Internationaler Tag der Mathematik | Pi ist nicht nur eine irrationale Zahl, sondern auch eine "rationale" Geschichte der Mathematik

Am 26. November 2019 genehmigte die UNESCO auf ihrer 40. Generalkonferenz die Erklärung des 14. März zum „Internationalen Tag der Mathematik“. Der Internationale Tag der Mathematik findet am 14. März statt, weil „3,14“ die Zahl ist, die dem Wert von Pi am nächsten kommt. Daher nennen viele Menschen diesen Tag auch „Internationaler Pi-Tag“. Lassen Sie uns heute beim Spaß mitmachen und über die mathematische Geschichte hinter Pi auf der ganzen Welt sprechen.

π (urheberrechtlich geschütztes Bild aus der Galerie, Nachdruck kann zu Urheberrechtsstreitigkeiten führen)

01 Das alte Ägypten: Die Pyramiden der Quadratur des Kreises

Seit Tausenden von Jahren suchen die Menschen nach dem wahren Wert von Pi.

Antike Zivilisationen auf der ganzen Welt begannen spätestens seit der Bronzezeit mit der Berechnung der Zahl Pi. Der Papyrus Rhind, geschrieben um 1650 v. Chr., ist ein berühmtes Mathematikbuch aus dem alten Ägypten. Frage 50 im Buch lautet: „Wie groß ist die Fläche eines Kreises mit einem Durchmesser von 9?“ Die Antwort lautet: Subtrahieren Sie 1/9 des Durchmessers und quadrieren Sie es. Mit anderen Worten: Die Fläche des Kreises beträgt 64. Aus dieser Antwort lässt sich folgern, dass der Wert von Pi zu diesem Zeitpunkt etwa 3,16 betrug.

Seltsamerweise wurde jedoch bei der Konstruktion der Cheops-Pyramide im alten Ägypten, die etwa 900 Jahre vor diesem Buch erbaut wurde, bereits ein genauerer Zahlenwert von Pi verwendet: Die Cheops-Pyramide ist das größte noch existierende antike Gebäude. Sie wurde um 2560 v. Chr. erbaut und hat eine ursprüngliche Höhe von 146,59 Metern sowie eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 230,37 Metern. Basieren solche Gebäudemaße auf irgendwelchen Proportionsregeln? Um dieses Rätsel zu lösen, müssen wir auf eine altägyptische Maßeinheit zurückgreifen – die Elle (auch als Handgelenk bekannt). Die Länge der Elle basiert auf der Entfernung vom Ellenbogen eines Erwachsenen bis zur Spitze des Mittelfingers. Den heute ausgegrabenen ägyptischen Ellenwerkzeugen zufolge beträgt seine Länge etwa 52,35 cm.

Die Cheops-Pyramide (Copyright-Bild aus der Galerie, Nachdruck kann zu Urheberrechtsstreitigkeiten führen)

Die Höhe und die Länge der Basis der Cheops-Pyramide mögen unübersichtlich erscheinen, aber in Ellen ausgedrückt ergeben sie genau zwei schöne ganze Zahlen: 280 und 440 Ellen. Zusätzlich zu den ganzzahligen Einheiten ergibt sich, wenn man die Seitenlänge durch die doppelte Turmhöhe teilt, genau 3,1416. Daher ist der Umfang eines Kreises mit der Höhe der Pyramide als Radius genau gleich dem Umfang der quadratischen Grundfläche. Man könnte sagen, dass dies die Umfangsversion der „Quadratur des Kreises“ ist, was wirklich genial ist!

Einige Wissenschaftler vermuten jedoch, dass das Verhältnis π/2 bloßer Zufall ist, da die alten Ägypter, wie bereits erwähnt, den Wert von Pi mit 3,16 kannten. Einige Wissenschaftler glauben jedoch, dass der Papyrus Rhind nur eines von vielen mathematischen Dokumenten des alten Ägypten ist und dass es in Ägypten bereits andere, genauere Näherungswerte für Pi gab. Und die Ägypter bauten Dutzende von Pyramiden. Wenn wir einen Schritt zurücktreten und die anderen Pyramiden betrachten, werden wir feststellen, dass sie unterschiedliche Größen haben, die Gesamtkonstruktion jedoch im Großen und Ganzen ähnlich ist und das Verhältnis von Grundfläche zu Höhe normalerweise nahe bei Pi liegt, aber nicht so genau wie bei der Cheops-Pyramide.

