Ein jahrhundertealtes Rätsel der statistischen Physik und seine Lösung

Die neue Theorie kann nicht nur die in Experimenten ermittelten Ergebnisse liefern, sondern auch neue Ergebnisse vorhersagen. Die physikalische Rationalität und Genialität dieses Ergebnisses kann nur der Anordnung der Natur zugeschrieben werden.

Geschrieben von Liu Quanhui (PhD in Theoretischer Physik, Professor der Fakultät für Physik und Mikroelektronik, Hunan-Universität)

Es gibt einen großen Unterschied zwischen schwierigen physikalischen und schwierigen mathematischen Problemen. Es kommt nicht selten vor, dass man auf schwierige mathematische Probleme stößt, die Jahrhunderte alt sind. Beispielsweise dauerte es vom Vorschlag bis zum Beweis des Großen Fermatschen Theorems 358 Jahre; und 280 Jahre für die Goldbach-Vermutung. Interessanterweise töten Sie jedes Mal, wenn Sie ein schwieriges mathematisches Problem lösen, die Gans, die die goldenen Eier legt. Auch in der Physik gibt es jahrhundertealte Probleme und jedes Mal, wenn man sie löst, ist es, als würde man eine Gans entdecken, die goldene Eier legt. Diese Fragen reichen von kleinen Fragen wie etwa, warum Eis rutschig ist, bis hin zu großen Fragen wie etwa der Struktur des Universums und seiner Entwicklung. von komplexen Themen wie dem Klimawandel bis hin zu spezifischen Themen wie der Rückkehr von Tauben in ihre Nester und so weiter. Das Problem des Finite-Size-Effekts, um das es in diesem Artikel geht, wird in Physiklehrbüchern behandelt, und im Laufe der Geschichte wurden kontinuierlich Forschungsarbeiten dazu veröffentlicht. Es ist ein kleines Problem zwischen Mathematik und Physik.

eins

Problem des endlichen Größeneffekts

Das Finden der wahrscheinlichsten aller statistischen Verteilungen ist eine grundlegende Kenntnis der Statistik. Allerdings befasst sich die Statistik mit großen Stichproben. Seltene Fälle liegen außerhalb des statistischen Rahmens. Auch die statistische Physik sucht nach der wahrscheinlichsten Verteilung, doch ein System kommt häufig mit Wärmereservoirs und Partikelreservoirs in Kontakt, und es kann sein, dass sich im System nur ein Partikel befindet. Mit anderen Worten: In der statistischen Physik tritt eine Verteilung auf, selbst wenn nur ein Teilchen auftritt. Wärmekraftmaschinen mit Einzelatomen waren in den letzten Jahren ein Schwerpunkt der Forschung, da sie sich mit der statistischen Verteilung nur eines einzigen Teilchens befassen. Die konventionelle Thermodynamik beschäftigt sich mit Systemen mit einer großen Teilchenzahl, die mathematisch als unendlich viele Teilchen behandelt werden. Gleichzeitig wird das Volumen des Systems als unendlich angenommen, während die Dichte der Teilchenzahl unverändert bleibt, was den sogenannten thermodynamischen Grenzwert darstellt. Am anderen Ende der thermodynamischen Grenze liegen kleine Systeme oder Systeme mit wenigen Teilchen oder Systeme endlicher Größe. Der hier auftretende neue Effekt kann als Finite-Size-Effekt oder Wenige-Partikel-Effekt bezeichnet werden.

