Diese verallgemeinerte inverse Matrix wurde von Penrose im Alter von 24 Jahren neu erfunden | N-Wort grobe lineare Algebra

Viele Studenten sind verwirrt und fühlen sich unwohl, wenn sie zum ersten Mal lineare Algebra lernen, und erkennen die praktische Bedeutung des Kurses nicht. Dies liegt vor allem daran, dass Lehrbücher, um schrittweise vom Oberflächlichen zum Tiefergehenden vorzudringen, mit grundlegenden abstrakten Konzepten beginnen müssen und die wirklich intuitiven Teile oft bis zu den späteren Unterbereichen oder spezifischen Anwendungen warten müssen. Daher kennen Anfänger oft die Ergebnisse, aber nicht die Gründe. sie sehen nur die Bäume, aber nicht den Wald. Ich hoffe, dieser Artikel kann Ihnen dabei helfen, Ihre Perspektive zu ändern und die lineare Algebra aus einer entspannten und interessanten Alltagsperspektive auf eine andere Art und Weise zu betrachten.

Dieser Artikel ist der fünfte in einer Artikelserie mit dem Titel „Ein grober Leitfaden zur linearen Algebra in N Texten“. Im vorherigen Artikel haben wir besprochen, wie man mit der Situation umgeht, in der ein lineares Gleichungssystem keine oder unendlich viele Lösungen hat. Wenn A eine vollrangige quadratische Matrix ist, lautet die lineare Gleichung

Geschrieben von | Wu Jinyuan

Im letzten Kapitel des Buches ging es um einen kurzsichtigen Otaku, der eines Tages nach unten in den Frühstücksladen ging, um Frühstück zu kaufen. Ich habe meine Brille zu Hause vergessen und kann die Preise auf der Tafel nicht sehen. Der Otaku stand also in der Schlange, während er sich die Anzahl der Frühstücksartikel anhörte, die der Kunde vor ihm gekauft hatte, und den Gesamtpreis, den die Kellnerin nannte, und berechnete auf dieser Grundlage den Einzelpreis der verschiedenen Frühstücksartikel.

Der Otaku kaufte Frühstück und aß, während er nachdachte. Wir wissen, dass nur quadratische Matrizen, also Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten, inverse Matrizen haben können. Allerdings hat selbst eine quadratische Matrix nicht unbedingt eine Inverse. Denn damit eine Matrix eine Inverse hat, muss sie nicht nur quadratisch sein, sondern auch den vollen Rang haben. In der realen Welt begegnen wir jedoch häufig Matrizen, die nicht quadratisch sind oder die keinen (Spalten-)Vollrang aufweisen. Können wir in dieser Situation einfach hilflos zusehen und nichts tun?

Diese Frage selbst ist ein echtes Problem. Obwohl wir beim Lösen eines linearen Gleichungssystems möglicherweise keine eindeutige Lösung für die Gleichung finden, hoffen wir, durch dieses Gleichungssystem die Beziehung zwischen den Unbekannten zu verstehen. Dazu müssen wir die verallgemeinerte inverse Matrix einer beliebigen Matrix finden.

(1) Echte Mathematik, unterrichtet von falschen Kunstlehrern

Für eine beliebige Matrix A , unabhängig davon, ob sie quadratisch ist oder nicht und ob ihr Rang voll ist oder nicht, gilt: Wenn es eine Matrix G gibt, die die Bedingung AGA = A erfüllt, dann heißt G eine verallgemeinerte inverse Matrix von A. Wenn beide Bedingungen AGA = A und GAG = G erfüllt sind, dann heißt G eine reflexive verallgemeinerte inverse Matrix. Lassen Sie uns unten ein Beispiel besprechen.

