Ein Meisterwerk der Physik, begraben in der ungelesenen Literatur der Meteorologie

Jahre später sprachen Physiker sehnsüchtig von Lorentz' Arbeit, in der diese Gleichungen diskutiert wurden – „dieses wunderschöne Meisterwerk“. Zum ersten Mal zeigen uns Lorenz‘ Bilder deutlich, was es bedeutet, zu sagen: „Das ist kompliziert.“ Alle weitreichenden Auswirkungen des Chaos sind vorhanden.

Von James Gleick

Übersetzung | Lou Weishan

In den 1950er und 1960er Jahren herrschte hinsichtlich der Wettervorhersagen ein allgemein unrealistischer Optimismus. Zeitungen und Zeitschriften setzten große Hoffnungen in die Meteorologie, nicht nur in die Wettervorhersage, sondern auch in die Wettermodifikation und -kontrolle. Es gibt zwei Technologien, die immer ausgereifter werden: elektronische Computer und künstliche Satelliten. Und eine internationale Zusammenarbeit namens Global Atmospheric Research Program bereitet sich darauf vor, diese Möglichkeiten voll auszuschöpfen. Damals ging man davon aus, dass die menschliche Gesellschaft von den Launen des Wetters befreit werden und nicht länger Opfer des Wetters, sondern dessen Herr werden würde. Die geodätische Kuppel wird das Maisfeld bedecken. Flugzeuge werden den Katalysator direkt in die Wolke verteilen. Wissenschaftler werden lernen, wie man Regen erzeugt und verhindert.

Der geistige Vater dieser Entwicklung war John von Neumann, der seinen ersten Computer mit der Absicht entwarf, unter anderem das Wetter zu steuern. Er stellte eine Gruppe von Meteorologen zusammen und machte die wissenschaftliche Gemeinschaft allgemein für seinen Plan bekannt. Er hat einen konkreten mathematischen Grund für seinen Optimismus. Er bemerkte, dass ein komplexes dynamisches System Punkte der Instabilität aufweisen kann – Kipppunkte, an denen ein kleiner Stoß große Folgen haben kann, wie ein Ball, der gegen eine Bergkuppe stößt. Und von Neumann stellte sich vor, dass Wissenschaftler mithilfe von Computern berechnen könnten, wie sich die Gleichungen, die die Flüssigkeitsbewegung bestimmen, in den nächsten Tagen verhalten würden. Ein zentrales Komitee von Meteorologen würde dann Flugzeuge aussenden, um Rauch oder Saatwolken zu verbreiten und so das Wetter in die gewünschte Richtung zu lenken. Aber von Neumann ignorierte die Möglichkeit eines Chaos, in dem jeder Punkt instabil wäre.

In den 1980er Jahren gab es eine große und kostspielige Organisation, die sich der Verfolgung von Neumanns Ziel widmete, zumindest dem Teil der Wettervorhersage. In einem schlicht aussehenden Kastengebäude in einem Vorort von Maryland, nahe dem Washington Beltway, dessen Dach mit Radar- und Radioantennen bedeckt ist, treffen sich Amerikas beste Wettervorhersager. Auf ihren Supercomputern liefen Wettermodelle, die denen von Lorenz nur im Grunde ähnelten. Bei einem CDC Cyber ​​​​205-Mainframe wurden Millionen von Gleitkommaoperationen pro Sekunde gemessen, verglichen mit einem Royal–Macbee LGP-30, der sechzig Multiplikationen pro Sekunde durchführen konnte. Während Lorenz sich mit zwölf Gleichungen zufrieden gab, befassen sich moderne globale Wettermodelle mit Systemen aus 500.000 Gleichungen. Ihr Modell versteht die Art und Weise, wie Wasserdampf Wärme abgibt und aufnimmt, wenn sich Luft zusammenzieht und ausdehnt. Digitale Winde werden von digitalen Bergen beeinflusst. Stündlich werden hier Daten aus Ländern weltweit sowie Daten von Flugzeugen, Satelliten und Schiffen gesammelt. Der Nationale Wetterdienst der USA erstellt die zweitbeste Wettervorhersage der Welt.

Die beste Wettervorhersage kam aus Reading, England, einer Universitätsstadt eine Autostunde von London entfernt. Das Europäische Zentrum für mittelfristige Wettervorhersage ist in einem von Bäumen beschatteten Gebäude untergebracht, einem modernen Backstein- und Glasbau im Stil der Vereinten Nationen, der mit Geschenken aus aller Welt gefüllt ist. Es entstand in der Blütezeit des Europäischen Gemeinsamen Marktes, als die meisten westeuropäischen Länder beschlossen, ihre Talente und Ressourcen zu bündeln, in der Hoffnung, genauere Wettervorhersagen erstellen zu können. Die Europäer führen ihren Erfolg auf die Rotation junger Talente zurück (es gibt keine Beamten) und auf ihre Cray-Supercomputer (die den Amerikanern immer um ein Modell voraus zu sein scheinen).

