Populärwissenschaft | Die Geburt der algebraischen Topologie

Die neuen mathematischen Objekte (Matrizen, Algebren, Gruppen, Cluster usw.), die im 19. Jahrhundert von Algebraisten entdeckt wurden, wurden von Mathematikern in ihrer Forschungsarbeit angewendet. Sie nutzten diese neuen mathematischen Objekte als Werkzeuge zur Lösung von Problemen in anderen mathematischen Bereichen wie Geometrie, Topologie, Zahlentheorie und Funktionentheorie. Der französische Mathematiker Henri Poincaré war der erste, der die Ideen der Topologie algebraisierte und wurde zum Begründer der algebraischen Topologie. Sein Nachfolger Brouwer war ein sehr nachdenklicher Philosoph – der Begründer des Intuitionismus.

Von John Derbyshire

Übersetzung | Zhang Hao

Topologie wird oft als „Gummigeometrie“ bezeichnet. Stellen Sie sich eine zweidimensionale Oberfläche vor, beispielsweise eine Kugel, und nehmen Sie an, dass sie aus einer Art dehnbarem Material besteht. Diese Gummikugel kann durch Dehnen oder Zusammendrücken in jede andere Oberfläche umgewandelt werden, die „gleich“ ist wie die Kugel, und genau damit beschäftigen sich Topologen. Um die Topologie mathematisch präzise zu gestalten, müssen Sie einige Regeln aufstellen, wie etwa das Schneiden, Kleben, das „Quetschen“ einer begrenzten Fläche zu einem Punkt ohne Dimensionen oder das Zulassen, dass die Gummioberfläche wie Nebel durch sich selbst hindurchgeht. Diese Regeln variieren bei verschiedenen Anwendungen leicht. Aber hier ist diese breite und bekannte Definition ausreichend.

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts gab es zwischen der Topologie und der Algebra kaum einen Zusammenhang. Tatsächlich verlief die Entwicklung in der Anfangsphase sehr langsam. Das Wort „Topologie“ wurde erstmals in den 1840er Jahren vom Göttinger Mathematiker Johann Listing (1808–1882) verwendet. Viele von Listins Ideen scheinen von Gauss zu stammen, zu dem er eine enge Beziehung hatte. Allerdings hat Gauss nie etwas im Zusammenhang mit Topologie veröffentlicht. Im Jahr 1861 beschrieb Listing eine einseitige Oberfläche, die wir heute als Möbiusband bezeichnen (Abbildung 1). Auch Möbius schrieb vier Jahre später über diese Oberfläche und aus irgendeinem Grund war es seine Einführung, die die Aufmerksamkeit der Mathematiker erregte. Obwohl es jetzt zu spät ist, seinen Namen zu rechtfertigen, werde ich Abbildung 14-1 den Listin-Gürtel nennen, um Listin ein wenig gerecht zu werden.

Abbildung 1 Listin-Gürtel

Wenn wir außerdem eine gefaltete Kugel (Abbildung 2) nehmen und eine kleine Scheibe daraus schneiden, ist der verbleibende Teil topologisch äquivalent zum Listing-Band. Die Tatsache, dass zwei Objekte „gleich“ (d. h. topologisch äquivalent) sind, wenn sie entsprechend gestreckt und gestaucht werden, kann mit einem schöneren, eleganteren Begriff beschrieben werden: Homöomorphismus. Allerdings gibt es viel darüber zu sagen. Um den Ausdruck einfach zu halten, werde ich weiterhin den Begriff „topologische Äquivalenz“ verwenden.

Abbildung 2 Projektive Ebene im topologischen Sinne

Ein weiterer Faktor für die Entwicklung des topologischen Denkens war Riemanns Verwendung komplexer, sich selbst schneidender Flächen in seiner Doktorarbeit im Jahr 1851, um das Verständnis von Funktionen zu erleichtern. Nachdem er diese Riemann-Flächen sorgfältig untersucht hatte, kam Jordan auf die Idee, sie zu untersuchen: Er wollte die in ihnen eingebetteten geschlossenen Pfade beobachten und sehen, was passiert. Ich verwende hier „Oberfläche“ statt „Raum“, um es intuitiver zu machen.