Die Rolle der Matrix kann durch Koordinatentransformation erklärt werden. Tatsächlich können Malerei und Fotografie als koordinierte Transformation betrachtet werden. Wenn ich das sage, schnappen sich die Künstler natürlich einen Besen und schmeißen mich raus. Deshalb müssen wir unsere Gespräche auf falsche Kunstlehrer wie mich beschränken. Zum Beispiel habe ich eines Tages einen Apfel gezeichnet.

Meine Zeichenfähigkeiten sind sehr schlecht, aber wenn ein ausgebildeter Maler etwas sehr Ähnliches wie das untenstehende zeichnen würde, sollte es nicht schwierig sein.

Dieses Bild wurde tatsächlich mit Photoshop bearbeitet und soll hier zeigen, dass einige Maler es tatsächlich so ähnlich zeichnen können.

Wir können uns die Fotografie als eine Matrix vorstellen: A. Ihre Funktion besteht darin, ein physisches Objekt ( x ) oder ein Gemälde ( v ) in eine Fotografie ( u ) umzuwandeln.

Aus Objekten werden Fotos: u = Ax

Aus Malerei wird Foto: u = Av

In ähnlicher Weise können wir uns eine Zeichnung als Matrix vorstellen: G . Seine Funktion besteht darin, reale Objekte oder Fotos in Gemälde zu verwandeln.

Aus Objekten werden Gemälde: v = Gx

Aus Fotos werden Gemälde: v = Gu

Vor Ort ist unschwer zu erkennen, dass sich die Gemälde stark von den realen Objekten unterscheiden. Ebenso unterscheiden sich die Fotos und die realen Objekte sowie die Fotos (Fotos, die aus einem bestimmten Winkel aufgenommen wurden) und die Gemälde.

Wir können jedoch Folgendes tun:

Wenn in diesem Prozess Foto 1 mit Foto 2 identisch ist, kann die Gemäldematrix G als verallgemeinerte inverse Matrix der Fotografie A betrachtet werden, da sie AGA = A erfüllen.

In ähnlicher Weise können wir Folgendes tun:

Wenn die Zeichnungen 1 und 2 gleich sind, dann ist GAG = G.

Ich muss hier betonen, dass die Malerei offensichtlich nicht die inverse Matrix der Fotografie ist, da wir von einem Foto keinen echten Apfel zeichnen können, nicht einmal ein dreidimensionales Modell eines Apfels. Doch die Malerei ist die verallgemeinerte inverse Matrix der Fotografie, denn nachdem das Foto durch die Malerei in ein Gemälde verwandelt wurde und das Gemälde dann durch die Fotografie in ein Foto verwandelt wurde, sind die beiden Fotos identisch.

Ebenso ist die Fotografie nicht die inverse Matrix der Malerei, sondern ihre verallgemeinerte inverse Matrix.

Beide sind das verallgemeinerte Gegenteil voneinander und beide sind reflexiv.

(2) Finden einer zuverlässigen verallgemeinerten inversen Matrix

Wechseln wir nun den Mathematiklehrer und diskutieren wir dies aus einem anderen Blickwinkel. Welche Bedingungen muss die verallgemeinerte inverse Matrix erfüllen? Wie bereits erwähnt, ist G eine verallgemeinerte inverse Matrix von A , wenn es für eine Matrix A eine andere Matrix G gibt, die die Bedingung AGA = A erfüllt. Wir verwenden immer noch das Beispiel des kurzsichtigen Otaku, der sein Frühstück kauft, um die Definition der verallgemeinerten inversen Matrix zu veranschaulichen.

Nehmen wir beispielsweise an, dass sich vor dem Otaku nur zwei Kunden befinden, wie in der folgenden Tabelle dargestellt.

Diese beiden Transaktionen bilden ein lineares Gleichungssystem, welches sich mittels Matrizenmultiplikation wie folgt darstellen lässt:

Offensichtlich haben wir hier drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen. Die Einschränkungen sind unzureichend und es kann keine eindeutige Lösung geben. Gemessen an der Koeffizientenmatrix ist diese Matrix kurz und dick und weist offensichtlich keinen vollen Rang auf, sodass diese Matrix keine entsprechende inverse Matrix hat. Aber wir können die verallgemeinerte Inverse dieser Matrix definieren.