Die Wettervorhersage markierte den Beginn der Verwendung von Computern zur Modellierung komplexer Systeme, war jedoch sicherlich nicht das Ende. Dieselben Techniken helfen Wissenschaftlern und Sozialwissenschaftlern in vielen anderen Bereichen dabei, Vorhersagen zu treffen, von den kleinräumigen Flüssigkeitsströmen, die den Antriebskonstrukteuren Sorgen bereiten, bis hin zu den großräumigen Finanzströmen, die den Ökonomen Sorgen bereiten. Tatsächlich ähnelte die Verwendung von Computern zur Erstellung von Wirtschaftsprognosen in den 1970er und 1980er Jahren stark den globalen Wettervorhersagen. Modelle schlängeln sich durch komplexe, aber willkürliche Netzwerke von Gleichungen, die Messungen von Anfangsbedingungen (sei es der Luftdruck oder die Geldmenge) in eine Simulation zukünftiger Trends umwandeln. Die Forscher hoffen, dass die Ergebnisse aufgrund der vielen unvermeidlichen vereinfachenden Annahmen nicht zu weit von der Realität abweichen. Wenn ein Modell ein Ergebnis liefert, das deutlich von der Realität abweicht – etwa Überschwemmungen in der Sahara oder eine Verdreifachung der Zinssätze –, passen die Forscher die Gleichungen an, um das Ergebnis wieder ins Lot zu bringen. In der Praxis hat sich wiederholt gezeigt, dass es mit ökonomischen Modellen schwierig ist, verlässliche Vorhersagen über die Zukunft zu treffen. Dennoch verhalten sich viele Menschen, die es eigentlich besser wissen sollten, so, als hätten sie Vertrauen in die Ergebnisse. Bei Prognosen zum Wirtschaftswachstum oder zur Arbeitslosigkeit wird häufig davon ausgegangen, dass die Prognosen auf zwei oder drei Dezimalstellen genau sind. Und Regierungen und Finanzinstitute zahlen oft für solche Prognosen und handeln danach, vielleicht aus Notwendigkeit oder weil ihnen keine besseren Optionen zur Verfügung stehen. Vielleicht wissen sie, dass Variablen wie das Verbrauchervertrauen nicht so einfach zu messen sind wie die Luftfeuchtigkeit und dass wir noch immer kein perfektes System von Differentialgleichungen gefunden haben, um Veränderungen in Politik und Mode zu beschreiben. Doch nur wenige Menschen sind sich darüber im Klaren , wie fragil der Prozess der Computermodellierung verschiedener Strömungen ist, selbst wenn die Daten relativ zuverlässig sind und die ihnen zugrunde liegenden Gesetze, wie etwa bei der Wettervorhersage, rein physikalischer Natur sind .

Mithilfe von Computermodellen konnte die Wettervorhersage tatsächlich von einer Kunst in eine Wissenschaft verwandelt werden. Einer Einschätzung des Europäischen Zentrums für mittelfristige Wettervorhersage zufolge werden der Welt dank dieser Vorhersagen jährlich Schäden in Milliardenhöhe erspart. Statistisch gesehen sind diese Vorhersagen besser als nichts. Doch selbst die besten Wettervorhersagen der Welt sind nach zwei oder drei Tagen kaum mehr als Vermutungen, und nach sechs oder sieben Tagen sind sie wertlos.

Der Grund dafür ist der Schmetterlingseffekt. Bei kleinräumigen Wetterphänomenen (und in den Augen eines globalen Wettervorhersagers bedeutet „kleinräumig“ wahrscheinlich Gewitter und Schneestürme) würden sich alle Vorhersagen schnell verschlechtern und nutzlos werden. Fehler und Unsicherheiten häufen sich und werden durch eine Reihe turbulenter Phänomene aller Art verstärkt, von Staubteufeln und Böen bis hin zu riesigen Wirbeln, die nur per Satellit sichtbar sind.

Moderne globale Wettermodelle verwenden Daten, die aus einem Raster mit hundert Kilometer voneinander entfernten Punkten stammen, und selbst dann müssen einige der Ausgangsdaten geschätzt werden, da Bodenstationen und Satelliten nicht überall Beobachtungen durchführen können. Stellen Sie sich jedoch vor, die gesamte Erde könnte bis hinauf zur Obergrenze der Atmosphäre mit Sensoren bedeckt sein, die horizontal und vertikal jeweils 30 Zentimeter voneinander entfernt wären. Stellen Sie sich außerdem vor, dass jeder Sensor absolut genaue Messwerte für Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit und alle anderen physikalischen Größen liefern könnte, die ein Meteorologe wissen möchte. Dann liest mittags ein unendlich leistungsfähiger Computer alle diese Daten und berechnet die Wetterbedingungen für die nächste Minute (12:01, 12:02, 12:03, …).

