Eine tiefgründige Frage: Was ist Gleichheit?

Bevor wir tatsächlich mit Mathematik in Berührung kommen, haben wir durch die Erziehung und Lebenserfahrung unserer Eltern bereits das Konzept der Gleichheit verstanden, und dieses Verständnis wird uns unser ganzes Leben lang begleiten. Allerdings hat mathematische Gleichheit eine tiefere Bedeutung, insbesondere bei einigen spezifischen Problemen, bei denen sich Mathematiker nicht mehr nur darauf konzentrieren, ob Zahlen gleich sind, sondern auch darauf, ob mathematische Strukturen gleichwertig sind oder sogar Gleichheit höherer Ordnung vorliegt. Um die Äquivalenz von Kategorien höherer Ordnung bequemer diskutieren zu können, haben Mathematiker auch neue mathematische Ansätze vorgeschlagen.

Geschrieben von Ye Lingyuan

Wann sind zwei mathematische Objekte gleich? Dieses Problem ist nicht so banal, wie es scheint. Tatsächlich geht es in fast allen Fragen der Mathematik darum, ob zwei mathematische Objekte gleich sind. Ziel dieses Artikels ist offensichtlich nicht die Lösung eines praktischen mathematischen Problems, sondern die Diskussion mit Ihnen über die Entwicklung des Konzepts der „Gleichheit“ in der modernen Mathematik.

Bereits im späten 19. Jahrhundert glaubte der Philosoph Gottlob Frege (1848–1925), dass bei einer Gleichung A=B sowohl A als auch B Symbole der realen mathematischen Objekte sind, die wir darstellen möchten, und dass Gleichheit bedeutet, dass die realen mathematischen Objekte, auf die sich die beiden Namen beziehen, konsistent sind. Mit anderen Worten ist eine Gleichheitsrelation eine Relation zwischen den von uns verwendeten mathematischen Symbolen, wobei zwei Symbole genau dann gleich sind, wenn sie sich auf dieselben realen mathematischen Objekte beziehen. Auf diese Weise fällt es uns leicht, mathematische Aussagen wie 2+3=5 zu verstehen.

Doch im Laufe der Entwicklung der modernen Mathematik spiegelt die so verstandene Gleichheit nicht immer wirklich die Probleme wider, mit denen sich Mathematiker beschäftigen. In den letzten zehn Jahren hat es unter der Führung einiger Mathematiker und Logiker eine konzeptionelle Revolution im Hinblick auf das grundlegendste Konzept der Gleichheit gegeben. So wie Newtons und Einsteins Innovationen in den grundlegendsten Konzepten der Schwerkraft und der Raumzeit in der Physik eine neue Physik hervorbrachten, möchte dieser Artikel darüber sprechen, wie die Innovation des Gleichheitskonzepts in der Mathematik eine neue Art von Mathematik hervorbringen kann.

Anzahl der Kategorien

Anders als in philosophischen Diskussionen sollten wir, wenn wir einen Gleichheitsbegriff entwickeln wollen, der für die moderne Mathematik nützlich ist, immer von den mathematischen Problemen ausgehen, mit denen wir uns befassen, statt einen Gleichheitsbegriff im Voraus festzulegen und dann von allen Mathematikern zu erwarten, dass sie ihre Ideen in der von uns definierten Begriffssprache ausdrücken. In diesem Abschnitt soll erklärt werden, dass die Gleichheitsprobleme, die uns interessieren, für unterschiedliche mathematische Objekte unterschiedlich sein können.

Eine Möglichkeit, mathematische Objekte zu kategorisieren, sind sogenannte Kategorienzahlen. Eine Kategorienummer kann jede Zahl zwischen Null und Unendlich sein. Die Größe einer Kategoriezahl stellt nicht unbedingt die Komplexität oder Reichhaltigkeit der Struktur der darin enthaltenen mathematischen Objekte dar, sondern zeigt vielmehr, dass die Gleichheitsprobleme, die uns bei mathematischen Objekten unterschiedlicher Kategoriezahlen wichtig sind, unterschiedlich sind. In der folgenden Beschreibung nennen wir ein Objekt mit der Kategorienummer n eine n-Struktur.

Kategorienummer 0

0-Struktur, d. h. mathematische Objekte mit der Kategorienummer 0. Das typischste Beispiel sind Zahlen wie natürliche Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen usw. Bei zwei Zahlen oder 0-Strukturen ist die Gleichheitsrelation zwischen ihnen das, was wir kennen, d. h. ob die beiden Zahlen gleich sind. Viele sehr tiefgründige mathematische Theoreme befassen sich mit der Frage, ob zwei Zahlen gleich sind, und dies ist auch das am häufigsten vorkommende Konzept der Gleichheit, dem wir in der Mathematik begegnen.

