Wie viele Drehungen sind nötig, um den Zauberwürfel wiederherzustellen?

Der Zauberwürfel ist ein Lernspielzeug, das bei den Menschen sehr beliebt ist. Seit Anfang der 1980er Jahre erfreut sich dieses Spielzeug auf der ganzen Welt großer Beliebtheit.

Der Zauberwürfel bietet viele Spielmöglichkeiten, darunter Schnelllösen, Blindlösen und Einzellösen. Seine Popularität hält schon lange an und jedes Jahr finden große und kleine Wettbewerbe statt. Es ist eines der beliebtesten Denkspiele.

Mit Zauberwürfel ist im herkömmlichen Sinne der schmale Zauberwürfel dreier Ordnung gemeint. Die Form eines Zauberwürfels ist in der Regel ein Würfel und besteht aus flexiblem Hartplastik. Die normale Art, das Rennen zu spielen, besteht darin, den Zauberwürfel zu mischen und ihn dann in der kürzest möglichen Zeit wiederherzustellen. Im weitesten Sinne bezieht sich der Zauberwürfel auf jede geometrische Form, die durch Drehen gemischt und wiederhergestellt werden kann.

Der Zauberwürfel, Huarong Road und French Single Noble (Independent Diamond Chess) gelten als die drei Wunder der intellektuellen Spielwelt.

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Der Zauberwürfel wurde von Ernö Rubik, einem Professor für Architektur an der Akademie für Angewandte Kunst in Budapest, Ungarn, erfunden und ist auch als Zauberwürfel bekannt.

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Was Rubik ursprünglich erfinden wollte, war kein Lernspielzeug, sondern ein Lehrmittel, mit dem er die räumliche Rotation demonstrieren und Schülern dabei helfen konnte, räumliche Geometrie intuitiv zu verstehen. Nach einigem Überlegen entschied er sich, einen Würfel mit einer 3×3×3-Struktur aus kleinen Blöcken zu bauen, deren Flächen beliebig gedreht werden konnten.

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Seit 1981 veranstalten Zauberwürfel-Fans auf der ganzen Welt Zauberwürfel-Wettbewerbe. Bei dieser Art von Wettbewerb brechen die Spieler immer wieder den Weltrekord für die kürzeste Erholungszeit.

Allerdings entspricht die Anzahl der Drehungen, die die Spieler zum Wiederherstellen des Zauberwürfels verwenden, nicht der theoretischen Mindestanzahl (d. h. es handelt sich nicht um „Gottes Zahl“), da sie eine Methode verwenden, die für das menschliche Gehirn leicht zu beherrschen ist und die kürzeste Wiederherstellungszeit anstrebt.

Zwar dauern ein paar zusätzliche Umdrehungen etwas länger, aber es ist immer noch viel schneller, als die theoretische Mindestanzahl an Umdrehungen zu finden – letztere übersteigt nämlich oft schlicht die Leistungsfähigkeit des menschlichen Gehirns.

Wie viele Runden sind also nötig, um den Zauberwürfel wiederherzustellen? Oder genauer gesagt: Wie viele Drehungen sind nötig, um sicherzustellen, dass der Zauberwürfel in einer beliebigen Farbkombination wiederhergestellt werden kann? Dieses Problem weckt nicht nur die Neugier von Zauberwürfel-Enthusiasten, sondern auch das Interesse einiger Mathematiker, da es sich um ein sehr schwieriges mathematisches Problem handelt. Mathematiker gaben dieser Mindestanzahl an Rotationen sogar einen ausgefallenen Spitznamen: „Gottes Zahl“.

Seit den 1990er Jahren suchen Mathematiker nach dieser mysteriösen „Gotteszahl“. Der direkteste Weg, die „Gotteszahl“ zu finden, ist, dass jeder daran denken kann, nämlich die Mindestanzahl von Drehungen für alle Farbkombinationen einzeln zu berechnen. Der größte Faktor unter ihnen ist offensichtlich die Mindestanzahl an Rotationen, die sicherstellen kann, dass jede Farbkombination wiederhergestellt werden kann, also die „Gotteszahl“. Leider kann selbst der leistungsstärkste Computer der Welt solche Berechnungen nicht durchführen, da der Zauberwürfel zu viele Farbkombinationen enthält. Was soll ich tun? Den Mathematikern blieb nichts anderes übrig, als auf ihr altes Handwerk zurückzugreifen – die Mathematik. Im Jahr 1992 schlug ein deutscher Mathematiker namens Herbert Kociemba einen neuen Ansatz vor. Er entdeckte, dass es unter den grundlegenden Rotationsmethoden des Zauberwürfels einen Teil gibt, der eine Reihe in sich selbst bilden kann, und durch diesen Teil der Rotation können fast 20 Milliarden Farbkombinationen gebildet werden. Mithilfe dieser 20 Milliarden Kombinationen zerlegte Kosenba das Wiederherstellungsproblem des Zauberwürfels in zwei Schritte: Der erste Schritt besteht darin, eine beliebige Farbkombination in eine der 20 Milliarden Kombinationen umzuwandeln, und der zweite Schritt besteht darin, die 20 Milliarden Kombinationen wiederherzustellen.

