Die schöne und "nutzlose" Möbius-Inversion löst eine Klasse von physikalischen Problemen [Teil 1]

„Die Zahlentheorie liefert uns einen unerschöpflichen Vorrat an interessanten Wahrheiten – Wahrheiten, die nicht isoliert, sondern eng miteinander verbunden sind, und bei denen wir mit zunehmendem Wissen immer wieder neue und manchmal völlig unerwartete Zusammenhänge zwischen ihnen entdecken werden.“

——Gauß

Geschrieben von Ding Jiu (Professor für Mathematik an der University of Southern Mississippi)

Leser, rollen Sie bitte ein Stück Papier zu einem Zylinder, nehmen Sie dann einen Bleistiftkopf und platzieren Sie das untere Ende dicht an der Außenseite des Zylinders, wobei die Spitze des Bleistifts nach außen und senkrecht zum Zylinder zeigt. Wenn Sie die beiden senkrechten Punkte halten und den Bleistift um den Zylinder bewegen, oder allgemeiner, wenn Sie den Bleistift senkrecht zum Zylinder halten und ihn entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve darauf bewegen, die den Begrenzungskreis nicht kreuzt, werden Sie feststellen, dass sich die Richtung der Bleistiftspitze kontinuierlich ändert und schließlich in ihre ursprüngliche Position zurückkehrt. Wenn Sie die Unterseite der Bleistiftspitze an die Innenseite des Papierzylinders drücken und die gleiche Kreisbewegung ausführen, erhalten Sie das gleiche Ergebnis. Dies bedeutet, dass die zylindrische Oberfläche „doppelseitig“ ist, sie hat eine Innenseite und eine Außenseite. Durch Angabe der festen Seite einer ihrer beiden Seiten wird die Ausrichtung jeder geschlossenen Kurve auf der Oberfläche – vorwärts oder rückwärts – durch die „Rechte-Hand-Regel“ bestimmt. Dies ist ein geometrisches Phänomen, das jedes Kind verstehen kann.

Leser, die sich mit Oberflächenintegralen beschäftigt haben, wissen, dass die als Integrationsbereich dienende Oberfläche bestimmt sein muss, da sonst Oberflächenintegrale nicht in Frage kommen. In den 1980er Jahren erzählte mir Professor Tianyan Li, mein Doktorvater am Institut für Mathematik der Michigan State University, dass er seinem Sohn, damals ein Mittelschüler, die grundlegenden topologischen Konzepte folgendermaßen beigebracht hatte: Man nehme ein langes, schmales Blatt Papier, und anstatt die beiden gegenüberliegenden kurzen Seiten so zusammenzukleben, dass eine kurze zylindrische Oberfläche entsteht, wie oben gezeigt, drehe man zuerst eine der kurzen Seiten um 180 Grad und klebe sie dann an die andere kurze Seite. Auch hierdurch entsteht eine Papieroberfläche. Dann bat er seinen Sohn, dasselbe Experiment wie im vorherigen Absatz durchzuführen. Es wurde festgestellt, dass, wenn der Bleistift einem geschlossenen Kreis in einer Richtung folgte, die fast mit der langen gegenüberliegenden Seite übereinstimmte, und einen durchgehenden Kreis bildete, während er senkrecht zur gekrümmten Oberfläche blieb, die Richtung, in der die Bleistiftspitze endete, genau entgegengesetzt zu ihrer ursprünglichen Richtung war! Natürlich tritt dieses Phänomen nicht auf, wenn der geschlossene Kreislauf klein genug ist, um nur ein Kreis um einen Punkt auf der Oberfläche zu sein. Die Existenz des geschlossenen Kreislaufs, der die Anomalie der „Richtungsumkehr“ verursacht, zeigt jedoch eindeutig, dass diese seltsame Oberfläche topologische Eigenschaften aufweist, die sich völlig von denen einer gewöhnlichen zylindrischen Oberfläche unterscheiden.

