Was hat Ulam, der Vater der Wasserstoffbombe, in Bezug auf das Chaos getan?

Bevor es eine Definition von „Chaos“ im eigentlichen Sinne gab, führte Ulam umfassende Forschungen zu seiner frühen Erforschung durch – der modernen Ergodentheorie – und warf weitreichende Fragen auf, entwickelte Algorithmen und vermutete Konvergenz, wodurch er ein neues Feld der rechnergestützten Ergodentheorie eröffnete. Basierend auf dem mathematischen Beweis der „Existenz“ von York und seinen Mitarbeitern schlug der chinesisch-amerikanische Mathematiker Tianyan Li unabhängig davon eine numerische Methode zur Berechnung der invarianten Dichtefunktion vor und bewies deren Konvergenz. Er ist außerdem ein Pionier der computergestützten Ergodentheorie.

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Große Männer sind oft Humoristen. Stanislaw Ulam (1909–1984), der Vater der Wasserstoffbombe, witzelte einmal: „Die Erforschung des Chaos als ‚nichtlineare Analyse‘ zu bezeichnen, ist so, als würde man Zoologie als ‚die Erforschung anderer Tiere als Elefanten‘ bezeichnen.“

Obwohl die Definition von „Chaos“ im deterministischen Sinne erst Mitte der 1970er Jahre eingeführt wurde, begann die Erforschung seiner „Ergodizität“ bereits 45 Jahre zuvor: Die beiden klassischen Ergodensätze, von Neumanns Durchschnittsergodensatz und Birkhoffs punktweiser Ergodensatz aus den frühen 1930er Jahren, waren die wichtigsten Vertreter, und man kann sagen, dass die Forschung zur modernen Ergodentheorie von Ulam geleitet wurde.

Die Methode der „Invarianten Dichtefunktion“ zur Erforschung des „Chaos“

Was bedeutet das Wort „ergodisch“ in der Mathematik? Lassen Sie mich zunächst die Bedeutung von „nicht durchqueren“ anhand eines Beispiels verdeutlichen, damit Sie sich besser vorstellen können, was „durchqueren“ bedeutet. Definieren Sie eine Abbildung S, die [0, 1] auf sich selbst abbildet: wenn 0 ≤ x < 1/4, S(x) = 2x; wenn 1/4 ≤ x < 3/4, S(x) = 2x – 1/2; wenn 3/4 ≤ x ≤ 1, S(x) = 2x – 1. Hier ist eine Grafik von S:

Aus dem obigen Beispiel einer nicht-ergodischen Abbildung können wir die Definition einer „ergodischen Abbildung“ ableiten. Für jede Abbildung einer Domäne auf sich selbst gibt es immer zwei triviale „invariante Mengen“, die leere Menge und die Domäne selbst, da ihre inversen Bilder unter der Abbildung gleich ihnen selbst sind. Eine Abbildung ist ergodisch, wenn sie keine intrinsisch „nicht-triviale“ invariante Menge hat, d. h. keine nicht-triviale Teilmenge ihrer Domäne, die unter der Abbildung dieselbe Menge ist wie ihre Inverse. Kurz gesagt, eine Abbildung ist ergodisch, wenn sie nur triviale invariante Mengen hat.

Wann liegt eine „invariante Dichtefunktion“ vor?

In dem von Andrzej Lasota (1932–2006) und Michael Mackey (1942–) gemeinsam verfassten Buch „Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics“ liefern die Autoren in Abschnitt 2 von Kapitel 6 einen Beweis dafür, dass der obige Operator nur die Nullfunktion als seinen eindeutigen Fixpunkt hat.

Beachten Sie den Unterschied zwischen den beiden obigen Beispielen: Die Ableitung der ersten Abbildung ist immer gleich 1/2, was streng kleiner als 1 ist; aber die Ableitung der zweiten Abbildung ist überall auf (0, 1] streng größer als 1, aber gleich 1 bei x = 0. Dies wirft eine Frage auf: Wenn eine Abbildung eine Ableitung hat, die bis auf wenige Ausnahmen überall auf dem Definitionsbereich existiert, und der Betrag der Ableitung streng größer als 1 ist, hat der entsprechende Frobenius-Perron-Operator dann einen Fixpunkt ungleich Null? Eine Abbildung, die die obigen Ableitungsbedingungen erfüllt, heißt