Computer werden auch in einem Monat nicht in der Lage sein, vorherzusagen, ob es in Princeton, New Jersey, sonnig oder regnerisch sein wird. Mittags weist der Abstand zwischen den Sensoren zufällige, für den Computer unbekannte Schwankungen auf: winzige Abweichungen vom Durchschnitt. Bis 12:01 Uhr würden diese Schwankungen winzige Fehler von dreißig Zentimetern verursachen. Diese Fehler summieren sich schnell auf einer Skala von drei Metern und so weiter, bis sie zu erheblichen Unterschieden auf der Skala der gesamten Erde führen.

All dies ist sogar für erfahrene Meteorologen kontraintuitiv. Einer von Lorenz‘ alten Freunden war der Meteorologe Robert White vom MIT, der später der erste Direktor der National Oceanic and Atmospheric Administration wurde. Lorenz erklärte ihm den Schmetterlingseffekt und was dieser seiner Meinung nach für langfristige Prognosen bedeuten könnte. White gab von Neumanns Antwort. „Vorhersagen sind irrelevant“, sagte er. "Es ist Wetterkontrolle ." Seine Idee war, dass kleine menschliche Einflüsse in menschlicher Reichweite die von uns gewünschten großflächigen Wetteränderungen herbeiführen könnten.

Lorenz ist anderer Meinung. Ja, Sie können das Wetter ändern. Sie können etwas anderes daraus machen, als es ursprünglich war. Aber wenn Sie das tun, werden Sie nie erfahren, wie es gewesen wäre. Es ist, als würde man ein gemischtes Kartenspiel nehmen und es noch einmal mischen. Sie wissen, dass dies Ihr Glück verändern wird, aber Sie wissen nicht, ob es zum Guten oder zum Schlechten sein wird .

Lorenz‘ Entdeckung war ein Zufall, eine von unzähligen unerwarteten Entdeckungen seit Archimedes und seiner Badewanne. Lorenz war nie der Typ, der „Heureka“ ruft. Diese unerwartete Entdeckung führte ihn lediglich an einen Ort, den er nie verließ. Er machte sich daran, die Auswirkungen dieser Entdeckung zu erforschen, indem er herausfand, was sie für das wissenschaftliche Verständnis der Strömung verschiedener Flüssigkeiten bedeutete.

Hätte er es beim Schmetterlingseffekt belassen, einem Bild, bei dem Vorhersehbarkeit in völlige Zufälligkeit übergeht, hätte Lorenz möglicherweise sehr schlechte Nachrichten verkündet. Doch Lorenz sieht in seinen Wettermodellen mehr als nur Zufälligkeit. Er sah eine komplizierte Geometrie, eine Ordnung, die sich als Zufälligkeit tarnte. Schließlich war er ein Mathematiker, der sich als Meteorologe ausgab, und zu diesem Zeitpunkt begann er, ein Doppelleben zu führen. Er schrieb Abhandlungen über reine Meteorologie. Er verfasste aber auch Arbeiten zur reinen Mathematik, allerdings mit einer etwas irreführenden Einleitung zum Thema Wetter. Irgendwann werden solche Eröffnungsbemerkungen ganz verschwinden.

Er wandte seine Aufmerksamkeit zunehmend der Mathematik von Systemen zu, die nie einen stationären Zustand erreichen konnten und sich beinahe wiederholten, dies aber nie ganz taten. Jeder weiß, dass das Wetter genau ein solches System ist – nicht periodisch. In der Natur gibt es zahlreiche weitere ähnliche Beispiele: Tierpopulationen steigen und fallen in nahezu regelmäßigen Abständen, Epidemien brechen in nahezu regelmäßigen Abständen aus und klingen wieder ab usw. Wenn das Wetter eines Tages genau so wäre wie zuvor, mit jedem Windhauch und jeder Wolke genau gleich, dann würde sich das wahrscheinlich ewig wiederholen und das Problem der Wettervorhersage würde alltäglich werden.

Lorenz erkannte, dass es einen Zusammenhang zwischen der mangelnden Neigung des Wetters, sich zu wiederholen, und der Unfähigkeit der Meteorologen, es vorherzusagen, geben muss – einen Zusammenhang zwischen Aperiodizität und Unvorhersehbarkeit . Es war nicht einfach, ein einfaches Gleichungssystem zu finden, das die von ihm gesuchte Aperiodizität erzeugen würde. Seine Computermodelle neigten zunächst dazu, in sich ständig wiederholenden Zyklen steckenzubleiben. Doch Lorenz probierte verschiedene kleine Komplikationen aus und hatte schließlich Erfolg, indem er eine Gleichung hinzufügte, die beschreibt, wie sich der Temperaturunterschied in Ost-West-Richtung im Laufe der Zeit verändert (was in der realen Welt etwa dem Unterschied in der Erwärmung zwischen der Ostküste Nordamerikas und dem Atlantischen Ozean entspricht). Die Wiederholung verschwand.