Diese seltsame Oberfläche ist „einseitig“ und wird von den Wachen des Oberflächenintegralraums im Calculus-Gebäude nicht betreten. Es ist jedoch nicht nur visuell intuitiv, sondern auch reich an Konnotationen. Sein Fachname lautet „Möbiusband“, benannt nach einem seiner Entdecker, dem deutschen Mathematiker und Astronomen Möbius (August Ferdinand Möbius, 1790–1868). Ein anderer Entdecker, der es einige Monate zuvor entdeckte, war der deutsche Mathematiker Johann Benedict Listing (1808–1882). Das Möbiusband ist die bekannteste mathematische Entdeckung zu Möbius‘ Lebzeiten, weil die Menschen es auf den ersten Blick verstehen. Seine weniger bekannte mathematische Arbeit, die zur Möbius-Inversionsformel führte, ist jedoch Thema dieses Artikels.

Möbius-Inversion

Die ursprüngliche Idee der Möbius-Inversionsformel ähnelt der bekannten Teil- und Reihenreihe sowie der allgemeinen Reihenreihe.

Es gibt viele Verallgemeinerungen und Variationen der Möbius-Inversionsformel, aber die bekannteste und einfachste kann als „Klassiker“ bezeichnet werden und hat viele Anwendungen in der Zahlentheorie und Kombinatorik. Um diese ursprüngliche Formel zu verstehen, müssen einige elementare Begriffe eingeführt werden. Zunächst einmal ist die sogenannte „Inversion“ eine Verallgemeinerung des Konzepts der inversen Funktion aus der Algebra der Oberstufe. Wenn die Funktion y=f(x) ist

Möbius-Funktion <br /> Angesichts der Schlüsselrolle, die die Möbius-Funktion μ in der Inversionsformel spielt, wollen wir ihre grundlegenden Eigenschaften untersuchen. Machen wir uns zunächst mit den ersten Dutzend Zahlen in der Wertereihe der Möbius-Funktion vertraut: μ(1)=1, μ(2)=-1, μ(3)=-1, μ(4)=0, μ(5)=-1, μ(6)=1, μ(7)=-1, μ(8)=0, μ(9)=0, μ(10)=1, μ(11)=-1, μ(12)=0. Die erste grundlegende Eigenschaft dieser Funktion besteht darin, dass sie multiplikativ ist. Das heißt, solange zwei natürliche Zahlen m und n teilerfremd sind (keine positiven gemeinsamen Faktoren außer 1 haben), gilt die Gleichung μ(mn)=μ(m)μ(n). Tatsächlich, wenn

Dies beweist (I).

Von der arithmetischen Funktion f zum Funktionswert g(n) der arithmetischen Funktion g: Da die Definition und die Umkehrformel (I) nur in Form einer endlichen Summe ausgedrückt werden, verwenden wir nur die Faktoren der Möbius-Funktion und Formel (1), um die Möbius-Umkehrformel (I) „elementar“ zu beweisen. Mit der gleichen Methode können wir beweisen, dass wenn f und g (I) erfüllen, sie auch (*) erfüllen. Man nennt g die Möbius-Transformation von f und f die inverse Möbius-Transformation von g. Beachten Sie, dass es im Englischen auch den mathematischen Begriff „Möbius-Transformation“ gibt, für den es auch eine chinesische Übersetzung gibt. Es bezieht sich auf die lineare Bruchtransformation w=(az+b)/(cz+d), die komplexe Zahlen in komplexe Zahlen abbildet.