Hunderttausende Wissenschaftler der statistischen Physik stehen jedoch seit mehr als anderthalb Jahrhunderten bei der Suche nach der wahrscheinlichsten Verteilung vor folgendem Problem: Die Anwendbarkeit der jeweiligen Theorie erfordert eine große Anzahl von Teilchen, und nur wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, kann die statistische Verteilung mit Hilfe ausgereifter mathematischer Werkzeuge angegeben werden. Natürlich sind diese Ergebnisse auch bei einer sehr großen Partikelanzahl korrekt und wurden durch Experimente streng überprüft. Gibt es also eine Verteilung, wenn die Anzahl der Partikel sehr gering ist? Wie ist die Form der Verteilung? Mathematisch gesehen läuft dieses Problem darauf hinaus, wie man mit dem Logarithmus lnx umgeht! einer Variablen x und dem Produkt x! und seine Berechnung, wobei die Variable x als Anzahl der Teilchen verstanden werden kann, x=0,1,2,…. Wenn x beispielsweise zwischen 1 und 10 liegt, handelt es sich um ein sogenanntes Kleinteilchensystem.

In der statistischen Physik gilt die Stirling-Formel von lnx! wird oft verwendet: lnx! ≈xlnx-x. Diese Formel ist sehr genau, wenn der x-Wert sehr groß ist. Aber wenn x klein ist, beispielsweise wenn x zwischen 1 und 10 liegt, ist die Genauigkeit dieser Formel sehr gering. Physisch gesehen ist dies jedoch die einzige Möglichkeit, es zu ertragen. Nicht mehr und nicht weniger! Der Hauptgrund besteht darin, dass nur auf diese Weise die Extensivität der Entropie eines thermodynamischen Systems gewährleistet werden kann. Bei einer genaueren Näherung wird die Erweiterungseigenschaft zwangsläufig zerstört. Mit anderen Worten: Wenn das Endergebnis der präzisen Stirling-Formel richtig ist, müsste es sich um den sogenannten Wenig-Partikel-Effekt oder Finite-Size-Effekt handeln, aber es ist höchstwahrscheinlich falsch.

Wenn x die Anzahl der Teilchen ist, lnx! ist eine natürliche diskrete Funktion. Ein wichtiger Zweck der Verwendung der Näherungsformel lnx!≈xlnx-x besteht darin, lnx! umzuwandeln. in eine kontinuierliche Funktion für Rechenoperationen. Wenn x jedoch klein ist, ist die Genauigkeit der Behandlung von lnx! als kontinuierliche Funktion ist sehr schlecht und kann nur als diskrete Funktion behandelt werden. Zu diesem Zeitpunkt das Differential dlnx! von lnx! sollte durch das Differential Δlnx! ersetzt werden. Es gibt jedoch viele Definitionen der Differenz Δlnx!, beispielsweise die vorherige Schrittdifferenz Δlnx!= ln(x+1)!- lnx!=ln(x+1), die nächste Schrittdifferenz Δlnx!= ln(x)!- ln(x-1)!=ln(x), die ersten beiden Schritte der Differenz, die nächsten beiden Schritte der Differenz, …, zentrale Differenz, exzentrische Differenz, … und so weiter. Es gibt so viele Definitionen und die physikalischen Ergebnisse, die sie liefern, sind unterschiedlich. Die Auswahl einer dieser Hypothesen ist gleichbedeutend mit der Einführung einer neuen Hypothese. Trotzdem ist das angezeigte Ergebnis wahrscheinlich unzuverlässig.

Deshalb, wenn lnx! In der statistischen Physik ist eine strikte Verarbeitung an zwei Stellen erforderlich: zum einen für den präzisen Ausdruck von lnx! und zum anderen für die strikte diskrete Analysis.

zwei

Finden Sie die stabilste Lösung

Auf der Suche nach einem exakten Ausdruck der Stirling-Formel für die Funktion lnx! sind Physiker den Mathematikern nicht gewachsen. Verschieben Sie die von Mathematikern ermittelten Ergebnisse einfach hierher. Die Frage ist also nicht, ob die exakte Stirling-Formel verwendet werden soll. Das Problem muss bei der Funktionsdifferenzierung auftreten. Nach vielen Versuchen und Fehlschlägen haben wir schließlich einen engen, aber genialen Weg zur Lösung dieses Problems gefunden[1], der die Anwendung der Stirling-Formel überhaupt nicht erfordert.