Kategorie Nummer 1

Mit der Entwicklung der modernen Mathematik beschäftigen wir uns nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit allgemeineren mathematischen Strukturen wie Gruppen algebraischer Objekte, Ringen, Körpern; oder geometrische Objekte wie Mannigfaltigkeiten usw. Bei dieser Art von Objekten ist es den Mathematikern eigentlich egal, ob die beiden geschriebenen Gruppen (im allgemeinen Sinne) gleich sind, sondern ob zwischen ihnen Isomorphismen bestehen.

In gewissem Sinne sind die einfachsten 1-Strukturen einfach Mengen; Sie können als mathematische Strukturen mit trivialer Struktur betrachtet werden. Bei Mengen interessiert es die Leute normalerweise, ob zwei Mengen isomorph sind, und nicht, ob die beiden Mengen genau dieselben Elemente haben. Wenn wir beispielsweise sagen, dass das kartesische Produkt zwischen Mengen kommutativ und assoziativ ist, meinen wir damit nicht, dass A × B wirklich gleich B × A ist, denn gemäß der Konstruktion der Mengenlehre handelt es sich dabei um zwei verschiedene Mengen. Sie sind jedoch zueinander isomorph.

Kategorie Nummer 2

Es mag überraschen, dass die Welt der Mathematik nicht auf mathematische Objekte mit den Kategorienzahlen 0 oder 1 beschränkt ist. Für Menschen, die eine langjährige Ausbildung in klassischer Mathematik absolviert haben, ist es möglicherweise nicht leicht, sich vorzustellen, welche mathematischen Objekte eine Ordnung höher sein könnten als die Kategorienzahl mathematischer Strukturen. Aber wir können rekursiv eine Vermutung anstellen.

Die einfachste 1-Struktur ist eine Menge, und eine Menge ist ein mathematisches Objekt, das aus einigen 0-Strukturen, also Elementen, besteht. Dann können wir schlussfolgern, dass die einfachste Klasse von 2-Strukturen als eine Klasse verstanden werden kann, die aus bestimmten 1-Strukturen besteht, wie etwa die Klasse, die aus allen Mengen besteht, die Klasse, die aus allen Gruppen besteht, die Klasse, die aus allen Mannigfaltigkeiten besteht, und so weiter. Diese Objekte werden oft als Kategorie bezeichnet.

Genauer gesagt besteht eine Kategorie aus einer Klasse mathematischer Objekte und den Abbildungen zwischen ihnen. In der Kategorie der Mengen sind Objekte Mengen und Abbildungen zwischen Mengen sind Funktionen. In der Kategorie der Gruppen sind Objekte Gruppen und Abbildungen zwischen Gruppen sind Gruppenhomomorphismen. Was also ist 2-Struktur, also Äquivalenz zwischen Kategorien? Um zu zeigen, dass es sinnvoll ist, solche Fragen zu beantworten, hier ein Beispiel aus dem Unterricht der linearen Algebra.

Wenn wir an der Universität lineare Algebra studieren, lernen wir normalerweise als Erstes Operationen mit Matrizen. Eine Matrix ist ein quadratisches Array, das aus bestimmten Zahlen besteht, und Matrixoperationen (Addition, Multiplikation usw.) unterliegen sehr spezifischen Operationsregeln. Und wenn wir die lineare Algebra eingehender studieren, werden wir feststellen, dass die lineare Algebra vollständig durch eine abstrakte mathematische Sprache ausgedrückt werden kann: Der lineare Raum kann als eine algebraische Struktur mit bestimmten Operationen definiert werden, und lineare Abbildungen zwischen linearen Räumen können als Funktionen definiert werden, die bestimmte algebraische Bedingungen erfüllen.

Auf den ersten Blick besteht zwischen Matrizen und linearen Räumen keine besonders direkte Beziehung. Allerdings weiß jeder Student, der lineare Algebra studiert hat, mehr oder weniger, dass für (endlichdimensionale) lineare Räume das Studium von Matrizen und das Studium abstrakter linearer Räume gleichwertig sind. Allerdings wird diese Aussage im Unterricht normalerweise nicht als strenger mathematischer Lehrsatz präsentiert. Im Allgemeinen ist dies nur ein Eindruck, den Sie erhalten, nachdem Sie diese beiden Darstellungen gelernt haben. Das heißt, jedes Problem mit Matrizen kann in ein Problem mit linearem Raum umgewandelt werden, und jedes Problem mit linearem Raum kann in ein Problem mit Matrizen umgewandelt werden. Die bei diesen gegenseitigen Transformationen erhaltenen Antworten sollten konsistent sein.

