Inspiriert von Zhang Yitang löst ein 17-jähriger Junge die Zahlentheorieprobleme der Welt

Während er die Abhandlung über das Primzahlzwillingsproblem studierte, beherrschte Daniel Larson die mathematische Methode, die Maynard zur Verbesserung der Forschungsergebnisse von Zhang Yitang verwendet hatte, wandte diese Methode kreativ an und erbrachte schließlich ein bahnbrechendes Ergebnis zur Verteilung der Carmichael-Zahlen.

Geschrieben von Wu Chaoyang (populärwissenschaftlicher Autor, außerordentlicher Professor der Fakultät für Mathematik an der Universität Nanjing)

Der damals 17-jährige Daniel Larsen sorgte im vergangenen Jahr für ziemliches Aufsehen und wurde von den Medien als „genialer Junge“ gefeiert, weil er ein wichtiges Ergebnis zur Verteilung der Carmichael-Nummern vorlegte. Als am 18. Oktober 2023 der überarbeitete Entwurf des Papiers online auf der Preprint-Website veröffentlicht wurde, erregte Daniel Larson erneut die Aufmerksamkeit unzähliger Mathematikbegeisterter und einiger Eltern von Schülern.

Neben Daniel Larsen haben auch die Carmichael-Zahlen die Aufmerksamkeit von Mathematik-Enthusiasten auf sich gezogen. Es ist bemerkenswert, dass Daniel Larsens Beweis eng mit Zhang Yitangs Forschung zum Primzahlzwillingsproblem zusammenhängt. Dieser Artikel konzentriert sich auf die interessanten Carmichael-Zahlen und erzählt kurz die Wachstumsgeschichte von Daniel Larsen, dem „genialen Jungen“.

„Koprime“, „Kongruenz“ und „Kongruenzarithmetik“

Um diese Geschichte besser zu verstehen, müssen wir zunächst ein allgemeines Verständnis einiger grundlegender mathematischer Kenntnisse dazu haben.

Das Erste, was Sie verstehen müssen, sind Primzahlen. Ich glaube, jeder kennt Primzahlen. Es handelt sich um natürliche Zahlen, die größer als 1 sind, sich aber nicht in das Produkt zweier Faktoren größer als 1 zerlegen lassen (der Lesbarkeit halber beziehen sich alle „ Zahlen “ in diesem Artikel auf natürliche Zahlen). Beispielsweise sind 2, 3, 5, 7 und 11 alles Primzahlen. Zahlen, die keine Primzahlen, aber größer als 1 sind, heißen zusammengesetzte Zahlen . Beispielsweise sind 6 und 9 zusammengesetzte Zahlen, da sie als 2⤫3 bzw. 3⤫3 geschrieben werden können.

Wenn zwei Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben oder ihr „größter gemeinsamer Faktor“ 1 ist, dann sagen wir, dass die beiden Zahlen „ teilerfremd “ sind. Beispielsweise sind 8 und 11 teilerfremd, 6 und 9 jedoch nicht, da sie den gemeinsamen Faktor 3 haben.

Zwei weitere mathematische Begriffe, die wir verstehen müssen, sind „Kongruenz“ und Kongruenzarithmetik. Kurz gesagt bedeutet „ Kongruenz “ „derselbe Rest“. Konkret bedeutet dies, dass die beiden Dividenden bei gleichem Divisor den gleichen Rest haben – hier ist uns der Quotient egal, uns interessiert nur der Rest. Beispielsweise sind mit 6 als Divisor die Reste der Dividenden 14 und 8 gleich, daher sagen wir „14 und 8 sind kongruent modulo 6“. Wir nehmen dies zur Kenntnis

14 ≡ 8 mod (6).