Leser, die sich mit elementarer Analysis beschäftigt haben, sollten wissen, dass eine stückweise verlängerte Abbildung nicht überall auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sein kann. Andernfalls wäre gemäß dem Mittelwertsatz von Lagrange, der als „Fundamentalsatz der Differentialrechnung“ bekannt ist, das Wertebereichsintervall der Abbildung länger als das Definitionsbereichsintervall, was der Grundannahme widerspricht, dass der Wertebereich im Definitionsbereich enthalten ist. Dies zeigt sich auch daran, dass die Ableitung der bekannten stückweise gestreckten Zeltkarte T an der Stelle x = 1/2 nicht existiert. Daher kann die segmentierte verlängerte Intervallabbildung nur durch „segmentierte Differenzierbarkeit“ erreicht werden.

Die Legende von Ulam

Ulam war ein Pionier auf dem umfassenden Forschungsgebiet der „Nichtlinearen Analyse“. Tatsächlich schufen er und mehrere andere weise Männer, darunter sein lebenslanger Freund John von Neumann (1903–1957) und der Physiker Enrico Fermi (1901–1954), diese Disziplin, während sie an der Entwicklung der Atombombe arbeiteten. Vor vielen Jahren habe ich Ulams Essaysammlung „Science, Computers, and People“ gelesen. Der erste Absatz des Vorworts des Mathematik-Popularisierers Martin Gardner (1914–2010) lautet: „Ulam, oder Stan, wie ihn seine Freunde nannten, war einer jener großen kreativen Mathematiker, der sich nicht nur für alle Bereiche der Mathematik, sondern auch für die physikalischen und biologischen Wissenschaften interessierte. Wie sein guter Freund von Neumann und anders als viele seiner Kollegen konnte Ulam weder als reiner noch als angewandter Mathematiker eingestuft werden. Er fand stets die gleiche Faszination und Begeisterung für reine Bereiche, die nichts mit angewandten Problemen zu tun hatten, wie für die Anwendung der Mathematik.“

Ulam war Jude. Sein Geburtsort Lviv war ursprünglich Teil Polens unter der österreichisch-ungarischen Monarchie und liegt heute im Westen der Ukraine. Er ist somit ein polnisch-ukrainischer Mathematiker und wird auf der Website „Pantheon“ (pantheon.world) als erster der zehn legendärsten ukrainischen Mathematiker aller Zeiten aufgeführt. Zu Beginn seiner populären Autobiografie „Die Abenteuer eines Mathematikers“, die ich dreimal gelesen habe, erzählt Ulam dem Leser, dass er im Alter von vier Jahren von den geometrischen Mustern auf dem Perserteppich im Wohnzimmer seiner Familie fasziniert war. Als sein Vater, ein Anwalt, missbilligend lachte, sagte er sich: „Er lacht, weil er mich für naiv hält, aber ich weiß, dass das merkwürdige Muster sind. Ich weiß etwas, was mein Vater nicht weiß.“ Dies war vielleicht der erste Ausdruck seines lebenslangen Talents, neue Dinge zu erforschen. Ein weiterer Beweis dafür, dass er gerne Fragen stellte und löste, ist die Tatsache, dass in den 1930er Jahren, als die polnische Schule der Mathematik auf der ganzen Welt berühmt war, die polnische mathematische Elite unter der Führung von Stefan Banach (1892-1945), dem Meister der Funktionalanalyse, in schottischen Cafés über Mathematik diskutierte und die mathematischen Probleme, auf die sie stießen, in Echtzeit aufschrieb. Das „Scottish Book“ ist mittlerweile in der internationalen Mathematikergemeinschaft berühmt. Ulam, der in seinen Zwanzigern war, steuerte die meisten Fragen bei!