Diese Definition kann als folgendes Diagramm dargestellt werden.

Im Frühstücksladen gibt es drei Arten von Lebensmitteln, und die drei Stückpreise bilden den Vektor x . Die von zwei Kunden gekaufte Menge verschiedener Lebensmittelarten ergibt eine Matrix A mit 2 Zeilen und 3 Spalten. Der gesamte Einkaufspreis der beiden Kunden stellt einen Vektor y mit zwei Elementen dar. Der Berechnungsprozess des Gesamtpreises ist eine Matrizenmultiplikation Ax = y , die in der ersten Zeile der Abbildung dargestellt ist.

Wir gehen vom Gesamteinkaufspreis y der beiden Kunden aus. Obwohl wir den genauen Stückpreis der drei Lebensmittel nicht berechnen können, ist es durchaus möglich, eine Reihe möglicher Stückpreise u zu berechnen, wie in der zweiten Zeile der obigen Abbildung gezeigt. Dieser Algorithmus nimmt letztendlich die beiden Elemente in y und erstellt eine lineare Kombination. Diese Linearkombination kann als Matrizenmultiplikation betrachtet werden: u = G y , wobei G die verallgemeinerte inverse Matrix von A ist, die aus A berechnet werden kann. Obwohl diese Berechnung relativ kompliziert ist, werden wir sie vorerst nicht diskutieren. Beachten Sie, dass der hier berechnete mögliche Stückpreis u möglicherweise völlig anders ist als der Stückpreis x, den wir im Voraus kennen, dieser Satz möglicher Stückpreise sollte jedoch zuverlässig sein.

Aber was bedeutet „zuverlässig“? Wir erklären dies anhand der dritten Zeile der obigen Abbildung. Einfach ausgedrückt: Au = y . Mit anderen Worten: Wenn wir diesen neuen Satz möglicher Stückpreise verwenden, um die uns im Voraus bekannten tatsächlichen Stückpreise zu ersetzen und so den Gesamtkaufpreis der ersten beiden Kunden zu berechnen, muss das Ergebnis unverändert bleiben. In unserem Beispiel kennen wir die Einzelpreise bereits im Voraus: 3 Yuan für frittierte Kuchen, 4 Yuan für Tee-Eier und 7 Yuan für Tofu-Pudding. Mithilfe der verallgemeinerten inversen Matrix können wir möglicherweise einen weiteren möglichen Satz von Stückpreisen berechnen: 3 Yuan für frittierte Kuchen, 5,5 Yuan für Tee-Eier und 5,5 Yuan für Tofu-Pudding. Dieser Satz möglicher Stückpreise entspricht offensichtlich nicht den tatsächlichen Stückpreisen, die wir im Voraus kennen, aber der aus diesem Satz möglicher Stückpreise berechnete Gesamteinkaufspreis der beiden Kunden bleibt unverändert. Tatsächlich erhalten wir immer das gleiche Ergebnis, wenn der Einzelpreis für Tee-Eier plus der Einzelpreis für Tofu-Pudding 11 Yuan beträgt.

(3) Es kann mehr als eine verallgemeinerte inverse Matrix geben

Wir verlangen, dass die verallgemeinerte inverse Matrix „zuverlässig“ ist oder dass AGA = A ist, was eine sehr lockere Bedingung ist. Da diese Bedingung sehr locker ist, ist es für eine Matrix A durchaus möglich, dass es unendlich viele Matrizen G gibt, die die Bedingung erfüllen. Daher kann eine Matrix unendlich viele verallgemeinerte inverse Matrizen haben.

Wenn die Matrix A eine quadratische Matrix mit vollem Rang ist, hat sie natürlich nur eine verallgemeinerte inverse Matrix, und diese verallgemeinerte inverse Matrix ist die inverse Matrix, die wir zuvor gelernt haben.