Wenn f und g in der Möbius-Transformation durch In f bzw. In g ersetzt werden, dann implizieren (*) und (I) die folgende Möbius-Inversionsformel in Multiplikationsform:

Dirichlet-Faltung <br /> Lesern, die die Fourier-Transformation gelernt haben, wird die Faltungsoperation zwischen Funktionen nicht fremd sein. Die Faltung f*g zweier Funktionen f und g ist definiert als das Integral des Produkts der einen Funktion und der anderen Funktion nach Spiegelung und Verschiebung, was zeigt, wie die Form der einen Funktion durch die andere Funktion verändert wird. Wenn die Domänen von f und g die gesamte

Es lässt sich leicht beweisen, dass f*g=g*f, d. h., die Faltungsoperation erfüllt das Kommutativgesetz. Der Faltungssatz in der Fourieranalyse besagt, dass, wenn F und G die Fouriertransformationen von f bzw. g sind, die inverse Fouriertransformation des Produkts von F und G die Faltung von f und g ist. Es gibt einen ähnlichen Faltungssatz für die Laplace-Transformation, die häufig in der technischen Mathematik verwendet wird.

Sind die Ideen und Methoden der Faltung also auch mit der „Möbius-Inversion“ verwandt? Natürlich! Dies ist die Dirichlet-Faltung, die in der Zahlentheorie für arithmetische Funktionen verwendet wird, und das Konzept ist einfach eine direkte Verallgemeinerung der Möbius-Inversion. Seine Definition ist dem Ausdruck auf der rechten Seite der Möbius-Inversionsformel (I) sehr ähnlich, außer dass die Möbius-Funktion μ durch eine allgemeine Funktion ersetzt wird: Seien f und g arithmetische Funktionen, dann ist die Dirichlet-Faltung von f und g die arithmetische Funktion

Darüber hinaus erfüllt die Dirichlet-Faltung wie die ganzzahlige Multiplikation auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz: (f*g)*h=f*(g*h) und f*(g+h)=f*g+f*h. Was den Dirichlet-Ring betrifft, hat eine arithmetische Funktion f genau dann eine Dirichlet-Inverse, wenn sie f(1)≠0 erfüllt, d. h., es gibt eine arithmetische Funktion f-1, sodass f*f-1=ε. Insbesondere ist die Dirichlet-Inverse der konstanten Funktion 1 die Möbius-Funktion μ, die die im nächsten Argument erforderliche Beziehung 1*μ=ε erfüllt. Hier haben wir 1 verwendet, um die natürliche Zahlenmenge darzustellen

Es ist ersichtlich, dass im Kontext der Dirichlet-Faltung der Ausdruck der klassischen Möbius-Transformation lautet:

g=f*1 genau dann, wenn f=g*μ.

Den meisten Studenten der Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften ist der Name des deutschen Mathematikers Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) wahrscheinlich aufgrund der Fourierreihen oder der Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen ein Begriff. Man sollte jedoch nicht fälschlicherweise annehmen, dass er sich nur auf „analytische Mathematik“ spezialisiert hat, wie dies bei den meisten Mathematikern heutzutage der Fall ist, die nur ein einziges Handwerk beherrschen. Er war außerdem ein Meister der Zahlentheorie und ein Pionier auf dem Gebiet der analytischen Zahlentheorie. Auch die moderne Definition der Funktion stammt von ihm, sodass heute Mittelschüler auf der ganzen Welt von dieser äußerst sinnvollen Definition profitieren können.

Da die Möbius-Inversion lediglich ein Synonym für die Tatsache ist, dass die Dirichlet-Inverse der arithmetischen Einheitsfunktion 1 die Möbius-Funktion μ ist, kann die ursprüngliche Doppelformel der Möbius-Transformation (*) und (I) unmittelbar auf die folgende allgemeine Inversionsformel verallgemeinert werden: Angenommen, die arithmetische Funktion α hat eine Dirichlet-Inverse, dann

Das zweite Gleichheitszeichen oben liegt daran, dass wir nach mn=k gruppieren und die Reihenfolge der Summierung neu anordnen.

Die verallgemeinerte Form der allgemeinen Formeln (#), (**) und (Ⅱ) entsprechend dem diskreten Fall lautet:

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