Stellen Sie sich beispielsweise eine Kugel vor, wählen Sie einen Punkt auf der Kugel, beginnen Sie von diesem Punkt aus und gehen Sie im Kreis, bis Sie zum Ursprung zurückkehren. Wenn Sie auf dem Pfad, den Sie gerade gegangen sind, keine nicht-topologischen Operationen durchführen und die Oberfläche nicht verlassen, kann er dann wieder bis zum Ausgangspunkt schrumpfen? Schrumpft es gleichmäßig und kontinuierlich ? Ja, das kann es. Dies ist mit jedem Pfad auf der Kugel möglich.

Dies ist bei einem Torus nicht der Fall. Weder der in Abb. 3 dargestellte Pfad a noch der Pfad b können auf den Punkt P kontrahiert werden, Pfad c hingegen schon auf den Punkt P. Vielleicht verrät uns die Untersuchung dieser Pfade also doch etwas über die Topologie der Oberfläche.

Abbildung 3 Geschlossener Kreislauf auf einem Torus

Können die Closed-Circuit-Leute eine Gruppe bilden?

Im Jahr 1895 formulierte ein brillanter französischer Mathematiker, Henri Poincaré (1854-1912) von der École Polytechnique in Paris, diese Ideen algebraisch. Poincaré drückte es folgendermaßen aus: „Betrachten Sie alle möglichen Jordan-geschlossenen Pfade auf einer Oberfläche, d. h. alle Pfade, die denselben Start- und Endpunkt haben.“ Behalten Sie diesen Basispunkt bei und teilen Sie alle geschlossenen Schaltkreise in mehrere Familien auf. Wenn ein geschlossener Schaltkreis problemlos in einen anderen geschlossenen Schaltkreis umgewandelt werden kann, gehören die beiden geschlossenen Schaltkreise zur selben Familie, das heißt, sie sind topologisch äquivalent. Denken Sie an diese Familien, egal wie viele es sind. Die Zusammensetzung zweier Familien ist folgendermaßen definiert: zuerst ein Pfad durch die erste Familie, dann ein Pfad durch die zweite Familie (wobei es egal ist, welcher Pfad gewählt wird).

Jetzt haben Sie eine Sammlung mit Verschlüssen als Elementen und eine Möglichkeit, zwei Elemente zu einem anderen Element zu kombinieren. Können diese Elemente (d. h. Abschlüsse) eine Gruppe bilden? Poincaré bewies, dass es sich tatsächlich um eine Gruppe handelte, und so entstand die algebraische Topologie.

Sie benötigen noch einen kleinen Schritt, um zur Idee einer Fundamentalgruppe einer beliebigen Oberfläche zu gelangen – Sie müssen die Abhängigkeit Ihrer Abschlüsse von bestimmten Basispunkten loswerden (tatsächlich müssen es nicht die genauen Jordan-Abschlüsse sein, die ich definiert habe). Die Elemente dieser Gruppe sind die Pfade auf der Oberfläche. Die Regel zum Synthetisieren zweier Pfade lautet wie folgt: Gehen Sie zuerst durch einen Pfad der ersten Familie und dann durch einen Pfad der zweiten Familie. Die Fundamentalgruppe der Kugel ist eigentlich eine triviale Gruppe mit nur einem Element. Jeder geschlossene Pfad kann reibungslos auf diesen Basispunkt reduziert werden, es gibt also nur eine Pfadfamilie.

Ich habe erwähnt, dass die Fundamentalgruppe der Kugel eine triviale Gruppe mit nur einem Element ist. Aber diese Tatsache an sich ist nicht alltäglich.