Die Suche nach der wahrscheinlichsten Verteilung in der statistischen Physik kann als ein Prozess der Suche nach Variation verstanden werden. Wenn Sie den richtigen Weg gehen, werden Sie mit Sicherheit einigen „Monstern und Dämonen“ begegnen. Das Folgende ist ein einfaches Beispiel zur Veranschaulichung.

Daher ist die Post-Differenz-Lösung stabiler. Geben Sie eine vernünftige Erklärung an. Sie kann aus der Mathematik oder Physik stammen, solange Sie die Posterior-Differenz-Lösung herausfinden können.

Nur sehr wenige Forscher würden so weit gehen und dann durch ein neues physikalisches Prinzip die stabilste Lösung als die wahre Lösung annehmen und die unrealistischen Lösungen ausschließen.

Doch auch hier ist das physikalische Problem nicht grundsätzlich gelöst.

drei

Ein kleiner Mathetrick: Asynchrone Differenzierung

Nach einigen Berechnungen können die Ergebnisse der neuen Theorie in drei Teile unterteilt werden. Im ersten Teil, wenn die Anzahl der Partikel sehr groß ist, kehren die Ergebnisse vollständig zu den traditionellen Ergebnissen zurück. Diese Ergebnisse wurden dann wiederholt in Experimenten überprüft; Wenn die neue Theorie nicht dieselben Ergebnisse lieferte, war die Theorie definitiv falsch. Im zweiten Teil, wenn sich im System nur zwei Teilchen befinden, etwa Bosonen oder Fermionen, bleibt die ursprüngliche Verteilung weiterhin gültig. Es scheint, dass die großkanonische Verteilung in der traditionellen statistischen Physik dieses Ergebnis nahegelegt hat. Allerdings bedeutet Vorschlagen nicht Bestätigen. Ob die Ergebnisse der großkanonischen Verteilung auch für Systeme mit nur einem oder zwei Teilchen geeignet sind, lässt sich aus der statistischen Physik selbst nicht beurteilen. Der dritte Teil: Wenn sich im System nur ein Teilchen befindet, geht die neue Theorie davon aus, dass die Quantennatur des Teilchens plötzlich verschwindet und alle Teilchen derselben Statistik gehorchen, nämlich der Boltzmann-Statistik. Das Ergebnis besteht darin, dass die Theorie zuerst das Ergebnis lieferte und es dann später verstanden wurde. Lassen Sie mich hierzu noch einige Worte sagen.

Die Quantenmechanik geht davon aus, dass die Frage, ob zwei Teilchen Fermionen oder Bosonen sind, eine Folge des Systemzustands ist, der die Austauschsymmetrie erfüllt. während die Quantenfeldtheorie davon ausgeht, dass es eine einfache Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Spin und Statistik gibt. Wenn ursprünglich zwei Bosonen im System vorhanden sind, ist der neuen Theorie zufolge die Bose-Verteilung erfüllt. Wenn Sie plötzlich eines davon wegnehmen und fragen: Ist das verbleibende immer noch ein Boson? Da dieses Boson nicht durch andere Teilchen ausgetauscht werden kann, geht die Quantenmechanik davon aus, dass es bedeutungslos ist, zu sagen, ob dieses Teilchen ein Boson ist oder nicht. Hier sagt die neue Theorie außerdem voraus, dass das Teilchen die Boltzmann-Statistik erfüllen sollte. Dieses Ergebnis bereitete mir eine Zeit lang große Sorgen, doch dann verstand ich plötzlich, dass es sich hierbei um eine geniale und unvermeidliche Fügung der Natur handelte. Wenn nur ein Teilchen vorhanden ist, kann das gesamte System als lokalisierter Bereich betrachtet werden, und dieses Teilchen ist ein lokalisiertes Teilchen, das natürlich nur die Boltzmann-Statistik erfüllen kann. Daher sagt die neue Theorie voraus, dass es bei der Änderung der Partikelanzahl von zwei auf eins zu einem Sprung zwischen den beiden Statistiken kommt und zu diesem Zeitpunkt ein neuer Wärmeaustausch stattfindet. Der Artikel [1] geht daher von folgender Annahme aus: Die neue Theorie kann experimentell überprüfbare Ergebnisse liefern.