Der Schmetterlingseffekt ist eigentlich kein Zufall, sondern eine Notwendigkeit . Lorenz argumentierte, dass, wenn sich kleine Störungen im System nicht häuften, sondern klein blieben, das Wetter, wenn es sich einem zuvor erlebten Zustand beliebig annäherte, in diesem Zustand bleiben und sich diesem Zustand weiterhin beliebig annähern würde. In Wirklichkeit wäre ein solcher Zyklus vorhersehbar – und daher letztlich langweilig. Um das vielfältige, sich ständig ändernde Wetter auf der Erde zu erzeugen, können Sie sich wahrscheinlich nichts Besseres als den Schmetterlingseffekt vorstellen.

Der Schmetterlingseffekt hat auch einen anderen technischen Namen: empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen . Die empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen ist kein neues Konzept. Es spiegelt sich in Volksmärchen wider:

Ein fehlender Nagel ist wie ein verlorener Schuh.

Ich habe ein Pferd verloren, ein Pferd;

Ein Pferd fehlt, ein Reiter ist verloren;

Ein Ritter weniger, eine Schlacht verloren;

Eine verlorene Schlacht bedeutet den Verlust eines Königreichs.

In der Wissenschaft wie auch im Leben ist bekannt, dass es in einer Kette von Ereignissen einen Wendepunkt geben kann, der kleine Veränderungen verstärkt. Aber Chaos bedeutet, dass solche Punkte überall sind. Sie sind überall. In Systemen wie dem Wetter ist eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen eine unvermeidliche Folge der Art und Weise, wie kleine und große Maßstäbe miteinander verflochten sind.

Seine Kollegen waren erstaunt, dass Lorenz sowohl die Nichtperiodizität als auch die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen erfasst hatte. Er hatte lediglich ein Spielzeugmodell des Wetters verwendet: zwölf Gleichungen, die mit mechanischer Effizienz immer wieder berechnet wurden. Wie kann also aus einem einfachen deterministischen System ein solcher Reichtum, eine solche Unvorhersehbarkeit (ein solches Chaos) entstehen?

Lorenz ließ das Wetter für einen Moment beiseite und versuchte, einen einfacheren Weg zu finden, dieses komplexe Verhalten zu erzeugen. Schließlich fand er einen Weg, dies in einem System zu tun, das aus nur drei Gleichungen besteht. Diese Gleichungen sind nichtlinear, das heißt, die Beziehungen, die sie darstellen, sind nicht streng proportional. Eine lineare Beziehung kann in einem Diagramm als gerade Linie dargestellt werden. Es ist auch leicht zu verstehen: Je mehr, desto besser. Lineare Gleichungssysteme sind lösbar und daher für die Aufnahme in Lehrbücher geeignet. Lineare Systeme haben außerdem einen wichtigen Vorteil bei der Konstruktion von Bausteinen: Sie können sie auseinandernehmen und wieder zusammensetzen – die Teile sind additiv.

Nichtlineare Systeme sind im Allgemeinen unlösbar und nicht additiv. In Fluid- und mechanischen Systemen handelt es sich bei nichtlinearen Begriffen häufig um Merkmale, die man im Bemühen, ein einfaches und klares Verständnis zu erlangen, ignorieren möchte. Beispielsweise Reibung. Ohne Reibung kann die zum Beschleunigen eines Hockey-Pucks erforderliche Energie durch eine einfache lineare Gleichung ausgedrückt werden. Bei vorhandener Reibung wird die Beziehung komplizierter, da die erforderliche Energiemenge von der aktuellen Geschwindigkeit des Pucks abhängt. Nichtlinearität bedeutet, dass der Akt des Spielens selbst die Spielregeln ändert. Der Reibung kann keine konstante Bedeutung zugeschrieben werden, da ihre Bedeutung von der Geschwindigkeit abhängt. Und die Geschwindigkeit wiederum hängt von der Reibung ab. Diese gegenseitige Abhängigkeit erschwert die Berechnung der Nichtlinearität, führt aber auch zu einer großen Vielfalt an Verhaltensweisen, die in linearen Systemen nicht auftreten. In der Strömungsdynamik läuft alles auf eine klassische Gleichung hinaus – die Navier-Stokes-Gleichungen. Es ist ein Wunderwerk der Einfachheit, Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Viskosität einer Flüssigkeit in Beziehung zu setzen, aber es ist nicht linear. Daher lässt sich die Natur dieser Beziehungen oft nicht eindeutig bestimmen. Das Analysieren des Verhaltens einer nichtlinearen Gleichung wie der Navier-Stokes-Gleichungen ist wie das Navigieren durch ein Labyrinth, dessen Wände sich bei jedem Schritt neu anordnen. Von Neumann selbst sagte: „Die Natur der Gleichungen … ändert sich gleichzeitig in allen relevanten Aspekten: in Grad und Grad. Daher die unlösbaren mathematischen Schwierigkeiten, die sich daraus ergeben müssen.“ Wenn die Navier-Stokes-Gleichungen nicht den Teufel der Nichtlinearität enthielten, wäre die Welt ein ganz anderer Ort und die Wissenschaft bräuchte kein Chaos.