Wenn wir die Wiederherstellung des Zauberwürfels mit dem Segeln eines kleinen Bootes im Ozean zu einem festen Ziel vergleichen, dann sind die von Kosenba vorgeschlagenen 20 Milliarden Farbkombinationen wie ein spezielles Wassergebiet – ein spezielles Wassergebiet, das 20 Milliarden Mal größer ist als dieser feste Ort. Die beiden von ihm vorgeschlagenen Schritte sind so, als würde das Boot zuerst zu diesem bestimmten Gewässer segeln und dann von dort zu diesem festgelegten Ziel. Es ist offensichtlich viel einfacher, ein riesiges besonderes Wassergebiet im weiten Ozean zu finden, als direkt nach diesem kleinen Ziel zu suchen. Das ist der Vorteil der neuen Idee von Cosenba. Aber selbst dann ist es nicht einfach, die „Zahl Gottes“ mit Kosenbas Methode zu schätzen. Insbesondere um schnelle Berechnungen durchführen zu können, ist es am besten, die Mindestanzahl an Runden, die zum Wiederherstellen der 20 Milliarden Farbkombinationen (das entspricht der Karte des „speziellen Wassergebiets“) erforderlich ist, im Speicher des Computers zu speichern, wofür etwa 300 Megabyte Speicherplatz benötigt werden. 300 Megabyte erscheinen heute vielleicht nicht wie eine große Zahl, aber in dem Jahr, als Kosenba die neue Idee hatte, war der Speicher herkömmlicher Maschinen weit weniger als ein Zehntel davon groß. Daher dauerte es bis zu drei Jahre, bis jemand Kosenbas Methode verwendete, um die erste Schätzung vorzunehmen. Der Name dieser Person ist M. Reid, ein amerikanischer Mathematiker.

Im Jahr 1995 entdeckte Reed durch Berechnungen, dass sich jede Farbkombination des Zauberwürfels nach höchstens 12 Drehungen in eine von Kosenbas 20 Milliarden Kombinationen verwandeln ließ; und nach höchstens 18 Rotationen könnte jede der 20 Milliarden Kombinationen wiederhergestellt werden. Dies zeigt, dass jede Farbkombination des Zauberwürfels nach höchstens 12+18=30 Drehungen wiederhergestellt werden kann. Mithilfe dieser Idee wurde 2007 bewiesen, dass die „Gotteszahl“ nicht größer als 26 sein kann. Anders ausgedrückt: Es sind nur 26 Runden nötig, um den Zauberwürfel mit jeder beliebigen Farbkombination wiederherzustellen. Aber diese Zahl ist noch nicht „Gottes Zahl“, denn Kosenbas neue Idee hat eine offensichtliche Einschränkung: Sie muss zunächst durch eine der von ihm gewählten speziellen Farbkombinationen gehen. Tatsächlich sind bei einigen Restaurierungsmethoden mit den wenigsten Umdrehungen diese speziellen Farbkombinationen nicht erforderlich. Obwohl Kosenbas neue Idee den Rechenaufwand reduziert, ist die gefundene Wiederherstellungsmethode nicht unbedingt die mit der geringsten Anzahl von Rotationen.

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Um diese Einschränkung zu überwinden, haben sich Mathematiker für einen Kompromiss entschieden, der darin besteht, die Anzahl der speziellen Farbkombinationen entsprechend zu erhöhen, denn je größer diese Zahl ist, desto größer ist die Möglichkeit, dass die Wiederherstellungsmethode mit der geringsten Anzahl von Rotationen diese speziellen Farbkombinationen durchläuft. Natürlich erhöht sich dadurch zweifellos der Rechenaufwand. Die rasante Entwicklung der Computertechnologie machte den Anstieg der Rechenleistung jedoch bald wieder wett.

Mit diesem Kompromiss konnte der Computerexperte Tom Rokicki 2008 seine Schätzung der Gotteszahl auf 22 reduzieren. Anders ausgedrückt: Es sind nur 22 Runden nötig, um den Zauberwürfel mit jeder beliebigen Farbkombination wiederherzustellen. Ist die Zahl 22 also die „Zahl Gottes“? Die Antwort ist nein. Ein klares Zeichen hierfür ist, dass bisher keine Farbkombination gefunden wurde, deren Wiederherstellung mehr als 20 Runden erforderte. Dies hat zu Spekulationen geführt, dass die „Zahl Gottes“ 20 sei (sie kann nicht kleiner als 20 sein, da viele Farbkombinationen nachweislich 20 Runden zur Wiederherstellung benötigen).

Im Juli 2010 wurde diese Spekulation schließlich von Kosenba selbst und mehreren Mitarbeitern bestätigt. Daher können wir nun die Frage beantworten: „Wie viele Züge sind erforderlich, um den Zauberwürfel wiederherzustellen?“ mit der Sicherheit, die nur der Mathematik eigen ist. Die Antwort ist: 20.

Dieser Artikel ist reproduziert von / Origin Reading

Herausgeber/Xiao Xitushuo