Der obige Ausdruck wird als Kongruenzausdruck bezeichnet, wobei mod (6) bedeutet, dass der gemeinsame Teiler der Zahlen auf beiden Seiten des Ausdrucks 6 ist, was als „ Modulus “ des Kongruenzausdrucks bezeichnet wird. Für den gleichen Modul m gilt, wenn a ≡ b mod (m) und c ≡ d mod (m) beide gelten, dann ist die Kongruenz

a + c ≡ b + d mod (m),

a - c ≡ b - d mod (m),

ac ≡ bd mod (m)

a^k ≡ b^k mod (m)

All dies ist wahr. Lassen Sie uns den dritten Beweis erbringen:

Da c ≡ d mod (m) bedeutet, dass c und d den gleichen Rest haben, wenn sie durch m geteilt werden, folgt, dass c – d gleich einem Vielfachen von m ist, d. h., es gibt eine ganze Zahl k, so dass c – d = mk. Dann,

ac – bd = a (km + d) – bd

= akm + ad – bd

= akm + d (a - b)

Aus der bekannten Bedingung a ≡ b mod (m) wissen wir, dass a – b durch m teilbar ist, daher ist auch ac – bd durch m teilbar, d. h. ac ≡ bd mod (m).

Die obigen drei Gleichungen zeigen, dass Kongruenzausdrücke hinsichtlich Addition, Subtraktion und Multiplikation wie Gleichungen „normalerweise bearbeitet“ werden können. Nun, wir wissen, dass „Gleiches durch Gleiches geteilt werden kann“. Können Übereinstimmungen durch Gleiches geteilt werden? Die Antwort lautet: Nein! Spezifische Situationen erfordern spezifische Analysen. Die Analysemethode besteht darin, die Kongruenzausdrücke als Divisionsgleichungen zu schreiben und diese Divisionsgleichungen zur Betrachtung des Problems zu verwenden. Dennoch können wir zwei einfache Schlussfolgerungen ziehen:

Erstens: Wenn k und m teilerfremd sind, dann können wir die Kongruenzformel verwenden

ka ≡ kb mod (m),

Holen Sie sich die Übereinstimmung

a ≡ b mod (m).

Mit anderen Worten: Wenn k und m keine gemeinsamen Faktoren haben, können wir den Faktor k tatsächlich von beiden Seiten der Übereinstimmung „streichen“.

Zweitens, wenn k ein Faktor von m ist, oder gleichwertig, wenn m = kn, dann erhalten wir aus der Übereinstimmung ka ≡ kb mod (m):

a ≡ b mod (n),

In diesem Fall werden sogar die Faktoren im Modul m gemeinsam „reduziert“.

Der kleine Fermatsche Satz und die Carmichael-Zahlen

Bevor wir über das Thema dieses Artikels sprechen, müssen wir auch den berühmten „ Kleinen Fermatschen Satz “ vorstellen. Eine Möglichkeit, diesen Satz auszudrücken, ist:

Der kleine Fermatsche Satz: Wenn p eine Primzahl und a eine natürliche Zahl ist, dann ist a^p - a durch p teilbar, d.h.

a^p – a ≡ 0 mod（p）

Gegründet.

Natürlich werden neugierige Menschen die mit diesem Theorem verbundenen Aussagen in Betracht ziehen, unter denen die folgenden zwei Aussagen die wichtigsten sind:

Satz 1 : Wenn n so ist, dass die Übereinstimmung

2^n – 2 ≡ 0 mod（n）

Dann muss n eine Primzahl sein.

Satz 2 (die Umkehrung des Kleinen Fermatschen Satzes): Wenn n so ist, dass die Übereinstimmung

a^n – a ≡ 0 mod（n）

Hier gibt es eine kleine Episode. Während der Tongzhi- und Guangxu-Zeiten der Qing-Dynastie schickte Großbritannien einen Diplomaten namens Thomas Wade (1818-1895) nach China. Bevor Pinyin offiziell eingeführt wurde, war die von ihm erfundene „Wade-Giles-Romanisierung“ das einflussreichste Pinyin-Schema. Interessanterweise hat Wade andere falsch verstanden und eine falsche Botschaft nach Europa zurückgeschickt. Er sagte, dass die Chinesen bereits zur Zeit des Konfuzius den folgenden „Satz“ über Primzahlen hatten:

Chinesische Hypothese : Wenn n eine Primzahl ist, dann ist die Übereinstimmung

2^n – 2 ≡ 0 mod（n）

Gegründet. Im Gegenteil, wenn n die obige Übereinstimmung wahr macht, dann muss n eine Primzahl sein.