Vier

Abschluss

Offensichtlich sind die hier involvierten Effekte begrenzter Größe schwierig, da entsprechende mathematische Werkzeuge nicht zur Verfügung stehen. Ich ließ mich von meinem physischen Sinn leiten und hatte das Gefühl, dass es irgendein physisches Ergebnis geben müsste. Dann wandte ich mich der Mathematik zu und stellte fest, dass das Problem nur durch die Einführung asynchroner Unterschiede gelöst werden konnte. Vielleicht hat jemand in der Mathematik die Idee der asynchronen Differenzierung in anderen Bereichen vorgeschlagen, aber sie wurde nie in die Physik eingeführt.

Die asynchrone Differenzierung scheint die Konventionen der Mathematik zu durchbrechen, bleibt aber dennoch im Rahmen der Mathematik. Asynchrone Differenzierung ist überall um uns herum, nur eine dünne Papierschicht entfernt. Die neue Theorie kann nicht nur die in Experimenten ermittelten Ergebnisse liefern, sondern auch neue Ergebnisse vorhersagen. Die physikalische Rationalität und Genialität dieses Ergebnisses kann nur der Anordnung der Natur zugeschrieben werden.

Nachtrag

Ich habe mein ganzes Leben lang Artikel geschrieben, aber ich habe viele der Artikel, die ich geschrieben habe, vergessen. Nachdem ich das Manuskript eingereicht habe, weiß ich nicht, bei welcher Zeitschrift es eingereicht wurde. Es gab sogar einen guten Artikel, der abgelehnt wurde, weil er die erste Prüfung bestanden hatte, aber es gab keine zeitnahe Antwort. Dieser Artikel [1] ist anders. Dies ist für mich eine Erklärung, nachdem ich mehr als 20 Jahre lang den Kurs „Thermodynamik und statistische Physik“ unterrichtet habe. Es handelt sich außerdem um eine Aufgabe, die ich unbedingt abgeben wollte, seit Professor Qian Hong von der University of Washington im Juni 2020 die internationale Seminarreihe Nanothermodynamica einberufen hat. Der Artikel wurde offiziell am 4. Mai, dem Tag der Jugend, veröffentlicht, der mit dem zweiten Jahrestag des Nano-Thermodynamik-Symposiums zusammenfällt. Wir wünschen dem Symposium weiterhin viel Erfolg. Die Tatsache, dass der Herausgeber der Annals of Physics diesen Artikel unbedingt veröffentlichen wollte, zeigt auch, dass es sich um ein Original handelt. Allerdings frustrierten mich die ständigen Absagen etwas. Ich habe nicht nur den ersten Satz des Artikels in eine Anzeige umgeschrieben: „Dieser Artikel zielt darauf ab, ein seit langem bestehendes grundlegendes Problem in der statistischen Physik zu lösen“, sondern ich konnte es auch kaum erwarten, auf der chinesischen Physik-Herbstkonferenz 2020–2021 einen Vortrag zu halten, um dafür zu werben. Nachdem das Papier angenommen worden war, konnte ich es immer noch nicht ganz glauben. nachdem ich es Korrektur gelesen hatte, kaufte ich mir einen Blumentopf als Andenken; Nachdem der Artikel veröffentlicht wurde, habe ich diesen Artikel sogar geschrieben, um damit zu prahlen.

Akademische Bildung ist ein öffentliches Gut und wir freuen uns aufrichtig über Kritik und Korrekturen von Experten, Lehrern und Freunden.

Verweise

[1] QH Liu, Asynchrone endliche Differenzen in der wahrscheinlichsten Verteilung mit endlicher Teilchenzahl, Annals of Physics, Vol. 441, Juni 2022, 168884. https://doi.org/10.1016/j.aop.2022.168884

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