Gerade aufgrund seiner Liebe, mit Menschen zu diskutieren und Fragen zu stellen, wurde der „Sinn für das Wesentliche“, der in Ulams Gehirn keimte, später zum Beginn seiner Reise in mehrere Bereiche der Mathematik. So war er es beispielsweise, der von Neumann erstmals die „Zelluläre Automatentheorie“ vorschlug; die Idee der „Monte-Carlo-Methode“ entstand aus seinen Überlegungen zu den heiklen Problemen der Zahlentheorie und Integration; und die „nichtlineare Analyse“, die später einen Hype in der Solitonen- und Chaosforschung auslöste, begann aus seinen Fingern zu fließen, als er mit der Computertastatur spielte. Für diesen Artikel ist von Bedeutung, dass er eine numerische Methode vorschlug, die die Geburt der „rechnergestützten Ergodentheorie“ einläutete, einer Disziplin, die reine Mathematik, angewandte Mathematik und rechnergestützte Mathematik kombiniert.

Ulam veröffentlichte im Alter von 20 Jahren eine mathematische Arbeit zur Mengenlehre und ging am Vorabend des Zweiten Weltkriegs in die Vereinigten Staaten. Seitdem hat sein genialer Verstand dem Land viele brillante Ideen beschert, von denen eine für die US-Regierung so wichtig war, dass sie „den Lauf der Geschichte ändern“ könnte. Aufgrund dieses großen Beitrags wurde er von der überwiegenden Mehrheit der Wissenschaftler als „Vater der Wasserstoffbombe“ gefeiert, viele Menschen waren jedoch der Meinung, dass diese Rolle dem ungarisch-amerikanischen theoretischen Physiker Edward Teller (1908–2003) zukomme, da letzterer während des gesamten Prozesses von der Konzeption bis zur erfolgreichen Entwicklung der Wasserstoffbombe ein höheres gesellschaftliches Ansehen genoss als ersterer. Am Mittag des 23. Januar 1951 fand Ulams Frau ihren Mann zu Hause vor, wie er mit einem seltsamen Gesichtsausdruck in den Garten vor dem Fenster starrte, und sagte: „Ich habe einen Weg gefunden, es hinzukriegen.“ „Was für eine Arbeit?“ fragte ihn seine Frau. „Die Wasserstoffbombe“, antwortete er, „ist ein völlig anderes Konzept und wird den Lauf der Geschichte verändern.“ Sogar Ulam, ein „mathematischer Wissenschaftler“ mit außergewöhnlichen Fähigkeiten, war oft erstaunt, wenn er sah, „wie ein paar Kritzeleien auf einer Tafel oder einem Stück Schmierpapier den Lauf der menschlichen Entwicklung verändern konnten“.

Auf die Frage, wer von beiden, Teller oder Ulam, der „biologische Vater“ der Wasserstoffbombe sei, machte ihr deutscher Vorgesetzter am Los Alamos National Laboratory, Hans Bethe (1906-2005), Direktor der theoretischen Abteilung und Träger des Physik-Nobelpreises von 1967, einmal einen treffenden Kommentar: „Nachdem die Wasserstoffbombe gebaut war, begannen Reporter, Teller als ihren Vater zu bezeichnen. Aus historischen Gründen halte ich es für zutreffender zu sagen, dass Ulam der Vater ist, weil er die Keime lieferte, und Teller die Mutter, weil er bei dem Kind blieb. Was mich betrifft, so glaube ich, dass ich die Hebamme bin.“ Hier hat Bethe den Namen „Ulam“ zur Hervorhebung ausdrücklich fett gedruckt.

Ulams Fragen, Methoden und Vermutungen

Im Jahr 1960 veröffentlichte Ulam ein kleines Buch mit nur 150 Seiten, „A Collection of Mathematical Problems“. Dieses dünne Buch ist voller mathematischer Ideen und hat vielen Mathematikern zum Erfolg verholfen, darunter James Yorke (1941-) und seinem Mitarbeiter Luo Suda. In Abschnitt 4 von Kapitel 6 seines Buches fragte Ulam: „Wenn die Abbildung S vom Einheitsintervall auf sich selbst durch eine ausreichend ‚einfache‘ Funktion (z. B. eine stückweise lineare Funktion oder ein Polynom) definiert ist, deren Graph die Linie y = x nicht mit einem absoluten Steigungswert kleiner als 1 schneidet, hat dann der entsprechende Frobenius-Perron-Operator eine nichttriviale invariante Dichtefunktion?“ Ulam gab dann ein Beispiel für eine Familie stückweise linearer Abbildungen mit Parametern, für die die Antwort auf die obige Frage noch nicht gegeben worden war.