Die drei Gleichungen von Lorenz wurden von einer bestimmten Art der Flüssigkeitsbewegung inspiriert: dem Aufsteigen heißer Gase oder Flüssigkeiten oder der Konvektion. In der Atmosphäre dehnt sich die Luft in Bodennähe aufgrund der Wärme aus und steigt auf; Auf dem heißen Asphalt und den Heizkörperoberflächen steigt Hitze auf und bleibt wie Geister bestehen. Lorenz spricht auch gerne über Konvektion in einer Tasse heißen Kaffees. Ihm zufolge ist dies nur einer von unzähligen fluiddynamischen Prozessen, deren Zukunft wir vorhersagen können. Wie können wir berechnen, wie schnell eine Tasse Kaffee abkühlt? Wenn der Kaffee nur warm ist, wird die Wärme langsam und ohne jegliche Strömungsdynamik abgeleitet. Zu diesem Zeitpunkt bleibt der Kaffee in einem stabilen Zustand. Aber wenn es heiß genug ist, befördert der Konvektionsprozess den heißen Kaffee vom Boden der Tasse an die kühlere Oberfläche. Geben Sie einfach etwas Sahne in Ihre Tasse und schon werden die Konvektionsströme in Ihrem Kaffee deutlich sichtbar. Der resultierende weiße Wirbel kann ziemlich komplex sein. Doch das langfristige Schicksal eines solchen Systems ist klar. Da ständig Wärme abgeführt wird und die Reibung die Flüssigkeit verlangsamt, muss die gesamte Bewegung zwangsläufig zum Stillstand kommen. Lorenz scherzte allen Ernstes gegenüber einer Gruppe von Wissenschaftlern: „Es mag für uns schwierig sein, die Temperatur des Kaffees in einer Minute vorherzusagen, aber es sollte nicht schwierig sein, seine Temperatur in einer Stunde vorherzusagen.“ Das Bewegungsgleichungssystem, das eine langsam abkühlende Tasse Kaffee beschreibt, muss dieses Schicksal des Systems widerspiegeln können. Sie müssen dissipativ sein. Die Temperatur des Kaffees muss sich allmählich der Raumtemperatur annähern und die Geschwindigkeit muss gegen Null gehen.

Lorenz nahm einen Satz von Gleichungen zur Beschreibung der Konvektion und vereinfachte ihn so weit wie möglich. Er verwarf alles, was falsch sein könnte, und vereinfachte ihn so sehr, dass er den Bezug zur Realität verlor. Vom ursprünglichen Modell ist fast nichts mehr übrig, die Nichtlinearität hat er jedoch beibehalten. Für einen Physiker sehen diese Gleichungen recht einfach aus. Sie würden einen Blick darauf werfen (wie viele Wissenschaftler später) und sagen: „Das kann ich lösen.“

„Ja“, sagte Lorenz ruhig, „das denkt man, wenn man sie sieht. Sie enthalten einige nichtlineare Terme, aber man glaubt, es müsse einen Weg geben, sie zu umgehen. Aber das gelingt einem einfach nicht.“

Die einfachste Konvektion gemäß Lehrbuch findet in einer mit einer Flüssigkeit gefüllten Box statt, wobei eine glatte Unterseite erwärmt und die andere glatte Oberseite gekühlt werden kann. Der Temperaturunterschied zwischen der heißen Unterseite und der kühlen Oberseite steuert die Bewegung des Flüssigkeitsstroms. Wenn der Temperaturunterschied gering ist, bleibt das gesamte System stationär. Zu diesem Zeitpunkt fließt die Wärme durch Wärmeleitung von unten nach oben, genau wie beim Fließen durch ein Stück Metall. Dies reicht jedoch nicht aus, um die natürliche Tendenz der Flüssigkeit zu überwinden, auf einer Makroebene bewegungslos zu bleiben. Darüber hinaus ist das gesamte System stabil. Jede zufällige Bewegung (wie sie etwa durch das Antippen eines Laborgeräts durch einen Doktoranden verursacht wird) würde langsam abklingen, wodurch das System in seinen stationären Zustand zurückkehrt.

©Adolph E. Brotman

Taumelnde Flüssigkeit: Wenn eine Flüssigkeit oder ein Gas am Boden erhitzt wird, neigt die Flüssigkeit dazu, sich selbst zu zylindrischen Wirbeln anzuordnen (links). Heiße Flüssigkeit steigt auf der einen Seite auf, verliert dabei allmählich Wärme und sinkt dann auf der anderen Seite ab – dies ist der Prozess der Konvektion. Bei weiterer Erwärmung (rechts) tritt eine Instabilität ein und die Spirale beginnt, entlang der Längsachse des Zylinders hin und her zu schwingen. Bei höheren Temperaturen wird die Flüssigkeitsströmung willkürlich und turbulent.