Es stellt sich heraus, dass jede zweidimensionale Oberfläche, deren Fundamentalgruppe eine triviale Gruppe mit nur einem Element ist, topologisch äquivalent zur Kugel sein muss. Nun gibt es für die bekannte zweidimensionale Kugel, die in den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum eingebettet ist, Analogien im höherdimensionalen Raum. Beispielsweise wird ein gekrümmter dreidimensionaler Raum, der „wie“ eine Kugel aussieht, aber vierdimensional ist, manchmal als Hypersphäre bezeichnet. Manchmal auch als dreidimensionale Kugel bezeichnet. Dennoch ist der Begriff schwer vorstellbar, zumindest für Nichtmathematiker. Ist mit „dreidimensionaler Kugeloberfläche“ die zweidimensionale Oberfläche einer gewöhnlichen Kugel gemeint, die gekrümmt im dreidimensionalen Raum platziert ist? Oder bezieht es sich auf die unvorstellbare dreidimensionale Oberfläche einer im vierdimensionalen Raum gekrümmten Hyperkugel? Für Mathematiker bezieht sich die dreidimensionale Kugel auf Letzteres, da Riemann uns sagt, wir sollen den Raum einer Mannigfaltigkeit vom Inneren einer Mannigfaltigkeit aus betrachten. Da Mathematiker ohne mathematische Ausbildung jedoch normalerweise zweidimensionale Oberflächen im dreidimensionalen Raum betrachten, ist Ersteres durchaus sinnvoll.

Die Frage ist: Ist im vierdimensionalen Raum jeder dreidimensionale gekrümmte Raum mit der Trivialgruppe als Fundamentalgruppe auch topologisch äquivalent zu dieser Hypersphäre?

Im Jahr 1904 stellte Poincaré die berühmte Poincaré-Vermutung auf und behauptete, dass die Antwort auf die obige Frage „Ja“ lautet. Bis Ende 2005 war diese Vermutung weder bewiesen noch widerlegt. Der russische Mathematiker Grigori Perelman (geb. 1966) bewies in einer Reihe von 2002 und 2003 veröffentlichten Artikeln, dass diese Annahme richtig ist. Während ich dieses Buch schreibe (das im Mai 2006 auf Englisch veröffentlicht wurde), überprüfen Mathematiker noch immer Perelmans Arbeit. Auf der Grundlage informeller Berichte über diese Gutachten herrschte zunehmend Konsens darüber, dass Perelman die Vermutung tatsächlich bewiesen hatte. Die Poincaré-Vermutung ist eines von sieben Problemen des Millennium-Preises. Für die Lösung eines dieser Probleme wird ein Preis von 1 Million US-Dollar vom Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, verliehen.

Eine mathematische Theorie beginnt lebendig zu werden, wenn sie beginnt, Vermutungen hervorzubringen. Die Topologie erwachte mit der Veröffentlichung von Poincarés Buch „Positionsanalyse“ im Jahr 1895 zum Leben. In den ersten Jahrzehnten ihrer Entwicklung wurde die Topologie oft als „Positionsanalyse“ bezeichnet. Erst in den 1930er Jahren wurde der Begriff „Topologie“ allgemein zur Bezeichnung dieser Disziplin verwendet. Ich denke, wir sollten Solomon Lefschetz (1884-1972) dafür danken.

Der „Widerspruch“ des mathematischen Denkens

Es ist ein wenig seltsam, dass Poincaré zum Begründer der modernen Topologie wurde.