Dreizehn Jahre später veröffentlichten Losuda und sein nordamerikanischer Mitarbeiter York als Ulams Landsmann der nächsten Generation und Nachfolger der „nichtlinearen Analyse“ ihre Antwort auf Ulams obige Frage in Transactions of the American Mathematical Society. Dies ist ein wichtiger Artikel zur modernen Ergodentheorie mit dem Titel „Über die Existenz invarianter Maße für stückweise monotone Transformationen“. Die Zusammenfassung besteht aus nur einem Satz, der den Beitrag des Artikels prägnant zusammenfasst: „In diesem Artikel beweisen wir, dass eine Klasse stückweise kontinuierlicher und stückweise quadratisch differenzierbarer Transformationen auf dem Intervall [0, 1] absolut kontinuierliche invariante Maße haben.“ In der Arbeit bewiesen sie das folgende Ergebnis:

Losunda-York-Theorem

Wenn die Abbildung S, die ein Intervall auf sich selbst abbildet, stückweise quadratisch stetig differenzierbar ist und der Absolutwert ihrer Ableitung auf dem Intervall nie kleiner als eine Konstante größer als 1 ist, dann hat der zu S gehörende Frobenius-Perron-Operator mindestens eine invariante Dichtefunktion.

Insbesondere gaben Losuda und Yorke eine positive Antwort auf die Familie der stückweise linearen Abbildungen, die in Ulams Buch definiert sind, nämlich, dass für jeden Parameter a, der 0 < a < 1/2 erfüllt, die Abbildung Sa ein absolut kontinuierliches invariantes Maß hat. Darüber hinaus führte ihre Arbeit in der reinen Mathematik zu einem kreativen Artikel in der Computermathematik, verfasst von Dr. Tianyan Li (1945–2020) aus York, der zu einem Klassiker der Computer-Ergodentheorie geworden ist.

In „A Collection of Mathematical Problems“ hat Ulam nicht nur das Problem der Existenz einer invarianten Dichtefunktion aufgeworfen, sondern auch erstmals eine auf dem Wahrscheinlichkeitsgedanken basierende Berechnungsmethode vorgeschlagen, um die angenommene Existenz einer invarianten Dichtefunktion numerisch zu approximieren. Für eine gegebene Abbildung S: [0, 1] → [0, 1] teilt Ulam zunächst das Domänenintervall [0, 1] in n gleiche Teile. Für i = 1, 2, …, n ist das i-te Teilintervall

„Wir vermuten, dass, wenn der Frobenius-Perron-Operator eine invariante Dichtefunktion hat, die invariante Sprungfunktion gegen die invariante Dichtefunktion konvergiert, wenn die Anzahl n der Partitionen von [0, 1] unendlich wird.“ Dies wird heute als „Ulam-Vermutung“ bezeichnet, und das von ihm zur Berechnung der invarianten Dichtefunktion entwickelte numerische Format wurde später als „Ulam-Methode“ bezeichnet – das moderne Forschungsgebiet der „rechnergestützten Ergodentheorie“ begann mit den Seiten 74–75 seines Buches, und dies ist der früheste und bekannteste Algorithmus unter ihnen.

Der kranke Li Tianyan bewies zum ersten Mal die „Ulam-Vermutung“

Nachdem Losuda und York ihren Satz bewiesen und veröffentlicht hatten, war die Existenz eines absolut kontinuierlichen invarianten Maßes für eine Klasse stückweise verlängerter Abbildungen streng garantiert. Als Li Tianyan, der gerade seinen Doktortitel erworben hatte, ihre Arbeit las, begann er, der bereits ein großes Interesse an Computermathematik entwickelt hatte, ernsthaft darüber nachzudenken, wie man die invariante Dichtefunktion, deren Existenz theoretisch garantiert war, effektiv berechnen könnte. Allerdings war Gott nicht sehr gnädig mit seiner Gesundheit. Bereits sechs Wochen nach seiner Promotion im Jahr 1974 stieg sein Blutdruck auf 220/160 Millibar, da seine Nieren stark geschädigt waren. So wie am 25. Juni 2020, dem Tag nach dem krankheitsbedingten Tod von Professor Li Tianyan, sein Mentor Professor York bei der von unseren Schülern abgehaltenen Gedenkfeier für ihn daran erinnerte, dass er, nachdem er 1969 von Taiwan an die University of Maryland gegangen war, um dort zu promovieren, im darauf folgenden Jahr Nierenprobleme bekam. Er war damals erst 25 Jahre alt. Im Jahr 1976 betrug seine Nierenfunktion nur noch 10 %, sodass er mit der Dialyse begann. Diese dauerte fünfeinhalb Jahre lang, dreimal wöchentlich, jeweils fünf Stunden, die Zeit unterwegs nicht eingerechnet. Anschließend reiste er für eine Nierentransplantation nach Europa, die jedoch aufgrund einer Abstoßung scheiterte. Schließlich gelang es ihm 1981, die Niere seiner Schwester zu verpflanzen und problemlos transplantieren zu lassen. Diese selbstlose Niere arbeitete 39 Jahre lang für ihn und half ihm auch bei der Betreuung von 26 Doktorarbeiten.