Auch die alten Bruneier, die etwa zur gleichen Zeit wie die Ägypter lebten, hatten ein Verständnis für die Zahl Pi. Auf einer babylonischen Steintafel aus dem Jahr 1900 v. Chr. ist eindeutig Pi = 25/8 = 3,125 verzeichnet. In dem alten indischen religiösen Meisterwerk „Der Pfad zur Erleuchtung“, das zwischen 800 und 600 v. Chr. geschrieben wurde, heißt es, dass der Wert von Pi dem Bruchteil 339/108 entspricht, also ungefähr 3,139. Allerdings handelt es sich hierbei offensichtlich um grobe Erfahrungswerte und nicht um das Ergebnis präziser Berechnungen.

02 Antikes Rom: Im letzten Moment dachte Archimedes nur noch an "Kreis"

Um 250 v. Chr. schlug der antike griechische Mathematiker Archimedes den ersten Algorithmus zur Annäherung an Pi vor: Ausgehend vom Einheitskreis verwendete Archimedes zunächst ein einbeschriebenes regelmäßiges Sechseck, um herauszufinden, dass die Untergrenze von Pi 3 war. Anschließend verwendete er ein umschriebenes regelmäßiges Sechseck und den Satz des Pythagoras, um herauszufinden, dass die Obergrenze von Pi kleiner als 4 war. Dann fuhr er fort, regelmäßige Polygone mit mehr Seiten einzuschreiben, bis er zu einem einbeschriebenen regelmäßigen Polygon mit 96 Seiten und einem umschriebenen regelmäßigen Polygon mit 96 Seiten kam. Schließlich stellte er fest, dass die Unter- und Obergrenze von Pi 223/71 bzw. 22/7 betrugen, und nahm deren Durchschnitt von 3,141851 als ungefähren Wert von Pi an.

Archimedes widmete sein ganzes Leben der Zahl Pi und berechnete sie sogar noch vor seinem Tod. Der Legende nach kniete Archimedes im Jahr 212 v. Chr., als die römische Armee in Griechenland einmarschierte, auf dem Boden und konzentrierte sich auf die Berechnung der Zahl Pi. Plötzlich eilte ein Soldat herbei und erhielt vom römischen General den Befehl, ihn mitzunehmen, damit er Rom dienen konnte. Daraufhin verjagte Archimedes, der in die Mathematik vertieft war, die Soldaten einfach mit den Worten: „Tritt nicht auf den Kreis, den ich gezeichnet habe.“ Der römische Soldat war wütend und tötete Archimedes, obwohl der General ihm befohlen hatte, dem Gelehrten kein Leid zuzufügen. Archimedes hat die Geschichte von Pi mit seinem Blut gefärbt und die Würde von Pi mit seinem Leben verteidigt. Um seinen herausragenden Beitrag zur Zahl Pi zu würdigen, wird Pi von späteren Generationen auch als „Archimedische Konstante“ bezeichnet.

Der Tod des Archimedes (Copyright-Bild aus der Bibliothek, Nachdruck kann zu Urheberrechtsstreitigkeiten führen)

Allerdings hat Rom die Mathematik des antiken Griechenlands geerbt. Um das Jahr 150 n. Chr. führte der römische Ptolemäus auf Grundlage der Arbeit von Archimedes einige zusätzliche Berechnungen durch und kam auf einen ungefähren Wert von 377/120, was ungefähr 3,14167 entsprach. Die Römer bevorzugten Kreise. Heute ist das berühmte antike Bauwerk Italiens, das Kolosseum, ein riesiger Kreis.

03 Das alte China: Die genauesten Aufzeichnungen seit Tausenden von Jahren

Dann, mehr als 100 Jahre später, stürzte sich das chinesische Volk auf die Reise, sich der Zahl Pi zu nähern. Tatsächlich wurde bereits in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n. Chr. in der mathematischen Monographie „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ vorgeschlagen, dass der ungefähre Wert von Pi 3 sei. Im Jahr 265 n. Chr. erfand Liu Hui, ein Mathematiker der Südlichen Dynastien, eine wissenschaftliche Methode zur Berechnung von Pi, die „Methode zur Teilung eines Kreises“, und kam zu dem Schluss, dass Pi ungefähr 3927/1250 = 3,1416 entspricht, also auf 4 Dezimalstellen genau.

Liu Huis „Methode zur Teilung eines Kreises“ ähnelt dem iterativen Algorithmus von Archimedes. Er verwendete den Umfang eines regelmäßigen, in einen Kreis eingeschriebenen Polygons, um den Umfang des Kreises anzunähern, und berechnete bis hin zum Fall eines 96-seitigen, in den Kreis eingeschriebenen Polygons. Im Jahr 480 n. Chr. berechnete Zu Chongzhi mit dem Algorithmus von Liu Hui die Fläche eines Polygons mit 12.288 Polygonen und erweiterte ihn dann auf die Fläche eines Polygons mit 24.576 Polygonen. Er leitete das geheime Gesetz 355/113≈3,1415929 ab, das eine Genauigkeit von 7 Dezimalstellen erreichte, eine Genauigkeit, die heute in den meisten Branchen nicht mehr verwendet wird. Zu Chongzhi hielt 1.000 Jahre lang den Weltrekord für den genauesten Pi-Wert!