Mathematiker glauben, dass es eigentlich zwei Varianten der Topologie gibt: eine, die von der Geometrie inspiriert ist, und eine, die von der Analyse inspiriert ist. Mit „Analysis“ ist hier die Analysis im mathematischen Sinn gemeint, also der Zweig der Mathematik, der sich mit Funktionen, Grenzwerten, Differentialen und Integralen beschäftigt, die alle mit der Kontinuität zusammenhängen. Wenn Sie auf die sanften und kontinuierlichen Deformationen zurückblicken, die ich zuvor mehrmals erwähnt habe, werden Sie den Zusammenhang in diesem topologischen Sinne erkennen. In gewissem Sinne wäre die Topologie ohne die zugrunde liegenden Konzepte der Glätte, Kontinuität und infinitesimalen Bewegung von einem Ort zum anderen – eine Art analytisches Denken – bedeutungslos.

In der Mathematik ist das Gegenteil von Analysis die Kombinatorik. In der Kombinatorik untersuchen wir Dinge, die gezählt werden können: 1, 2, 3 usw., ohne Zahlen dazwischen. Da zwischen benachbarten Ganzzahlen keine Ganzzahlen liegen, gibt es keinen glatten Pfad von einer Ganzzahl zur anderen und wir müssen über Lücken springen. Die analytische Mathematik ist kohärent und kann sich reibungslos durch einen kontinuierlichen Raum bewegen. während die kombinatorische Mathematik diskontinuierlich ist und direkt von einer Ganzzahl zur anderen springt.

Heute ist die Topologie vielleicht das schlüssigste aller mathematischen Studien, da sich eine Gummioberfläche gleichmäßig und kontinuierlich biegen und dehnen lässt. Die früheste topologische Invariante war jedoch eine Ganzzahl, die die Anzahl der Löcher darstellt und zur Messung der Anzahl ringförmiger Löcher in einer Oberfläche verwendet wird. Sie wurde 1813 vom Schweizer Mathematiker Simon l'Huilier (1750–1840) entdeckt. Die Dimension ist eine weitere topologische Invariante (im topologischen Sinne kann man aus einem Schnürsenkel keinen Pfannkuchen machen und aus einem Pfannkuchen keinen Ziegelstein) und sie ist ebenfalls eine ganze Zahl. Auch die von Poincaré entdeckten Fundamentalgruppen sind keine kontinuierlichen Gruppen wie Lie-Gruppen, sondern abzählbar diskrete Gruppen. Obwohl diese Gruppen unendlich sein können, können ihre Elemente gezählt werden: 1, 2, 3 und so weiter. Die Elemente einer kontinuierlichen Gruppe sind überabzählbar. Alles Interessante in der Topologie scheint also diskret und nicht kontinuierlich zu sein.

Paradoxerweise begann Poincaré über die Analyse mit der Topologie, genauer gesagt, während er einige Probleme der Differentialgleichungen untersuchte. Seine Erkenntnisse und alle seine Ideen zur Positionsanalyse sind jedoch kombinatorischer Natur. Das Studium der Topologie aus einer analytischen Perspektive (heute üblicherweise Punktmengentopologie genannt) reizte ihn wenig.

Noch offensichtlicher ist derselbe Widerspruch im Fall des niederländischen Mathematikers Brouwer (1881–1966), dem wichtigsten Nachfolger Poincarés in der algebraischen Topologie. Es war Brouwer, der 1910 bewies, dass die Dimension eine topologische Invariante ist. Wichtiger in der modernen Mathematik ist sein Fixpunktsatz.

Brouwers Fixpunktsatz

Jede kontinuierliche Abbildung einer n-dimensionalen Kugel auf sich selbst hat einen Fixpunkt.

Eine n-dimensionale Kugel ist eine Verallgemeinerung des Konzepts einer festen Einheitsscheibe (alle Punkte auf einer Ebene, deren Abstand zum Ursprung eine Einheit nicht überschreitet) oder eines Konzepts einer festen Einheitskugel (alle Punkte im dreidimensionalen Raum, deren Abstand zum Ursprung eine Einheit nicht überschreitet) im n-dimensionalen Raum. Für den zweidimensionalen Fall bedeutet dieser Satz, dass, wenn Sie jeden Punkt auf der Einheitsscheibe gleichmäßig zu einem anderen Punkt verschieben und sehr nahe Punkte zu ebenso nahen Punkten verschieben, es immer einen Punkt geben wird, der nach der Verschiebung an derselben Position verbleibt.