Offensichtlich ist die erste Hälfte der chinesischen Hypothese das Korollar von Fermats kleinem Theorem, und die zweite Hälfte ist der oben erwähnte Satz 1. Im Jahr 1898 wies James Jeans (1877-1946) darauf hin, dass der oben erwähnte Satz 1 falsch ist und das kleinste Gegenbeispiel 341 ist. Er wies darauf hin, dass 341 = 11⤫31 eine zusammengesetzte Zahl ist, aber

2^5 = 32 ≡ 1 mod (31),

2^5 = 32 ≡ -1 mod (11),

Also,

2^340 = (2^5)^68≡ 1^68 ≡ 1 mod (31),

2^340=(2^5)^68≡ (-1)^68 ≡ 1 mod (11),

daher,

2^340 ≡ 1 mod (31⤫11),

2^341 ≡ 2 mod (31⤫11),

Das heißt,

2^341- 2 ≡ 0 mod (341),

Im Jahr 1899 befasste sich Alwin Korselt (1864–1947) unter Berufung auf die Ergebnisse von Jens eingehender mit dem oben genannten Satz 2 und formulierte das folgende „Kosselt-Kriterium“.

Cosselts Kriterium : Eine natürliche Zahl n, so dass die Übereinstimmung

a^n – a ≡ 0 mod（n）

Für alle natürlichen Zahlen a gilt dies genau dann, wenn n keine quadratischen Faktoren hat und für alle Primfaktoren von n gilt **

n–1 ≡ 0 mod(p-1).

Aus der Perspektive des Kleinen Fermatschen Theorems sind zusammengesetzte Zahlen, die das Cosselt-Kriterium erfüllen, Primzahlen sehr ähnlich und werden daher als „ Fermat-Pseudoprimzahlen “ bezeichnet. Im Jahr 1910 war Robert Carmichael (1879–1967) ein Pionier bei der Anwendung der Eulerschen φ-Funktion zur Untersuchung dieser Art von Pseudoprimzahlen. Er bewies, dass diese mindestens drei Primfaktoren haben, und gab spezifische Fermat-Pseudoprimzahlen mit drei Primfaktoren an, etwa 3⤫11⤫17, 5⤫13⤫17, 7⤫13⤫31 und 7⤫31⤫73. Aus Respekt vor seiner bahnbrechenden Forschung nennt die mathematische Gemeinschaft Fermats Pseudoprimzahlen seitdem „ Carmichael-Zahlen “.

Im Jahr 1939 führte Jack Chernick (1911-1971) eingehende Untersuchungen zu den Produktausdrücken von Carmichael-Zahlen mit drei, vier oder mehr Primfaktoren durch und gelangte zu mehreren wichtigen Ergebnissen. Für Carmichael-Zahlen mit drei Primfaktoren zeigte Chernik, dass sie die folgende Form haben:

Solange es eine nicht-negative ganze Zahl M gibt, sodass (6M+1), (12M+1) und (18M+1) alle Primzahlen sind, muss das Produkt dieser drei Primzahlen, also (6M+1)(12M+1)(18M+1), eine Carmichael-Zahl sein. Tatsächlich erhalten wir bei M = 1 7⤫13⤫19, was tatsächlich eine Carmichael-Zahl ist.

