√2 sorgte in der mathematischen Welt für Aufsehen und einige Menschen opferten dafür sogar ihr Leben ...

Ich frage mich, ob Sie jemals ernsthaft über die folgende Frage nachgedacht haben: Was ist √2?

Man könnte sagen, wenn es kein √2 gäbe, würde sich die Erde trotzdem drehen und wir würden unser Leben wie gewohnt weiterführen, nicht wahr? Tatsächlich ist dies nicht der Fall. Zumindest im antiken Griechenland gab es eine Gruppe von Menschen, die kein gutes Leben hatten.

Es war um 500 v. Chr. Rund um die Ägäis lebte eine Gruppe müßiger Weiser. Sie waren nicht an der Produktion beteiligt, sondern verbrachten ihre Tage damit, über verschiedene große Fragen nachzudenken, etwa über die Natur des Universums und den Sinn des Lebens. Pythagoras war einer von ihnen.

Pythagoras

Er und seine Schüler glaubten, dass „alles Zahlen sind“, das heißt, die Harmonie aller Dinge auf der Welt kann durch Zahlen erklärt und beschrieben werden. Wenn die Längen der Saiten beispielsweise in einfachen ganzzahligen Verhältnissen stehen, sind die erzeugten Obertöne am angenehmsten.

Es ist zu beachten, dass es sich bei den „Zahlen“, von denen Pythagoras und andere sprachen, um sogenannte natürliche Zahlen handelt, also um Zahlen wie 1, 2 und 3, die wir seit unserer Kindheit zählen gelernt haben. Alles auf der Welt ist nichts anderes als diese Zahlen und ihre Proportionen! Dieser Glaube stützt die kontinuierliche Erforschung der Natur durch die pythagoräische Schule. Bis eines Tages einer von ihnen etwas Außergewöhnliches entdeckte.

Diese Entdeckung geht auf eine weitere große Errungenschaft der pythagoräischen Schule zurück, die im Westen als Satz des Pythagoras bekannt ist – auch bekannt als unser Satz des Pythagoras:

Wenn ein rechtwinkliges Dreieck zwei Seiten der Länge a und b und eine Hypothenuse der Länge c hat, dann gilt:

Wenn wir ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit der Seitenlänge a = b = 1 zeichnen, erhalten wir sofort

Das Quadrat der Hypothenusenlänge ist gleich 2, na und?

Wenn ich Pythagoras wäre, würde mich das an dieser Stelle nicht überraschen. Ich würde mir wahrscheinlich sagen: Lass uns einen Bruch finden, dessen Quadrat gleich 2 ist! Sie können versuchen, es zu finden, oder glauben Sie mir, eine solche Partitur gibt es leider nicht.

Behauptung: Es gibt keinen Bruch, dessen Quadrat gleich 2 ist. (Um in der formalen Mathematik zwischen einem „Satz“ und einem „Theorem“ zu unterscheiden, nennen wir eine Behauptung eine Aussage, die bei intuitivem Verständnis entweder wahr oder falsch ist.)

Es war diese Behauptung, die die gesamte Glaubensgrundlage der pythagoräischen Schule direkt zerstörte.

Es heißt, der Schüler, der dies entdeckte, wurde ins Meer geworfen, und auch die anderen Schüler mussten schwören, es geheim zu halten. Aber solange es die Wahrheit ist, wird sie eines Tages ans Licht kommen. es kann nicht verborgen werden. Heute ist √2 für uns ein sehr gebräuchliches Symbol geworden.

Andererseits stellt sich die Frage, auf welcher Grundlage die obige Behauptung als Wahrheit angesehen werden kann? Warum ist das wahr? Wenn Sie die Existenz einer bestimmten Punktzahl beweisen möchten, ist das ganz einfach: Finden Sie sie einfach. Aber wie kann man beweisen, dass es nicht existiert? Nur weil Sie es nach langer Suche nicht gefunden haben, heißt das noch lange nichts. Wir müssen es mit logischen Argumenten beweisen!

Beweis der obigen Behauptung:

Angenommen, es gibt einen Bruch m/n, dessen Quadrat gleich 2 ist, wobei m und n beide natürliche Zahlen sind. Offensichtlich können wir davon ausgehen, dass es sich nicht um alles gerade Zahlen handelt, da sonst der gemeinsame Faktor 2 eliminiert werden kann. Wir haben

Beachten Sie, dass die rechte Seite eine gerade Zahl ist, also ist m zum Quadrat eine gerade Zahl, dann muss m auch eine gerade Zahl sein, sei m = 2k. Dann

Ebenso zeigt dies, dass n eine gerade Zahl ist. Daher sind m und n beide gerade Zahlen, aber nicht beide gerade Zahlen.

Es liegt ein Widerspruch vor, die Annahme ist also falsch und es gibt keinen solchen Wert.

Dies ist ein Beweis, der über die Jahrhunderte weitergegeben wird, er ist wunderbar und wunderschön. Um zu verstehen, warum dieser Beweis die Pythagoräer schockierte und zerstörte, wollen wir weiter nachforschen:

Niemand würde Einwände gegen die Tatsache erheben, dass diese Gleichung keine Lösung hat, aber ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter ist ein reales Objekt, das man sehen und berühren kann, und die Länge seiner Diagonale ist eine Größe, die gleich zwei ist! Aber wir haben bewiesen, dass es kein Bruch sein kann. Was ist aus dem Sprichwort geworden, dass alles eine Zahl ist? !

Erkenntnis: Die geometrischen Eigenschaften der uns umgebenden physikalischen Welt zwingen uns, die Existenz einer Größe anzuerkennen, deren Quadrat gleich zwei ist.

Die moderne Mathematik lehrt uns, dass es unendlich viele Geometrien gibt, von denen einige für den Satz des Pythagoras gelten und andere nicht.

Ersteres wird als flach und Letzteres als gekrümmt bezeichnet. Ein Hauptthema der modernen Kosmologie ist die Frage, ob unser Universum flach oder gekrümmt ist. Zwar zeigen unsere Messungen auf der Erde, dass die Summe der Quadrate der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks tatsächlich gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist, aber das liegt möglicherweise nicht an Messfehlern. Die Verwendung eines genaueren Lineals kann zeigen, dass die beiden Werte nicht wirklich gleich sind. In diesem Fall könnte der Bruchteil des Glaubens des Pythagoras ausreichen!

Aber in jedem Fall reicht der Bruch in der flachen Geometrie definitiv nicht aus und es existiert √2. Soweit mir bekannt ist, zeigen verschiedene heutige Experimente grundsätzlich, dass unser Universum flach ist.

Nachdem ich so viel gesagt habe, möchte ich nur eines klarstellen: √2 existiert.

Kommen wir zurück zum Thema. Da es sich nicht um eine Partitur handelt, was genau ist es? Wenn Sie antworten, dass √2 1,414··· ist, dann frage ich weiter: Ist es 1,4142···? Ist es 1,4142135624 · · · ? Was bedeutet diese Ellipse „· · ·“? Wenn Sie antworten, dass √2 eine Zahl ist, deren Quadrat gleich 2 ist, was ist dann eine „Zahl“? Was ist das Quadrat einer Zahl?

Hier ist eine Vorahnung, und wir werden es das nächste Mal erklären …

Nachdruck aus: Origin Reading

Quelle: Unlösbare Gleichungen: Von Diophantus bis Galois

Autor: Han Xu

Herausgeber: Guru