Warum sehen die meisten Menschen, die im Jahr der Schlange geboren sind, nicht so aus? Dies hängt tatsächlich mit der dritten Mathekrise zusammen …

Produziert von: Science Popularization China

Autor: Liu Wenjin

Hersteller: China Science Expo

2025 ist im Mondkalender das Jahr der Schlange, und wie üblich werden wir viele tanzende Schlangen auf den Titelseiten von Zeitschriften und Kalendern sehen.

Die meisten Internetnutzer spüren ein Kribbeln auf der Kopfhaut und schwache Beine, wenn sie eine Schlange sehen. Wenn ich beispielsweise ein Bild posten möchte, vermuten Sie möglicherweise, dass es über das Netzwerkkabel in Ihr Haus gelangt. Geben Sie daher zunächst ein Warnsignal.

Xu Beihongs chinesisches Gemälde „Die zwölf Tierkreiszeichen: Schlange“

Man kann jedoch dankbar sein, dass in der traditionellen chinesischen Kultur bei der Darstellung des Tierkreisbildes der Schlange häufig die oben gezeigten Formen der „zusammengerollten Schlange“ oder der „tanzenden goldenen Schlange“ anstelle des „Ouroboros“-Bildes verwendet werden.

Das Ouroboros-Symbol: ein Teufelskreis aus Ursache und Wirkung ohne Anfang und Ende

„Ouroboros“ ist ein sehr altes Symbol, das in den alten ägyptischen, griechischen und indischen Zivilisationen eine reiche symbolische Bedeutung hat. Es kommt auch häufig in religiösen Beschreibungen in Westafrika und Mittelamerika vor und steht meist für „Unendlichkeit und Kreislauf“, „Chaos der Welt“, „Sonne“ oder „Mutter“. Die konkrete Form ist in etwa eine Schlange/ein Drache, die/der ihren eigenen Schwanz verschluckt, wodurch ein Kreis entsteht, der manchmal in der Form einer „8“ oder „∞“ dargestellt wird.

Das Ouroboros-Muster, das auf die Außenseite des Sarkophags von Tutanchamun gemalt wurde (1300 v. Chr.)

(Fotoquelle: egypttoursportal)

Abbildung des Ouroboros aus einem alchemistischen Text (1478 n. Chr.)

(Bildquelle: thelemapedia)

Sogar in der chinesischen Hongshan-Kultur vor fünf- oder sechstausend Jahren gab es ähnliche ikonische Bilder.

Der Jadeschweindrache, ein repräsentatives Kulturrelikt der Hongshan-Kultur

(Fotoquelle: Offizielle Website des Nationalen Palastmuseums, Taipeh, China)

Auch in der modernen Wissenschaft hat diese Schlange, die es wagt, sich selbst zu kosten, Großes geleistet: Der weltbekannte theoretische Physiker und Nobelpreisträger Sheldon Glashow kennzeichnet dieses Symbol häufig mit einer Skala, um die Einheit mikroskopischer und makroskopischer Teilchen darzustellen.

(Bildquelle: Glashow, Der Charme der Physik)

In der Geschichte der Chemie hat der Ouroboros Wunder vollbracht: 1864 träumte der deutsche Chemiker Kekulé von einem Ouroboros-förmigen Ring, was ihn dazu inspirierte, das Benzolprojekt zu erforschen. Es stellte sich heraus, dass das Benzolmolekül, genau wie ich es in meinem Traum gesehen hatte, aus sechs Kohlenstoffatomen besteht, die Ende an Ende miteinander verbunden sind und so eine sehr stabile Struktur bilden.

Die Struktur von Benzol ist in unseren Chemiebüchern aktiv

(Bildquelle: chm.bris.ac.uk)

Wenn Chemiker heteroaromatische Substanzen synthetisieren, stellen sie außerdem fest, dass die durch den Ouroboros erreichte Ringisomerstruktur die stabilste ist:

(Bildquelle: sciencedirect)

…

Kommen wir zurück zum Thema. Warum wurde das alte und magische Bild des „Ouroboros“ nicht in den Tierkreis aufgenommen, obwohl es vielleicht ein Segen im Unglück ist?