Es gibt viele Drei-Faktor-Produktformeln, die zur Suche nach Carmichael-Zahlen verwendet werden können. Die gängigsten sind:

Infolgedessen wurde es innerhalb kurzer Zeit im gesamten Internet populär. Fairerweise muss man sagen, dass dieses Forschungsergebnis weit davon entfernt ist, „das Problem der Welt zu lösen“, wie einige Berichte behaupten, aber es ist eine Erweiterung von Cherniks Forschung und ein innovatives Ergebnis.

Problem: Beweisen Sie den Satz von Bernard–Chebyshev für Carmichael-Zahlen

Aus Cherniks Forschung können wir ersehen, dass für dasselbe d viele Carmichael-Zahlen das Produkt einer Menge von Primzahlen der Form kd+1 sind.

Die Zahlentheorie-Gemeinschaft erfasst die Anzahl der Primzahlen kleiner als x als π(x), was als Primzahlzählfunktion bezeichnet wird, und gelangte sehr früh zu den folgenden wichtigen Ergebnissen:

π(x) ～ x / ln(x)

Wenn d und a teilerfremd sind, bilden alle natürlichen Zahlen der Form kd+a eine arithmetische Folge. Die Anzahl der Primzahlen kleiner als x wird als π(x; d, a) ausgedrückt. Dann hat π(x, d, a) eine Formel, die mit π(x) zusammenhängt:

π(x; d, a) ～ π(x) / φ(d)

Dabei ist φ(d) die Euler-φ-Funktion, also die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer als d sind und teilerfremd zu d sind.

Das heißt, in einer arithmetischen Folge natürlicher Zahlen der Form kd+1 erreicht die Anzahl der Primzahlen kleiner als x mindestens die Größenordnung von ln(x), solange x groß genug ist. Je weniger natürliche Zahlen zu d teilerfremd sind, desto mehr Primzahlen gibt es in der Folge.

Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Carmichael-Zahl gibt, die gleich dem Produkt mehrerer dieser Primzahlen ist, umso größer, je mehr Primzahlen kleiner als x und von der Form kd+1 es gibt. Die obige Formel zur Primzahlzählung weist deutlich darauf hin, dass es viele Carmichael-Zahlen dieser Form gibt.

Jeder, der sich mit Carmichael-Zahlen beschäftigt, weiß, dass das Cosselt-Kriterium eine wichtige, aber leicht zu beweisende Konsequenz hat:

Angenommen, ****S ist eine Menge, die aus mehreren ungeraden Primzahlen besteht, und L ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Zahlen in der Menge { p-1 | p∈S **}. Wenn Q eine Teilmenge von S ist , c gleich dem Produkt aller Primzahlen in Q ist und c** **≡ 1 ( mod L ) ist, dann ist **c**** eine Carmichael-Zahl. **

Wenn alle Primfaktoren einer Zahl klein sind, handelt es sich um eine von Ramanujan als „hochgradig zusammengesetzte Zahl“ bezeichnete Zahl. Wenn L eine hochgradig zusammengesetzte Zahl ist, lässt sich relativ einfach überprüfen, ob die Übereinstimmung c **≡ 1 ( mod L )** gilt. Im Jahr 1992 betrachtete Zhang Mingzhi von der Sichuan-Universität L als eine hochgradig zusammengesetzte Zahl und entwickelte basierend auf der obigen Schlussfolgerung eine neue Methode zur Suche nach großen Carmichael-Zahlen.

Inspiriert von Zhang Mingzhi bewiesen Alford (William R. Alford, 1926–2022), Granville (Andrew Granville) und Pomerance (Carl Pomerance) 1994 durch Anwendung der oben genannten Zählformel für Primzahlen der Form kd+1, dass es für eine ausreichend große hochgradig zusammengesetzte Zahl L eine natürliche Zahl d gibt, bei der die Reste der Produkte vieler Gruppen von Primzahlen der Form kd+1 modulo L alle gleich 1 sind. Darüber hinaus bewiesen sie, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.