Bei AGA = A ist das Produkt ( GA ) zwar ein bisschen wie die Identitätsmatrix, denn wenn es mit A multipliziert wird, erhält man auch A : A ( GA ) = A , aber ( GA ) ist normalerweise nicht die Identitätsmatrix und kann normalerweise nur A wiederherstellen, aber keine anderen Matrizen.

(4) Picking und Auswahl in der verallgemeinerten inversen Matrix

Obwohl die Matrix G , die AGA = A erfüllt, eine „zuverlässige“ verallgemeinerte inverse Matrix ist, gibt es im Allgemeinen unzählige Matrizen G , die diese Bedingung erfüllen. Wie in unserem vorherigen Beispiel kann eine Matrix G als verallgemeinerte inverse Matrix berechnet werden, solange sie berechnen kann, dass der Einzelpreis von Tee-Eiern plus der Einzelpreis von Tofu-Pudding 11 Yuan ergibt.

Wir fragen uns natürlich, ob wir den Bereich der von uns gewählten verallgemeinerten inversen Matrizen eingrenzen können, vorzugsweise auf nur eine?

Wir Menschen waren schon immer so. Wir werden ängstlich, wenn wir etwas nicht haben, und wir werden auch ängstlich, wenn wir zu viel davon haben. Wenn eine reiche Dame beispielsweise einen Schwiegersohn auswählt, stellt sie zunächst die Anforderung, dass der Schwiegersohn groß sein muss. Wenn es viele Menschen gibt, die die Anforderungen erfüllen, stellt sie die Anforderung, dass der Schwiegersohn aus einer wohlhabenden Familie stammen muss, und stellt dann die Anforderung, dass der Schwiegersohn gutaussehend sein muss.

Tatsächlich ist die Idee, den Bereich der verallgemeinerten inversen Matrix einzugrenzen, dieselbe. Es gibt nichts, was nicht durch das Hinzufügen von Einschränkungen erreicht werden könnte. Wenn es nicht funktioniert, fügen Sie einfach ein paar weitere Bedingungen hinzu.

Die Bedingung, die einem am ehesten in den Sinn kommt, ist GAG = G , die in ihrer Erscheinung symmetrisch zu AGA = A ist. Was das bedeutet, lässt sich anhand der folgenden Abbildung verdeutlichen.

In unserem vorherigen Beispiel des Frühstückskaufs können wir basierend auf dem Zahlungsbetrag y' der beiden Kunden die verallgemeinerte inverse Matrix verwenden, um den Einzelpreis der drei Lebensmittel zu berechnen. Obwohl dieser Stückpreis nicht mit dem tatsächlichen Stückpreis übereinstimmt, kann er einige wertvolle Informationen liefern. Wenn beispielsweise die Zahlungsbeträge zweier Kunden heute niedriger sind als gestern, können wir logischerweise davon ausgehen, dass es heute einen Rabatt gibt und der Einzelpreis eines Lebensmittels reduziert wurde.

Mithilfe einer der vielen verfügbaren verallgemeinerten inversen Matrizen kann der kurzsichtige Computerfreak den heutigen Stückpreis für Lebensmittel u = Gy' berechnen, wie in der ersten Zeile der obigen Abbildung gezeigt. Natürlich ist dieser Satz von Stückpreisen nicht unbedingt korrekt. Mithilfe dieser Einzelpreise kann die Kellnerin den Zahlungsbetrag der beiden Kunden berechnen: Au = y , wie in der zweiten Zeile der obigen Abbildung dargestellt. Beachten Sie, dass die vom kurzsichtigen Otaku gehörten Zahlungsbeträge y und y' unterschiedlich sein können. Wenn der kurzsichtige Computerfreak nun den Stückpreis für Lebensmittel u = Gy umgekehrt berechnet, wie in der dritten Zeile der obigen Abbildung gezeigt, wird er im Allgemeinen nicht zum gleichen Ergebnis kommen. Da es jedoch im Allgemeinen unzählige verallgemeinerte inverse Matrizen gibt, ergeben die beiden Berechnungen in der ersten und dritten Zeile der obigen Abbildung denselben Stückpreis, wenn wir zunächst eine geeignete verallgemeinerte inverse Matrix G wählen, die GAG ​​= G erfüllt.