Dies ist jedoch nur eine unverbindliche Aussage. Gibt es eine Möglichkeit, mithilfe strenger mathematischer Sprache zu zeigen, dass diese beiden mathematischen Ausdrücke im strengen Sinne gleichwertig sind? Beachten Sie, dass diese Äquivalenz intuitiv eine Äquivalenz zwischen bestimmten 2-Strukturen ist: Wir behaupten, dass das Studium von Objekten wie Matrizen gleichbedeutend mit dem Studium von Objekten wie endlichdimensionalen linearen Räumen ist. Daher werden wir im nächsten Abschnitt die Äquivalenz zwischen Objekten mit der kategorischen Zahl 2 und noch höheren kategorischen Zahlen einführen.

Äquivalenz zwischen kategorialen Zahlenobjekten höherer Ordnung

Wie oben erwähnt, müssen wir, um die Äquivalenz von Matrizen und linearen Räumen streng zu beschreiben, diese als zwei Kategorien realisieren, sodass die Äquivalenz zwischen ihnen auch als Äquivalenz zwischen zwei Kategorien verstanden werden kann.

Äquivalenz in der neuen Mathematik

Durch die Entwicklung der modernen Mathematik ist den Mathematikern zunehmend bewusst geworden, dass mathematische Objekte höherer Ordnung und die Äquivalenz zwischen ihnen sehr wichtige mathematische Konzepte sind und dass das Studium von Strukturen höherer Ordnung manchmal für das Verständnis komplexer Strukturen niedriger Ordnung von entscheidender Bedeutung ist. Aus Platzgründen kann dieser Artikel keine umfassende Einführung in die Anwendung von Strukturen höherer Ordnung in der Mathematik bieten. Aber nach der vorherigen Erklärung können wir zumindest verstehen, dass Mathematiker für unterschiedliche mathematische Objekte unterschiedliche Äquivalentformen benötigen.

In gewissem Sinne stellt dies die sogenannten „Grundlagen der Mathematik“ vor neue Herausforderungen. Schließlich ist Gleichheit ein so grundlegendes mathematisches Konzept, aber die bestehenden mathematischen Grundlagen auf Basis der Mengenlehre sind sehr umständlich im Umgang mit der Gleichheit zwischen Objekten höherer Ordnung. Wenn wir mathematische Objekte höherer Ordnung sehr bequem für die nachfolgende mathematische Forschung verwenden möchten, benötigen wir offensichtlich einen direkteren Weg, um mit der Gleichheit zwischen beliebigen mathematischen Objekten umzugehen. Im letzten Jahrzehnt hat sich eine neue mathematische Grundlage, inspiriert von der Homotopietheorie, rasch entwickelt, die sogenannte Univalent Foundation [1]. Diese neue Grundlage der Mathematik weist viele verschiedene Merkmale auf, wir werden hier jedoch kurz darauf eingehen, wie sie mit der Äquivalenz zwischen mathematischen Objekten umgeht.

Abschluss

Natürlich hat dieser Artikel einen einführenden Charakter und einige Details müssen präziser ausgedrückt werden, um in strenge mathematische Inhalte formalisiert zu werden. Ich hoffe jedoch, dass dieser Artikel jeden dazu anregen kann, mehr über das scheinbar gewöhnliche Konzept der Gleichheit in der Mathematik nachzudenken. Schließlich bin ich davon überzeugt, dass der wirklich große Fortschritt in der theoretischen Wissenschaft auf der Innovation von Konzepten beruht. Diese Werke sind zwar technisch gesehen nicht die beeindruckendsten, aber sie haben mit Sicherheit den tiefgreifendsten Einfluss auf das menschliche Denken.

Verweise

[1] Das Univalent Foundations Programm. Homotopietypentheorie: Univalente Grundlagen der Mathematik. http://homotopytypetheory.org/book, Institute for Advanced Study, 2013

[2] Siehe den Vortrag des Mathematikers Vladimir Voevodsky aus dem Jahr 2011 am Institute for Advanced Study in Princeton:
https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2011_UPenn.pdf

Dieser Artikel wird vom Science Popularization China Starry Sky Project unterstützt

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