Der Fixpunktsatz und seine direkten Verallgemeinerungen haben viele Konsequenzen. Wenn Sie beispielsweise den Kaffee in einer Tasse vorsichtig und gleichmäßig umrühren, bleibt ein Tropfen Kaffee oder ein Molekül irgendwann dort liegen, wo er herkam. (Beachten Sie, dass der Kaffee in der Tasse topologisch gesehen eine dreidimensionale Kugel ist und Sie durch Umrühren jedes Molekül im Kaffee von einem Punkt X zu einem Punkt Y auf dieser dreidimensionalen Kugel bewegen. Dies ist, was wir mit „Abbilden eines Raums auf sich selbst“ meinen.) Ein weiteres, weniger offensichtliches Beispiel besteht darin, ein Blatt Papier auf einen Tisch zu legen und seinen Umriss mit einem Stift darauf zu zeichnen. Nun zerknüllen Sie das Papier, ohne es zu zerreißen, und passen Sie es in die gezeichnete Kontur ein. Es gibt (mindestens) einen Punkt auf dem zerknüllten Papier, der direkt über diesem Punkt im Umriss des gezeichneten Papiers liegen muss.

Abbildung 4 Brouwer | Bildquelle: MacTutor

Intuitionismus

Der grundlegende Widerspruch in Brouwers Topologie besteht darin, dass die von ihm erzielten Ergebnisse nicht mit seinen philosophischen Ideen vereinbar sind. Für einen gewöhnlichen Mathematiker mag dies nicht wichtig sein, aber Brouwer war ein sehr philosophischer Mathematiker. Er war fasziniert vom metaphysischen Denken (oder genauer gesagt vom antimetaphysischen Denken) und der Suche nach einer soliden philosophischen Grundlage für die Mathematik.

Zu diesem Zweck begründete er die Lehre des Intuitionismus und versuchte, die gesamte Mathematik in den kontinuierlichen Denkaktivitäten des Menschen zu verankern. Eine mathematische Aussage sei unwahr, sagte Brouwer, weil sie einer platonischen höheren Entität entspreche, die jenseits unserer physischen Sinne liege, die unser Gehirn aber irgendwie begreifen könne. Es ist auch deshalb falsch, weil es einigen Regeln der linguistischen Notation gehorcht, wie Logiker und Formalisten zu Brouwers Zeiten (wie Russell und Hilbert) argumentiert hatten. Dies ist wahr, da wir einige geeignete mentale Konstruktionen vornehmen und deren Richtigkeit Schritt für Schritt erfahren können. Laut Brouwer stammt das Material, aus dem die Mathematik besteht (sehr grob gesagt), nicht aus irgendeinem Fundus in der Welt jenseits unserer Wahrnehmung, noch handelt es sich einfach um Sprache oder Symbole auf Papier, die nach Regeln funktionieren. Es ist ein Gedanke – eine menschliche Aktivität, die letztlich auf unserer Intuition von Zeit basiert und Teil unseres menschlichen Instinkts ist.

Dies ist nur die einfachste Zusammenfassung des Intuitionismus, der eine umfangreiche Literatur hervorgebracht hat. Leser, die mit dieser Philosophie vertraut sind, werden den Einfluss von Kant und Nietzsche erkennen.

Tatsächlich war Brouwer keineswegs der einzige Pionier dieser Denkweise. Ähnliche Ideen ziehen sich durch die gesamte moderne Geschichte der Mathematik, sie reichen zurück bis vor Kant und mindestens bis in die Zeit von Descartes. Ich denke, Hamilton, der Entdecker der Quaternionen, kann als Intuitionist betrachtet werden. Im Jahr 1835 versuchte er in seiner Abhandlung „Algebra als reine Wissenschaft der Zeit“, Kants auf der Geometrie basierende mathematische Ideen, die auf „Intuition“ und „Konstruktion“ beruhen, in die Algebra einzuführen.