Li Tianyan zeigte angesichts seiner Krankheit einen eisernen Willen und gab nie auf. Viele seiner Forschungsideen entstanden Mitte der 1970er Jahre auf seinem Krankenhausbett. Um ein Dienstprogramm zum Berechnen absolut kontinuierlicher invarianter Maße für die Klasse der Intervallabbildungen zu entwickeln, die die Bedingungen des Losuda-York-Theorems erfüllen, diskretisierte er zunächst den Frobenius-Perron-Operator gemäß den allgemeinen Prinzipien der numerischen Analyse. Zunächst teilte er wie Ulam das Intervall [0, 1] in n gleiche Teile. Dann definierte er einen Projektionsoperator, dessen Bereich ein endlichdimensionaler Unterraum ist. Es projiziert jede integrierbare Funktion auf [0, 1] in eine stückweise konstante Funktion, die der obigen Intervallzerlegung entspricht. Der konstante Wert auf jedem relevanten Teilintervall ist der Durchschnittswert der integrierbaren Funktion auf diesem Teilintervall, d. h. das Integral der Funktion auf dem Teilintervall geteilt durch die Länge des Teilintervalls. Es ist leicht zu erkennen, dass dieser Projektionsoperator eine nicht-negative integrierbare Funktion in eine nicht-negative Sprungfunktion projiziert und das Integral der Funktion über [0, 1] unverändert lässt.

Der „Einheitsoperator“, der jede integrierbare Funktion auf sich selbst abbildet, ist auch ein Projektionsoperator und der Projektionsoperator mit dem größten Bereich. Daher wird der obige Projektionsoperator zu einer endlichdimensionalen Näherung des Einheitsoperators. Li Tianyan kombinierte es mit dem Frobenius-Perron-Operator, der eine endlichdimensionale Näherung des Frobenius-Perron-Operators darstellt. Wenn es auf den n-dimensionalen Unterraum beschränkt ist, der aus allen stückweise konstanten Funktionen besteht, die durch Intervallzerlegung bestimmt werden, dann sind seine Domäne und sein Wertebereich derselbe Unterraum, und unter der Standarddichtefunktionsbasis dieses Unterraums ist seine Matrixdarstellung eine Zufallsmatrix. Die Dichtefunktion in dieser Basis ist die charakteristische Funktion aller n Teilintervalle geteilt durch die Länge des Teilintervalls. Zu diesem Zeitpunkt wusste Li Tianyan noch nicht, dass es sich bei der Matrix genau um diejenige handelte, die Ulam in dem vor fünfzehn Jahren veröffentlichten Buch mithilfe der Wahrscheinlichkeitsmethode erstellt hatte.

Zu dieser Zeit hatte Li Tianyan eine besondere Vorliebe für Brouwers Fixpunktsatz, da er zuvor eine moderne Homotopie-Fortsetzungsmethode auf der Grundlage der Differentialtopologie entwickelt hatte, um solche Fixpunkte numerisch zu approximieren. Daher übernahm er nicht die Standardtheorie der nichtnegativen Matrizen von Perron-Frobenius, sondern entlehnte direkt Brouwers Fixpunktsatz, um zu beweisen, dass der endlichdimensionale Näherungsoperator des Frobenius-Perron-Operators, den er auf diese Weise konstruierte, einen von Null verschiedenen Fixpunkt haben muss, der eine stückweise konstante Dichtefunktion ist. Diese Schlussfolgerung gilt für jede endliche Partition des Intervalls [0, 1], sodass die von ihm vorgeschlagene „Methode der stückweise konstanten Funktionsprojektion“ eine wohlgestellte numerische Methode ist, d. h. für jede natürliche Zahl n kann der Algorithmus die ungefähre invariante Dichtefunktion des Frobenius-Perron-Operators mit einem auf n Teilintervallen basierenden Stufenbild berechnen.