Sollte es eine Schlange geben, die sich selbst frisst?

Wenn wir das Bild des Ouroboros einige Sekunden lang betrachten, kommen uns natürlich einige Fragen in den Sinn: Wenn die Schlange weiter frisst, ohne die Reibung, ihr eigenes Volumen oder die Möglichkeit des Erstickens zu berücksichtigen, wie viel wird sie dann letztendlich verschlingen? Wird es sich selbst verdauen, bis nur noch ein Magen übrig ist? Ist diese Art des Verschlingens Schöpfung oder Zerstörung?

Diese scheinbar absurden Fragen können Sie vom Jahresanfang bis zum Jahresende beschäftigen, ohne dass Sie Antworten darauf bekommen. Tatsächlich wurde diese Frage von unzähligen Menschen gestellt, ohne dass sie jemals eine sinnvolle Antwort erhalten hätten.

Es hat keinen Sinn, Recht zu haben. Manche Fragen scheinen ernste Fragen zu sein, aber die Antworten sind kaum ernste Antworten. Das Bild des sich selbst verschlingenden Ouroboros ist auch eine Metapher für ein häufiges Paradoxon, das in der Mathematik, Philosophie, Logik, Linguistik, Kognitionswissenschaft und Informatik auftritt: die Selbstreferenz .

Einfach ausgedrückt: Wenn etwas sich selbst beschreibt, spricht man von Selbstreferenz. Paradoxerweise erscheinen selbstreferenzielle Situationen in unserer alltäglichen Wahrnehmung oft sehr „vernünftig“:

Das Lügner-Paradoxon: „Was ich jetzt sage, ist eine Lüge.“

Wenn wir die Wahrheit oder Falschheit dieses Satzes betrachten, geraten wir in ein Dilemma: Angenommen, dieser Satz ist wahr, dann kann man seiner Semantik zufolge sagen, dass er falsch ist; Wenn wir davon ausgehen, dass dieser Satz falsch ist, ist seine Semantik zufällig „das, was er ist“, sodass man sagen kann, dass er wahr ist. Auf diese Weise wird die Widerspruchsäquivalenz konstruiert.

Nehmen wir ein weiteres reales Beispiel: Auf dem Schild unten steht „Verkehrsschild außer Betrieb“, aber es steht tatsächlich am Straßenrand, um seinen Dienst zu tun, was zu einem weiteren Konflikt führt.

„Wegweiser außer Betrieb“

(Bildquelle: Internet)

Warum treten diese Paradoxe auf? Hofstadter, Mitglied der American Academy of Arts and Sciences und berühmter Kognitionswissenschaftler, erklärte: „Das Seltsame an der Selbstreferenz rührt daher, dass ein System sich durch eine unerwartete Schaltungsverdrehung „selbst auffrisst“ und so die hierarchische Ordnung, die wir für unantastbar halten, gewaltsam verletzt .“

Nehmen wir als Beispiel das Verkehrsschild im Bild oben: Wenn das Verkehrsschild auf andere Objekte zeigt, beispielsweise auf eine Grube, befinden sich das Verkehrsschild und die Grube unserer Intuition nach auf zwei Ebenen, und das erstere ist „höher“ als das letztere. Wenn das Verkehrszeichen jedoch auf sich selbst zeigt, wird diese Ordnung aufgehoben. Das Verkehrszeichen und der Text weisen eindeutig auf dasselbe Objekt hin, stehen aber jeweils auf einer höheren Ebene als die anderen. Das ist, als würde man mit dem rechten Fuß auf den linken Fuß treten und dann mit dem linken Fuß auf den rechten Fuß, um Schritt für Schritt zum Erfolg zu kommen. Es entsteht ein logischer Riss.

„Hand Drawing Hand“ des niederländischen Malers Escher ist ein klassisches selbstreferenzielles Gemälde

(Fotoquelle: Offizielle Website des BYU Art Museum)

Hat die Selbstreferenz zur dritten Krise der Mathematik geführt?