Erhöht man jedoch die Intensität der Erwärmung, entsteht eine neue Verhaltensklasse. Wenn sich die Flüssigkeit am Boden erwärmt, dehnt sie ihr Volumen aus. Mit zunehmender Volumenausdehnung nimmt die Dichte ab. Mit abnehmender Dichte wird es relativ leicht, leicht genug, um die Reibung zu überwinden und nach oben zu steigen. In einer sorgfältig konstruierten Box würde ein zylindrischer Wirbel entstehen, bei dem heiße Flüssigkeit auf der einen Seite aufsteigt und kalte Flüssigkeit absinkt, um ihn auf der anderen Seite wieder aufzufüllen. Von der Seite betrachtet bildet die gesamte Bewegung einen durchgehenden Kreis. Und außerhalb des Labors erzeugt die Natur oft ihre eigenen Konvektionswirbelzellen. Wenn die Sonne beispielsweise den Wüstenboden erwärmt, können wirbelnde Luftströmungen mysteriöse Muster in den Kumuluswolken darüber oder in den Sandbänken darunter erzeugen.

Mit zunehmender Heizintensität wird das Verhalten der Flüssigkeit komplexer. Der Wirbel beginnt sich zu drehen und zu wackeln. Die Gleichungen von Lorenz sind zu einfach und völlig unzureichend, um diese Art von Komplexität zu modellieren. Sie abstrahieren nur ein Merkmal der Konvektion in der realen Welt: Heiße Flüssigkeit steigt auf, während kalte Flüssigkeit absinkt und dabei eine kreisförmige Bewegung ähnlich der eines Riesenrads durchläuft. Die Gleichungen berücksichtigen die Geschwindigkeit dieser Bewegung und die Wärmeübertragung, und diese physikalischen Prozesse interagieren miteinander. Während die heiße Flüssigkeit entlang des Kreises aufsteigt, kommt sie mit anderen kühleren Teilen in Kontakt und beginnt, Wärme zu verlieren. Wenn die Bewegung schnell genug ist, verliert die Flüssigkeit am Boden nicht ihre gesamte überschüssige Wärme, bis sie die Oberfläche erreicht und auf der anderen Seite des Wirbels nach unten zu sinken beginnt. Sie beginnt also tatsächlich, die Bewegung anderer heißer Flüssigkeiten dahinter zu behindern.

Obwohl das System von Lorenz die Konvektion nicht vollständig modellierte, stellte sich heraus, dass es in realen Systemen einige eindeutige Entsprechungen dafür gab. Beispielsweise beschreiben seine Gleichungen einen altmodischen Generator genau. Scheibengeneratoren, die Vorgänger moderner Generatoren, erzeugen elektrischen Strom durch die Rotation einer Scheibe in einem Magnetfeld. Unter bestimmten Bedingungen kann ein Doppelscheibengenerator den Strom in der Leitung umkehren. Als die Lorenz-Gleichungen immer bekannter wurden, vermuteten einige Wissenschaftler, dass das Verhalten eines solchen Dynamos eine weitere seltsame Umkehrung erklären könnte: das Magnetfeld der Erde. Es ist bekannt, dass sich dieser „geomagnetische Dynamo“ im Laufe der Erdgeschichte viele Male umgekehrt hat und dass die Abstände zwischen diesen Umkehrungen scheinbar unregelmäßig und schwer zu erklären sind. Angesichts solcher Unregelmäßigkeiten versuchen theoretische Forscher oft, Erklärungen außerhalb des Systems zu finden und schlagen Gründe wie Meteoriteneinschläge vor. Aber vielleicht herrscht im geomagnetischen Dynamo sein eigenes Chaos.

Ein weiteres System, das sich mit den Lorenz-Gleichungen genau beschreiben lässt, ist eine bestimmte Art von Wasserrad, das eine mechanische Analogie zur Kreisbewegung der Konvektion darstellt. Oben fließt das Wasser mit konstanter Geschwindigkeit in einen Eimer, der am Rand des Wasserrads hängt. Aus jedem Eimer tritt durch ein kleines Loch am Boden konstant Wasser aus. Wenn das Wasser langsam fließt, kann sich im Eimer oben nie genug Wasser ansammeln, um die Reibung zu überwinden. Fließt das Wasser jedoch schneller, setzt das Gewicht des Eimers oben das Wasserrad in Bewegung. Die Drehung kann in die gleiche Richtung fortgesetzt werden. Oder wenn das Wasser so schnell floss, dass der schwere Eimer über den tiefsten Punkt hinwegfuhr und auf der anderen Seite ankam, konnte das ganze Wasserrad langsamer werden, stehen bleiben und sich dann in die entgegengesetzte Richtung drehen, erst in die eine und dann in die andere Richtung.