Wir können sehen, dass die beiden Bedingungen AGA = A und GAG = G symmetrisch sind und dass ein Paar Matrizen A und G , die diese beiden Bedingungen erfüllen, jeweils die verallgemeinerten inversen Matrizen des jeweils anderen sind und zueinander reflexiv sind. In einigen Literaturstellen wird die Matrix G , die die Bedingung AGA = A erfüllt, als innere Inverse von A bezeichnet; Die Matrix G , die die Bedingung GAG = G erfüllt, wird als äußere Inverse von A bezeichnet.

Mit den beiden Bedingungen AGA = A und GAG = G wird die Anzahl der verallgemeinerten inversen Matrizen, die beide Bedingungen erfüllen, offensichtlich reduziert. Was jedoch ärgerlich ist, ist die Tatsache, dass wir für eine allgemeine Matrix A immer noch unzählige Gs haben können. Dies erfordert die Hinzufügung weiterer Einschränkungen, auf die wir später noch näher eingehen werden.

(5) Wählen Sie die einzige verallgemeinerte inverse Matrix

Durch das Hinzufügen von Einschränkungen können wir unseren Suchbereich einschränken. Es ist denkbar, dass wir unter geeigneten Bedingungen aus unzähligen verallgemeinerten inversen Matrizen eine eindeutige heraussuchen können. Natürlich müssen wir auch sicherstellen, dass die von uns festgelegten Bedingungen nicht zu streng sind, da es sonst zu einer peinlichen Situation kommen kann, in der keine verallgemeinerte inverse Matrix alle Bedingungen erfüllt. Glücklicherweise verfügen wir jetzt über mindestens einen Satz von Bedingungen, der sicherstellt, dass wir eine und nur eine verallgemeinerte inverse Matrix auswählen.

Jetzt ist Penrose an der Reihe zu glänzen. Für jede Matrix A gibt es genau eine Matrix G , die die folgenden vier Bedingungen erfüllt. Diese Matrix G wird als inverse Penrose-Matrix der Matrix A bezeichnet.

Es ist ersichtlich, dass von diesen vier Bedingungen die erste die Definition der verallgemeinerten inversen Matrix und die zweite die Beziehung zwischen der gerade besprochenen reflexiven verallgemeinerten inversen Matrix ist. In der dritten und vierten Gleichung bedeutet „*“ konjugierte Transposition, d. h., alle Elemente werden durch konjugiert komplexe Zahlen ersetzt und die Zeilen und Spalten der Elemente vertauscht. Wenn alle Elemente der Matrix in den Klammern reelle Zahlen sind, dann ist die konjugierte Transponierte "*" gleichbedeutend mit der Transponierten "T", oder anders ausgedrückt, das Produkt der beiden Matrizen in den Klammern ist AG oder GA symmetrisch. (Hier sei der Leser daran erinnert, dass A normalerweise kein Quadrat ist und daher G normalerweise auch kein Quadrat ist. Aber AG und GA sind quadratische Matrizen, und diese beiden quadratischen Matrizen sind im Allgemeinen eine größer und die andere kleiner.) Die dritte Bedingung erfordert, dass die verallgemeinerte inverse Matrix eine Kleinstquadrate-Lösung liefert. G , das die erste und dritte Bedingung gleichzeitig erfüllt, kann Gy verwenden, um die Kleinstquadrate-Lösung zu berechnen, wenn Ax = y widersprüchlich ist und keine Lösung hat. (Wenn das ursprüngliche Gleichungssystem nicht widersprüchlich ist, ist Gy die Lösung des Gleichungssystems). Die vierte Bedingung ermöglicht es der verallgemeinerten inversen Matrix, eine Lösung mit minimaler Norm bereitzustellen. Wir wissen, dass das ursprüngliche Gleichungssystem unendlich viele Lösungen haben kann, wenn es nicht ausreichend eingeschränkt ist. Die Rolle der vierten Bedingung besteht nun darin, die Lösung mit der minimalen Norm auszuwählen.