Wenden wir uns nun der (beängstigenden) Mathematik zu.

Von der Zeit der griechischen Antike im Jahr 400 v. Chr. bis heute hat die Menschheit insgesamt drei mathematische Krisen erlebt, die jeweils die Grundlagen der Mathematik erschütterten, gleichzeitig aber auch einen wichtigen Wendepunkt in der Geschichte der mathematischen Entwicklung darstellten.

Diese Krisen beziehen sich alle auf „Unendlichkeit“: Bei der ersten Krise ging es um „Unendlichkeit“ – irrationale Zahlen; die zweite Krise drehte sich um das „unendlich Kleine“ – die Infinitesimalrechnung; und die dritte mathematische Krise war die „Paradoxkrise in der Mengenlehre“, die durch die Selbstreferenz verursacht wurde, die wir als „Endlosschleife“ verstehen können.

Der Hintergrund der dritten mathematischen Krise war unter anderem folgender: Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts hatten Mathematiker eine großartige Idee: Sie wollten die gesamte Mathematik durch Logik ableiten.

Die dritte mathematische Krise von Hu Zuoxuan

Wie verstehen Sie das? Einfach ausgedrückt glauben sie, dass die Mathematik wie ein Gebäude ist, das einige tragende Säulen braucht, nämlich „ein paar Axiome“. Aus den deduktiven Regeln dieser Axiome lassen sich weitere mathematische Theoreme ableiten und so die gesamte Mathematik zu einem streng deduktiven Gebäude konstruieren – daher wurde die Logikforschung im 20. Jahrhundert stark mathematisiert und die daraus entwickelte Logik als „mathematische Logik“ bezeichnet.

Warum machen Mathematiker das? Weil ich mich unsicher fühle! Die Mathematik könnte eines Tages plötzlich in eine Krise geraten, die niemand mehr lösen kann. Deshalb müssen wir einen Weg finden, die Zuverlässigkeit des mathematischen Systems ein für alle Mal zu beweisen.

Eine sehr komplexe Mindmap eines mathematischen Systems

(Bildquelle: pieces of Math)

Einem Mathematiker namens Frege wäre dieses Kunststück beinahe gelungen. Bei seinen Forschungen entdeckte er, dass alle arithmetischen Konzepte mit Hilfe logischer Konzepte definiert werden können und alle arithmetischen Gesetze mit Hilfe logischer Gesetze bewiesen werden können, wodurch ein vorläufiges, autarkes logisches Kalkülsystem entstand.

Die Grundlage dieses Systems ist die „Mengenlehre“, die mathematische Theorie, die sich mit Mengen (einem Ganzen, das aus einer Reihe abstrakter Objekte besteht) befasst und die grundlegendsten mathematischen Konzepte wie Mengen, Elemente und Beziehungen zwischen den Elementen umfasst. Seine Grundkonzepte haben alle Bereiche der Mathematik durchdrungen.

Die Mengenlehre ist eine der Grundlagen der modernen Mathematik

(Bildquelle: Bing)

Zurück zu Frege, der voller Begeisterung ein Buch schrieb, in dem er ein tadelloses und scheinbar perfektes mathematisches Gebäude beschrieb.

Das Buch stand kurz vor der Veröffentlichung, aber dann kam das „Aber“. Der Mathematiker Bertrand Russell entdeckte ein Paradoxon in der Mengenlehre. Die konkrete Beschreibung lautet: „Enthält die Menge, die aus allen Mengen besteht, die sich selbst nicht enthalten, sich selbst?“

Wenn es zu sich selbst gehört, sollte es per Definition nicht zu sich selbst gehören, da seine Elemente Mengen sind, die nicht zu ihm selbst gehören. gehört es jedoch nicht zu sich selbst, dann erfüllt es die Bedingungen, ein Element zu sein, und es scheint, dass es zu sich selbst gehören sollte.