Durch Anwendung der vorherigen Zählergebnisse für die Anzahl der Primzahlen von x^(1-E) bis x haben Alford et al. bewiesen, dass es für ausreichend große x mindestens x^(*1/3)* Carmichael-Zahlen gibt, die x nicht überschreiten.

Die prägnanteste Beschreibung des Verteilungsgesetzes der Primzahlen ist der berühmte Satz von Bernard-Chebyshev: Für jede natürliche Zahl n größer als 2 gibt es mindestens eine Primzahl zwischen n und 2n.

Die von Alford et al. verwendete Methode. gibt eine Untergrenze für die Anzahl der Carmichael-Zahlen im Intervall [1, x] an (wenn x ausreichend groß ist), kann aber die Existenz von Carmichael-Zahlen in der zweiten Hälfte dieses Intervalls, d. h. [x/2, x], nicht beweisen. Die Existenz von Carmichael-Zahlen in dieser zweiten Hälfte des Intervalls ist der Bernard-Chebyshev-Satz für Carmichael-Zahlen. Alford et al. kam zu dem Schluss, dass der Beweis des Bernard-Chebyshev-Theorems für Carmichael-Zahlen eine äußerst schwierige Aufgabe sein würde. Folgt man den Ideen von Alford et al., ist es unmöglich, den Satz von Bernard-Chebyshev für Carmichael-Zahlen zu beweisen, wenn nur Primzahlen der Form kd+1 betrachtet werden.

Daniel Larsens Forschung

Erst an dieser Stelle erscheint unser Protagonist.

Daniel Larsen schlug eine kühne Idee vor: Durch die gleichzeitige Betrachtung von Primzahlkombinationen der Form kd+1 und kd'+1 könnte es möglich sein, die Existenz von Carmichael-Zahlen in [x/2, x] zu beweisen. Glücklicherweise hat James Maynard eine innovative Methode vorgeschlagen, um Zhang Yitangs Schlussfolgerung zu Primzahlzwillingen zu verbessern, indem er bewies, dass für h nicht kleiner als 246 das Verteilungsgesetz der „Primzahlpaare“ x und x+h mit einem Intervall von h gilt. Daniel Larsen verstand Maynards Arbeit und wandte Maynards Methode kreativ auf Primzahlkombinationen wie kd+1 und kd'+1 an. Damit bewies er eine Untergrenze für die Häufigkeit, mit der kd+1 und kd'+1 Primzahlen für d und d' sind, die nicht zu weit auseinander liegen.

Aufgrund der großen Anzahl von „Primzahlpaaren“ der Form kd+1 und kd'+1 konnte Daniel Larsen eine modifizierte Version der Methode von Alford et al. verwenden. um das folgende bahnbrechende Ergebnis zu beweisen:

Für jede positive Dezimalzahl ****δ ** und eine ausreichend große natürliche Zahl n , die von δ abhängt, zwischen n und **

Carmichael-Nummer .

Wenn Sie denken, dass die obigen Ergebnisse zu kompliziert sind, können wir sie in einem abgeschwächten, aber einfachen und leicht zu merkenden Ergebnis zusammenfassen:

Wenn n > 3300 , gibt es immer eine Carmichael-Zahl zwischen n und 2n . Wenn n gegen unendlich geht, geht außerdem auch die Anzahl der Carmichael-Zahlen zwischen n und 2n gegen unendlich.

Der Leser kann selbst erkennen, dass es sich bei dieser Beschreibung um den Bernard-Chebyshev-Satz der Carmichael-Zahlen unter eingeschränkten Bedingungen ( n > 3300 ) handelt.