Angesichts eines so einfachen mechanischen Systems würde die Intuition des Physikers (seine Intuition vor dem Chaos) ihm sagen, dass sich auf lange Sicht ein stationärer Zustand entwickeln wird, wenn das Wasser mit konstanter Geschwindigkeit fließt. Entweder drehte sich das Wasserrad mit konstanter Geschwindigkeit oder es oszillierte stetig hin und her, drehte sich in gleichmäßigen Abständen erst in die eine und dann in die andere Richtung. Doch Lorenz stellte fest, dass dies nicht der Fall war.

©Adolph E. Brotman

Lorenz' Wasserrad: Das erste berühmte chaotische System, entdeckt von Eduard Lorenz, entspricht genau einem mechanischen Gerät: einem Wasserrad. Dieses einfache Gerät war in der Lage, ein überraschend komplexes Verhalten zu erzeugen.

Die Rotation eines Wasserrads weist einige ähnliche Eigenschaften auf wie der taumelnde Zylinder, der durch eine Flüssigkeit während der Konvektion gebildet wird. Das Wasserrad ähnelt dem Querschnitt eines Zylinders. Beide Systeme werden mit konstanter Geschwindigkeit angetrieben (durch das Wasser oder die Wärme) und beide verlieren Energie (die Flüssigkeit verliert Wärme und aus dem Eimer tritt Wasser aus). Bei beiden Systemen hängt das Langzeitverhalten von der Stärke der Antriebsenergie ab.

Das Wasser fließt mit konstanter Geschwindigkeit von oben ein. Wenn das Wasser langsam fließt, kann sich im Eimer am höchsten Punkt nie genug Wasser ansammeln, um die Reibung zu überwinden, und das gesamte Wasserrad beginnt sich nicht zu drehen. (Ähnlich verhält es sich mit einer Flüssigkeit: Wenn nicht genügend Wärme vorhanden ist, um die Viskosität zu überwinden, beginnt sich die Flüssigkeit nicht zu bewegen.)

Wird die Wasserströmung schneller, setzt das Gewicht des obersten Eimers das Wasserrad in Bewegung (linkes Bild). Das gesamte Wasserrad gerät in eine gleichmäßige Rotation in die gleiche Richtung (mittleres Bild).

Fließt das Wasser jedoch schneller (rechts), wird die Rotation aufgrund der inhärenten nichtlinearen Effekte des Systems chaotisch. Während die Eimer unter dem Wasserstrom hindurchlaufen, hängt die Wassermenge, die sie aufnehmen können, von der Geschwindigkeit ihrer Rotation ab. Einerseits bleibt dem Wassereimer nicht viel Zeit, Wasser zu sammeln, wenn sich das Wasserrad sehr schnell dreht. (Ähnlich hat eine Flüssigkeit in einer schnell wirbelnden Konvektionsströmung wenig Zeit, Wärme aufzunehmen.) Wenn sich das Wasserrad hingegen schnell dreht, erreicht der Eimer die andere Seite, bevor das gesamte Wasser entwichen ist. Daher führt die auf der anderen Seite nach oben gehende schwere Schaufel dazu, dass die Rotation verlangsamt oder sogar umgekehrt wird.

Tatsächlich stellte Lorenz fest, dass sich die Rotationen auf lange Sicht viele Male umkehren würden, ohne jemals eine stabile Frequenz zu entwickeln oder sich in einem vorhersehbaren Muster zu wiederholen.

Die drei Gleichungen (zusammen mit ihren drei Variablen) beschreiben die Bewegung dieses Systems vollständig. Der Computer von Lorenz gab wechselnde Werte für diese drei Variablen aus: 0–10–0, 4–12–0, 9–20–0, 16–36–2, 30–66–7, 54–115–24, 93–192–74. Im Laufe der Zeit im System, fünf Zeiteinheiten, hundert, tausend, steigen und fallen diese Zahlen.

Um anhand der Daten ein anschauliches Bild zu erhalten, nutzte Lorenz jede Dreiergruppe der Zahlen als Koordinaten, um einen Punkt im dreidimensionalen Raum zu bestimmen. Somit erzeugt die Zahlenfolge eine Punktfolge, eine kontinuierliche Flugbahn, die das Verhalten des Systems aufzeichnet. Eine solche Flugbahn könnte einen Punkt erreichen, an dem sie endet, was bedeutet, dass das System schließlich einen stationären Zustand erreicht hat, in dem sich Variablen wie Geschwindigkeit und Temperatur nicht mehr ändern. Oder die Flugbahn kann eine Schleife bilden, die hin und her geht, was bedeutet, dass sich das System schließlich in einem Verhaltensmuster einpendelt, das sich periodisch wiederholt.

Das System von Lorenz fällt in keine dieser Kategorien. Stattdessen weisen seine Bilder eine unendliche Komplexität auf. Es bleibt immer innerhalb gewisser Grenzen, überschreitet diese nie, wiederholt sich aber auch nie. Es entsteht eine seltsame und einzigartige Form – eine Art Doppelspirale im dreidimensionalen Raum, wie ein Schmetterling mit ausgebreiteten Flügeln. Die Form offenbart pure Unordnung, da sich kein Punkt oder Punktmuster wiederholt. Es offenbart aber auch eine neue Art von Ordnung.