Jetzt muss nur noch ein Problem gelöst werden, aber für Computermathematiker ist dies das wichtigste und normalerweise auch das schwierigste Problem: Konvergiert der konstruierte wohlgestellte Algorithmus? Mit anderen Worten: Wird diese annähernd invariante Dichtefunktion, deren Existenz für jede natürliche Zahl n garantiert ist, konvergieren, wenn n gegen unendlich geht? Und wenn es konvergiert, konvergiert es dann gegen die exakte invariante Dichtefunktion des Frobenius-Perron-Operators, wie wir es gerne hätten?

Hierzu ist es erforderlich, in den Begründungsdetails des Losuda-York-Theorems nach wichtigen Hinweisen zu suchen, um die Konvergenz zu beweisen. Gleichzeitig muss man sich aber auch mit der Essenz der analytischen Mathematik auseinandersetzen, die im Kopf des Algorithmus-Vorschlagenden selbst gespeichert ist. In der Losuda-York-Arbeit trug York eine nützliche Ungleichung bei, die die Lücke zwischen der Variation einer Funktion mit beschränkter Variation über ihren Definitionsbereich und der Variation des Produkts dieser Funktion und ihrer charakteristischen Funktion über ein bestimmtes Teilintervall schließt. Diese Brücke ermöglichte es den beiden Mitarbeitern, die entscheidende „Loseuda-York-Variationsungleichung“ zu erhalten, die letztendlich zum Theoremschluss der Existenz invarianter Dichtefunktionen führte. Variation ist ein wichtiges Konzept in der mathematischen Analyse, ich werde hier jedoch auf seine Definition verzichten und nur auf eines hinweisen: Sie spielt oft eine führende Rolle in der „Konvergenzanalyse“. Li Tianyan stellte scharfsinnig fest, dass der von ihm entsprechend der Intervallzerlegung definierte Projektionsoperator die Variation der integrierbaren Funktion nicht erhöhen würde. Auf diese Weise bewies er mit Hilfe der Losuda-York-Variationsungleichung, dass für die stückweise verlängerte Abbildung, die die Bedingungen des Losuda-York-Theorems erfüllt, die Variation der approximativen invarianten Dichtefunktion für alle natürlichen Zahlen n gleichmäßig beschränkt ist. Durch Wiederverwendung des klassischen Hurley-Auswahltheorems in der Analyse enthält die erhaltene stückweise konstante Dichtefunktionssequenz eine Teilsequenz, die im „Norm“-Sinne des integrierbaren Funktionenraums zu einer invarianten Dichtefunktion des Frobenius-Perron-Operators konvergiert. Insbesondere wenn diese invariante Dichtefunktion eindeutig ist, konvergiert die Folge der stückweise konstanten approximativen invarianten Dichtefunktionen gegen sie.

Dies ist das erste Mal, dass jemand eine numerische Analyse des Frobenius-Perron-Operators für eine bestimmte Klasse von Intervallabbildungen durchgeführt hat, seit Ulam die „Ulam-Vermutung“ zur Konvergenz invarianter Sprungfunktionsfolgen aufgestellt hat. Es handelt sich zudem um einen der drei bedeutendsten mathematischen Beiträge Li Tianyans im Laufe seines Lebens. Er vollendete die Arbeit unabhängig und veröffentlichte sie 1976 im American Journal of Approximation Theory. Seine beiden anderen Beiträge sind „Die Definition des Chaos“ und „Der Homotopie-Algorithmus“, die er vor seinem 30. Lebensjahr schuf. Bis zum Verfassen des Artikels wusste er jedoch nicht, dass der von ihm erfundene Algorithmus im Wesentlichen derselbe war wie die Matrix, die Ulam auf einer Seite in „Mathematical Problems“ beschrieben hatte.