Wir sehen, dass die negative Forschung zur sogenannten „chinesischen Hypothese“ zur Entstehung des Cosselt-Kriteriums führte; Zhang Mingzhis Verwendung hochgradig zusammengesetzter Zahlen inspirierte Alford und andere und wurde zum Ausgangspunkt für ihren Beweis der Unendlichkeit der Carmichael-Zahlen. und Zhang Yitangs Forschung entfachte Larsons Leidenschaft für das Studium der Mathematik, und Maynards Verbesserung von Zhang Yitangs Beweismethode wurde zum Schlüssel für Larsons bahnbrechende Forschung. Es ist ein interessanter Zufall, dass es an mehreren wichtigen Knotenpunkten der Untersuchung der Carmichael-Zahlen chinesische Spuren gibt.

Daniel Larsens Vater, Michael Larsen, und seine Mutter, Ayelet Lindenstrauss, waren beide Mathematikprofessoren an der Indiana University. Die stark mathematische Atmosphäre zu Hause hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf ihn.

Ab 2013 wurden Zhang Yitangs bahnbrechende Fortschritte beim Primzahlzwillingsproblem zu einem Diskussionsthema unter seinen Eltern, was das große Interesse des jungen Daniel Larson weckte. Er war entschlossen, diese mathematische Leistung, die seine Eltern so beeindruckt hatte, zu verstehen und seine eigene mathematische Forschung zu beginnen, sobald sich die Gelegenheit dazu bot. Seit seinem ersten Jahr an der High School hat Daniel Larson versucht, Arbeiten zum Primzahlzwillingsproblem von führenden Mathematikern wie Zhang Yitang, Maynard und Tao Zhexuan zu studieren. Obwohl diese Arbeiten für Mittelschüler zu schwierig waren, war Daniel Larsen ein hartnäckiger Mensch und gab nie so schnell auf. Nach mehreren Monaten der Erkundung legte er seine Forschungsrichtung pragmatisch auf ein Problem fest, das relativ einfach schien, aber eng mit der Arbeit der oben genannten Mathematiker zusammenhing: die Verteilung der Carmichael-Zahlen. Im Alter von 17 Jahren bewies er das oben erwähnte bahnbrechende Ergebnis zur Verteilung der Carmichael-Zahlen und wurde zu einem sensationellen „Genie-Jungen“.

Wenn die Geschichte von Daniel Larson inspirierend ist, dann ist es wahrscheinlich die Aussage, dass ein hervorragendes familiäres Bildungsumfeld, großes Talent und unermüdlicher Einsatz allesamt Schlüsselfaktoren für die Heranbildung eines „genialen Jungen“ sind.

Verweise

[1] Korselt, A. „Problème chinois“, L'Intermédiaire des Mathématiciens, 6 (1899): 142–143.

[2] RD Carmichael, „Anmerkung zu einer neuen Funktion der Zahlentheorie“, Bull. Amer. Mathe. Soc., Vol.16 No. 5, Februar, (1910): 232 - 238

[3] Chernick, J. „Über den einfachen Satz von Fermat“, Bull. Amer. Mathe. Soc. 45, Nr. 4 (1939): 269–274.

[4] Zhang Mingzhi, „Eine Methode zum Finden großer Carmichael-Zahlen“, Journal of Sichuan University (Natural Science Edition), Vol 29 No. 4, (1992): 472-479.

[5] Alford, WR, Granville, A. und Pomerance, C., „Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen“ Ann. der Mathematik. 140 (1994): 703–722.

[6] Zhang, Y. „Begrenzte Lücken zwischen Primzahlen“, Ann. der Mathematik. 179 (2014): 1121–1174.

[7] Maynard, J. „Kleine Lücken zwischen Primzahlen“, Ann. der Mathematik. 181 (2015): 383–413.

[8] Daniel Larsen, „Bertrands Postulat für Carmichael-Zahlen“, Int. Mathe. Res. Nicht. (2023), Nr. 15, 13072-13098

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

Produziert von: Chinesische Vereinigung für Wissenschaft und Technologie, Abteilung für Wissenschaftspopularisierung

Hersteller: China Science and Technology Press Co., Ltd., Beijing Zhongke Xinghe Culture Media Co., Ltd.

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