Jahre später sprachen Physiker sehnsüchtig von Lorentz' Arbeit, in der diese Gleichungen diskutiert wurden – „dieses wunderschöne Meisterwerk“. Bis dahin wird man davon sprechen, als wäre es eine alte Schriftrolle, die die Geheimnisse der Ewigkeit enthält. Von den Tausenden technischen Artikeln, die sich mit Chaos befassen, werden nur wenige häufiger zitiert als „Deterministic Aperiodic Flows“. Im Laufe der Jahre inspirierte kein einzelnes Objekt mehr Illustrationen und sogar Animationen als die in diesem Artikel abgebildete mysteriöse Kurve, die Doppelspirale, die als Lorenz-Attraktor bekannt wurde. Zum ersten Mal zeigen uns Lorenz‘ Bilder deutlich, was es bedeutet, zu sagen: „Das ist kompliziert.“ Alle weitreichenden Auswirkungen des Chaos sind vorhanden.

©James P. Crutchfield/Adolph E. Brotman

Lorenz-Attraktor: Dieses magische Bild, das einer Eulenmaske oder den Flügeln eines Schmetterlings ähnelt, wurde für die frühen Erforscher des Chaos zum Symbol. Es deckt subtile Strukturen auf, die sich hinter einem chaotischen Datenstrom verbergen. Traditionell werden die sich ändernden Werte einer Variable als sogenannte Zeitreihe dargestellt (oben links). Um die sich ändernde Beziehung zwischen den drei Variablen darzustellen, ist jedoch eine andere Technik erforderlich. Zu jedem beliebigen Zeitpunkt bestimmen die Werte der drei Variablen die Position eines Punktes im dreidimensionalen Raum; und wenn sich das System ändert, stellt die Bewegung dieses Punktes diese sich ändernden Variablen dar.

Da sich das System nie exakt wiederholt, schneidet sich seine Flugbahn auch nie selbst. Stattdessen dreht es sich immer im Kreis. Die Bewegung eines Attraktors ist abstrakt, vermittelt aber dennoch einige Merkmale der Bewegung realer Systeme. Beispielsweise entspricht ein Sprung von einem Flügel eines Attraktors zum anderen einer Umkehr der Bewegungsrichtung eines Wasserrads oder einer konvektiven Flüssigkeit.

Damals war dies jedoch kaum jemandem bewusst. Lorenz beschrieb seine Ergebnisse William Marcus, einem Professor für angewandte Mathematik am MIT und höflichen Wissenschaftler mit außerordentlicher Wertschätzung für die Arbeit seiner Kollegen. Marcus lachte und sagte: „Ed, wir wissen (wir wissen es genau), dass sich Flüssigkeitskonvektion niemals so verhalten wird.“ Marcus sagte ihm, dass die Komplexität zweifellos allmählich nachlassen werde und das System schließlich zu einer stabilen und regelmäßigen Bewegung tendieren werde.

„Natürlich haben wir den Punkt völlig verfehlt“, sagte Marcus mehr als zwei Jahrzehnte später, Jahre nachdem er in seinem Kellerlabor tatsächlich ein Lorenz-Wasserrad gebaut hatte, um Ungläubige zu „predigen“. Ed dachte überhaupt nicht an unsere Physik. Er dachte an ein allgemeines oder abstraktes Modell, das ein Verhalten aufwies, das er instinktiv als typisch für einen Aspekt der Außenwelt empfand, aber das konnte er uns nicht sagen. Erst im Nachhinein wurde uns klar, dass er diese Ansichten gehabt haben musste.

Nur wenige Laien erkannten damals, wie isoliert die wissenschaftliche Gemeinschaft geworden war. Es war wie ein Schlachtschiff, bei dem wasserdichte Schotten die einzelnen Abteile von den anderen abtrennten. Biologen müssen sich nicht mit der mathematischen Literatur befassen, es gibt bereits genug zu lesen. Molekularbiologen müssen sich sogar nicht mit der Populationsbiologie befassen, es gibt bereits genug zu lesen. Auch Physiker können ihre kostbare Zeit besser verbringen, als in meteorologischen Fachzeitschriften zu blättern. Es gab Mathematiker, die von Lorentz‘ Entdeckung begeistert waren; und im Laufe des nächsten Jahrzehnts suchten viele Physiker, Astronomen und Biologen weiter nach etwas Ähnlichem und entdeckten es manchmal selbst wieder. Aber Lorenz war Meteorologe, und niemand kam damals auf die Idee, auf Seite 103 von Band 20 des Journal of Atmospheric Sciences nach Chaos zu suchen.

Dieser Artikel darf ausschließlich aus „Chaos“ (Posts and Telecommunications Press, Ausgabe 2021) entnommen werden. Der Titel wurde vom Herausgeber hinzugefügt.

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