Nachdem der Artikel eingereicht worden war, teilte jemand dem Autor mit: „Die von Ihnen vorgeschlagene Methode ist die Ulam-Methode, die vor fünfzehn Jahren herauskam.“ Der Unterschied besteht darin, dass Ulam die Konvergenz seiner Methode für keine Abbildungsfamilie bewiesen hat, sondern nur vermutete, dass der Algorithmus konvergieren würde, solange theoretisch eine invariante Dichtefunktion existiert. Daraus ist ersichtlich, dass Li Tianyan „zufällig“ die Ulam-Vermutung für die Losuda-York-Intervallabbildungsfamilie bewiesen hat. Ulam ist ein weltberühmter Mathematiker und die Nennung seines Namens im Titel des Artikels dürfte mehr potenzielle Leser anziehen. Aus diesem Grund hat Li Tianyan den ursprünglichen Titel seines Artikels „Endlich-dimensionale Approximation des Frobenius-Perron-Operators“ zu „Endlich-dimensionale Approximation des Frobenius-Perron-Operators: eine Lösung für Ulams Vermutung“ erweitert. In gewisser Weise belebte Li Tianyans Beweis von Ulams Vermutung für eine bestimmte Art eindimensionaler Intervallabbildung Ulams Methode wieder, die im Grunde fünfzehn Jahre lang brach lag. Er kann zusammen mit Ulam als Hauptpionier der rechnergestützten Ergodentheorie angesehen werden.

Im letzten halben Jahrhundert hat sich die Berechnung invarianter Maße chaotischer Abbildungen zu einem aktiven Zweig der Ergodentheorie in der Mathematik und der nichtlinearen Analyse in der Ingenieurtechnik entwickelt. In der Erforschung und Anwendung von Ulams Methode und ihren Verallgemeinerungen höherer Ordnung sind Ulams Originalarbeit und Li Tianyans innovative Arbeit zu nahezu unverzichtbaren Klassikern der Literatur geworden.

Wenn die Intervallabbildung jedoch nicht stückweise verlängert wird, ist die Konvergenz der Ulam-Methode in einigen Fällen theoretisch nicht wirklich garantiert, selbst wenn der entsprechende Frobenius-Perron-Operator eine invariante Dichtefunktion hat, oder obwohl Konvergenz in numerischen Experimenten beobachtet wurde, kann sie nicht streng bewiesen werden. Im Laufe der Jahrzehnte wurde Ulams Vermutung jedoch für viele andere Kategorien von Intervallabbildungen und hochdimensionalen Transformationen bewiesen. Inspiriert von der Beweismethode von Professor Li Tianyan verwendeten der Autor dieses Artikels und sein Mitarbeiter Zhou Aihui vom Institut für Computermathematik und wissenschaftliches und technisches Rechnen der Chinesischen Akademie der Wissenschaften in den 1990er Jahren das Konzept der Variation mehrdimensionaler Funktionen, um die Ulam-Vermutung für eine Klasse stückweiser Erweiterungstransformationen zu beweisen, die hochdimensionale begrenzte Bereiche auf sich selbst abbilden. Die Existenz absolut kontinuierlicher invarianter Maße für solche Transformationen wurde Ende der 1980er Jahre von zwei kanadischen Mathematikern bewiesen.

Professor Li Tianyan erinnerte sich einmal an den inneren Seufzer, den sein unbeabsichtigter Erfolg bei der Lösung von Ulams Vermutung in ihm auslöste: „Wenn ich gewusst hätte, dass es sich hierbei um ein ungelöstes Problem handelte, das von Ulam, einem Mathematiker auf dem gleichen Niveau wie von Neumann, vorgeschlagen wurde, hätte ich mich vielleicht nicht getraut, es anzufassen.“ Es scheint, dass es für Professor Li nicht unbedingt ein Verlust war, Ulams berühmtes Büchlein „Eine Sammlung mathematischer Probleme“ nicht im Voraus gelesen zu haben, sonst hätte er es vielleicht wirklich nicht gewagt, es anzufassen. Wenn die Leser jedoch mein 2021 erschienenes Buch „Out of Chaos: My Love for Mathematics with Li Tianyan“ gelesen und von seiner lebenslangen Lese- und Studienerfahrung erfahren haben, werden sie wahrscheinlich wie ich glauben, dass er keineswegs eine Person ist, die Autoritäten verehrt, sondern sich neuen Problemen direkt stellt, unabhängig denkt und Wege findet, sie zu lösen. Er sagte zu seinen Schülern, mich eingeschlossen, einmal: „Nur weil ein großer Mann ein Problem nicht lösen kann, heißt das nicht, dass ein kleiner Mann es nicht auch lösen kann.“