Im späten 19. Jahrhundert war Leopold Kronecker (1823–1891) ein entschiedener Gegner der Einführung der „reellen Unendlichkeit“ in die Mengenlehre durch Georg Cantor (1845–1918). Man könnte Kronecker als einen Präintuitionisten bezeichnen. Kronecker argumentierte, dass überabzählbare Mengen wie diese nicht in die Mathematik gehörten, dass sich die Mathematik auch ohne sie entwickeln könne und dass sie nutzlosen und unnötigen metaphysischen Ballast in die Mathematik brächten, die auf Zählen, Algorithmen und Berechnungen basieren sollte.

Es war diese Denkschule, die Brouwer ins 20. Jahrhundert übertrug und die sich auf spätere Mathematiker wie den amerikanischen Mathematiker Errett Bishop (1928–1983) ausweitete. Brouwers Lehre wird „Intuitionismus“ und Bishops Lehre „Konstruktivismus“ genannt. Diese Ideen werden heute als „Konstruktivismus“ bezeichnet und ihr Verfechter in den Vereinigten Staaten ist Professor Harold M. Edwards (1936-) vom Courant Institute of Mathematical Sciences. Professor Edwards erklärt diesen Ansatz sehr gut in seinem Buch „Essays in Constructive Mathematics“ aus dem Jahr 2004 (und übrigens auch in seinen anderen Büchern).

Professor Edwards ist davon überzeugt, dass der Konstruktivismus mit der Verfügbarkeit leistungsstarker Computer erwachsen geworden ist und dass viele der seit 1880 erzielten mathematischen Ergebnisse wie Missverständnisse erscheinen werden, sobald die Menschen ihre Denkweise angepasst haben. Ich bin nicht dazu befugt, diese Prophezeiung zu beurteilen, persönlich finde ich den konstruktivistischen Ansatz jedoch aufgrund seiner Eigenschaften sehr attraktiv.

Kurz gesagt: In den Jahren, als Brouwer etwa 30 Jahre alt war, müssen seine Forschungen zur algebraischen Topologie im Widerspruch zu seinen philosophischen Ansichten gestanden haben. Zehn Jahre später kam sein Landsmann Van der Waerden nach Amsterdam in die Niederlande, um bei ihm zu studieren. Van der Waerden sagte gegenüber den Notices of the American Mathematical Society:

Obwohl Brouwers wichtigste Forschungsbeiträge auf dem Gebiet der Topologie lagen, hielt er nie einen Topologiekurs ab, sondern hielt stets nur Grundkurse im Intuitionismus. Er schien nicht mehr an seine Ergebnisse in der Topologie zu glauben, da sie aus intuitionistischer Sicht falsch waren. Seiner eigenen Philosophie zufolge war er davon überzeugt, dass alles, was zuvor getan worden war – sogar seine größten Errungenschaften – falsch gewesen war. Er war ein sehr seltsamer Mann und unsterblich in seine eigene Philosophie verliebt.

Über den Autor

John Derbyshire , geboren in England, ist ein amerikanischer Systemanalytiker, Autor und Kritiker, der Mathematik und Linguistik studiert hat. Er war Kolumnist für die National Review in den Vereinigten Staaten. Seine Schriften decken ein breites Themenspektrum ab, darunter „Liebe in Primzahlen“ und „Träume vom Coolidge“.

Dieser Artikel darf ausschließlich aus Kapitel 14 „Algebra is Everywhere“ von „The History of Algebra: Humanity’s Relentless Pursuit of the Unknown“ (People’s Posts and Telecommunications Press·Turing New Knowledge, 2021.4) entnommen werden. Die Unterüberschriften wurden vom Herausgeber hinzugefügt.

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