Es gibt kaum noch lebende Menschen, deren Namen in Universitätslehrbüchern stehen, aber Roger Penrose ist noch am Leben und es geht ihm gut. Für seine Arbeit über Schwarze Löcher erhielt er 2020 den Nobelpreis für Physik.

Roger Penrose | Öffentlichkeitsarbeit zum Nobelpreis. Foto: Fergus Kennedy

Penrose entdeckte die Penrose-Inverse und veröffentlichte seine Arbeit im Jahr 1955. Tatsächlich war diese inverse Matrix bereits vor über 30 Jahren von seinen Vorgängern entdeckt worden. Doch davon hatte Penrose damals noch keine Ahnung. In gewisser Weise erfand er das Rad neu.

Natürlich kann man Penrose dafür nicht verantwortlich machen, da viele Leute in der Mathematik-Community damals nichts davon wussten. Tatsächlich hatte vor Penrose bereits der schwedische Geodät Arne Bjerhammar im Jahr 1951 das Rad neu erfunden. Als Penrose seine Arbeit einreichte, ist es zumindest denkbar, dass die Gutachter seines Artikels noch nichts von der früheren Arbeit wussten, sonst wäre der Artikel vielleicht nicht veröffentlicht worden. Sie fragen sich vielleicht, welcher Redakteur es wagen würde, einen Artikel eines Nobelpreisträgers abzulehnen? Aber selbst Nobelpreisträger können manchmal kindisch sein. Erst mehr als 60 Jahre später erhielt Penrose den Nobelpreis. Er war damals gerade ein 24-jähriger Doktorand.

Der Mathematiker, der 1920 die verallgemeinerte inverse Matrix entdeckte, war Eliakim Hastings Moore. Er drückte seine Entdeckung mithilfe der Projektion auf den Zeilen- und Spaltenunterraum der Matrix aus. Es war sehr abstrakt und schwer zu verstehen, sodass nicht viele Leute weiter daran arbeiteten. Ich habe den Originaltext seines Aufsatzes von 1920 nicht gefunden, aber ich habe eine Paraphrase späterer Generationen gelesen. Wenn Leute einen Artikel als schwer verständlich beschreiben, sagen sie normalerweise, dass sie alle Wörter erkennen, aber die Bedeutung nicht verstehen. Allerdings erkenne ich in diesem Artikel einige der Buchstaben nicht einmal. Ich habe im Internet nach dem griechischen, hebräischen und kyrillischen Alphabet gesucht, konnte den Buchstaben, den ich nicht erkannte, jedoch nicht finden. Schließlich stellte ich fest, dass es sich bei dem Buchstaben um einen kursiven lateinischen Buchstaben handelte.

Moore | Wikipedia

Jahre später wusste man, dass die Inverse von Penrose und Moore äquivalent waren, die Ausdrücke von Penrose und Moore jedoch sehr unterschiedlich waren. Darüber hinaus können die vier Bedingungen von Penrose zerlegt und miteinander vermischt werden, wodurch neuere Eigenschaften der verallgemeinerten inversen Matrix zum Vorschein kommen. Daher wurde Penroses neuer Beitrag von der mathematischen Gemeinschaft voll anerkannt und man nennt diese Inverse heute die Moore-Penrose-Inverse. Wir werden dies später noch genauer besprechen. (Fortgesetzt werden)

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