Die alten Chinesen waren mit der Berechnung der Zahl Pi so vertraut und geschickt, dass sie diese Methode ganz selbstverständlich in der Architektur anwandten. Es gibt zahllose antike Rundbauten, vom Himmelstempel in Peking bis zum Tulou in Fujian, die alle die präzise Beherrschung der Zahl Pi durch die Menschen der Antike belegen.

Gebetshalle für gute Ernten im Himmelstempel (Quelle: Nachrichtenagentur Xinhua)

Es gibt auch einen Jianshui-Wenbi-Turm in der Präfektur Honghe in Yunnan, der während der Daoguang-Zeit der Qing-Dynastie erbaut wurde und den Spitznamen „Pi-Turm“ trägt. Der Jianshui Wenbi-Turm ist 31,4 Meter hoch. Der Umfang des Turmfußes beträgt ebenfalls 31,4 Meter und entspricht damit exakt der Höhe des Turms. Und diese Zahl liegt so nahe an Pi, dass man sich unweigerlich fragt, ob die Menschen in der Antike dies mit Absicht taten. Einige Wissenschaftler wiesen jedoch darauf hin, dass das heutige metrische System während der Daoguang-Zeit nicht verwendet wurde und ein Fuß in der Ming-Dynastie heute etwa 31,1 Zentimeter und ein Fuß in der Qing-Dynastie heute etwa 32 Zentimeter beträgt. Die ursprüngliche Höhe des Jianshui Wenbi-Turms hätte 100 Fuß oder 10 Zhang betragen sollen, was der ursprünglich beabsichtigten Höhe des Turms entsprochen haben könnte.

Jianshui Wenbi Tower, bekannt als „Pi Tower“ (Copyright-Bild aus der Galerie; Nachdruck kann zu Urheberrechtsstreitigkeiten führen)

Wang Nan, ein Experte für antike chinesische Architektur, wies jedoch darauf hin, dass das Höhen-Breiten-Verhältnis vieler der vielen noch in China existierenden antiken Türme nahe Pi liegt. Dies ist kein Zufall, sondern ein sorgfältiger Entwurf, der die Kosmologie der alten Völker vom „runden Himmel und der quadratischen Erde“ verkörpert. Das Konzept „Der Himmel ist rund und die Erde ist quadratisch“ tauchte in meinem Land schon sehr früh auf. Es bezeichnet eine Methode zur Vermessung von Himmel und Erde. „Der Himmel ist rund“ bedeutet, dass der Himmel mit dem Grad des „Kreises“, also Pi, gemessen werden muss. Die „Drei“ in „drei Himmel und zwei Erden“ bezieht sich in der Antike auf den ungefähren Wert von Pi; „Quadrat“ bedeutet, dass die Erde mit „Quadrat“ gemessen werden muss, und „zwei Erden“ ist „Quadrat“, was sich auf die Berechnungsmethode bezieht, bei der die Länge einer Seite mit der Länge der Seite multipliziert wird.

04 Brechen Sie weiterhin Rekorde! Das „Internationale Rennen“ zur Pi-Berechnung

Zurück zur Berechnung von Pi: Der chinesische „Spieler“ Zu Chongzhi hielt den Rekord tausend Jahre lang, und erst im 15. Jahrhundert brach ihn der indische Mathematiker Madhava: Er berechnete Pi auf 10 Dezimalstellen genau. Bald darauf übernahm der persische Astronom Ghiyas al-Din seinen Algorithmus und steigerte die Genauigkeit auf 16 Bit, womit er die höchste für die moderne Luft- und Raumfahrt erforderliche Genauigkeit erreichte.

Die indische numerische Mathematik verbreitete sich durch die Araber nach Europa und Missionare der Ming-Dynastie übersetzten und führten auch die chinesische Mathematik in Europa ein. Die europäische Mathematik begann sich im 16. Jahrhundert rasant zu entwickeln und markierte einen Höhepunkt kontinuierlicher Durchbrüche bei der Pi-Rechnung. Im Jahr 1706 verwendete der britische Mathematiker William Jones erstmals den griechischen Buchstaben π zur Darstellung von Pi, und dann begann auch der große Schweizer Mathematiker Euler, π zur Darstellung von Pi zu verwenden. Von da an wurde π zum Synonym für Pi.

Autor: Liu Fu, populärwissenschaftlicher Autor

Gutachter: Wang Hongpeng, Associate Researcher, China Science and Technology Museum

Produziert von: Science Popularization China

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