wie diese Vermutung bewiesen wurde – und der Beweis wurde von einer Autorität in der Topologie erbracht, die dasselbe Lehrbuch gelesen hatte und von demselben Problem angezogen wurde, wobei relativ einfache Techniken zum Einsatz kamen. Dies ist auch der Grund, der mich dazu veranlasst hat, diesen Artikel zu schreiben.

Abschließend möchte ich Greg Egan danken, einem berühmten australischen Science-Fiction-Autor. Er beteiligte sich an der Diskussion des Papiers (Referenz [1]) und half dem Autor, einige der Konzepte des Papiers zu verstehen. Gleichzeitig gestattete Egan dem Autor großzügigerweise, das von ihm erstellte Demonstrationsvideo kostenlos zu verwenden (das in diesem Artikel verwendete GIF wurde von ihm erstellt).

Egan ist eine Anomalie in der Science-Fiction-Welt. Die meisten seiner Science-Fiction-Romane sind nicht Hardcore und erfordern oft fortgeschrittene Kenntnisse in Mathematik und Physik. Sein Science-Fiction-Roman „Schild’s Ladder“ wird von vielen Science-Fiction-Fans als der schwierigste Science-Fiction-Roman der Geschichte angesehen. Es heißt, dass man zum Verständnis dieses Buches mindestens einen Universitätsabschluss in Physik benötigt. Daher ist er auch als König der Hard Science Fiction bekannt.

Verweise

[1] Das optimale Papier-Möbiusband, 2308.12641.pdf (arxiv.org)

[2] Dreißig Vorlesungen über klassische Mathematik, Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov, American Mathematical Society

[3] Mathematiker löst 50 Jahre altes Möbiusband-Puzzle - Scientific American

[4] Von Möbius zu Chern: Möbius-Transformation und Möbius-Streifen, Liu Peijie, Harbin Institute of Technology Press

[5] Richard Evan Schwartz (brown.edu)

[6] Eine kurze Geschichte der algebraischen Topologie und der Differentialtopologie, von Gan Danyan, Hunan Education Press

[7] Möbiusband – Wikipedia

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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