Zwei Ansichten zum Chaos: Deterministisch und statistisch

Ende des 19. Jahrhunderts entdeckte der französische Mathematiker Henri Poincaré (1854–1912), bekannt als „Vater des Chaos“, als Erster in der Naturwissenschaft das chaotische Phänomen im Dreikörperproblem; Siebzig Jahre später, Mitte des 20. Jahrhunderts, löste der „Vater des Chaos“ Edward Lorenz (1917–2008) das Rätsel des „Schmetterlingseffekts“ bei der Wettervorhersage. Fünfzehn Jahre später entstand dank der Erkenntnisse der Mathematiker ein eleganter Chaossatz und eine mathematische Definition des Chaos. Seitdem hat sich die Erforschung des Chaos wie eine Flutwelle im Meer entwickelt. „Chaos“ wird von vielen Wissenschaftlern als die drittgrößte wissenschaftliche Entdeckung des 20. Jahrhunderts nach der „Relativitätstheorie“ und der „Quantenmechanik“ angesehen. Seine Konzepte, Ideen, Theorien und Methoden haben in vielen Bereichen der Naturwissenschaften, der Biowissenschaften und der Ingenieurwissenschaften bereits Früchte getragen.

Chaos im deterministischen Sinne offenbart die Komplexität und Vielfalt der Natur. Aus diesem Grund gibt es keine einheitliche Definition dafür, und es kann nur aus einer einzigartigen Perspektive beschrieben werden, wie etwa als „Dynamik, die von den Fesseln der Ordnung und Vorhersagbarkeit befreit ist“, „unregelmäßiges und unvorhersehbares Verhalten deterministischer nichtlinearer dynamischer Systeme“, „komplexe und nichtperiodische anziehende Umlaufbahnen bestimmter dynamischer Systeme“ usw. Der verstorbene chinesische theoretische Physiker Hao Bolin (1934–2018) betrachtete Chaos als „Ordnung ohne Periodizität“. Unabhängig davon, wie Chaos beschrieben wird, ist die „empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen“ das grundlegende Merkmal des Chaos, was zur Unvorhersehbarkeit des Endzustands des dynamischen Systems führt.

Das im deterministischen Sinne chaotisch erscheinende chaotische Verhalten kehrt jedoch zur „Regelmäßigkeit“ im Sinne der Wahrscheinlichkeitsstatistik zurück. Dies liefert nicht nur neue Ideen und neue Wege zur Untersuchung des Chaos, sondern spiegelt auch die Einheit der Gegensätze zwischen Unordnung und Ordnung wider. Der chinesische Wahrscheinlichkeitsforscher Yan Jianan (1941-) verwendete ein fünfstelliges Gedicht: „Zufälligkeit ist nicht willkürlich, Wahrscheinlichkeit lüftet das Mysterium. Unordnung verbirgt Ordnung, Statistik löst die Verwirrung.“ um kurz und bündig die reichen Früchte zu beschreiben, die die Nährstoffe der Wahrscheinlichkeit und Statistik hervorbringen, die auf dem Boden deterministischer Systeme gesät werden. Die Betrachtung des Chaos aus den beiden Perspektiven „Determinismus und Statistik“ spiegelt die beiden komplementären und vernünftigen Möglichkeiten zur Beschreibung der Naturgesetze in der modernen Mathematik wider. Es handelt sich um eine organische Kombination aus Notwendigkeit und Kontingenz und um einen überzeugenden Beweis für das philosophische Konzept, dass „deterministische Mathematik und stochastische Mathematik Hand in Hand gehen und gemeinsam koexistieren und gedeihen“! Die moderne Ergodentheorie und ihre Berechnungsmethoden sind wirkungsvolle Mittel zur Untersuchung der statistischen Eigenschaften deterministischer Systeme.

Produziert von: Science Popularization China

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