Diese widersprüchliche Beschreibung, die einem unlösbaren logischen Zirkel gleicht, stürzte die Mathematiker der damaligen Zeit in tiefe Verwirrung. Was Frege betrifft, so sagte er im Nachwort des Buches hilflos: „Russells Paradoxon hat mich in eine verzweifelte Lage gebracht.“

Russells Paradoxon

(Bildquelle: Bing)

Um den Ouroboros-Teufelskreis zu durchbrechen und das etablierte mathematische Gebäude zu schützen, schlugen Mathematiker wie Zermelo und Frankel eine Reihe von Axiomen und Axiomensystemen vor. Ihren Axiomen zufolge ist es verboten, über B∈B zu sprechen. Russell selbst verordnete außerdem eine neue Mengenlehre, indem er eine strenge Sprachhierarchie einführte, um zu verhindern, dass sich eine Aussage auf sich selbst bezieht.

Da das Problem nicht gelöst werden kann, tun Sie einfach so, als ob es nicht existiert. Im Grunde sind diese Einschränkungen nichts anderes als eine Form der Vertuschung der Wahrheit.

Am Ende seiner Argumentation gelangte Gödel zu einer Schlussfolgerung, die von den meisten Menschen akzeptiert wurde: Die Grundlagen der Mathematik selbst sind unvollständig und manche Probleme können nicht durch mathematische Logik gelöst werden. Das Eingeständnis der „Unvollständigkeit“ kann auch als ein sehr wichtiger Meilenstein in der Geschichte der wissenschaftlichen Entwicklung bezeichnet werden.

Neben der Mathematik führt Selbstreferenz auch in der Informatik zum berühmten Turing-Halteproblem. Wissenschaftler spekulieren außerdem, dass Menschen ständig selbstreferenziell sind (z. B. durch Introspektion), aber nicht in einen Shutdown verfallen, sodass die Überwindung des selbstreferenziellen Problems des Computers die ultimative Abkürzung zur künstlichen Intelligenz sein könnte.

Das Halteproblem besteht darin, festzustellen, ob ein beliebiges Programm innerhalb einer begrenzten Zeit abgeschlossen werden kann.

(Bildquelle: Bing)

Es gibt in der Geschichte viele klassische Fälle wissenschaftlicher Paradoxien, die grob in zwei Kategorien unterteilt werden können:

Ein Typ besteht darin, dass die Argumentationsergebnisse absurd und der Intuition widersprechend erscheinen, aber tatsächlich lösbar sind, d. h. es handelt sich um „lösbare Paradoxe“.

Ein anderer Typ ist die Endlosschleife des Ouroboros – das Paradoxon des Selbstwiderspruchs und der Endlosschleife. Dieser Typ gehört zur Kategorie der „unlösbaren Paradoxien“. Im Rahmen des bestehenden logischen Systems scheinen wir sie nur verstehen und akzeptieren, aber nicht durchbrechen zu können.

Viele Wissenschaftler sind jedoch auch davon überzeugt, dass unlösbare Paradoxe eine wichtige Richtung für die Wissenschaft der Zukunft darstellen. Sobald wir das Paradoxon gelöst haben, werden wir eine „Singularität“ einleiten, die alles verändern wird.

Quellen:

[1] Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: Eine Sammlung verschiedener Wände, Commercial Press, 1997

[2] Chen Bo. Was ist Logik? Peking University Press, 2015

[3] Anders programmieren, (2020), Ouroboros in der Physik, https://blog.csdn.net/pilifeng1/article/details/103924438

[4] Anders programmieren, (2024), Mathematische Krise, klassisches Paradoxon, https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/52674487

[5] Kelling J. Donald und Samuel Gillespie und Ziad Shafi, (2018), Ouroboros: Heterocyclen geschlossen durch dative σ-Bindungen und stabilisiert durch π-Delokalisierung. Science Direct, https://doi.org/10.1016/j.tet.2018.11.058

[6] Knud Thomsen, (2016), Das Ouroboros-Modell, https://arxiv.org/pdf/0805.2815